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16A.3 Fourier-Reihe als Zerlegung von Vektoren; Orthonormalbasis, Skalarprodukt

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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letztes – Mal ging's ja – an den Anfang – der Foyer reihe mich mal diese Gegenüberstellung – anschaulicher – Vektorraum – und – diese abstrakte Vektorraum die Funktion mit der Periode zwei Pi als abstrakten Vektorraum bei dem anschaulichen wegtrommeln sie Pfeile malen – und hier der Funktionsvektorraum – besteht eben wie der Name sagt aus funktionensparende – Funktionen – wie ich vor die Feile behandelt habe – und zuletzt – der Periode zwei die – jetzt nur nicht allgemeine Funktion – die kann ich addieren – wie ich vorher – feil addiert habe ich ganzen Zahlen multiplizieren sogar komplexen Zahlen das neue – ich Vorherfeile – modifiziert habe – ?? – ich kann sagen was die Länge sein soll – wie ich vor von einem Fall die Länge ausgerechnet habe das sie zu ähnlich aus hier Pythagoras das sieht schon irgendwie so ähnlich aus und das kann sie auf den ?? – Wurzelmittelquadrat – mit Minsk werdenden wird Effektivwert – das wird dann der Anführungszeichen unten – die anfangs ?? Länge der Betrag die Norm – einer Funktion – das Skalarprodukt – ?? in anschaulichen Vektoren – hat ja mit der Länge zu tun wenn sie ein Vektor mit sich selbst produzieren – das Quadrat der Länge – genauso ein Skalarprodukt – Wappentier beim Funktionen auch wenn sie zweimal dieselbe Funktion reinschreiben – steht da – es korrigiert mal selbst – ist – das Betragsquadrat – das konvexe Betragsquadrat – der Funktion auf integriert und so weiter – was wunderbar zudem sowie das Skalarprodukt Aussehen das sieht auf den ersten Blick deutlich anders aus als man das von anschaulichen Vektoren – kennt – aber – bei genauem hinsehen – allerdings aus dem ein Vektor mal ein Link aus dem einen Vektor Aufsummen – werden sie an den aus dem Einwegturm allerdings aus dem anderen Vektor – das integral summiert sozusagen auf es ist nicht so fern davon – jetzt für jede Richtung Foyer allmählich vom jeweiligen Wort nicht die Rede – von Sinus vermindert Schwingungen – und ähnlichem – an – die Standardbasis – im RN auf der linken Seite – Standardbasis – im EN das werden – jetzt im R drei wären die Vektoren – eins null null – null eins null – null null eins – die – in jeden Vektor – im R drei schön in diese drei zerlegen das die einfachsten überhaupt – die einfachste Basis überhaupt – was wäre eine – Basis für die Funktionen – mit Periode zwei Pi ✂ diese Ehe auch sonstige Kandidaten ?? das ist ja die witzige Erfindung für das man mit diesen äh hoch die mal Sohn zu Fehlfunktionen – alle anderen – bilden kann – ?? ahnen – Komma welche – die hoch – zweiundvierzig – die Mahlzeit – die zum Beispiel – diese Funktion wäre Teil der Basis oder Tee wird abgebildet – auf die – hoch – alle von der Sorte alle Funktionen von der IT wird abgebildet auf ganze Zahlen positiv oder negativ mal die – Mai Tee – und die einfachste von denen – ist welche ✂ allein – was ist mit dir null T haben auch nur das ist eins die Funktion ständig – eins zurück liefert – alle von der Sorte – die bilden was man – gerne mal die Foyerbasis – nennt – es gibt ja nicht nur eine Basis – in jedem Vektorraum – gibt sie nur eine Basis sondern endlich viele Basen – sie können hier die drei nehmen schön in – Phoenix Richtung eine Einheit gehen schon zur Richtung an einer schönen Zeitrichtung eine Einheit geht aber sie können ja auch – irgendwelche Vektoren nehmen Hauptsache – diese Vektoren liegen nicht alle in einer Ebene – genauso gibt es unendlich viele Basen hier – bei der Funktion – das hier ist mehr oder minder die nette Ester – die mit den E hoch soundsovielte – Funktion das natürlich auch – einmal nachdenken wieder als periodische Funktion – dann – ein Siemens C und zwei Pi weitergehen – wenn sie mit dem Exponenten – um vierundachtzig – die weiter – das in zwanzig komplette Umdrehung es kommt wieder das selbe raus – Punkt das sind auch wieder zwei Pi Periodenfunktion – und schöne – Beobachtung von Herrn Foyer ist eben das ?? mit denen alle anderen – bilden kann – an das hatte ich letztes ?? bis ?? angedeutet – hier – mit dieser Konstruktion – das ich relativ einfach – etwas bilden kann – das an der Stelle nur wild Aus raste dann praktisch wieder null wird eine Stelle zwei Pi periodisch eben wieder aus Rasse dann praktisch wieder nur nicht diese Funktion bilden kann ?? mit den Funktion – eben überlegen dass sich auch alle anderen nennenswerten Funktionen – damit kann – man – das ist was die Basen angeht – erste Schritt wenn ich eine – Funktion zerlegen – will Zerlegung in Basisvektor – sagen wir okay so viel von dem so viel von dem – Standardbasis – gegeben einen Vektor – der linken Seite ein Fall – gegeben einen Vektor – möchte ich denen – Aufsplitterung – in soundsoviel – mal – ersten Standard Basisvektor – Nummer zweiten soundsoviel Matrizen was – können Sie da hinschreiben ✂ damit jetzt den Komponenten ihren Namen geben – jetzt ein ABC versank ?? X als sein RZ mit den Namen geben ist das also eiligst – die Ex Komponente von dem hier mal eins null null – groß T Y Komponente von dem Malen null eins null – plus – gute Planung – plus die Z Komponente von ihm malen null null eins – diese AXA Y AZ – natürlich normalerweise leicht abzulesen – und mit den Vektor hier ?? direkt in Zahlen haben Hans sofort Alexander zum AZ – an – ?? wie kann ich die – hier abstrakter schreiben dieses AIX wie kann ich da auch anders dran Komma wie kann ich das ?? X – ausrechnen – mithilfe von Methoden der Vektorrechnung ✂ mir den Vektorarm – mal diesen Vektor – Guatemala vor den Vektor A mal den Vektor eins null null – sie eins null null mit A multiplizieren – einmal eine X plus null mal als aus normaler Zeit schön vom Bikes raus – und genauso für die anderen ist er Y ist null eins null – mal den Vektorraum – das RZ – ist null null – eins mal den Vektorraum – und Lustigerweise – sieht das – beim Foyer genauso aus – Zerlegung in Foyerbasis – schreibe ich mal oder – nie – für jeweils ?? denn – das ist genau die Foyer bei was wir hier – mit dem Vektor tun das schon in die Richtungen in die Standardrichtung zerlegen ist genau das was bei der Fernsehreihe – passiert – wie ich eine Funktion zerlegen in – Standardfunktionen – an – denen man Funktionen PDF – bezüglich Tief – bei – tiefen – Tee – ist – jetzt auf summiert – besinnlich geht die ganze Basis durch jährlich drei Elemente in der Basis hier unendlich viele Elemente in der Basis ein unendlichdimensionale – Vektorraum – die komplette Basis durch – was nehme ich das soundsoviel -fache von dem Basisvektor – Basisvektor – okay – E hoch – niemals ähm Mai Tee meine Basisfunktionen – mit der Nummer N – es entspricht dem hier – dem ähm – und was davor steht ist das Skalarprodukt – meines Basisvektor – toller Weise hin – und sie total zu verbessern ich formuliere es vielleicht mal – so – was hier davor steht ist das Skalarprodukt – meines Basisvektor – Smith der Funktion dieses CN – hier – hat die Rolle von diesem ?? X und von diesem AY von dem AZ – Skalarprodukt – Basisvektor – mal jetzt hier die Funktion – dieses Ding ist also – das Skalarprodukt Gewissen schon in Skalarprodukt – gilt Skalarprodukt war einst durch zwei Pi von null bis zwei Pi – Basisvektor – mal die Funktion – Basisvektor – Komplex korrigiert meine Funktion musste einen drinstehen Skalarprodukt – Vektorego – INT – Komplex korrigiert – minus – INT – mal die Funktion – F von T – bitte – ?? machen – das – ganze bezieht – ?? das ist die Foyerreihe – ist es nichts anderes als was sie von den Pfeilen kennen – das sie einen Weg zur zerlegen können in eine Basis – ?? noch was dazu warum das hier so einfaches mit den zerlegen – genau dasselbe mache ich jetzt hier mit den Funktionen – nichts lege eine Funktion – in – diese Basis hier – das meine Basisvektor – in bestimmten Anteilen wirklich diese Anteile – mit Skalarprodukt – hier steht das Skalarprodukt das es nichts anderes die Foyerreihe was hier steht zum Ire über alle – Funktionen dieser Sorte ignorieren Tee das es meine Basis wie hier über alle drei Basisvektor – summieren – zu mir über alle Funktionen dieser Sorte – und in das passende vielfache – Lizenz – sind bekanntermaßen – die komplexen Foyerkoeffizienten – an – Jan die Rolle wie die Ar X Alb sein RZ hier – Artikel ich die genauso mit an Skalarprodukt – Version – aufgeschrieben – ist CN – ist also zwei Pi mal Integral – Version ist die Foyeranalyse – gegeben meine Funktion kann ich sie analysieren – als ob sie mich nie – irgendein Stoff analysieren – gegebene Funktion gleich analysieren – kann sagen wie viel von dem INT drin ist dem integral – gibt im Foyer Koeffizienten – und ich kann mal Funktion synthetisieren – sie mir kein Stoff dann darstellen – an gegeben diese Koeffizienten – mal meine – Grundschwingungen – alles auf summiert – die Funktion wieder ein bisschen was dazu sagen dieses Gleichheitszeichen – davon nicht zu streng nehmen – nun das passt nicht so hundertprozentig – was im Prinzip – auch das mit dem Leiterzeichen – hin aber an einigen Stellen – vielleicht nicht für einen Gezeiten Beistrich – auf jeden Fall erst mal diese Analogie – wenn sie die Analogie drauf haben ist der Rest eigentlich – total billig – User sagen warum das so einfach ist warum kriege ich hier diese Anteile – so einfach Form kann ich hier einfach das Skalarprodukt – bilden Basisvektor – mal der Wechsel zerlegt werden soll – mal diesen Vektorraum kann nicht so einfach sagen was davon drin ist von diesen Vektor – was für eine Eigenschaft hat diese Basis damit das – klappen kann – was wir haben zwei wesentliche Eigenschaften – alle haben ✂ die Länge eins Länge eines offensichtlichen – eins Quadratwurzel Quadratwurzel Quadratwurzel – alle haben offensichtlich die Länge eins und alle stehen senkrecht aufeinander wenn sie ?? Skalarprodukt – bilden der mal den einmal null plus Nummer Eins plus Nummer null gibt ?? genauso bei den anderen – so ein Ding nennt sich eine Orthonormalbasis – schreibt dasjenige schreibe ich letztlich in ?? das ist keine Feldwaldwiesenbasis – sondern sie eine ganz besondere Eigenschaft – diese Vektoren haben alle die länger eins – und stehen paarweise senkrecht aufeinander – genau das – sorgt dafür dass ich hier diese – vielfachen so bestimmen kann mit Skalarprodukt – ähm – dieser Vektor eins null null wenn ich mit dem multipliziere – kriege ich nur die Komponente in Richtung eins null null weil die anderen Komponenten senkrecht dazu stehen – unter Skalarprodukt als senkrechte rausschmeißt – dieses Ding gibt nur die Komponente in Richtung eins null null und auch in der richtigen Größe ständig vor sieben zwei null null modifizieren – ?? Bagdads weiteren – eins null null eins sorgt dafür dass es auch im richtigen – Verhältnis kommt – das ist der Trick wesentlich einfach hier über Skalarprodukt – diese Zahlen stimmen kann der Kredit auf dem zu Grunde – bei der Foyerreihe – diese Funktionen hier sind ebenfalls – außerorts – das so schön heißt senkrecht – normiert – in die zwei davon nehmen in der Skalarprodukt – rein zwei verschiedene – ?? verschiedene davon nehmen das Skalarprodukt dreizehnte null raus das ehrlich vorgeführt in den alten Videos – wenn sie zweimal dieselbe nehmen das Skalarprodukt – können Sie eins raus das Quadrat der Länge von dieser Funktion ist eins – effektiver das Ding ?? die ganze Zeit den Betrag eins – kein Wunder Effektivwert ist eins – als auch diese hier sind alle senkrecht aufeinander und haben alle die Anfangszeichenlänge – Norm betragen – eins deshalb geht es hier mit dem Skalarprodukt wies hiermit in Skalarprodukt gegangen ist – da steckt eigentlich hinter der Foyerreihe – beziehungsweise der komplexen Foyer weil jetzt erst mal – an – diese Basis natürlich nicht die einzige – andere Basisbasis – zum Beispiel – diese hier eins null null – waren – null ein halbeinhalb – null ein halb minus ein halb – mit den drei Vektoren – kriegen sie auch – alles dreidimensionale – aufgespannt – die bilden definitiv eine Basis – welche Eigenschaft es jetzt aber verloren gegangen gegenüber der Standardbasis – ja nicht die Länge eins der hier – wie da die Länge ✂ bilden – den Quartieren Ding fertigen also ein viertel plus ein viertel macht ein Halblänge – ist also einst durch Wurzel zwei bei dem ?? und genauso – diese beiden hier unten haben nicht mehr die Länge eins in die Länge einzig wozu zwei – es stehen aber immer noch alle senkrecht aufeinander – der hier mal den Skalarprodukt – einmal null Plus nur mal ein halbes Nummern hat – unter der hier mal den – null mal null – plus ein halb mal ein halb plus ein halb minus ein halb gibt auch null und so weiter – die steht immer noch alle senkrecht aufeinander – nur der zweite oder dritte haben nicht mehr die richtige Länge sozusagen – sowas ähnliches haben wir bei Foyer auch – was passiert bei Foyer – analog dazu – da sind wir bei dieser Art Foyerrei zu bauen mit Sinus und Kosinus ✂ schreiben – also Foyer jeweiligen Sinus und Kosinus – da kommen die vor – eins null null natürlich weiterhin die Funktion die auf – die ständig in der Einfahrt – und hier – das können wir auffassen – wie zwei für die Funktion die den Kosinus – liefert – oder die Funktionen – die den Kosinus von zwei vierzig fachen der Zeit liefert – und so weiter – diesen alle von dieser Sorte wenn man will – die sind zu kurz – ?? was zu sagen Punkt hier können war verzagen diesen von der Sorte wie Sinus – das wäre die Analogie – oder der Sinus – von zweiundvierzig – fachen – der Zeit und so weiter – wieder unendlich viele die bilden auch eine Basis – die andere Sorte eine Foyerbasis – zu machen die virtuelle Foyerbasis – zu bilden eben aus großen Sinus – und gleich Spannung – also alle Arten wie man großes Ypsilon – so verzieren kann dass man zwei Titelfunktion – kriegt deshalb Kosinus direkt mit der Periode zwei Pi – Kurses von zweiundvierzig – und so weiter wären groß X mit – zwei Pi durch zweiundvierzig – als Periode – und so weiter man kann es auch mit denen hinkriegen – die stehen auch weiterhin senkrecht aufeinander ?? Skalarprodukt – ?? ausrechnet – sind die alle null zwei verschiedene davon nehmen kriegen sie immer wunderhübsch null raus fertig vorgeführt – das was einen nervt ist aber wenn sie zum Beispiel – den Kosinus hier mit sich selbst modifizieren – klingt ein halb aus genau wie hier und wenn Sie den Sinus mit sich selbst ?? beziehungsweise ein halb raus Beistrich dass nach ?? zeigen und das passiert – dann – wenn ich sowas bilde – Sinus Quadrat – von T – DT von null bis zwei Pi durch zwei Pi das wilde Skalarprodukt – von Sinus mit sich selbst – war – der Sinus macht eine hübsche – Schwingung – von null bis zwei Pi – wie sieht Sinus Quadrat aus – der negative Teil wird irgendwie hochgeklappt aber Vorsicht hier wo ✂ ich dicht an der – Teeachse – bin – der kritisch vertretenen Werte die noch dichter sind die Gitter so Parabel förmlich los – bekommt die oben sich wieder bei der eins an – die Muster habe für mich wieder untergehen – sehr gut gelungen und das hier – selbst verfahren – ?? das negative Vorzeichen des Papieren wegfällt ?? dasselbe Verfahren – unterziehen sie ohne das in Formelsammlung bemühen – sicher schon wieder Business ?? Schwingung – die zumindest außen ist doch tatsächlich riesiges Vermögen Schwingung – mündet das integral bilde – diese Fläche – also diese Fläche hier – das ist dieselbe Fläche – die hier drüber nicht – ?? das integral der roten Kurve das integral von Quadrat von Sinus ist die Hälfte – von dem Rechteck mit Breite zwei Pi – und für eins – Fläche unter der roten Kurve dem Quadrat vom Sinus – das ist die Hälfte – von dem Rechteck – Komma – die Komma hier die Hälfte von diesem Rechteck – das ist die grüne Fläche – als hier zu einfarbig – das selber unnormal drauflegen können anders geschnüffelt – als die Hälfte – also – die grüne Fläche ist – zwei Pi Halbe – zwei Pi – mal eins Landfläche durch zwei zwei die halbe – durch zwei Pi ist ein halb was ich behauptet habe – also – das Quadrat – der Norm von diesem Sinus – ist ein halb dass die zu durch mit dem großen großes G zu durchtrainiert sein vierzig Date ändert sich – diese Funktionen haben also ärgerlicherweise – nicht – die Länge – Betrag die Norm eins sondern nur eins durch Wurzel zwei die Musik großes S Quadrat – das entspricht dieser Situation des ein bisschen vorsichtiger sein – diese Koeffizienten – muss ich dafür ausgleichen – die Funktion sind zu klein – jährlich einen Wert nach ?? stehen mit diesem großen zu klein ist Funktion ist zu klein und hier die Fonds uns auch noch zu klein – beides mal um Faktor Wurzel zwei zu klein – das Ausweis zusammen bundesweit vertrat insgesamt um Faktor zwei zu klein – da kommt – so ein ärgerlicher Faktor zwei her – das ganze etwas – asymmetrisch macht und schön macht also die Foyerreihe – jetzt mit Sinus und Kosinus ist meine Funktion ist – dann – gleich Spannung – was total komisches aussieht ?? null halbe – ?? und wird zeitgleich fast gleich Spannung – los und jetzt zu niedrig über alle Sinus und großes M bisher – immer die gleiche Spannung dann alle Sorten Sinus und Kosinus – über alle Sorten siebzehn Kosinus – jetzt aber – nur in eins bis unendlich – bei den komplexen – Komplexen in das ?? mit negativen in – die brauche ich alle namentlich – alle Funktionen bilden kann hier jetzt nur die positiven von eins bis unendlich – unkonventionell – sagt man jetzt aber ähm mal den Kosinus – Mister groß X wichtiger Wetterbericht für die Aas – NT – plus B Ende dieses nicht so wichtig Beistrich dass B bei den Sinus – sieht das aus einer Überlagerung – von großen Sinus mit passenden – Koeffizienten – lassen präzisere Ellenfoyerkoeffizienten – A null – das Doppelte der Gleichspannungeinsatzleiter – und so weiter B eins B zwei Details gibt kein B null – und die Formel – für diese Koeffizienten – ist – ziemlich nahe liegend – die Aas – in allein – dieser aß – diese Wellenfoyerkoeffizienten – Beistrich – in dem ich mit dem Kosinus – multiplizieren – Funktion mit den Kosinus modifizieren – und integrieren – über eine Periode – bei den – Ehebruch Soundsofunktion – die Daten ja den Betrag eins bei den Ehebruchs unserer Funktion stand hier – einfach das Skalarprodukt – Kurses und Sinus aber zu kurz wie schon gesagt insgesamt wird mit Faktor zwei – Punkt man macht den Trick das meine Faktor zwei einfach hier bei den Koeffizienten – dazu schlägt das aus zwei durch die Periodenlänge – ist es nicht das Original Skalarprodukt sondern das Doppelte von dem Original Skalarprodukt – auszugleichen – ist der Hosen sozusagen zu kurz ist – dieselbe Formel für den Sinus – zwei durch die Periodenlänge – null zwei Pi als über andere integrieren – sie – von T – DT – diese Form erhoben – wird netterweise – ab null aufwärts – Istanbul hatte eine Sonderrolle – Beistrich denn Extrawurst – vor der Summe – die diese BNC Variante – eins zwei zweite nicht – gleich – eins zwei – und so weiter – mit dem A null – das A null angucken A null ist das Doppelte des Skalarprodukt – besteht dann eigentlich – im integral – Skalarprodukt wovon Fen gleich null ✂ der Kosinus wird ein Verein gleich null ist es die ganze Zeit der Kosinus eins ist das integral einer Funktion da durch zwei Pi – dieses hier wird für einen gleich null der Mittelwert meiner Funktion – das was ich eigentlich als Gleichspannung – haben will den Mittelwert meiner Funktion – mal zwei – durch zwei da kommt dieses komische durch zwei her Sinus und Kosinus sind alle Faktor – Wurzel zwei zu klein – für meine Schichten deshalb hier der Faktor zwei davor – nur mit – null – A null da muss ich jetzt wieder gegen Georgien deshalb steht hier traditionell A null halbe A null ist hier in diesem Spiel nicht gleich Spannung sondern – das Doppelte der Gleichspannung – hat sich historisch so ergeben – sich für haftbar zu machen – er anders bei der komplexen Foyer rein natürlich zehn null – C null ist direkt einfach der Mittelwert – das was vergleichbar – das ist – so schön viele Nahtstellen – die Foyerreihe – wenn sie Idee haben Vektoren funktionieren – wieder Skalarprodukt funktioniert – ist die Foyerreihe – eigentlich geschenkt – mit so leichten Fußnoten warum kann ich jede Funktion so bauen aber das hat letztes Mal – angedeutet Komma wirklich jede Funktion zu bauen kann jede vernünftige Funktion sind jetzt leider zwei Funktionen – bei dem sich so hundertprozentig – hinhaut aber hinreichend gut Punkt ✂ ich dass sie aufgeschrieben habe ?? bisschen irritierend ich meine dieses integral – ausrechnen – gibt eine Zahl für jedes endliche – Zahl – nicht mehr von TA und dann setz ich das hier oben eine Variable Zeder oben – hat nichts mit der variablen Täter unten zu tun was mal das etwas klarer in dem das Tier unterstreiche – das hier wird integriert – mit T Unterstrich – gibt mir irgend eine Zahl gefällt unten raus für jedes ähm Wetter und Zahl raus – wenn ich die da einsetze – kann ich auf diese Weise meine Originalfunktion – wieder kriegen – dann – natürlich beide Schritte ineinander machen das wäre blödsinnig Komma typischerweise entweder das eine oder das andere hier unten die Foyeranalysefunktion – ist gegeben – ich rechne aus was die Koeffizienten – sind welche Sinus Vermögen Schwingung drin sind Feierabend – oder ich mach das andere gegeben die Koeffizienten – Beistrich aus was denn die Fusion ist für die Synthese – dass sie auf einen Schlag ineinander zu machen gibt er nicht viel Sinn wenn ich Funktion habe – sicherlich Ex auf diese Weise wieder – ausrechnen