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09A.5 Lotka-Volterra, Räuber-Beute-Modell, Differentialgleichungssystem


CC-BY-NC-SA 3.0

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?? – die Biologie an zu allem Überfluss – und zwar ein System – aus – Raubtieren – und Beutetieren – mit B bezeichne ich mal – die Anzahl der – Beutetiere – und mit R bezeichnet die Anzahl der Raubtiere – mich interessieren – jetzt die zeitlichen Ableitungen – wie ändern sich diese anzahlen – so zu viel Beutetiere – pro Tag oder pro Stunde pro Jahr ist die Änderung genauso für die Raubtiere – an die Änderung und Zeitintervallen – was passieren soll ist folgendes – dass die – Beutetiere – sich vermehren – von selbst – und dass sie von den Raubtieren – gefressen werden – diese beiden Prozesse – und die Raubtiere – sollen Altersschwäche sterben – und sich umso mehr vermehren – je mehr Beutetiere sie fressen – Vermehrung – proportional – fressen – Vermehrung – proportional – fressen – waren – nach dem Massenwirkungsgesetz – von eben müssten sie das im Prinzip hinschreiben können die dümmsten Ausdrücke die man sich vorstellen kann und das zu motivieren die Beutetiere soll sich von selbst vermehren – sie werden von Raubtieren gefressen die Raubtiere – sollen von selber an Altersschwäche sterben – und – sie sollen sich vermehren je nachdem wie viel sie fressen an den Beutetiere – und war das Sinn hat ab sofort schon – den – Schweinezyklus – wenn sie wollen modelliert man ab sofort biologischen Zyklus – dastehen als Differenz A Gleichungssystem ✂ die billigste Art der Vermehrung – aus mathematischer Sicht – ist Zinseszins – die Differenzialgleichungen – für Zinseszins – sieht das aus die Ableitung – des Kapitals – nach der Zeit – was schreiben Sie hin ✂ Il – Alpha soundsoviel – mal das Originalkapital – das ja mit dem Zinssatz zu tun – wenn sie doppelten Zinssatz haben steht hier die doppelte Zahl die Änderung pro Zeiteinheit – ist ein Vielfaches – des Kapitals was ich gerade habe – das liefert – den Zinseszins – beziehungsweise – wenn sich eine negative Zahl davor stehen haben und sie dann exponentiell zerfallen – probieren Sie so effizient zu stricken – dass die Beutetiere wenn sonst nicht anders passieren würde – quasi mit Zinseszins ausgezahlt werden ✂ wenn es nur den ersten angucken das vermehren Rest ignorieren – die von mir aus Hasen hier – soll sich exponentiell – vermehren – an – ihr steht auf dieser Seite und sie wollen Hasen pro Tag die Änderung – der Anzahl der Hasen in Hasen pro Tag oder Hasen pro Jahr bei der ?? pro Minute wenn's ganz schlimm wird ähm – diese Änderung wie viel Hasen pro Tag kommen dazu die sollte doch proportional – sein zur Zahl der Hasen wenn es schon doppelt so viele sind – dann sollten auch doppelt so viele wieder dazu kommen – und schreibt – Konstante davor haben sie dasselbe loswerde eben fürs Kapital – Zinseszins hatten die Änderungsrate – ist proportional – zur aktuellen Anzahl sind so haben sie exponentiell Wachstum – beim Personal ?? normal – zu sichern ist uns das angucken – das wenn sich hier – als Lösung ansetzen wenn das alles wäre – in dieser Situation ist natürlich nicht alles aber wenn das alles wäre was wäre ihr Ansatz zur Lösung ✂ so damals also – etwa darf und so natürlich – eine – lineare Differenzialgleichungen – mit konstanten Koeffizienten eins – Alpha – homogen Verein – Ansatz wird zwangsläufig eine Spezialfunktion – die hoch irgendwas – mal die Zeit – das angucken Ausrufezeichen Wasser natürlich Alpha wenn ich ableite muss das Alpha dazu kommen – so – mal eine Konstante – nach vorne – und konstanter sofort die Bedeutung die der Anfangsmenge – an Zinseszins – winzig T gleich null setzen – sie dereinst – rauskommen – soll ?? sind circa hundert Meter steht schon die Lösung das wäre die Lösung – kein Anlass mehr – exponentiell – Wachstum wenn die – Änderungsrate – die Ableitung nach der Zeit wenn die Änderungsrate – proportional – ist – zur ?? zum Wert haben sie ein Ex Managerfunktion – XSL Bags sind Alpha größer null unser Fall oder exponentiell zerfallende ?? verkleinern – so das zu den ersten Ter – den Hammer jetzt abgehakt – waren sie die anderen drei auch noch dazu ✂ am – Anfang erst mal hier an – das einfachste mit dem Sterben – der Raubtiere – die dümmste Art das Gegenteil von Wachstum zu machen – ist expliziter Zerfall die schreiben hier minus – wasserdicht wie die Konstante nennen soll die Laune nicht gleich später habe ich immer Gamma – German mal – ja so jetzt habe das mit dem Sterben die sterben wie – Plutoniumsatome – sterben – XSL Zerfall was natürlich ein super schlechtes biologisches Modell ist – man sich am finanziellen Zerfall vorstellen – es gibt ja Atome die – super superlange – Leben – liege zwar den Füchsen garantiert nichts dass – die Zerreißprobe – für die Füchse wird der eher so aussehen – wenn die – Füchse die – Mindesthaltbarkeit – erreicht haben – ist ein ?? Feierabend sicherlich – finanzieller Zerfall Gänsefüßchen zu – total billiges Modell – wird aber schon zum wichtigen Effekt – so – ähm – bei dem gefressen werden – muss man jetzt einfach – an das Massenwirkungsgesetz – wieder denken – wie häufig treffen sich – Hasen und Füchse – Beutetiere und Raubtiere das muss proportional – zur Anzahl Sein – ist ein mal – die Anzahl des anderen muss das Produkt stehen B mal eher – wie häufig sie gibt sich die beiden treffen – die – Beutetiere – werden gefressen das heißt die mussten minus stehen die Rate ist negativ – da diese satt sind heiratest – negativ das führte dazu dass die Zahl der Beutetiere nicht verringert und irgend eine Konstante – diese Konstante sagt was darüber wie – tödlich diese Treffen sind die größeres Wetter ist – desto größer die Wahrscheinlichkeit – dass beim Treffen der Hasen nicht überlebt – dass es der Zahl und die Vermehrung ist es umgekehrt – wenn sich – Füchse und Hasen treffen – werden die Füchse die Raubtiere – sich vermehren ?? unbeschreiblicher – Flussdelta – noch davor – und hab sein Vermehrungseffekt – das ist Totalroute – hat aber – die richtige Wirkung – äh – dieser Art von Differenzialgleichungen – ins Lotka wollte Ra nach den Erfindern – haben deshalb mich in so kurzer ?? das noch mal in der Tabellenkalkulation – gehängt das man wirklich sieht was – das das passiert was man erwartet – dann – die Zahl der – Beutetiere – geht rauf – wenn die Zahl der Beutetiere rausgeht – geht auch die Zahl – der Raubtiere – mit Verzögerung – auf über die Zahl der Raubtiere mit drauf geht – ähm geht die Zahl der Beutetiere wieder runter bei der mir Beutetiere – gefressen werden aber die Zahl der Beutetiere – untergeht – haben die Raubtiere weniger zu fressen also geht's daraufhin die Raubtiere – und wenn es Fingerraubtiere – geben die die Zahl der Beutetiere wieder rauf und so weiter – die Phasenverschiebung – ganz schön hingekriegt – erinnert zu bisschen Sinus und Kosinus ist aber nicht hundertprozentig Sinus und Kosinus – ?? auf jeden Fall zum Zyklus hin – die das – tatsächlich mal lösen – an der Ärger ist das Komma nicht in geschlossener Form lösen – das Gesetz nicht hingeschrieben mit Sandy Sinus und Kosinus und N – Anthem man kann Gesetzmäßigkeiten – angeben es gibt eine Erhaltungsgröße – sowas wie der Eckenergieerhaltung – was ähnliches gibt es hier aber ich kann nicht ausdrücklich – Lösungen hinschreiben – B von T ist gleich bla bla bla mit ordentlichen Funktion – kann – man gerade sagen was ist denn das für ?? Sorte an Differenz A gleichen überhaupt ✂ erste Ordnung nichtlineare – Systeme ?? er macht es nicht länger bin hier nur B stünde oder nur er stünde – eine der gesuchten Funktion alleine dann wäre es linear aber so ist es nicht den Jahr und das ist ziemlich eklig – mag an diesem paar – Tricks noch überlegen sie können zum Beispiel einen Fixpunkt – finden X Punkt – eine Stelle an der – nichts passiert ?? es gibt eine Kombination – von der Anzahl an Beutetiere und Raubtieren – bei der kein Zyklus stattfindet bei der die Anzahl fest gefroren ist wenn sie's nämlich schaffen die Zahl der Beutetiere und der Raubtiere so einzustellen das hier nur rauskommt – und dass hier nur rauskommt zwei Gleichungen zwei unbekannte – typischerweise gehen – dann heißt das die Raten ändern sich nicht alles gibt eine Art – soll sagen Bevölkerung im Wald immer die Zahlen wählen kann und die bleiben konstant gleich – und dass man den Schweinezyklus – hat – ansonsten hat man Amazon – Schweinezyklus – drin das kann zum Beispiel der hieraus ablesen – aber es gibt keine – ausdrückliche Lösung in – handelsüblichen – Funktion – ?? und eine Sache muss ich auch noch dazu sagen – es in der ganz vielen Ehrungen drin hier – einen – essenzielles Wachstum – für die Hasen – das geht innerhalb ich durch exponentiell Zerfall – für das Sterben durch Altersschwäche – ist nicht gerade so – Ticket als Modell – schon auf Komma – es gibt eine ganz andere – ganz wesentliche Geschichte an der das hier kein gutes Modell ist für die biologische Wirklichkeit – ähm sie das vorstellen ?? – B – B ist die Anzahl der Hasen ich leite nach der Zeit ab – was für anzahlen sind ja eigentlich alle erlaubt ✂ ?? B können hier reelle Zahlen sein wenn sich die Kurven dann angucken – unter der Lupe irgendwelche Verlaufskurven – haben sie das unter der Lupe angucken – sind das lediglich durchgezogene – Kurven ich habe hundert Hasen hundert – eins – ?? hundert Komma drei neun Hasen nur hundert Komma vier fünf sechs sieben Hasen so weiteres Wort gebrochen zeilige Hasen am geschlossenen Einheiten – das ist natürlich kein prägendes Modell außer ich habe sehr viele davon also das ergibt nur dann Sinn wenn sie wirklich Tausende hundert tausende – von denen haben sobald sie hier nicht auf die Achse Komma dass sie wirklich sehen müssen ein Hase zwei Hasen drei Hasen und eine letzte hasegefressen – ist oder den letzten beiden Hasen ?? sagen gefressen sind deines Feierabend – Eltern geht die Kurve nicht mehr auf all das – macht dieses Modell natürlich nicht mit der sich die Differenzialgleichungen – schreiben ganz böse Vereinfachung die nur funktioniert wenn ich sehr viele – Hasen und Füchse habe – dasselbe natürlich ähnlich wie der stürzt kein weiß sowieso immer fand das Billionenteilchen – habe und nicht ein einzelnes Atom ein einzelnes Molekül – an – Denkmäler nicht viel über Nacht aber sobald sich etwas biologisches simulieren und tatsächlich kleine Zahlen haben können die letzten – zehn Blauwal oder was auch immer dann haut das so nicht hin – weil sie hiermit damit gebrochen zeitigen Bauweisen rechnen wir zum Schluss null Komma null null null eins drei sieben Blauwale über sind kann es immer noch wieder – die Regulation draufgehen das passiert natürlich in Wirklichkeit nicht also Vorsicht an der Stelle das ist sehr viel – klüger reicht es ihm ein mathematisches – Modell es ist nicht die Wirklichkeit