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01A.1 Vektorraum, Untervektorraum, Basis, Dimension


CC-BY-NC-SA 3.0

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derBegriff VektorraumPunkt warumanich habe Vektorendie ich agieren kann eine Vektoradditionmit den üblichen GesetzmäßigkeitenVektoradditionzu auf einen Vektorraum gibt es streng genommen nicht nur Vektoren sondern der zumindest dazu gehören auch skalarZahlenheißt das die zahlreichenScanhaaredamit den ich Direktoren modifizierenkann Multiplikationmit einem skalarmit einer Zahlskalar nicht zu verwechseln mit dem Skalarproduktdas Kind ja schon aus der Physik Skalarprodukt seine Geschichte weg Komma Vektor gleich skalardieses hier ist Multiplikationskalar mit einer Zahldas die beiden Sachen jeder Vektorraum können mussAddition von Vektorenin ein Vektor mit den üblichen GesetzmäßigkeitenPublikationmit einer Zahl mit den üblichen Gesetzmäßigkeitendie müssen auch noch ordentlich zusammen spielen ?? RasmussenatDistributivgesetzgeben wenn sie rechnenlangsam mal die Summe zweier Vektorenwie muss ich das schreiben könnenichmuss ausklammern können genausolangsamer A Pluslander mal wie es muss aber noch zwischen diesen beiden Operationenfunktionierendas macht ein Vektorraum aus ?? Lektoren Komma ?? nicht allein kommt man zusammen mit Kanaren zahlenund im Praktikum ?? schon gesehen ?? die üblichen Pfeiledie können Vektoren sein aber man kann auch Funktionenals Vektoren auffassen ich kann Funktionen agieren ?? punktweiseaddierenund somit Zahlen multiplizierenPunkt was mit Zahlen modifiziertund Schubs sind Funktionen auch Vektoren im mathematischen Sinne weilAddition und Multiplikationmit den üblichen Gesetzmäßigkeitenfunktionierendie einfachste Sonnen sorgte ein Vektorraumman sich jetzt nicht auf die üblichen R zwei R dreieinschießen wäre die einfachste SonnenvektorraumistUntervektorräumezu bilden vom R zwei und vom R drei Mann nimmt Vektorenaus diesen Räumen aber nicht alleinDeckung muss mal drei von an Punktoder muss man drei Kandidatenan und sie überlegen sich sind das Vektorräumenennt sich dann Unterräume weil sie alle Teil des R drei sind Besonderes Teil eines anderen Vektorraumssind das Vektorräumeähmwas wäre gegebenenfallswenn das ein Vektorraum geweiht ist was wäre gegebenenfallseine Basisund was wäre dann gegebenenfallsdie Dimensionwenn es einVektorraum istund zwarfolgende dreialleVektorenX Y Z aus dem R drei nicht alle sondern ebenUnterraummitY gleich dreizehnwäre diese Menge wieder ein Vektorraumoder nicht und wenn ja was wäre eine Basis und wenn ja was wäre DimensionalleVektorenX Yund so weiteraus demersiebenAufwand dannmit Y ist gleich zwei Xund alleVektorensenkrechtKomma so die senkrecht zu eins zwei drei sinddem R dreiin diesem Fall geht tatsächlich um ganz handelsüblichePfeile hier bei dem letzten bei dem erstenüblichen Anschauung gegen sich in der handelsüblichen Pfeile sondern wenn sie wollen sieben dimensionale Fall aber nicht alle jedenfallsnicht alle wenn das Vektorräume sind also dann auch Unterräumesind Teil eines anderen Vektorraums mit derselben Addition und derselbenModifikationbezahlendie Kunden sich mal anist das jeweils ein Vektorraumwenn ja was könnte eine Basis sein als ein Satz an Vektorenmit denen man alle von diesen Vektoren erzeugen kann?? aber nicht zu viel sind keinenVektor darf zu viel sein der Basisund die Anzahl dieser Vektoren in der Basis dann automatisch Dimensionenwie zwei Vektoren brauchen um alle anderen zu erzeugen und es geht ?? mit weniger als ?? wäre Dimension zweidas muss man deshalb stundenlang anich seh das ?? schon bisschen weit bin ich ?? mal erklären ich frage mich ob diese sie ein Vektor ist ja das ist ein Vektor im R drei ich möchte wissen ob diese Menge hier alle ?? Substanzen aus dem R drei mit dem Vergleich dreizehn ob diese Menge ein Vektorraumist ein Vektorraum ist mehr als eine Menge von Vektoren ein Vektorraum ist eine Menge von Vektorendie mit den üblichen Regeln agieren kann die ich mit Zahlen multiplizieren kann mit den üblichen Regeln Addition und Multiplikation müssen Zusammenspielmit den üblichen Regelnmuss um ?? wissen welche Zahlen das sind typischerweiseein Zahnalso meine Frage ist hier wenn ich folgende Mengen nehme?? Substanzendreizehnfolgende Mengen nehmeneher sowas wieeins dreizehnzweiundWurzel zwei dreizehn minus Piund so weiter alle Vektorenaus dem R dreidieser Artund keine andereeine Frage ist ob das hierein Vektorraum ist oder nichtStückchen klarer was ich eigentlich will Punkt ist das ein Vektorraum und wenn ja geben seine Basis an und die Dimension hineinkann man eben keine Basis anbieten kannwenn das ein Vektorraumwärewenn doppelt unterstrichenwissen noch nicht wennwenn das ein Vektorraum wäredasVektorraum wäre was müsste ich dann tun könnendannlassen sich dann insbesondere tun könnenwenn das ein Vektorraum wäre ja dann müsste ich die mit Zahlen multiplizierenkönnen und das Ergebnis müsste wieder in diesem Vektorraum liegen ich müsste die beiden addieren können und das Ergebnis müsste wieder in diesem Vektorraum liegenwenn das ein Vektorraum wäre dann müsste ich insbesonderezum Beispieldreimal?? zu schreiben dann müsstedann müsste insbesonderedrei mal der erste Vektorwieder in diesem Vektorraum seinFragezeichendas hier ist aberdrei neununddreißigsechsund das garantiert nicht in dieser Menge drin bei den zur Nummer dreizehn istalsokann das kein Vektorraum seindas es in Widerspruchnein das ist kein Vektorraumzum Beispiel aus diesem Grunddas dann das dreifache von diesem Vektorauch wieder in diesem Vektorraum sein müsste das dreifache von ihm weckt es aber drei neununddreißigsechs und es garantiert nicht müssen in dieser Mengevon Vektorenin denenüberall die ?? Koordinate gleich dreizehn SIS ja neununddreißigund nicht alsein Vektorraum ist nicht schlicht und ergreifend eine Menge von Vektoren ein Vektorraum ist ?? Menge von Vektoren mitsehr speziellen Eigenschaftennennenes musseine Additiongeben Vektor plus Vektor ist gleich Vektor mit den üblichen Eigenschaftenein Folgesee Galasubjektivitätund so weiterimmer wieder zum Zahn muss es geben zu müssen zusammen spielenund ganz als allererstes gehört dazu dass sie Vektoradditiondann natürlich auch wiederin diesem Vektorraumliegen mussvom Ergebnis her und genauso die Modifikation mit Kanaren wieder ein Vektorraumzum Ergebnissealso dieses Ding hierder erste Artikel startet aus dem R dreimit dreizehn das ist kein Vektorraum insofernkeine Basisangebensind ?? nach einer mal was zu Dimension aberdas man keine Basis angebenandas Ding besteht zwar aus Vektoren eine Menge von Vektoren aber es reicht nicht ?? Menge von Vektoren zu haben von Vektorraum diese Vektoren müssen zusammen spielendas hier wärekein Vektorraumkein anschaulichwenn sie das Innenraum eines Ortsvektorenalso X gleich ein siebzehn hundert dreizehngleich zweiund so weiter wenn Sie die alle in den Raum malen als OrtsvektorPunkt quasi werden im Raum was kriegen Sie dannversuchediese eben zumal Y gleich dreizehnX ist irgendwasKonzept ist irgendwasrecht sollte malYnach oben von mir ausjetzt möchte ich die Ebene malenaller Punkte bei den siebzehn Koordinate des Dreizehn ist und X und Z mir egal sindbislang seinerzeit gleich dreizehn seinoffensichtlich damitdannkeiner ?? dreizehn sein und die Zinssätzeegalsind sie zum Beispiel X und Z gleich null wählen ist das dieser punktgenau bei der dreizehnX gleich null vergleichen und dabei der dreizehn oder sie wählen X gleichzehnging so weit über das Venedigs gleichziehengleich dreizehn Z gleich null oder sie wählen X gleich null Y gleich dreizehngleich zehn ?? wieder den Punkte nach oben gegangenund so weiterund so weiterdas wird eine Ebene seindieparallelzur Zeitachse läuftdie aber parallel zur x-Achse läuft wenn sie hier nochmals werden ?? drüber zeichnen sie dasErgebnis parallel zur Zeitachse parallel zurx-Achseund sich dreizehn Einheitenjetzt quasiin die Zeichenebenerein nach hintendas istkein Vektorraum wenn sie die Ortsvektorenzu diesen Punkten bilden das keinen Vektorrauminsbesondereaus dem Grund das Vielfachenicht wieder enthalten sind in dieser Menge liegen woandersder gesamte Raum der gesamte R drei das ist ein Vektorraum dass es okayähm da kommt sie nicht raus wenn sie vielfache bilden aber aus dieser Menge hier aus dieser Ebene kommen sie rausein ganz ?? eine ganz wesentliche Eigenschaft von Vektorräumen ist insbesondere dasein Nullvektor dabei ist die Vektoradditionauf ein null Element oder modifizierenmit null empfing sie den Nullvektor aus Nullvektor muss immer dabei seinund in dieser Menge ist offensichtlich nicht der Nullvektor drinist nicht das was Winkels null dreizehn null das ist beim besten Willen nicht ein Punktdas ist also kein VektorraumEssen bisschen abstrakthabenaber es an anderer Stelle nach Abendsund Funktion als Vektoren wird sehr hilfreichdas einer verstanden zu haben was ein Vektorraum ist und was er nicht ist dieses Ding ist kein Vektorraumwie stets mit dem nächsten ich suche mir alleVektoren aus dem S sieben sind in diesem Sinne Vektoren im R siebensieben Zahlen sieben reelle Zahlen übereinanderund die zweite Zahl soll das Doppelte der ersten Seite zu gleich zwei Xist das für sich genommenein Vektorraumbeschreiben alle von dieser Sorte hintereinandereins zweinoch weitere fünf Zahlendrei sechs ?? noch weitere fünf Zahlen schreiben alle unendlich viel davon hintereinanderfrage ist das ein Vektorraumsodie zweite Aufgabe in meinemin der Tat das ist ein Vektorraum?? damit auf ein Untervektorraumgerissen Vektorendie Teil eines größeren Vektorraum sind mit den gleichenOperationen für Addition und Multiplikationführt mit ZahlenähmUntervektorraumwird das werdenja das ist ein Vektorraumdennkein strenger Beweisnur die anschaulicheDarstellung hier wenn sie sowas haben die dreisechs unterstehen einer fünf Zahlen drunterund nehmen das mal siebendas ?? natürlich weiterhin wirksam Koordinate das doppelte Daxkoordinatesein ?? Modifikation bezahlen ist kein Problemsiebzehn Koordinate bleibt das Doppelte der Exkoordinatewenn sie so starkwenn zwei Vektoren von dieser Art addierenwirksam Koordinate das Doppelte der Exkoordinatorsteht irgendwas?? natürlich das Ergebnis sechs plus zwei Pi das Doppelte von drei Plus Pi beim Addieren als auch das Doppelte agieren Punkt auch das Doppelte rauser sich streng aufgeschriebennur als Idee das ist also definitiv einVektorraumdamit ein UntervektorraumBasisdas ist anscheinend noch nicht so ganz klaraneine Basis ist eine Menge an Vektoren aus denen ich alle anderen bilden kannund diese Mängelvektorendie Basis darf nicht zu viel Vektoren enthalten statt einer zu viel seinansowas wäre nett mal eine Basis für die Ebenein zwei Vektoren die nichtparallel zueinander sind keine vielfachen von meiner sind damit können Sie jeden Vektor in der Ebenebauensie natürlich also das von mir aus eins Komma sieben fache von Vektor unten nehmenund dasDoppelte von diesem wegzunehmen und würde diesen Weg gebildet haben was wird schwieriger als negative Anteile braucht Beistrich wofür ??mit zwei Vektoren kommen sie in der Ebene hin ein Wunder zweidimensionaldie Anzahl der Lektoren in der Basis nennt sich dann die Dimension bei Vektorräumendes netterweise immer dieselbe Zahlwenn sie eine Basis bauenfür den er zweidas was man sollte die von der Ebene hatten die beiden Vektoren oder nehmen Sie die beiden Vektorendiese beiden Vektoren Hauptsache sie sind nichteherVielfache voneinander?? müssen zwei Vektoren sein sobald sie drei Vektoren habenfür die Ebene ist einer zu vielmit immer einen habenBeistrich sich alleine mit Billdas es diese Dimension Begriff die Zahl derElemente einer Basis ist immer dieselbePunkt das heißt die Dimensiondes Vektorraums viele Grundelementebraucht manum alle anderen zu bildensowie sich hierfür gerne eineganz dumme Basisum dann die Dimension abzählen zu könnendie können ähnlich viele Basen angebengerade für den ?? zwei schon mal so hin gemaltanich hätte gerne eine möglichst dumme?? die einfach zu kriegen ist und ich einfach sehe auch das isteine BasisKomma erzählen und sehen was die Dimension diesesUnterraumsdes R siebenbeiderwürde mir gefallen eins zwei und dann fünf nullwird ausgedacht mit dem S siebensoder würde mir gefallen ?? ist definitiv ein Vektor von dieser Artdes Y ist das Doppelte von demXund netterweiseein sehr einfacher Vektor dieser Art alle anderen Einträge sind nullwas sollte sonst noch dabei sein können Basisein weiterer Vorschlagzwei vier und dannNullenwas halten Sie von demer wäre schon über das ist ja ein das Doppelte von dem erstenblinken sie aus dem ersten wirkende wäre schon Überwegenicht in eine Basis dankbarich brauche einen neuen Vektor den ich nicht aus dem bilden kann waswäre ein sehr simpler Wechsel den ich nicht aus dem bilden kannnull null eins null null einsundvier fünf sechs siebengegen sie garantiert nicht auf den ersten bilden den ersten könnte mir noch ausmultiplizierendie Finger nicht eine dritte Stelle die einzelnenbleibt immer nur bisher durch so weiter denn schon Standardbasisich nehme null null null eins null null und zum Schluss nämlichnur das am Ende die eins eins zwei drei vier fünf sechsEurodas wäre eineBasis damit können Sie alle Vektoren bildendie so gebaut sind sie gegen das X vor?? dann folgt automatisch das Y rausdass diese mit den ersten HerrenX vorgeben soundsoviel mal denX mal diesen wegzunehmendenAnsichten gibst fertigmachen sich Z an ?? sowie Martin und so weiter und so weiter und die letzte Komponente mal denen haben sich jeden Vektoraus dieser Menge?? ist ein Vektorraum an Unterarm zusammengebautund keiner von diesen Vektoren ist überstandenletztlich mit den ersten bilden einen zweiten nicht mit den anderen bildenoffensichtlichunbefristet durch Wände nur dannkann ich jetzt sagen was die Dimension istjetzt die Filme so einfach Zählerndas ist der ersteist der zweiteMann der sich dabei garantiert verzähltamdenken sie rückwärtsin der Standardbasisfür den er sieben hätten wir eins null null und so weiter und null eins null null und so weiterzwei VektorenDritter und so weiter sieben insgesamtaber wenigstens zwei vorne sondern noch eine verliert eine Dimensiondas Ding ist nicht mehr sieben dimensionale stehensechs Vektoren drinkann das auch so lesen ich hatte eine Bedingungeine Bedingung kosteteine Dimensionsechstem Ernst sechs dimensionaler Raumähm das ist so nach ArtEbeneaber eine Ebenemit?? sagenunvorstellbarvielenDimensionenBeistrich von etlichen gemaltHyperebenesowaseine Ebene weniger als der Raum in dem standdas Januar zweiNummer dreisoder dritte hieralle Vektoren zu eins zwei dreisenkrechtmal versucht zu zeichnengehe einen nachrechts zwei nach hinten drei nach oben einen nach rechtszwei nach hinten drei nach oben aus dem Ursprung herausso könnte dieser Vektor ein zwei drei Aussehennach dem Visier Koordinatensystemlegenund nun interessieren mich alle Vektoren senkrecht zu diesem einen Vektorfeucht so einerund vielleichtso einen Versuch des pakistanischenzu kriegen und vielleichtdieser hiervonobenauf dieSpitze Draufmengealler dieser Vektorengeometrischerseitswas ziemlich geometrisches als wenn sie atmen alle diese Vektoren zusammen nehmeeinen Ursprungsheft und mir dieEndpunkte angucke??eine Ebene ja eine Ebene durchden Ursprung senkrecht zu diesem Vektor eins zwei drei das schreibt schon mal zwei Dimensionen ohne dass man bald aus gerechnet hat ?? dann Zeit an das schon mal einen Sack zwei DimensionsweiseEbenean warum ist das tatsächlich ein Vektorraum mit sie Einsamvektorhaben senkrecht zu eins zwei drei und sie nehmen ein Vielfachesdavondurch kein großes Wunder dass wir immer noch senkrecht auf dem steht als Modifikationist kein Problemganz ausführlich nachrechnenwenn sie zwei von diesen Vektoren haben senkrecht zu eins zwei drei bilden dann die Summedie Summeder eine rote senkrecht zu ein zwei drei der andere wurde senkrecht zu ein zwei drei damit natürlich auch die Summe senkrecht zur zwei Beistrichakkreditierte Skalarproduktbemühen um das nachzurechnenwill ich aber gar nicht tun das es geometrisch klaralles klappt mit demvielfachen Bundestag mit der Summedessen wieder Vektoren dieser Sorte alsoist die Antwort ja das ist ein VektorraumUnterraum des R dreiwir wissen jetzt schon anschaulichweil dieEndpunkte hiereine Ebene bilden ein solches klares Ding muss zwei Dimensionen haben?? weit schaffen es tatsächlich sogar eine Basis anzugeben ich brauche alsozwei Einträgein dieser Basiseine Basis zum Beispielkönnte das seinwasals ich brauche Vektoren offensichtlich während Skalarproduktmit diesem Vektor null ist damit die senkrecht drauf stehenerster Vorschlagder Nullvektordas müssen wir diskutierengenau der Nullvektor darf nie dabei sein bei der nichts Neues Punkt wie gesagt mit der Basis muss man alle erzeugen könnte soll keiner zu viel sein der Nullvektor ist immer zu viel wenn sie vorher stünde noch in anderer dabeidreizehn zweiundvierzigsieben?? und sie bilden jetzt alle vielfachen von Nullvektor plus alle vielfachen von dreizehn zwanzigste sieben die vielfachen von Nullvektor helfen mir war es über den Nullvektor ist nie in der Basis der?? immer überder ist zwar senkrechtzu diesem Vektor bei der Skalarproduktnull ergibtgeometrisch müssen das bisschen diskutierenist ein Punktsenkrecht auf einen Vektor aber in der Sprache derVektoren ja dass der Nullvektor tatsächlich senkrecht auf dem beide Skalarprodukt nun istaber soll ich bei der Basis das Beisein was wären Kandidatenbei der Basis dabei sein sollte oder könntezum Beispiel steht es gibt unendlich Basen zum Beispiel welche könnte dabei seinzwei minus eins null ist Sohnsieht man auch schon gegen üblichen Trick wenn ich einen Vektor braucheim R drei senkrecht zu einem gegebenen Vektorwird sich eine Komponente nulldie beiden anderen tausch ichsetze noch ein Vorzeichenfür drei Beistrich nulleins und zwei vertauschen setzt ein Vorzeichen organisierte Skalarproduktbildeneins zwei drei mal zwei minus eins nullkriegen sie einmal zweiminus zwei mal einsPlus dreimal nurDetails aus dem Spiel raus fallen die Null stehtund hierdurch das Vertauschen des Minus steht hier zwei minus zwei hundert hat dasalso einen auf null setzen die beiden anderen vertauschen ein Minister zu schreiben kriegen sie im ?? automatisch einsenkrecht eingegebenenist das funktioniertdamit ich einen ersten Vektorbraucht offensichtlich noch zweitenAnschaulichweiherklardass eine Ebene ist das zweidimensionalsein musswaswäre ein zweiterVorschlagminus zweieins nulles ehrlicherweiseüber den erstes minus eins ?? von dem erstenMeersnehmerminus eins Krise zweiten Haus des über gehören keine Basis ??ich brauche einen der kein Vielfaches vonden ersten ister würdest du in der Tat nulldrei zwei sieben dasselbe Verfahren an aber setzen X auf nullder würdest dudie beiden sind keine vielfachen von Hundebesitzer?? bei den null vierwenn derzweite ein Vielfaches vom ersten wäre müsste der zweite und auch Null stehen haben ist der zweite der fifa zum ersten ?? in der erst ein Vielfaches und zweiten wäre müsste der siehe oben ?? null stehen habennun mal irgendwasdie dann ich also ist keiner der beiden Artikel zum anderen verteidigte unsere relativ einfachwenn jetzt ein dritter dazu käme kommt er nicht ?? das ganze nur zweidimensionalkönnen Dritte dazu käme wär's schwieriger muss lediglich zeigen dass der Dritte sich nicht bilden lässt also so wie meine erste Person Komma der zweiteoder der zweite nicht bildende Satzung sowie bei der erstesdrittees geht nach ?? Matrizeneinfacherverstanden haben determiniert ?? zu Fuß nachvollziehen die beiden sind nicht parallelEssen zwei Stückdann schon anschaulich die Idee das zwei dimensionalesdas muss eine Basis seinund damitjemand schon ganz begründet an dieser Stelle die Dimensionistzwei von diesen unddiese hatten wirreelle Zahlenals Skala habe ich multiplizieremit reellen Zahlenwas ist wenn ich nicht zahlen nehmesondern vielleicht auch mal komplexe Zahlen nehmenwas es mit folgendemBau der C dreikomplexe Zahlen drei komplexe Zahlen über einander gestapeltbeim R drei sind drei Duelle zahlen sehr komplexe Zahlen übereinander gestapelt zum Beispiel ist darin folgendesPluseins plus zwei Knie oder Wurzel zwei minus Klima ?? Punktdreifünfteldas wäre so ein Element aus dem C drei?? komplexe Zahlen ineinander gestapeltähmund als Zahlen nehmen wir mal als Skaladie Menge der komplexenZahlen was ist dann die Dimensiongroß muss eine Basis fürdiesen Raum seines offensichtlich ein Vektorraumwie groß muss eine Basisfür diesen Raum seinZahlen komplexe Zahlen sind ausnahmsweiseLeerzeichenvor der Dimensionnormalen Basiswas wäre eine Mengevon Vektoren dieses Vektorraumsaus alle erzeugen kann mithilfe der komplexen Zahlenanalog zum R drei von Band doch mal anmit eins null nullbei dernimmer so weit sind ?? Klammer auf null eins null null null eins hinschreiben analog zur Standardbasisdes R dreiwas brauche ich nochein Vorschlag wäreI null nullwas halten Sie von demDenken sich schon aus demersten Villensinn in den erstenmal die meine Zahl sind es die komplexen Zahlensind in den ersten Mai Tieren haben den schon überwie viel muss ich da hinten also nochanfügen Weitervektorenschon fertig das Systemdie Standardbasiswie beim R dreiund das war's??ich gucke mir meine Exkomponentean Einfluss zweimal die also nämlich eins plus zweimal ihm mal diesen Vektorwurde zwei minus Klima Lima diesen Vektor und drei plus fünfte Mai den Weg zur Adidas zusammen und habe den ?? befindet sich allgemein durch das ist schon fertig als Basis für denC dreidas heißt die Dimensionwäre dreisoweiteinverstandenmit erhöhen wir den EinsatznunNetz sage ich malokay die skalar sollen nicht die komplexen Zahlen seinsondern die Wellenzahlendas wäre dann eine Basissie können alle diese Vektoren ja auch mit reellen Zahlen modifizieren ähm sie den mal dreidrei plus sechs Maniedramawurzelzwei minus drei und so weiter und so weiter kein Aktion die mit reellen Zahlen zu modifizieren wird funktionierenwie könnte da eine Basis aussehen wenn ich die virtuellen Zahlen als Skalada könnte sich nur da muss esIhnengenauso brauchen eins null null null eins nullnull null einsgewissermaßen?? damit sie wird nicht die null nullkeinen mit reellen Zahlen unddas ?? zu nehmen ?? null nullnull I nullnull null diewunderbarhabe ich eine Basisund sie sehen ?? je oh Schreck dasselbe Ding dieselben Vektorenunterziehen sie Dimension sechsalso vorsichtig in der Mathematik mit dem Dimensionsbegriffdas bisschenwas anderes als was man sich sonaiv drunter vorstellen kann Beistrich hates hängt von der Menge der skalarvon denRechenoperationenwas auch immer was damit jeweilsähmdie Dimension des wenn sie komplexe Zahlen zulassen als Zahlen dann kriegen sie aus diesen drei Vektoren alle gebildetwenn sienur bezahlen zu lassenbringt mit diesen dreien nicht alle gebildet sondern sie brauchen zum Beispielnoch diese drei auf jeden Fall wird die Dimension sechster Basis hängt von denbislang äußeren Umständen ab wie groß die Dimension ist das Kost dann einfachetwasÜberwindung beim Denkendes Elements ?? extra falsch rum weil das hier ist das Element von C dreißig können noch umgekehrt schreiben der vektorblaist Element von C dreihabeich nie so besonders ist äh die umgekehrte Form für Element dicken Element in jede Richtung schreiben