[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

13E.1 homogenes lineares Differentialgleichungssystem mittels Eigenwerten und Eigenvektoren lösen


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

ein – lineares Differenzial Gleichungssystem – meine – Variable X abgeleitet – nach der Zeit – soll ergeben werden zwei X Pluszeichen Y – wenn ich meinen Variable Y ableiten nach der Zeit – soll das Ergebnis ?? Y – also X und Y sind einige Funktionen ich suche die Funktion X von T und Y von T – und ich gebe ?? eine Anfangsbedingung – nämlich das sechster zweite null gleich – fünf sein soll – und Y zur Zeit null – sieben sein soll ?? lösen sie das ✂ ein – lineares Differenzial Gleichungssystem – erster Ordnung klar – genial hier steht nichts von wegen X Quadrat – experience – gesuchte Funktion X von T ins quadratische ?? Sinus von – X von T besteht auch kein X mal Y auch das wäre verboten – die gesuchte Funktion – jetzt der Vektor – X von Tab sandte muss ihn ja vorkommen – dass es in Ordnung – was weiteres überraschendes ist es homogen – mir steht nicht bloß – dreiundzwanzig – T Quadrat – ein Witz inhomogen werden ?? alles was hier steht – hat als Faktor – einen Teil meiner gesuchten Funktion drin oder eine Ableitung – drinnen zweimal X X ist eine der gesuchten Funktion einmal Y eine der gesuchten Funktion dreimal Y – hier die dreizehn sich die Quadrat durch die würde es inhomogen werden – wenn hier stünde – das schöne Frage wenn ihr stünde drei zwanzig die Quadrat mal X – was halten Sie davon was würde das machen – für die Klassifikation ✂ so – es wäre weiterhin in Jahr – X die gesuchte Funktion Y die Subvention tauchen beide im Jahr auf – es wäre dann aber auch homogen – weil hier das X als Faktor drin steht – die dreizehn sich die Quadrat hier mal X – das lässt es weiter homogen ohne das X wäre es inhomogen – wenn X Quadrat – X ist die sucht ist eine der gesuchten Funktion das wäre nicht linear – so wäre es in Jahr und – inhomogen mit als die Quadrat aber all das passiert nicht es ist linear – und homogen dieses Differenzial Gleichungssystem – und die Art wie man das löst – ist verdächtig ähnlich wie man die Basargleichungen – nur eine gelöst hatte er nämlich übrigens auch noch konstanter Koeffizienten – insofern ist das wirklich simpel – eins eins zwei eins drei alles konstante Koeffizienten – obendrein noch – den wissen Sie bei – Differentialgleichung – in einer die Fallzahl gleich mit einer gesunden Funktionen haben sie eh Hochstamm da mal X zum Teil sehr Seoul am MIT angesetzt – ist arbeite ich mit Vektoren – sowas wie Matrix – mal eine Projekt höherwertige Funktion schafft es mal so – das steht auf der – einen Seite meines – gleichen Mannes über zahlreichen Systems und auf der anderen Seite steht die Ableitung – von meiner minderwertigen Funktion nach der Zeit – so angewandt sein Gleichungssystem – möchte ich lösen – und weiß jetzt von den eindimensionalen – schon HI Hochlander – wie auch immer – andermal Tee – und hier so ähnlich – wenn sich hier was haben – wie – einen Eigenvektor – wenn Sie ein Eigenvektor W haben – bilden dann folgendes – WE mal die Hochlander – mal T – dann haben sie gewonnen ein Eigenvektor W – zu dieser Matrix A – wird nämlich A – mal diesen Eigenvektor – zum landerfachen – Lander mal wie – Mario hundert E steht auf der rechten Seite und das links machen wie das ableiten kommt das Lande nach vorne besteht dasselbe – Internet muss man im Hinterkopf behalten also wenn ich den Differentialgleichung – dieser Form habe – Lin Jahr – Homogenkonstante – Koeffizientenmatrix – A hier der stecken dann – teilweise Koeffizienten drin zwei eins drei – ins Wasser dieser Form haben – wenn sie zu der Matrix A Eigenwert und Eigenvektoren kennen – können Sie – Lösungen hinschreiben – Eigenvektor – mal E Hocheigenwert – mal die Zeit – linksseitig – nach der Zeit ab dann kommt der Eigenwert – darunter – rechts – nehmen Sie AHA – mal diese Funktion – war Martin Vektor – ?? auch den Eigenwert als Faktor drin stimmt – das der Gedanke also – eigentlich – so über den normalen Differentialgleichung – hatten kein Systems und üblichen Rechtsangleichung – an das Eolander malte – zur Verzierung mit Eigenvektoren – in dem Sinne Arbeit immer weiter ✂ dieses – Differenzial Gleichungssystem – übersetzen in Vektoren – die Ableitung – nach der Zeit vom Vektor X Y – Todesfälle wirklich so schreiben die Ableitung nach der Zeit vom Weg durch selbst davon schreiben – soll sein einem Matrix – mal den Vektor X Y – möchte auf diese Form komm – ich brauche zweimal X plus einmal Y zweimal X plus einmal Y für – die X nach DT – und ich brauche dreimal Y und nur mal X – für den psalmachtete – wird es eben der Witz wenn ich von dieser Matrix Eigenwert Eigenvektor kenne – kann ich Lösungen hinschreiben – sie haben schon andere – Methode gefunden – es mir aufgefallen ?? sie könnten – tatsächlich die zweite Gleichung nehmen der kommt nur Y vor sie bestimmen selbst aus der zweiten Gleichung – sitzen oben ein – bestimmender X – dann ist tatsächlich oben plötzlich – inhomogen – ?? Y schon bekannt ist wie eine alternative Möglichkeit geht hierbei jetzt ?? nicht aufersteht von wegen drei zwanzig mal X – Notiz am Rande – wenn man es ist das endlich mal – mit dem Matrizen hier – Gottes auch ohne Matrizen lösen – im Harz mit Matrizen – bestimmen sie Eigenwerte Eigenvektoren ✂ Steiner – Verfahren für – Eigenwerte Eigenvektorenlander – ist ein Eigenvektor – war – von dieser Matrix zwei eins null drei – genau dann – wenn – die Determinante – von zwei Minuslander – eins null – drei Minuslander gleich null ist – wenn diese Matrix hier – zwei eins null drei Minuslander – die Einheitsmatrix – in die Matrix Erlösungsproblem – hat – der Eigenvektor wird nämlich davon zu Nullvektor gemacht – es gibt unendlich viele Lösungen – alle vielfachen von dem Eigenvektor – dafür das jeder Nullvektor rauskommt das heißt diese Matrix User Lösungsproblem haben Komma kann ich funktionieren – diese Determinante muss neu sein – und umgekehrt wenn die Determinante nuller und so weiter gibt es viele – Vektoren ?? das kann – das kommen uns also an auf der rechten Seite steht dankenswerterweise – ganz was einfaches zwei Minuslander – mal drei Minuslander – minus null – mal eins ich hab so ausführlichen – Muster mal eins einfach zwei minus andermal drei Minuslander und ?? sofort ablesen Lander S zwei oder Lander ist drei – zwei Eigenwerte – nämlich zwei und drei – dazu will ich jetzt – Eigenvektoren – haben Eigenvektoren – zu – Lander gleich – zwei – diese Matrix hier ohne die Striche als Matrix diese Matrix – mit Lander gleich zwei – macht die Eigenvektoren – zum Eigenwert zwei zu null – zwei Einsätzen steht null eins null eins – das mal – schreibe ich vor X von Y – das ?? Eigenvektor gleich werden musste Nullvektor sein – und dann lesen Sie ab der steht nun mal Frau X plus einmal vor Y ist gleich null – ?? tatsächlich – einmal hin – null mal VX – plus einmal Frau Y ist gleich null Nummer V X ist null – einmal vor Y ist gleich null zweite Gleichnisse selber nicht Nummer volksplus – einmal Volksausgleich nur einmal Volks ?? ist gleich null das heißt vor Y ist gleich null – die Bedingung die ich kriege ist es die zweite Komponente gleich null ist – also die Eigenvektoren – zu Lander gleich zwei – die Menge davon dass es die gerade – alle vielfachen – Sorglichlander – weil andere um schon vorgekommen sie schon mal müde alle vielfachen von eins null – die werden verdoppelt sie könnte einer Probe rechnen wir eins null einsetzen – wird verdoppelt – und dann zwanzig null wird genauso verdoppelt dass alle Eigenvektoren – zusammen gleich zwei – O und Eigenvektoren – zu Lander – gleich drei – ganz analog – nehme – diese Matrix mit Lander gleich drei also nicht die Determinante sondern Matrix – zwei Minuslander – zwei Mindestreiches – minus eins eins weiter stehen null – und steht drei minus drei macht null das – mal V X V Y – soll der Nullvektor – sein – jetzt lesen Sie ab – minus V X – groß V Y – ist gleich null – ist die obere Gleichung ?? unter gleich ist null V X plus null V Y ist gleich null – null gleich nur die gleichen aber nicht ist immer war – das die gleichen die übrig bleibt – mit anderen Worten – Volks und Frau Y sind gleich – O und damit – ist die Menge dieser Eigenvektoren – die gerade – alle vielfachen – von – eins eins – ich – sage so die gerade – das ist nicht ganz korrekt die Menge der Eigenvektoren – ist nicht – diese gerade – was ist da – jedes Körnchen ✂ Salz – so der Nullvektor ausgenommen also Mühe ungleich – null das hier nicht der Nullvektor rauskommt der natürlich nicht – weil ich beim Nullvektor ja nicht sagen kann zum wie vielfachen erwirbt könnte auch zum – ?? achtundneunzig fachen werden – es natürlich den ich als Eigenvektor haben so erhaben eingeführte Eigenvektoren – des müsste sie in der Lage sein – die allgemeine Lösung hinzu schreiben – zu diesem Differentialgleichung – System – mit diesem Trick hier – machen sie das und dann bauen sie die Anfangsbedingung – ein – X von T ich hab es aus ?? von Täter hinter Y von T ist gleich – das trainieren sie und dann bestimmen wir die spezielle Lösung – zu unserer Anfangsbedingung ✂ fang – es mal an spezielle Lösungen zu schreiben zum Beispiel – E hoch zwei – C – und ein Eigenvektor – dazu davor – eins null das würde funktionieren – wenn sie E hoch zwei C ableiten nach der Zeit kommt der Faktor zwei der vor – wenn sie die Matrix anwenden – auf den hier – bitte Vektor Einzel verdoppelt – deshalb ist das hier eine Lösung – jedes Vielfache von dieser Lösung – ?? sie einst jedes Vielfache von dieser Lösung ist auch für deine Lösung – wenn sie nach der Zeit ableiten – wird es verdoppelt – wenn die Matrix anwenden auf dieses hier wird es auch verdoppelt jedes Vielfache davon kann es auch – eher noch ?? andere Lösung mit I hoch drei T – unterschreiben Sie eins eins davor – wenn sie das sie allein betrachten ?? gerade mal ignorieren müssen hinten allein betrachten sie wenn die Matrix A an – dann wird dieser Vektor verdreifacht – sie leiten ab dann kommt der Faktor drei nach vorne – wird auch verdreifacht – Klammer zu zu meiner LIEFERN sah gleich ?? wenn sie die so schreiben beziehungsweise so schreiben – auf der linken Seite wird verdreifacht auf der rechten Seite wird verdreifacht wunderbar – sie haben eine Lösung und das geht auch wenn sich irgendein Vielfaches davon nehmen – konstantes Vielfaches ist immer gemeint – sie zwei und die zwei von der Sorte addieren – und das immer noch – das es jetzt die allgemeine Lösung etwas ähnliches hatten wir bei Differentialgleichung – und zweiter Ordnung – diverser Gleichungen ?? System Gleichung zweiter Ordnung wir haben typischerweise nicht üblicherweise werden zwei Lösungen zusammengebastelt – für sonder homogen länger sah Gleichung – und die dann – miteinander vermengten ja Kondition gebildet genau das macht man hier auch Linearkombination – bilden jede Linearkombination – wird es tun – und jetzt versuchen Sie damit die Anfangsbedingung – zu erfüllen – was ich suche die spezielle Lösung – Lösung – U – X von null – sollte – fünf gewesen seien – und Y von null – soll sieben gewesen sein – das grundsätzlich spezielle Lösung ✂ sie – setzen für die Zeit null ein – X von null soll fünf werden – Y von null soll sieben kann ich hab mal das ist meine Bedingung – so das soll – fünf werden das soll sieben werden das ist die Bedingung – C gleich null Einsätzen der steht C eins mal eins null mal in hoch null eins – groß C – zwei mal eins eins mal im hoch null – ist eins also datiert C eins stehen sie fassen Zusammenkatheter – auf der rechten Seite – C eins plus C zwei – Leertaste zwei ?? besteht – sie zwei – pro uns etwas einfacher als erwartet – ?? das habe ich während C zwei – gleich – sieben ist – nicht großartig ?? aus deinem System lösen durch die direkte zwei sieben – zwei sieben der groß C eins – minus zwei sein – das ist die – spezielle Lösung die ich hier haben wir – also – ist – X von T Y konnte ich schreibst ja schon hundert ?? Nummer – C eins ?? minus zwei mal eins null E hoch zwei – T – plus sieben – mal eins eins – hoch drei T – das wäre die Lösung – dich habe – sich als habe sie können hier – den Vektor und den Vektor nicht zusammenfassen weil da stehen ja üble Funktionen dabei – steht er zum Beispiel eins null mal hundert und hier steht dann eins eins mal – tausend ?? sie können nicht direkt diese beiden Vektoren zusammenfassen zu müssen nur noch des I hochsoundsoviel – beachten – was es sie verdächtig ähnlich aus wie bei den noch homogenen Jahren sah Gleichung Konzernkoeffizienten – zweiter Ordnung – Sie – bilden den ja Kombination – von zwei – speziellen Lösungen ✂ zwischen – Eigenwerten Eigenvektor sollte vielleicht doch mal sagen – bei einem – linearen gleichen System homogenen Jahren sein System mit konstanten Koeffizienten das dann so aussieht Y Strich ist gleich dreimal Y – müssen Sie ?? Y muss irgendwas sein WE Y ist gleich E hoch drei mal X mal irgend eine Konstante – der Ansatzes Eolander Matrix – und in Süßenlander – da oben taucht offensichtlich dann diese drei dann auch wieder auf – was sich ihr Sinn ist die Verallgemeinerung – auf lineare – homogene – Differentialgleichung – Systeme mit konstanten Koeffizienten – ?? mit einer konstanten Matrix trennen – sie haben nicht mehr in diese einzelne Zahl – bilden wie hoch diese Zahl hoch X sondern sie nehmen die Eigenwerte dieser Matrixegolander – mal Tee in diesem Fall die Eigenwerte der Matrix – und das ganze muss ein Vektor werden steht ein Eigenvektor vor dazugehöriger – Eigenvektor – das ist die Übertragung – von den Differenzialgleichungen – auf die Differenzialgleichungssysteme – und das soll ich auch noch mal sagen was warum haut das jetzt hin – wenn ich den ableiten nach der Zeit – der kommt das Lander – als Faktor dazu das passiert auf der linken Seite – wenn ich diesen hier rechts in die Matrix mit der Matrix modifizieren – wird der Eigenvektor das Land auf Facharzt und auch das Lander dazu auf beiden Seiten sieht Lander mal wie Mario andermal Tee – das es gleich – das ist der Trick