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21E.2 Beispiel zu partiellen Ableitungen, Gradient, lineare Näherung, Tangentialebene


CC-BY-NC-SA 3.0

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zum – Gradienten – und zu den Jahren Nehrung – eine andere funktionsse – heißt mal G von X und sie soll sein – X Quadrat – plus X mal NN von Y – plus – Y Quadrat – ich wüsste gerne den Gradienten – von dieser Funktion – an der Stelle – X Y gleich – zwei – drei – und dann aber ?? weiter mit den Ernährung und was alles so kommen mag ✂ der – Gradient sie schreiben die partiellen Ableitungen – übereinander – als Vektor – und das ist dann der Gradient genauer gesagt des Gradientenfeldes – hinterher noch völlig Simpsons ab also partiell nach X ableiten zwei X plus LL Y – plus null schreibe ich mal der Form halber – zum Quadrat – ist aus Sicht von X bei der partiellen Ableitung eine Konstante – ableiten zu null – die partielle Ableitung nach Y – X ist aus Sicht der letzteren Konstante – Beistrich null plus X ist das ich ?? was Dante weiter stehen als Faktor – mal den Rhythmus ableiten als Y – plus und Quadrat ableiten ist zwar Y – das übereinander geschrieben als Vektor – ist eskaliert Vektorfeld zu jedem X Y – bekommt ein Vektor raus – mich hat jetzt der Wert interessiert – an diesem Vektorfeld – an der Stelle zwei drei – gehen wollte ich wissen der Gradient – von G an der Stelle zwei drei ist als bei einen – Vektor den sie kriegen wenn sie hier zwei drei Einsätzen zweimal zwei sind hier – bloß den natürlichen Rhythmus von drei – Idioten haben sie zwei drittel – plus – zweimal Y – sechs – das ist der Gradient an dieser einen Stelle also sie kriegen an jeder Stelle – der ?? die Funktion ableiten können natürlich an jeder Stelle an der die Funktion ableiten können – können Sie ein Gradientenvektor – ausrechnen – lassen sie die beiden einander stellen Einheitsvektor – nehmen – und das ist der – Entwickler an der Stelle zwei drei zwei drei – ?? gelegentlich Richtung zeigt der Rhythmus von drei negativ – durch Preis nicht negativ – und so weiter und so weiter irgendwohin zeigen interessiert mich nicht so richtig toll das ich kenne einen von diesen unendlich vielen Feiern – den an der Stelle zwei drei Gradientenstelle – zwei drei – sicherheitshalber – zu Wiederholung was sagte denn das jetzt geht's irgend ein Vektor daraus an der Stelle zwei drei – zu dieser Funktion was sagt mir der Gradient anschauungsmäßig ✂ Anderson – wenn Sie eine Landkarte – haben – in der Mitte ein Werk sollten wir drei hundert Meter – zwei hundert Meter – hundert Meter die Höhen liegen – die Höhe ist eine Funktion von X und Y – oder von Länge und Breite wird immer die höchsten Funktion von X und Y Platte ihr jetzt die Höhe – mit Höhenlinien – wie auf einer üblichen Landkarte – der Gradient – an dieser Stelle – und der Gradient – an – dieser Stelle – die müssten die beiden zeigen wie lang sind die beiden so aus dem Bauch heraus ✂ der – Gradient rechts muss also – groß sein – lang sein ich habe das mal so Gradient – lang – und hier der Gradient ist verhältnismäßig – kurz – links ist es flach – rechts ist es steil – sieht es nun mal – Extrema – aufzeichnen – wenn sie solche Höhenlinien haben – dann geht's ihr langsam den Berg rauf – sie brauchen viel – Strecke – sie müssen eine große Strecke zurücklegen bis sie den Berg rauf kommen aber hier geht's schnell den Berg rauf – das hier ist flach – und das hier ist steil in die Höhle dicht aneinander liegen – ist es steil wenn die Königin weit auseinanderliegen – ist es lag also – der Gradient hier wenig wenn ?? Lingen nicht manuell in der Gradient muss blank sein Steigen ist groß – jeder Gradient muss kurz sein steigendes klein – und jetzt nur noch die Richtung vom Gradienten ✂ arbeite – mit Tangenten Tangentialebenen – jetzt – bitte sehr zusagen will sie legen an den Berg einen spezialebene – dran – und fragen sich in welche Richtung geht's auf der Tangentialebene – aufsteigt Klammer auf oder eben hier in nächster Umgebung – Sie wissen nicht – ganze Gesang der Gradient weiß nicht ob hier vielleicht das größte Maximum ist oder jedes – aller größte Maxon des interessierten Gradient noch gar nicht – der Gradient ist super kurzsichtig – der sieht nur das nächste Infinitesimalrechnung – zu sein die unmittelbare – Umgebung – und das heißt – der jetzige ?? der Schweiz – ist es sauber ein Zeichen der wird – senkrecht stehen auf den Höhenlinien – so vielleicht hier muss ?? länger sein auf der rechten Seite – als Steileis – steht senkrecht zu den Terminen – und User kürzer sein senkrecht zu den Höhen in Brasilien Gradienten einzeichnen – muss der so zeigen nicht zum absoluten – globalen Maximum soll ich sagen – ich zum globalen Maximum zu Leerzeichen lokal den Berg rauf wenn sie hier den Gradienten ein zeigen – im wesentlichen steiler die Hündinnen liegen dicht aufeinander – der muss länger sein – und er zeigt – lokal den Berg rauf nicht zum absoluten Maximum – der Gradient steht senkrecht auf der Höhenlinie – parallel zur University – Richtung gehen – mit ihm auf einer Höhe – gelaufen um den Berg herum – der Gradient zeigt senkrecht dazu – ?? den Berg rauf aber nicht zum globalen Maximum – Vokal den Berg rauf liegen jene der Initiativen an den Berg – kommen aus diesen Jahren Nehrung – an – das ist ja schon die Vorstufe zu den Ernährung hier mit Initialebene – ich kenne jetzt den Gradienten an der Stelle zwei drei – göttlichen Zahlen hinschreiben – muss – jetzt wüsste ich – eine lineare Näherung gerne das kann man damit veranstalten – durch nachgucken auf der Tangentialebene – wie mit Täler – ?? das hat mit hinein eine Dimension Dante laufen zwei und sonst wie vielen Dimensionen machen – das es jetzt die erste Stufe zu Täler – zwei Dimensionen – mit den Gradienten – in den Jahren Nehrung schätzen was ist – meine Funktion je an der Stelle null Komma zwei eins – drei Komma null fünf – das im eindimensionalen – geschätzt sich – mit der Ableitung – in Jahren Nehrung – und jetzt in zweidimensionalen – wie schätzen Sie mit dem Gradienten – liegen dicht an die morgen ?? Punkt dran im Original Punkt ist das der Gradient – schätzen Sie diesen Funktionswert ✂ zurück – zum eindimensionalen – gerade noch mal – Funktion habe die nur von einer unabhängigen – abhängt – in den Jahren Nehrung war da starte bei einem X null – gehe ein Stückchen Haar – zur Seite – und versuche jetzt den – neuen Funktionswert A rauszukriegen – der neue Funktionswert – hier – das ist der alte Funktionswert – plus – dieses Haar – mal die Steigung – durch das Stückchen der noch Drauffunktionswert – plus Ahmadi – steigt – analog hier – das ist der alte Funktionswert – zwei – drei – plus wie weit gehe ich zur Seite mal die Steigung wie weit gehe ich zur Seite Nix Richtung null Komma null eins – mal die Steigungsbesteigung – ist die partielle Ableitung der gerade ausgerechnet die Stadt dem Gradienten drin – vier plus natürlich nur unseres drei – vier plus natürlichen – Rhythmus aus drei das war die steigende Nix Richtung – was ist die Steigerung in Längsrichtung partielle Ableitung in Längsrichtung an der Stelle zwei drei – Mal seitlich zur Seite – offensichtlichen zeitgemäßen hatte sie dann nicht fertig sie müssen es selber noch mit Y machen was ist die Ableitung – Y Richtungen auch gerade zwei drittel plus sechs – sechs zwei drittel – mal – die weitgehende Psalm Richtung null Komma null fünf – das ist in den Jahren Nehrung Tierfreunde das G von zwei drei – wieder fürchterlich die Originalfunktion – was war das also zwei Quadrat – plus zwei mal NN drei – plus – neun ?? – wir von vier plus zwei drei plus neun die Originalfunktion – könnte das aussehen als wenn sie – das im eindimensionalen – verstanden haben – ?? Ausgangswert – die Funktionsstelle – plus – Störung mal Ableitung – um dieses Stückchen drauf zu kriegen – ?? Störung Malableitung – das ist aber in zwei Dimensionen Störungen Ableitung – wird es ausführlich alles mit festen Zahlen geschrieben damit man nicht so durcheinander kommt in verschiedenen – X und Y soll sie an X Y einmal an der Originalstelle – vernahm sie X Y – an der gestörten Stelle – und sie haben – Gradienten – die partiellen Ableitungen auch an der Originalstelle – Gradienten an der Stelle zwei drei – und hier haben sie noch in die Differenz – X – an der ?? gestört Stelle minus Originalstelle – und hier – das ?? könnte man auch niederschreiben mit dem Gradienten – des Männervektoren aussieht viermal – drei – sechs zwei drittel – mal – sehen was man schreiben muss null Komma null eins null Komma null fünf – hier steht einfacher Skalarprodukt aus Gradient – und Störung die Störung als Vektor Beistrich – dann sieht es ganz doll aus – dem eindimensionalen – der Wert der Funktion an der gestörten Stelle ist in den Jahren Nehrung der Wertefunktion – an der Originalstelle – plus – des Gradient – Skalarprodukt – Störung – im ein dimensional stand hier die Ableitung einfach nur mal Störung – dass es sich tatsächlich weiter – fortführen mit quadratischen Term und so weiter zweiten Ableitungen – nach Täler – mit ein bisschen ekliger zu schreiben aber es gibt Sektoren tatsächlich dadurch – etwas bemüht ✂ sechs – plus zwei Drittel – der sechs weitere gemischte Zahl sechs weitere Gleise sechs plus zwei Drittel – der nicht sechsmal zwei Drittel aber gut Komma dann schlüsselfertig Shops sind doch sehr sauer plus – die Tangentialebene – an – folgendes Gebilde DZ Koordinate – soll sein das was aus meiner Funktion rauskommt X Quadrat plus X – L N Y – plus Y Quadrat – an der Stelle – wieder zwei drei – das ?? sowie dessen Beschreibung für ein Gebirge – X Y – in der Grundebene – sind nach oben und sich eben da X Y ?? Y muss offensichtlich positiv sein zu jedem Teil X Y ich eine Höhe Z raus – reicht Y siebzig Z raus – kriegen sie – ein Gebirge – ?? Beschreibung eines Gebirges und ich möchte wissen was ist die Tangentialebene – eines Gebirge an der Stelle zwei drei Irgendwo ist zwei drei – zwei – drei – es richtig hier die Tangentialebene – dran haben an mein Gebirge – versuchen Sie das mal zu formulieren – eine Gleichung für diese Tangentialebene ✂ eine – Möglichkeit nach Ebenengleichung – hinzu schreiben wäre – mit Vektoren – so eine Möglichkeit wäre zu sagen Y Z – ist gleich ein fester Vektor eins zwei drei Plusmühle – mal ein anderer fester Vektor derselbe feste Vektor Pluslander – oder man damit sollte also – machen traditionell langsam – mal noch ein Vektor der nicht parallel – zu dem Wechsel ist der Bandlander stets – drei – null zwei – so Kardinäle Gleichung aussehen – dass es sich unsere Ebene gleich ?? könnte sie aussehen – es an dieser Stelle jetzt weiß noch nicht so prickeln Fall ist erstmalig von Vektoren die Rede wie kann eine Ebenengleichung – auch aussehen – nicht für alle Ebenen aber für – die Ebenen die uns interessieren – hier könnte auch den gleichen geschrieben werden ✂ denn – sie eine gerade ?? aus der Schule wird sogleich immer Lexus B – dass es sich offensichtlich verallgemeinern – ?? Z ist gleich irgendwas mal X besonders Y plus eine Konstante – analog zur geraden Gleichung – aus der Schule so aussieht Z ist gleich – wahrscheinlich war ähm – dreiundzwanzig – X plus zweiundvierzig – Y – minus sieben das ist eine Ebenengleichung – zu setzen X und Y ein – besseres Z aus das es eine Ebenengleichung – wenn sie mit X – eins – weitergehen – wird Zentrum drei zwanzig größer – egal wo sie mit X gestartet sind ?? Websites weitergehend verzerrt und sein vierzig größer egal großes Ypsilon gestartet sind Punkt das wird in Japan – von der Form her eine Ebene werden das also auch ?? verliehene Gleichung – diese Integration – wird mir reichen für meinen Zweck hier – auch eine Ebene – die allerdings Y überdeckt – es wird nicht möglich sei mit dieser Ebene gleich wieder unten eine Ebene zu bauen so nicht – die – senkrecht auf der Eclipseallee besteht aber diesen Problemfall habe ich auch nicht vermeiden Ableitungen – versuch es mal so eine Ebene gleich zu schreiben Sie versuchen also eine Gleichung hinzu schreiben als die man neues weiß man nicht – versuchen so eine Form hinzukriegen – Schreibens die Tangentialebene – eine Gleichung für die tangential – ?? in dieser Form lange Zeitebene an der Stelle zwei drei an der Stelle zwei drei – einzelne Sandebene an meinen Funktionsgebirge – liegen – wie sieht die – Ebenengleichung dafür aus ✂ sodass – es also nichts anderes als wir gerade schon hatten ?? den Jahren Nehrung die Tangentialebene – ist die lineare Näherung – der Zahl wird mit dem ich starte – bleibt er selber die Steigung – bleibt dieselbe – der bleibt derselbe was sich ändert ist es so Komma null eins null Komma null fünf – hat das mal so Doppelpunkt – Setz – ?? damit auseinander ?? dann schreibe ich es jemals selbst tangential – Z auf der Tangentialebene – wenn ich X und Y vorgeben was ich als Z auf der Tangentialebene – raus den – Funktionswert – von dem ich starte – vier plus zwei – LM drei plus neun – plus – vier plus – durch Rhythmus von drei – mal wie weit ich – in X weitergehen – ?? vier plus – drei mal wie weit ich Nix weiter gehe – es jetzt X minus zwei – abhängig von X möchte ich das Z Wissen in klein X Einsätzen – in meinen Jahren Nehrung – was ist G an der Stelle zwoundvierzig – Plan – entsteht hier zweiundvierzig – minus zwei nicht mehr zwei Komma null eins minus zwei hundert und vierzig minus zwei X minus zwei und was kriege ich jetzt noch fünfzehn dazu sechs zwei drittel – plus zwei drittel sechs zwei drittel – mal – wie weit ich mit Y aus der drei Wege Y minus drei – das wäre die Tangentialebene – einfach nur die lineare Näherung ist allgemein eingeschrieben – Tangentialebene – an die Stelle zwei drei was ist der Wert die Höhe an der Stelle zwei drei – Gehsteige zweiter – Stelle zwei drei bin ich mit X weiterlaufen – und wie steige zweite wenn ich mit Y weiterlaufen – das alles zusammen – gibt die Tangentialebene – die gleichen Details erleben – sie teilweise Aus multipliziert – ist wird keine gute Idee ?? wird es sehr unübersichtlich könnte man offensichtlich tun wenn diese vor mir haben wollen so soviel Munition Y – Konstante – dann müssten sich hier ausmultiplizieren – soundsoviel Mark X minus – so zu viel mal zwei – und dann ist also alles zusammenfassen aber offensichtlich hatte sie die Form einer Ebenengleichung – dieser Form sind das üblicherweise sehen was die Stützstelle war – X ein bisschen stören – ist das hier deutlich stabiler als wenn ich das ausmultiplizieren – die zweite Aussage – zu Komma die lange Zeitebene schreiben ?? gerade versucht – ?? Problem ist doch mal X Y Z auf der Tangentialebene – ?? ich da jetzt – beschreibt Madame der Ball drei X Y Z auf der Tangentialebene – mit Vektoren – versucht das mal umzuformen – diese – Ebenengleichung – umzuformen – in eine Ebenengleichung – in dieser Form mit Parameter – und Vektoren – kriegt man das hin ✂ was – mein Ortsvektor sein Punkt der gastiert auf der Ebene liegt der Punkt um den herum ich das ganze hier entwickle – der nicht garantiert auf der Ebene der ?? nicht auf dessen Funktionsgebirge – man so will und auf der Ebene – der hat die Exkoordinate – zwei Typ schon Koordinate drei – und DZ Koordinate – setzen einige Funktion – vier plus – zwei LM drei plus neun – jetzt haben sie einen Ortsvektor eines Punkt der garantiert auf der Ebene liegt und jetzt Komma was dazu – Pluslander – mal irgend einen netten Vektor – in die Einrichtung – plus Mühe mal einen netten Vektor in die andere Richtung in eine andere Richtung entlang der Tangentialebene ✂ wenn – sie einen Schritt in Richtung X weitergehen – und nur in Richtung X weitergehen – Preisindex Richtung Nullen Y Richtung ein Schritt in X Richtung – so weiter gehen nicht in dieser Richtung weitergehen und wollte nach oben auf der Internetseite Ebene was kommt nun raus das offensichtlich mit der partiellen Ableitung nach X zu tun – wie ändert sich – meine Funktion in X Richtung – das Z hier muss sich proportional – zur partiellen Ableitung – in X Richtung ändern wenn ich einen Schritt in Richtung weiter gehe – von ?? vermutet man dann ?? mich schon ?? Version bestehen muss vier personellen drei – und analog hier dann null eins wenn ich ein Schritt Y Richtung gehe – dass jeder die partielle Ableitung nach Y stehen muss sechs zwei drittel sechs plus zwei Drittel als das gemischte Zahl – muss auch mal – ganz anders klarmachen – mit dieser Gleichung hier der ursprünglichen – Gleichung für die Tangentialebene – X ist – zwei – plus eine Störung des in das Land ?? ist jetzt die Störung – Access zwei Pluslander mal eins Plus null das Land ?? ist die Störung für mein X – sechstes zwei plus Lambda mal eins – unterschlägt durch diese Störung schlecht durch mit dem Faktor vier Prozent drei auf das Z – auf das Z steckt sie durch mit dem Faktor vier ?? Central – wenn sie X um ein bisschen – von zwei verändern – kriegen sie vier Prozent dreimal das bisschen auf das Z drauf genau besteht hier eher sich Z – das ist der Originalwert – oder der ursprüngliche Wert hier plus meine Stürmer – vier Buslinien drei – und genauso – für die Bastelarbeit – nach Y – bekommt sie von einem zum andern das wäre ?? ?? nette Übung für die lineare Algebra bekomme ich von einer – solchen Ebene Gleichung zu einer solchen – Gleichung – darf man bisschen wiederholen – also – was ich gerne hätte ist das – in ihrem Hirn so einige Verknüpfungen entstehen – der Gradient ist nichts anderes als die partiellen Ableitungen – übereinander geschrieben – was sie damit machen ist eigentlich nichts anderes als eine lineare Näherung auszurechnen – und die lineare Näherung ist nichts anderes als die Tangentialebene – was es gar nicht hatten das totale Differenzial später auch noch ein – wenn sie sich diese angucken ?? sogar noch mal sagen Zeit zu knapp wird wenn sich diese angucken bis das totale Differenzial – DG – Differenzial – Punkt das ist eine Kurzfassung – für den Jahren Nehrung sind sie dann in der Thermodynamik – wie ändert sich mein Funktionswert – in finden Sie mal – oder in den Jahren Nehrung – das ist Originalwette Beistrich auf die Änderung an – Beistrich die nicht in plus – was ist die Ableitung – nach X mal was ist die Änderung in X – plus was ist die Ableitung – nach Y – mal was ist die Änderung in Y – das totale Differenzial schlicht und ergreifend eine Kurzschreibweise – für den Jahren Nehrung – es ist alles dasselbe nur verschieden hingeschrieben – Gradienten Jahren eher totales Differenzial Tangentialebene – ?? die größte Schwierigkeit ist ?? dass man die richtigen Stellen nimmt – sie nehmen hier für den Jahren Nehrung – die Funktion – an der Stelle – diese zentral haben – X und Y – benannt – sie neben den Gradienten an dieser zentralen Stelle an der einen zentralen Stelle von der aus sie weitergehend – rechnen damit – die Funktion einer anderen Stelle aus schätzen zu sagen schätzen den Wert der Funktion an einer Stelle – was hier entsteht – sind die Koordinatendifferenzen – was ist die Störung wie weit gehe ich weg aus der Stelle – also hier stünde sowas wie X null Y null beim Gradienten steht X null Y null – ihr bei den Kalenders des partiellen Ableitungen auf sein ?? steht was X null Y neun und hier steht X minus X nun – die Störung – in X und ihr steht Y minus Y null Störungen Y und die habe ich X – Y die – gestörte Stelle vermisse wo sie sei mit den indizierte Services ausdrücklich mit konkreten Zahlen werden geschrieben – mal sehen wo die Variablen stehen bei der Tangentialebene – das es ein fester Wert an der Stelle von der ich ausgehe dass das sind feste Werte an der Stelle von der ich ausgehe – das sind Texte die ich einsetze – das ist mein X null großes Ypsilon – das Stadtfest