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21A.1 Beispiel lokales Maximum, lokales Minimum


CC-BY-NC-SA 3.0

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eineFingerübung zur lokalen maximal minimalich gucke folgende Funktion an X wird abgebildetaufE hoch X minus X Quadratfüralle reellen ZahlenXund die Frage istob dieseFunktion ein lokalesMinimum hatsamt Begründungalsolokales Minimum notwendigfür ein lokales Minimum istdasdie Tangenten gerade horizontalverläuftalso guck ich mir einenwurde die Tangenten geradehorizontal verläuft und dann habe ich hoffentlich eine Hand voll stellenund womit die genauer anhatte diese Funktion ableiten das ist das aller erstewas passiert wenn icheh hoch X minus X Quadratableitedas schreit nach KettenregelaußenstetigeFunktionentsteht X minus X Quadrat als Funktion??Kettenregel noch malkramendie äußere Funktionableitenan der Stelle der inneren Funktionmal die innere Funktion abgeleitetdie Ehefunktionableitenan der Stelle X minus X Quadrat malX MusikstadtratabgeleitetIE Funktion ableiten an der Stelle X mit sechs Quadratnetterweise die Ableitung der Evolution IE funktioniertbleibt eh hoch X minus X Quadrat stehendas war die äußere Ableitung mal jetzt kommt die innere AbleitungX minus X Quadrat ableitenX ableitenY gleich X ist die fünf vierzig Grad gerade einsdas ist die Ableitung von XminusX Quadrat ableiten zwei X und jetzt bitte nicht diese Klammern hier vergessenich muss rechnen äußere Ableitung ?? innere Ableitungmal die gesamte innere Ableitungwenn Sie das so schreiben heißt das ja geäußert ?? mal einsminus zwei Xdas mal definitivnicht mein Bier das Produkt von dem gesamten die gesamte äußere Ableitung mal die gesamteinnere Ableitungdas mussdie Ableitung meiner Funktion seinund nun weiß ich das muss null werden für Horizontaltangentenfür eine horizontalenTangente oder Schreiben vielleicht notwendigKomma so notwendigdas hier muss null werden sonst kann es kein lokales Minimum sein wenn ich lokales Minimum habebrauche ich eine Horizontaltangentedie Ableitung muss Null sein ?? es kann lokales Maximum dann seine Scan auch sein lassen Doppelpunkt esdannaber auf jeden Fall ist das notwendigUnterschied zwischen hinreichend und notwendig ist es es muss erfüllt sein und habe ich keine Chance das als notwendighinreichendesnoch lange nicht wenn ich weiß das die Ableitung null ist ?? noch lange nicht dass das jetzt auchein lokales Minimum ist es könnte auch zum Beispiel ein lokales Maximum seinaberich setze das also gleich Null und gucken was passiert dann habe ich die Idee an welchen Stellen überhaupt eine Chance bestehtalsodarausfolge ich es muss also an diesen Stellen an den überhaupt eine Chance auf ein lokales Minimum besteht aus ?? gelten das Trio Rick Smith ist ?? mal eins minus zwei Xgleich null istwas folgern sie aus dieser Gleichungdie Funktionwird partout nicht nur sie wird zwarhübsch klein wenn sie weit ins Negative gehen aber sie wird nicht Nullals ist die einzige Chance dass dieser Ausdruck hier null wird das hier eine Null stehtdas eins minus zwei Xnull wird mit anderen Worten das X gleichein halb ist das die einzige Chance ?? sieht nur eine Stelle an der ich nachgucken mussX gleich ein halballes andere schon uninteressantich weiß von meiner Funktiondas sie bei X gleich ein halb eine horizontaleTangente hatich weiß nicht wie die Funktion kommt kommt sie so kommt sie so sicherlich nicht so sie wirklich positiver und sie so einen gibt sie so weg geht sie so runter was weiß ich keine Ahnungich weiß aber dass die Tangente an dieser Stelle horizontalund nur an dieser Stelle und nirgendwo sonst also kannein lokales Maximum wenn überhauptnur ?? ist gleich ein halbund von da auskönnen Sie weiter überlegen rezeptmäßigmacht meist die zweite Ableitung Punkt eine zweite Ableitung an was die an dieser Stelle machtund was er damit lernen könnendieschulmäßigeArt anzugehenist sich die zweite Ableitung anzuguckenwenn ich weißdas die Komma zurück wenn ich weiß das die zweite Ableitung hierbei ein halbpositivist weiß ich dass die Kurve hiernach links gekrönte sie muss so durcheine zweite Ableitungpositivistwie die Kurvenach links herumwenn ich an dieser Stelle die zweite Ableitung ausbrechen ich finde sie ist negativdann weiß ich dass die Kurvehier abstürzt nach rechtses ist eine Kurve die nachrechts herum gehtund dann weiß ich es muss hier an dieser Stelle ein lokalesMaximum seinalso Komma so vor sich anders mit der zweiten Ableitung ist das wäre das Rezept üblicherweisejetzt gleich noch malim ?? sollte einfacher sehen können ??ähmdie zweite Ableitungdes hierherals ich möchte wissen was ist die zweite Ableitung von E hoch X minus X Quadrathatund ich sodie zweite Ableitung ist natürlich die erste Ableitung von derersten Ableitung E hoch X minusX Quadratmal eins minus zwei X nehmen die erste Ableitung klein D noch mal ab dass der gefragtund das geht mit Produktregelden ersten ableitenden zweiten stehen lassen den ersten ableiten ist es aber nett das mir gerade gemacht den ersten ableiten ist eh hoch X minus X Quadrat mal eins minus zwei Xdas passiert in den ersten ableitengerade vorgekommenmalden zweiteninteressantes macht einfachen Quadratin ersten ableiten ist eben irgendwas mal die Klammermal den zweiten des ?? die Klammer noch mal deshalb geklammert Quadraterste Teilerst ableiten mal den zweitenplus zweite Teil der Produktregel den ersten stehen lassen meine zweiten abgeleitetE hoch X minus X Quadrat mal den zweiten abgeleitet das man minus zweieins ableiten??null minus zwei X ableiten macht minus zwei Dingemal minus zweidas wäre die zweite AbleitungKomma unseren schönen Wert X gleich ein halb einsetzenund gucken was denn die zweite Ableitung machtdas stehteh hocheine halb minus ein viertel ein halb minus ein viertel maleins minus zwei mal ein halb Naturins Quadrat ist nämlich nullminus zwei malE hoch ein Absenderzwei Maleh hoch Einhaltminus ein viertelsind wir eins minus zwei mal ein halb kein Wunder das war eben null und es auch weiterhin null der erste Teil ist nulles bleibt ist minus zwei mal E hoch ein halb minusein viertelwas habe ich damit gelerntdass es definitiv eine negative ZahlE hoch irgendwasNichtkomplexesist positivminus zwei mal eine positive Zahl eine negative Zahlist relativ kurz ob das minus zehn S oder minus null Komma eins ist oder minus sind an das Telefones ist negativund das heißt die Kurvenimmt'seineRechtskurvees ist einlokales Maximumund kein lokales Minimumkorrekt zu sagen mir das beides jetzt zusammenist hinreichenddafürwas heißt das ?? mit der Schweiz zusammendie erste Ableitung ist Null die zweite Ableitung ist negativ das beides zusammen ist hinreichend dafürdas sich an X gleich ein halbein lokalesMaximumhabeund das ist definitiv kein lokales Minimumandas wir jetzt so schulmäßignach Rezeptmal nachgerechnetman kann sich das auch etwaseinfacher machen wenn man sich diese Kurve genauer anguckthiernachda diese Kurvewas fällt Ihnen zu dem Verlauf dieser Funktionein Börsen raufzu dem Verlauf dieser Funktion wie sie die im großen Ganzen ausman kann sich mit Anschaulichkeitder sehr schnell aus der Affäre ziehen ohne ganz viele Ableitungen auszurechnenandas Ergebnis ist immer eine positive Zahl E hoch eine reelle Zahldas Ergebnis muss immer positiv sein egal was sie einsetzenbefinde mich also immeroberhalb der x-Achseam?? sonst nochwenn ich sehr große X Werte einsetzedann wird das minus X Quadrat gegen das X gewinnender Exponent geht fürX gegen unendlich gegen minus unendlich weit X Quadrat gewinntaber eh hoch minus unendlichim Grenzwert einverstandenwird null werden das heißt die Funktion muss hiergegen null gehenohne wenn und aberwenn sie sehr negative Zahlen für X einsetzen minus eine Millionminus eine Million minus minus eine Million als Quadrat gewinnt das Quadrat schon wiederminus das Quadrat einer Zahl eine sehr negative Zahl E hoch etwas was gegen müssen in?? auch nach linksverabschiedet sich die Funktion Richtungx-Achsewird immer kleiner werden sehr schnell sehr klein werdenund was er nun noch obendrein wissen ist das bei ein halbdieTangente horizontalist das müssen wir von der Funktionnach links geht sie gegen Null nach rechts geht sie gegen null dies ständig positivund erstelleeine Stelle ein halb habe ich nur horizontale Tangenteund dannist denke ich auch ohne dass man jetztirgendwelche fortschrittlichen mathematischen Theorie immerbemüht ist klardiese Funktion muss irgendwo wenn sie da abfällt und der Affekt muss irgendwo einen Hochpunkt habenPunkt beim hoch Punkt hat sie abereinehorizontale Tangentedas heißt dieses hier kann nurder Hochbunker gewesen sein das muss ein lokales Maximum sei offensichtlich das lokale Maximum sondern das globale Maximum ist kann vom Verlauf der Funktionseinwenn das hier einlokales Minimum gewesen wäre dann müsste die Funktion der von oben gekommen seinwas folgern sie darauswenn die Funktionvon oben gekommen wäre müsste sehr irgendwie die biege wieder machen nach untendas heißt ich hätte noch zwei weitere Stellenmit horizontaler Tangente habe ich aber nicht die zwei weiteren Stellen das kann nicht seindas einzige wassinnvollesist das für eine Stelle dich gefunden habeein lokalesMaximum ist und ich nur lokales lokales Maximum sondern sogar dasglobaleMaximum der größte Wert der Funktion überhaupt an dieser Stellealso man kann sich aus der Affäre ziehenohne dass man die zweite Ableitung ausrechnet musste nun Business aufschreiben oder auf meindokumentieren will