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22A.4 nochmal lokale Maxima, Minima einer Funktion zweier Veränderlicher; Hesse-Matrix


CC-BY-NC-SA 3.0

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letztesMal die Funktion mit der ?? das durchgerechnet hatten mit lokalen Minimum lokalen Maximum die Weiher bisschen sehreinfachheute eine etwas kompliziertereäh nämlich ich hoffe ich verschweige mich nicht fünf Xminus sechs XGradplus zwei X hoch drei minus drei Yplus vierX Yminussechs Y Quadratplus sechsXY Quadratsind das vielleicht fürchterlich deshalb sage ich schon malwas passiert an folgender Stellebetritt man die Stelle noch bestimmtwas es bei der Funktionen wissen wirklich was passiert an dieser Stelle ein halbminus ein sechstelguckenwir uns die Ableitungen noch mal aneinemvon der Schreibweise ich sehe immer noch etwas individuelle Lösungendas übliche wäre partiell ableitenachte X rundes DFund es die X so zu schreiben Beistrich schreibenwas keiner wonach abgeleitet wird ?? X und Yes gibt eine andereVarianteeffektiv gestellt X und zu sagen leite partiell nach exakt das ist aber eherprofessionellund ich denke bei den Ingenieuren nicht so häufig zu finden??am?? wird dabei lassen DF nach TX Patientenrunden die was kriegen rausfünf anminus zwölfX für den wirklich über die drei nach vorne sind sechs QuadratY fliegt raus als konstant betrachtet hier kriegen wir vier Ydas sich draußen hier kriegen wir zwölfX YY Quadrat zu zwei besonderen zwölf X YYundder anderepartiell nach Ydas Licht raus das Licht aus das Licht aus minus dreiEvents vier Xihr Werdens minus zwölf Yund schier nach unten ableitenzwei ?? Sunwerdenszwölf X Yrechnen muss ?? können sechsY QuadratX ableiten sechs Quadratjetzt könnte man ?? man auf der Suche ist nach lokalenMaxima minimal könnte man das beides Null setzenund versuchen aufzulösen das wird ein natürlich total nerven ?? mit den Quadraten gleich zwei Quadrate drin ist habe schon mal die Lösung vorgegebenwas passiert bei ein halb minus ein sechstelhoffentlich wird beides nullwill sagen ich habe eine horizontale Tangente wenn beides null wirdund überhaupt erst mal eine Chance auf ein lokales Maximum oder Minimumandas an anderer Stellewas weiß ein halb minus ein sechstelwird der erstegleichfünf minussechsplussechs Viertelminusvier sechsteminus vier sechstelplusneueDeck sechsunddreißigstewenn sie massiv kürzen hier ein Sechstelheute ihr Kopfrechnen gesagt scheint mirungewöhnlichminus vier sechste plus ein Sechsteles hoffentlich minus ein halbminus vier sechstel plus ein Wechsel also minus drei sechstem acht minus ein halb dann haben wir hier fünf minus sechs sind minus einsminus eins plus anderthalbCent plus ein halb minus ein halb macht nullin der Tat und der zweitewäre auch komisch wenn ich sie Stelle angegeben hätte und es würde nicht nur werdenund der zweite ?? einsetzen minus drei bloßder halbeFluss zwölf sechsteplus zwölf wird entspannt durch zwei durch sechs mit minusminuszwölfzwölftelzwölf durch zwei durch sechsdesOrtes auch inminus drei plus zwei Ziffer minus eins plus zwei sind bei plus eins minus eins in der Tat ist gleich null ?? es besteht also die Chanceauf ein lokales Wachstum ein lokales Minimumes lohnt sich die zweiten Ableitungen auszurechnen?? machen das immer weiter erweitert man das ja schondie Frage ist was kann ich dann aus den zwei Ableitungen ablesensollte noch maldas übliche Vorgehen beschreibenweil einige Leute so versuchen etwas gleich Null zu setzen was nicht ?? gesetzt werden sollteder Gedanke ist ich habeso einen fliegenden Teppichdiese Funktionsflächemit mehr oder minder dicken wollen nach oben und nach untenmit mir so halbwegsdas ?? Gebäude nachunten seinund dass sie Sonne wollen nach oben seinähmich suche lokale Maximalokaleminimal dieser Wert hier an der Stelle wie ein lokales Maximumdieser Welt hier ?? lokales Minimum ist kleiner als alle in der Nachbarschaftdieser hier lokales Maximum ist größer als alle in der Nachbarschaftwie kann ich solche Stellen findenerstens suche ich nach Stellenan denen der Gradient der Nullvektorist hier an dieser Stelle ist der Gradient der Nullvektores geht inkeine Richtungdrauf dann muss der Gradient der Nullvektor sein hier es geht in keine Richtungunter der Mustergradient der Nullvektor sei der Gradient zeigte den Hang hochaus Sicht der Ameisedie Muster keine Null sein da muss ein neue Zeilealso brauche ich nur an Stellen zugucken und in der Gradient null istan anderen Stellen kann ich kein lokales Maximum kein lokales Minimum habender Ärger mit dem Gradienten ist das das aber nur notwendig und nicht hinreichend ist ziemlich kein SituationSattel in sieben Sattel habenin der Forman die zwei hier mitten auf dem Satteldas was ?? jetzt mitten auf dem Sattel eine horizontale Tangentialebeneder Gradient ist der Nullvektorkann nicht nach hier zeigendamit ?? mit dem selben Rechner da zeigen einige die Richtungabwärtsund nicht aufwärtsund der kann nicht nach hier zeigen ?? selben Rechner da zeigen könnteoder sie rechnen die Ableitungen außen sehen kann nicht sein ?? der Gradient muss hier Nullvektor sei der Ärger ist das aber weder lokales Maximum lokales Minimumin die eine Richtung geht rauf in die andereRichtung geht runterdas heißt dass der Gradienten ?? Liste Nullvektor ist das reicht alleine nichtum die Arbeit zu vereinfachenfang ich an den Gradienten auszurechnenstelle fest wo der Null ist und dann mach ich mit den Punkten weiterdass es hoffentlich unendliche Anzahl an Punktenweist eine sehr übersichtliche Anzahl an Punkten und da rechne ich weiter und versuche rauszufinden müssen dieser Hand voll hoffentlichwas an der Hand voll an Punkten passiertim?? so ich habe schon einen Kandidaten wo ist der Gradientder Nullvektor mich interessiert es gerade nur diese Stelle ein halb minus ein Sechstelda guck ich mir die zweite Ableitung andie zweite Ableitung sagt etwaszurKrümmungähm wie legt sich hier eineParabel dadurch ein paar Wohngebiet genauer gesagt fiel ich zum paranoid dadurchsich ein Schmiergeld von untenvon untenoder hier imlokalen Minimumnicht zu ein paar beunruhigt von oben dadurchnicht sich von oben ein Ticket von oben unter der jetzt nach oben daraufdie Form interessiert mich an demlokalenMaximumdas Parapolitik und wegfallen ist diese Figur ein paar ?? wie dieses ?? wieder nach obenund einer Sattelfläche ist es eben wieder noch ist kanneine Sattelflächedamit entscheide ich das das Sagen in die zweiten Ableitungen als an allen Kandidatendas war die Stellen mit Gradient Nullvektoran allen Kandidaten guck ich mir die zweiten Ableitungen amähm zweiten Ableitungen?? das ist aber immer etwas dazwischenwas ist die zweite Ableitungvon der SchreibweiseD zweiF nach D X Quadratist historisch ich kann nichts dafür D zwei F nach TX Quadrat oder in der professionellen Schreibweise F X X zweimal Index Xhabenwas wird es werden die fünfzig Kraus minus zwölfjährig dann zwölf Xzwölf XY fliegt rausPunkt die sechs Y Quadrat fliegen rausund hier undzweite Ableitung nach Y Seite zwei F nach D Y Quadratder Pflicht voraussichtlichdraus minus zwölfplus zwölfXunterbrochen ?? die gemischteich habe hier keinen Platz mehreine gemischte ?? oder hinten E zwei F nach D XYsinnvollerweisenämlich die kürzere von den beidendie nach Y leiten die nach X ab wenn sie wenig Arbeit haben wollennehmen Sie die kürzereund leiten die nach X ab die oben haben wir mehr Arbeit müssen alle Nachrichten ableiten und muss ich nur vier Terme nach X ableiten ?? Drive nicht raus da steht vierdie zwölf Licht raus und hier stehtzwölfX ?? zwölf Xnach Y nach X ableiten zwölfYdas wenn jetzt die Werte an jeder Stelle jetzt endlich an jeder Stelle sagenwie denn hier die Krümmung verläuftinteressiert mich aber nicht an jeder Stelle interessiert mich nur an meinen Kandidatenalso setzt sich hier in die beidenMain Kandidaten werden ein nichts andereskriege eine einzige Zahlminus zwölf plusein halb minus zwölfter sechstensminus sechsnach derder hier ist netterweise dasselbedas Bad beim Rechnenund hier haben wir zwölf mal ein Sechstelgehören zwei minus zwei Leinwände jeweilsbeidas sind also die Wertigkeit tatsächlich einsetzendie Werte für die zweiten Ableitungen an meiner Kandidatenstelleminus sechsminus sechs und zweiund daraus bildet man die Hesse Matrixaus demzweiterdass wir die Hessematrixan dieser Stelleein halb minus ein sechstel nur die interessiert mich geradeund kurzes Gedächtnisin sechs null sechs zweisechs minus sechs zwei dass wir die Hessematrixdas sagt mir etwasdarüber wie sich meine Funktion an die Tangentenebenedran schmiegtob sie von oben von unten oder von Sowohl-als-auchkommtdann was eszufälligan dieser Hesse Matrixwar ?? wieder nicht aufgepasst ?? mein Zahlen werden das ?? was ganz spezielles rauskommterscheint zweimal dieselben Zahlen zu stehen was ist Zufallund was muss seindass sie es Zufall minus sechs ?? sechs ist Zufall genau dass sie auf der Diagonalen dieselben Zahlen stehen das ist kein Zufallin erster X ableiten dann nach Y oder umgekehrt muss dasselbe Ergebnis geben für die üblichen Funktionenkein Zufall aber das ist zuverlässige oben oder unten minus sechs stehtsoals will ich wissen was diese Matrix denn aus sagtüber dieja darüber wie sich dennmeine Funktion ein Engpass an schmiegtder Trick ist folgenderwie letztes Malwenn diese Matrix zwei positive Eigenwerte hatdann muss meine Funktionnach oben weg gehenparanoid nach obenwenn die zwei negative Eigenwerte hatgroß meine Funktion nach unten weg gehen ?? nach unten näherungsweisewenn diese Funktion einen positiven einen negativen hatzwangsläufigeineSattelflächedas was ich mich habenwenn diese Funktion ein Eigenwert null hat oder sogar zwei Eigenwerte null ?? verlorenmuss was anderes ausdenkenkann ich so nicht entscheidenähmjetzt haben einige von ihnen angefangen Eigenwerte zu bestimmen könnte man tun es aber zu viel Aufwanddennes geht ja viel einfacher ich weiß die Determinantevon diesem Dingsechsunddreißigminus vierist größer als Nullbitte dominantes größer als solides im Landes aber das Produkt der Eigenwerte das ersichtliche Amt sei Punkt die weigerte oder zwei negative Eigenwerte richtigoder wasdas heißt ich habe entweder lokales Maximum oder ein lokales Minimum auf keinen Fall einen Sattelund ist auf jeden Fall entscheidend warund jetzt gibt's noch den Trick darüber leider mal ausführlichmachen warum das so geht nächste Aufgabediese minus sexy reicht mir um zu sagenbei der negative Zahl steht die reicht mir um zu sagen beide Eigenwerte müssen negativ seinPunkt wie gesagt gleich noch malals Aufgabe analso für diese zwei mal zwei matrizensymmetrischezweimal zwei Matrizensymmetrisch bei der hier auf der Diagonalen dieselben Zahlen stehenfür die symmetrischen zweimal zwei Matrizengibt's nur einfache dumme regelte die Determinantegrößer ist als Nullsind beide Eigenwerte positiv oder beide negativin das Produkt der Eigenwerteoben links was negatives steht sind beide kleiner null ?? oben links was positives steht sind beide größer Nullgleich Null eine lustigerweise nicht stehensehen wir gleichbei drei mal dreiwird das deutlich komplizierter bei Firma gewiss noch deutlich komplizierter zweimal zwei ist relativ einfachsie müssen nicht die Eigenwerte ausrechnen sie gucken sich nur ganz grob die Matrixgeweihte Eigenwerte kleiner null nach dem was ich gerade gesagt habe horizontale Tangenteist diein alle Richtungenrunter ist ist ein lokales Maximuman dieser Stelledas wäre dieausführliche Begründungan dieser Stelle muss ein lokales Maximum sein denn ich weiß das dieTangentialebenehorizontalistund ich weiß das diebeste quadratischeNehrung von unten kommtdas kann nur funktionieren wenn eine Beulenach oben ist ein lokales Maximum