[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

08A.1 Differentialgleichungen klassifizieren, linear, homogen, konstante Koeffizienten, Ordnung


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

das – erste was man mit Differenzialgleichungen – tut – Komma die GL in ?? – ist sie zu klassifizieren – wenn man Idee hat was für besorgte Differenzialgleichungen – hat – man sie auch schon praktisch gelöst – ?? eine Körnchen Salz aber in vielen Fällen – an wir haben zum Beispiel – die Unterscheidung – zwischen gewöhnlich – eine gewöhnliche Differentialgleichung – uns – eine partielle Differenzialgleichungen – waren – dann können wir unterscheiden zwischen explizit und implizit – die – implizit – ?? können wir unterscheiden – zwischen linear – nichtlinearen – dann können wir sagen – homogen – inhomogen – gehen – und wir können obendrein – noch sagen konnte von zahlreichen Konstante Koeffizienten – hat konstant – effizient – sein – wir können ihre Ordnung – angeben – Punkt – schon – einige Kriterien – sich anzugucken – an – das gucken uns mal gerade für drei an nämlich die zweite Ableitung – von Y – nach X – soll sein Y Quadrat – die zweite Ableitung von Y X soll sein – X Quadrat ✂ zweite Ableitung von Y minus X Quadrat ist gleich null und – einen noch – viermal – die zweite Ableitung von Y – minus – X Quadrat – Y Strich – plus neun – Y – ist gleich – Sinus von – fünf – X – vier Differenzialgleichungen – ähm vermöchte sie sich jeweils mal überlegen – wie das mit diesen – Kriterien ist – sind die jeweils – explizit – in homogen was ist die Ordnung – und so weiter – für all diese vier – gucken uns mal zur Probe die erste an immer die ganzen – Kriterien messen gelingt – sowas war die erste – Rahmensubstanz – Beistrich gleich Y – Stunts Beistrich gleich Y Quadrat – gewöhnlich – oder partiell – partiell – es ganz einfach – partiell ist wenn partielle Ableitungen vorkommen – wenn sie eine Funktion suchen die von mehreren – anderen – Größen abhängt und dann partielle Ableitungen auftauchen insofern ist das billig nicht das offensichtlich – eine gewöhnliche – und keine partielle – ?? im englischen Ordinariatsorden – ?? different Schrägstrich ODI – am – partielle Versagen Reichenbach begann Chen viel zu schwierig die kommende Semester nicht an – nächste Schritt explizit – implizit ✂ der explizit heißt die höchste Ableitung steht nackt – auf einer Seite und kommt ansonsten nicht vor explizit – aufgelöst – nach der höchsten – Ableitung – nicht implizit das Gegenteil wäre implizit – ähm – der dritte hat sich gerade als etwas – spannend herausgestellten – Jahr oder nichtlinearen – das ist das überraschende – nichtlinear – ist nicht bin ja an – Berlin Jahr ist erlaubt – ist nur erlaubt dass sie irgendwelche Funktionen von X haben – irgendwas von X mal – Y und seine Ableitungen – bloß irgend eine Funktion von X mal Erstableitung – von Y von mir aus plus irgendeine Funktion von X mal Y – am – plus irgendeine Funktion von X gleich nur sowas könnte zum Beispiel auftauchen in einer linearen Differenzialgleichungen – die gesuchte Funktion – und ihre Ableitungen – dürfen – nicht mit Quadraten – oder Sinus und ähnlichen verziert sein dürfen verziert sein – mit – Funktionen die von X abhängen – aber jetzt nicht von Y abhängen ?? das wäre auch nicht erlaubt eine Fusion von Y steht ?? die Fusion hier müssen von X höchstens abhänge dürfen höchstens von X abhängen die können auch konstant sein – Kräfte der schon voraus – aber sie dürfen auferlegt – das es hier nicht der Fall Simpson Quadrat – das macht es kaputt das ist eine nichtlinearen – Differenzialgleichungen – machen größtenteils – lineare Differenzialgleichungen – sind einfacher – und reichen auch – annäherungsweise – erst mal hin – dass es einen nichtlinearen – ?? sollte man schon erkennen können ups Vorsicht – bisschen böse die partiell sind richtig schwierig – die nichtlinearen – ?? sind auch richtig schwierig am schlimmsten sind die partiellen nichtlinearen – ganz fürchterlich – der Beschäftigung hauptsächlich – jetzt mit den gewöhnlichen – und den – Jahren – so – am – homogen inhomogen – da muss man sich jetzt an was erinnern nachdem man so weit gekommen ist muss ?? sich bei homogen inhomogen an irgendwas erinnern – ja – doch keines von beiden Vorsicht – Fangfrage – diese ist weder homogen noch inhomogen keines von beiden es ergibt keinen Sinn homogen inhomogen ergibt nur für den Jahr sind wenn ich somit Differenzialgleichungen – habe die soundsoviel – von X mal Y zwei Strich plus soundsoviel von X mal Y ist gleich soundsoviel von X – dann ist die – in homogen weil es gibt einen Term – in dem kein Y oder seine Ableitungen vorkommt das es die Inhomogenitäten – Benz und der nicht gäbe dann wäre sie homogen – das ergibt aber nur Sinn für lineare Differenzialgleichungen – bei nichtlinearen Differentialgleichung – können Sie diese Aufteilung nicht machen – Punkt sonderen steht und nicht drinsteht es gibt keine eindeutige Aufteilung – also Vorsicht – das ergibt nur für – lineare Differenzialgleichungen – sind genauso das mit den konstanten Koeffizienten – auch das ergibt nur für lineare Differenzialgleichungen – sind Ordnung hatten alle richtig zwei – die höchste Ableitung die vorkommt ist die zweite – Konstante – Koeffizienten – wenn ich eine lineare Differenzialgleichungen – habe – soundsoviel – Naviguide von X plus soundsoviel ?? meine Beistrich dass unsere Begriffe von Y – ist gleich soundsoviel in Abhängigkeit von X als Konstante Koeffizienten – dass dieses hier nicht von X abhängt – Punkt was man – dass das hier nicht von X abhängt dieser Koeffizienten – nicht von X ab und dieser kommt Koeffizienten nicht von X ab das heißt Konstante Koeffizienten ergibt auch wieder nur Sinn für lineare Differenzialgleichungen – dass die Zahlen – die vor der in dem Y seinen – Ableitungen stehen dass die Zahlkonstante – sind und nicht von der – unabhängigen Variable abhängen – das Wasser noch über ist was wohl die gesuchte Funktion steht das darf dann immer noch – von der – unabhängigen Variable abhängen das es okay – wenn – das muss einem an weiteren Beispielen eines Wiesinger ?? Punkt – in diesem Sinne würde ich sagen um sich Komma die anderen an – und denke noch weiter drüber nachwies mit den anderen dreien ausübt ✂ ?? ✂ bevor wir zu dem zweiten Kommusik hat einer mal sagen warum es keinen Sinn ergibt bei nichtlinearen – Differentialgleichung – homogen inhomogen – und Konstante Koeffizienten zu sagen – gucken sie sich – normalfolgender – ja noch folgendes Y Strich plus eins Quadrat ist gleich null – eine nichtlinearen – Differenzialgleichungen – aber dieselbe Differenzialgleichungen – können Sie auch so schreiben sie sagen Y Strichquadrat – plus zwei Y Strich – ist gleich – minus eins – Linien das auseinander – so sie nehmen das Quadrat auseinander bringen die eins rüber – steht dann gleich minus eins – würde jetzt sagen diese Differentialgleichung – ist – homogen – oder wenn sie sanfte Differentialgleichung – ist in homogen in der minus eins dar je nachdem dieses umformen – ähm fing sie mal das eine oder mal das andere raus – wenn ich dagegen – ein Lineal Differenzialgleichungen – habe soundsoviel abhängig von X mal Y Strich – Komma zweiter Ordnung plus soundsoviel abhängig von X mal Y – eins Strich plus soundsoviel – abhängig von X mal Y ist gleich soundsoviel – wenn ich so eine Differenzialgleichungen – habe – ihn ja – dann kann ich die zerlegen – in dieser – zu mahnten jeweils soundsoviel mal die soundsoviel Ableitung von Y – und vielleicht auch einen Term ohne Y – sobald ein ?? ohne Y die gesuchte Funktion gibt weiß ich das Ding ist in homogen – keiner ganz schiefgehen – ?? das immer automatisch so schreiben kann als lineare Differenzialgleichungen – ?? ergibt die Unterscheidung sind ergeben auch die konstanten Koeffizienten sind das wenn der mir die Zahlen die vor dem – Y der gesuchten Funktion stehen wenn hier Konstanten – stehen keine Funktion abhängig von X – dann heißt das Ding – die Jahre von zahlreichen mit konstanten Koeffizienten – eine nichtlinearen ?? von Saargleichung – könnte das einfach nicht auseinanderziehen – sie können nicht genau sagen was Koeffizienten sind und sie können nicht genau sagen was die Inhomogenitäten – bessere gibt es da keinen Sinn – aus man kann nicht sagen – er – eine nichtlineare Versager sei homogen – oder sie sei in homogen sie ist weder noch es ergibt keinen Sinn und sie können auch nicht sagen bin ich in der ein nichtlinearen zahlreichen Konstante Koeffizienten – oder keine Konstante Koeffizienten – weder noch – ?? es ergibt keinen Sinn – sollte man sich hier Tipps Und-Zeichen ist gleich X Quadrat – Y zwei Strich ist gleich X Quadrat dies offensichtlich – gewöhnlich – weil es kommt ein Patient Ableitungen vor das ist das aller einfachste – dies explizit denn es ist nach der höchsten – Ableitung aufgelöst – so – etwas spannend – sie ist absurderweise – linear – das hat ein bisschen geknirscht – Komma zurück zu der eben – das ist eine nichtlineare – die gesuchte Funktion kommt – Quadrat vor oder – im Sinus – oder ähnliche – Schreinerei dann wird es nichtlinear – diese hier ist – in den Jahren – sich überlegen was erlaubt ist irgendwas in Abhängigkeit von X mal Y zwei Strich plus irgendwas in Abhängigkeit von X Ergänzungsstrich – irgendwas in der Königs Y – ist gleich irgendwas in der Fähigkeit von X ja – alles in Ordnung irgendwas in der Fähigkeit von X X Quadrat – es ist erlaubt bei linearen Differentialgleichung – dass die unabhängige Variable in Quadrat und Sinus und sonst was vorkommt wichtig ist das die – gesuchte Funktion – und ihre Ableitungen – nicht im Quadrat und sie müssen sonst das Vorkommen diese hier ist bin ja – was kostet ein bisschen Überwindung – aber die ist ja – soweit einverstanden – hatte – der der Weg für jetzt folgender weil sie den Jahres kann ich die Frage beantworten – ob sie homogen oder inhomogen ist und Weitlingjahr ist kann ich die Frage beantworten ob sie Konstante Koeffizienten hat – sie ist – in homogen Samowar schon – gesehen – das X Quadrat hier – macht es inhomogen es gibt einen Ausdruck – der steht ohne Y oder seine Ableitungen – in homogen – wenn es hier keinen solchen Ausdruck – gäbe wenn ihr null stünde – dann wäre sie – homogen – wie stets mit den konstanten Koeffizienten – ja oder nein das kann man es mit Ja oder Nein beantworten – wann genau es gibt nur einen effizienten und S eins – einmal – Y zwei Strich oder genauer gesagt ?? es gibt eine ?? und andere die sind null – an – Punkt – hier steht unten X Quadrat – und dann steht er einmal – Y zwei Strich plus null mal Y Strich plus nur mal Y ist ganz streng sind – eins null null dessen konstante Zahl – der steht nicht X mal Y zwei Strich oder Sinus von X meinerseits Beistrich seine Konstante eins und die stete Konstante nur – dann Konstante null ja Konstante Koeffizienten – und die Ordnung ist natürlich weiterhin zwei – das hier aus – jetzt kommt die nächste dich nur minimal geändert habe – von Y zwei Strich ?? X Quadrat – auf Simpsons Beistrich mäßig Fahrrad gleich null – das ist jetzt corinthmäßig – Y zwei Strich minus X Quadrat – ist gleich null ist natürlich weiterhin gewöhnlich bei immer noch keine partiellen Ableitungen auftreten – in seiner Firma gerade weg – siehst weiterhin – den Jahr – wie die eben – wie stets mit homogen inhomogen – genau inhomogen denn es gibt weiterhin ein Ausdruck – der ohne Y steht – egal wo der steht das dann gleich null steht das hilft mir nichts ist trotzdem inhomogen es gibt einen Ausdruck der ohne Simpson auftaucht – und er sich weiterhin Konstante Koeffizienten – zur weiteren Ordnung zwei – ?? kommen hier zum – feinen Detail explizit – implizit – was würden Sie sagen – wenn wir streng sind müssten wir sagen implizit – weil ja die höchste Ableitung nicht mehr allein auf einer Seite steht es natürlich total nervig – ähm wir sind so dicht – daran das die höchste Ableitung auf einer Seite steht – ?? trotzdem will ich streng sagen das hier ist implizit und nicht explizit – an – es gibt im deutschen einige Kollegen die das noch weiter verfeinern das ?? normal ansagen – das habe ich in den alten Videos nicht getan – an – es gibt im Deutschen Leute die einen sagen – das ist eigentlich eine explizite Differentialgleichung – aber diese Form hier ist eine implizite Form die dann die Unterscheidung machen hat es eine implizite explizite Form – oder ist diese Differenzialgleichungen – explizit implizit – die Kollegen sagen dann wenn ich auflösen – kann ?? machen sie die fein sind – also die Unterscheidung wenn ich auflösen kann nach der höchsten – Ableitung dann ist die explizit – an das finde ich gewagt was heißt auflösen können wie verstrickt kann das Seitenganze sein und ich kann noch auflösen und sich dabei der harten Linie – für mich es explizit wenn die höchste Ableitung alleine steht – am also für die hier noch streng als – implizit Bezeichnung seien Sie vorsichtig – es gibt feinsinnige Unterscheidung – stellen – ?? was übersetzt – hier – die – kopier ich mal – das ich jetzt mal so eine Wiese dann tatsächlich vorkamen kann wenn man irgend welche Schwingungen untersucht – Punkt sie liegt der Platz – sowas ✂ was halten Sie von der ?? – also ich fass mal zusammen sie ist gewöhnlich war keine partiellen Ableitungen auftauchen – sie ist – nach meiner Definition – implizit – weil ich nach der höchsten Ableitung aufgelöst – ist man könnte natürlich nach der höchsten Ableitung auflösen – und im Sinne von anderen Leuten wäre sie explizit – hätte hier aber eine implizite Form – wird es Einfahrt aber so streng lassen sie implizit benennen – ähm – das Fahrrad wieder überraschend das Lineal ist – soundsoviel – mal zweite Ableitungen steht soundsoviel mal die erste soundsoviel mal die Funktion ist leicht soundsoviel – diese soundsovielssoundsoviel – ?? dürfen von der unabhängigen Variable abhängen die dürfen hier von dem X abhängen lassen sich davon nicht irritieren – das es erlaubt ?? Mix abzuhängen Situation – von Lineal Differenzialgleichungen – eher was verboten wäre wäre wenn hier Y Strichquadrat – stünde dann wäre sie nicht linear aber so ist es in Ordnung – also linear – es gibt einen Term der steht ohne Y oder seine Ableitungen – die Inhomogenitäten – also ist sie in homogen unabhängig davon wo diese Sinus steht das Sinus auf der anderen Seite steht – ist nicht nur es gibt einen Term der ohne Y steht – Fusion oder eine Ableitung – steht – dann ist in Homogenmaterials – kann ich nicht sagen ob sie homogen oder Inhomogenessig – kann auch noch sagen ob die Koeffizienten konstant sind und hier gibt es eben einen nicht konstanten Koeffizienten – X Quadrat ist keine Konstante – vieles konstant – neues konstant – der Sinus hier ist kein effizient – dass er die Inhomogenitäten – der stört mich nicht ob es X fordert stört mich also keine konstanten Koeffizienten – effizienten – Chopper hinein – und die Ordnung ist die zweite – okay – sie noch eine Sache ein bisschen üben mit ihnen – hier ist die gesuchte Funktion Y und hängt von X ab – und das ganze muss man jetzt so auffassen mit X und Y schreibe ich noch was hin mit X und T – zu stellen ob das auf den hauten – ?? sowas habe die zweite Ableitung nach der zeitpunkt Punkt wie die Physiker das Schreiben die zweite Ableitung nach der Zeit meine groß X – plus den Sinus – von der Zeit mal – X also den Sinus ausrechnen und dann – mit X modifizieren – soll sein der Kosinus – von der Zeit – erste Differentialgleichung – zweite Differenzialgleichungen – zweimal ableiten nach der Zeit – plus den Sinus von – X mal X soll sein der Kosinus – der Zeit – und zweimal – nach der Zeit ableiten plus – sieben Matrix soll sein – der Kosinus von der Zeit ✂ selbe Frage wie bisher – für diese drei noch mal – gehen wir die mal durch – ?? – dies offensichtlich gewöhnlich – hier steht ja die zweite Ableitung von X nach – der Zeit eine ganz normale Ableitung eine partielle Ableitung – ähm – sie ist in meinem Sinne – implizit – weil nicht nach X zwei Punkt der höchsten Ableitung aufgelöst ist im Sinne anderer Leute – ist sie explizit ?? weit in extra Punkt auflösen können – hat aber hin implizite Form war nicht extra Punkt aufgelöst ist für mich ist die aber implizit nicht explizit – ähm – überraschend gerade wieder ist das sie – linear ist – die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen – tauchen auf als – soundsoviel – mal – ein Faktor der nur von der – äh unabhängigen Variable abhängt – und dann Gibson Extrater – aus ihr dürfte es eine lineare differenzialgleichen – diese Art dürfte so aussehen Funktion von Teematrix – zwei Punkt – plus eine Funktion – von T mal X Punkt Plus eine Funktion – von T mal X ist gleich eine Funktion von T – das wäre die allgemeine lineare Freizeitkleidung – zweiter Ordnung klar – ähm – denn meine gesuchte Funktion X heißt und meine unabhängige Variable – T heißt – sie sind Sinus von T war kein Problem – das es erlaubt – Sinus von X wäre jetzt verboten – an das bringt ein Durcheinander des ?? als Beispiel gebracht – an – sie finden eben beide Formen einmal die Form bei der Y – die abhängige Variable ist und X die unabhängige Variable ist – und ?? finden Sie die Form gerade bei den Physikern bei der – X die – Abhängige ist und T die unabhängige ist also vorsichtig – über den Zusammenhang betrachten sie können nicht immer sagen – wenn X Quadrat steht ist es in Ordnung wenn hier X Quadrat stünde – in ihr Exponat stünde westlich in Ordnung für lineare Differenzialgleichungen – die gesuchte Funktion ?? Ableitungen – dürfen nur den Jahr vorkommen – Sinus von zehn Sinus der unabhängigen Variable ist okay – soweit – an Business gibt einen Term der hängt nur – von Tee ab und das X dabei steht in Kosinus als sie in homogen – und sie hat keine konstanten – Koeffizienten – Nein – denn der Sinus von T das Bier dieser Koeffizient – ?? – der ist nicht Konstantdenker – von dir also keine konstanten Koeffizienten – das dazu – nächste an – die – eine kleine Änderung gab Sinus von X reingeschrieben – das war die einzige Änderung hiermit Sinus von X statt Sinus von T – eine – gravierende Änderung – des weiteren gewöhnlich den Gang immer noch keine partiellen – Ableitungen – ist nach meiner Definition weiterhin implizit denn X zwei Punkt alleine die höchste Ableitung – sie ist – linear oder nichtlinear – Punkt – das hat ?? welchen – Sinus von X macht es kaputt – die gesuchte Funktion X und ihre Ableitungen dürfen nur vorkommen als X X Punkt X zwei Punkt soweit ?? mal eine Funktion von T steht ?? Funktion von X das ist verboten bei den ?? Jahren also – nicht wenn ja insofern ergibt es keinen Sinn nach homogen in homogen zu Fragen des ?? ergibt ganz interessant Koeffizienten zu fragen kann aber die Ordnung sagen bis zwei höchste – Ableitung die vorkommt – ?? so und die allerletzte ihr – ?? – noch – so immer noch keine partiellen Ableitungen – ?? gewöhnlich – in meinem Sinne – implizit weist aufgelöst – andere Leute würden sagen explizit aber in impliziter Form – um – nicht den Jahr bin ja stets damit – dass es auch mir wirklich einfach die ist den Jahr – ein malig zwei Punkt sieben mal X – nur mal X Punkt – und der Kosinus von T steht ohne jegliches X das es erlaubt für den Jahr – klar nach den bisherigen ?? in homogen – war der Kosinus von T ohne X X Punkt X zwei Punkt steht – was halten Sie von konstanten Koeffizienten – Jahr – einmal – X zwei Punkt dessen konstanter Koeffizient – null mal X Punkt Konstante null sieben Matrix alles konstant – Kosinus von T das ist kein Koeffizient hier steht kein X X Punkt dabei ?? das kann Koeffizient der davon die abhängen und die Ordnung ist immer noch gleich zwei – ?? sowie das aus – und man hat dann nachher – in zwei drei Wochen hat man dann – ein Rezeptbuch – vom ?? nachgucken kann au ja ich habe eine – lineare – Differenzialgleichungen – in homogen zweiter Ordnungkonstante – Koeffizienten weiß man wie man das lösen kann – am – ?? aber ich erzähle ihn auch tatsächlich warum sie so lösen können und nicht nur das nackte – Rezept ✂ ja noch mal die Frage warum – kann ich bei einer nichtlinearen – Gleichung nicht sinnvoll sein ob sie homogen oder inhomogen ist – Klammer zu Definition von homogen in homogen zurück wenn ich ein Lineal – Differenzialgleichungen – wie dieses hier das wäre eine lineare – Funktion der unabhängigen Variable mal diese ?? zu viel der Ableitungsfunktion – der unabhängige Variable lesenswert ?? plus plus plus ist eine Funktion der unabhängigen Variablen – da kann ich eindeutig sagen – gibt es einen Term – der ohne meine gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen steht ja hier gibt's Themen da nicht ?? null steht – jetzt einen Term und ich nenne das Ding in homogen – wenn ich dagegen – eine nichtlineare – Differenzialgleichungen – habe – ist diese Aufteilung unklar – kann jetzt hier auch Y Beistrich Quadrat stehen oder kann jede Sinus von Y zwei Strich stehen – aber dafür die Wurzel stehen da vier – dafür an dieser Stelle Trennstrich plus eins – Quadrat stehen bei der nichtlinearen – je nachdem was erlauben ?? auf der linken Seite ?? nicht in der Funktion würde da mal Null stehen oder nicht das ehrliche versucht vorzuführen – solange man das sich auseinander gedrosselt hat und das macht man einfach nicht weil es kompliziert wird kann man nicht sagen ob nichtlineare die Versager – homogen oder inhomogen sein sollen – ähm es gibt noch in anderen Grund weshalb man sich das anguckt wenn sie – eine homogene – lineare Differenzialgleichungen – ?? ?? Gedankenstrich null – eine homogene – lineare Verzagtheit – dann hat die Eigenschaft – des jedes Vielfache – meines Y – auch wieder eine Lösung ist wenn wir das dreifache nehmen – ist die Funktion das dreifache die Ableitung des dreifachen die zweite Ableitung das dreifache – das ist eins der Hintergedanke – bei homogen – wenn sie nämlich den Jahre von zahlreichen ✂ Haar – wenn sie so eine nichtlineare Versagergleichung – haben und sie musizierte mit drei – passiert sonst was aber sie haben es wahrscheinlich nicht wie deine Lösung das es eigentlich der Hintergedanke bei homogener Komma noch drauf an was jetzt angesagt habe sondern rein formale Eigenschaft dass es keinen Kern gibt – der mit der gesuchten Funktion ?? ihre Ableitungen steht – was man eigentlich Philister möchte die Garantie dass man alle vielfachen – einer Lösung auch wieder eine Lösung sind eine homogene lineare Versagen haben sie diese Garantie – bei so einer Differenzialgleichung – hatte die Garantie nicht hätte da Y mit drei modifizieren – muss Beistrich was da passiert Ausrufezeichen – keine ✂ Lösung sein