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19.03.1 Konvergenz, bestimmte Divergenz


CC-BY-NC-SA 3.0

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wozudas ganze das ganze war dazu da um sich zu überlegen was denn so ein Verhalten im unendlichen bedeutetwas heißt denn eigentlichdasdies hier gegen null geht was heißt dass das hier gegen ?? geht im unendlichenwas heißt dass diese Folge hierunendlichen gegen endlich geht diese hier NS Recht gegen unendlich geht und später vielleicht mal was heißt dass diese folgendenSinus geht eine Folge von Funktionen gegen die Sinus geht was heißt das eigentlichder Begriff GrenzwertGrenzwerteiner Folge?? ergibt ?? noch im Grenzwert einer Funktiondas ?? ganz vielen Stellen wird man Grenzwert einer Folge im unendlichensuche ein Ding was er nachher so geschrieben wirdeine Zahl wardie der Grenzwertihm SL IMin LudwigidaMartha Dankder E-MailsA N N gehen endlich so gestern geschriebenein Grenzwerte muss es nicht immer geben Benzin gibt kann ich das schreiben wenn's einen Grenzwert gibt kann ich das so schreiben wird ein Grenzwertnicht gibt darf das gar nicht so hinschreibendas schreibt man so oder etwasschneller auch gerne mal so AN geht gegenAnicht verwechseln mit der Abbildung X wird abgebildet auf X Quadrat das abbildungsfreienoderder Definitionsbereichwird abgebildetindie Menge sowasoder nach der Zielmenge selber zu versagenDame noch und falls dieser Fall hier soll heißen ?? konvertiert gegen hat als Grenzwertoder eben anders korrigiertgegen eine Folge mit einem Grenzwert heißt dann Konvergentwenn sie kein Grenzwert heißt hat heißt das divergent wenn sie divergent ist darf ich diesen Ausdruck ganz dem Schreibenund diesen genauso wenigwas darf ich nur für Konvergent Reformen hinschreibenfolgen mitGrenzwert folgende einen Grenzwert haben Folgen die sich um einen ersten Ballenlassen sich gerne mal genau sagen was in das heißtman kann zumindest schon malanschaulichSupersachenanguckendrei durch ähm die Folge drei durch ähmen geht gegen unendlich und ich frage mich jetzt oberste passieren ?? Beistrich nicht drei durch eins drei durch zwei drei durch drei drei vierdrei durch eine Milliondrei durch eine Milliarde drei durch eine fantastische und offensichtlich wird das gegen null gehen?? bisschen genauer sagen ?? offizielle Begründung dafür aber offensichtlichwenn der Begriff Grenzwert einen Sinn hat dann muss diese Folge etwa durch ein eine zweite?? gegen null geht die Mutter nähert sich der Nulldichtan zur Folge noch null FolgeTelefonnullnull Folgeanderes Beispielein Quadrat plus zweidurch drei N Quadrat das ganz offensichtlichwenn ich da die Folgen wieder berechneeins einsetzenextraein Tier bringen also gucken uns den anN Quadratähm N Quadrat plus zwei durch drei N Quadratwas der tatsächlich tuten gleich eins zweidrei?? Band aus ?? mit vier und so weitereng gleich eins Trennstrich eins Quadrat plus zweimacht drei durch und steht drei mal eins Quadrat drei durch dreiN gleich zweientsteht hier vier plus zwei mal sechs durch drei malvier sind zwölfwaren dann kommt drei sind neunpluszwei macht elf durch drei malneun sind siebenundzwanzigund vierZiffer wirklich heftig sechzehn PluszeichenachtzehnO und drei maldrei mal sechzehnsind achtundvierzigund so weiterverrechnet ??das mal als Idee zu dieserexplizitenDarstellung einer Folge das hier istexplizitan explizit Rechenvorschriftsich jedem Nkann ich sofort ausrechnen was denn das Volk sein soll als ich schreibe dieses hin und meine die Folgeeinsein halb elf sind zwanzigSternauch kürzen was auch immer und so weiter und so fort ich meine diese Folge schreibe das hier indie Formel für dasallgemeinefolgendin?? überlegen was da passieren wirdein anschaulich was erwarten Siesie klingt schon Ahnung was der ganze sein müsste wenn es einen gibtes große Zahl einsetzen tausend tausend Quadrat eine Million eine Million und zwei durch drei Millionen das macht ungefährein Drittelwas Komma noch offiziellan der Trick ist das sie umzuformenich kürze oben und unten durch ein Quadratoben durch ein Quadrat entsteht da eins plus zwei durch ein Quadrat und unten drei N Quadratswurzelnsteht der dreiSegmente etwas deutlicher verkleinert mehr zur medizinischenetwas deutlichersind es zwei durch ein Quadrat ist eine Nullfolgedas geht gegen Nullunterbleibt im Endeffekteins durch drei ?? in der Tat das geht tatsächlich gegen Einzel drei mit einem ausführlicheraberwenn der Begriff Grenzwert irgendwie Sinn ergibt sollte diese Folge gegen ein Drittelkönnte auch mal zum Beispielganz fieses bringendie Folge Sinusvon N?? sehr bedingt hier unternehmen sie die Sinus von eins den Sinus von zwei den Sinus von drei den Sinus von viermanchmal offen Extrabettchenoder wasSinusden Sinus als Folgedoch um ?? doch mal eine divergente Folge haben willdas klarzumachen?? kleines Nund jährlich eins zwei dreivier fünf sechsacht neun und so weiter zählt mal die Events durchund trage für jedes Nden Wert von Sinus N eindas als allgemeines folgend?? das erste Volkslied wäre hier der Sinus von eins dann den Sinus von zwei Business von drei bis vier durch Bogenmaße nichts dazu sagenunkann man irgend eine dieser Werte relativgenau angeben Sinus von einziges von zweites von drei Sinus von vierder sich vor wie die Sinuskurve durchgehtdreist ungefähr die das heißt der Sinus hat zu knapp über der drei hieran der Nullstellebei die halbe irgendwas bei anderthalbist der gleich einsso würde der Sinus der durchgehenbei zwei PiText Komma irgendwas ist er wieder da und geht aufund so weiterwas jetzt nach ist das hier eine Folge umzuwandeln ?? dreißig ?? eine Stelle eins nach ich guck an der Stelle zwei Nachrichten eine Stelle drei nach an der Stelle vier eine Stelle füllendas sie nach ?? meineFolge wenn ich das so hinschreiben ?? Sinus von eins die Sinus ?? zwei Business von 3D Sinus vierte fünf und so weiterund ich hoffe das es an der Stelle schon einleuchtend dass diese Folge keinen Grenzwert haben kann das oszillierthübsch zwischen minus eins ?? plus eins bezieht sich auf keine Zahl zusammendieses hier zieht sie auf die Zahl ein Drittel zusammenan das sie bezieht sich auf die Zahl Null zusammenaber hier beim besten Willen geht es die ganze Zeit hin und herdas Tendenzen tendiert im örtlichen Gegenlicht das hat kein Grenzwert diese Folge wäredivergentnicht Konvergentdürfte auch gar nicht dass ihr Schreiben Sinus von N geht gegen irgendwasdürfte schon reinschreibenweiles divergiertdiesesSymbol geht gegen irgendwasdavon an einer Stelle doch schreiben und wo man Divergenzendas heißt diebestimmteDivergenzdann davon plötzlich doch Schreibenanden Markt im allgemeinen Gemeinderat mal zurückanmir aber schon paar Folgen von dieser Artbei der ersten Folge hier eins zwei drei vier fünf möchte ich dann geht gegen unendlich bei der zweiten fünf sieben neun elf möchte ich auch sagen die kreditgebenden endlich das ist kein streng streng genommen kein Grenzwertfolgeheißt dann nicht Konvergentbei unendlich keine Zahl isttrotzdem schreibt man das Symbol hinmit dem Pfeil und nennt das dannbestimmt divergentauf die Folge weiß wohin gehtanders als der Sinus hierder aus wir die ganze Zeit vor sich hin aber sowas wie eins zwei drei vier oderan?? hundert fünf sieben neun elfist bestimmt divergent es wächst über alle Grenzen und es fällt oder es fällt unter alle Grenzendavon noch den Fall schreibenstimmt'sdivergent?? geschriebenesNummer elfwird geschrieben als A ähm geht gegen unendlichoderminus unendlichalso das wäre hier bestimmt divergentgegenplus unendlichunendlichgroß schreiben erscheintdannbestimmt divergent gegen das endliche mit einem Minus wird auch in dem fallgeschriebenerRomanes nicht Konvergentund der Gedanke dahinter ist folgenderdas Komma noch relativ leicht in Formeln fassenKomma solche Formenin eine sehr strenge Vorschrift fassenwas soll das heißen was soll heißen A N geht gegen unendlichbestimmt divergentgegenwas soll das heißenda sagt man das ist äquivalent zu folgendem?? das so toll was man so inder anschauliche Gedanke ist folgender wenn sie dieReihe auf Malen soll eineReihe diebestimmt divergent ?? die Folge auf mein seine Folge bestimmt divergent gegen plus unendlich ist folgende Eigenschaften habenund Eigenschaft habenjede Schranke die sie vorgebenjede Schranke die sie vorgebensoll irgendwannendgültig überwunden werden das soll das heißenalso wenn mir jemand eine Schranke vorgibt?? gerne ähm in diesem Spieljemand gibt mir seine Schranke elf vordann muss ich folgendes nachweisen können um zu sagen dass die Folge bestimmt divergent gegen plus unendlich ist es muss in jedem Fall ein folgenden Text gebensodass ab dem folgenden Indexdie Werteimmer größer gleich diesen Enseegal was das ähm wardas für eine Wette bei der man sein muss dass man sie immer gewinnen kann wenn ich behaupte an diese Folge AN ist bestimmt divergent nach plus unendlichgeht gegen plus unendlich ?? das behauptemuss ich folgendes Spiel immer gewinnen könnenegal welche Zahl mich jemand gibt groß die Zahl ähm istegal wie groß die ist muss ich eine Zahl N angeben könnendas die Folge ab diesem Index ähmgarantiert größer gleich dem ähm istdenn das gehtin ?? großes M wardann heißt dass diese Folgeentschwindet ins unendliche und kommt nie wieder zurückmit dem entgehtman Gegenspieler nächsten Versuch ein größeres ähm und ich muss dann ist wahrscheinlich ein größeres N angebenund so weiterwenn ich zeigen kann dass das Allgemeingeldegal welches MS finde ich so einenhabe ich gewonnen diese Folge ist bestimmt divergentalso die Definition der offiziellen Definition ist dann für jedes??für jedes endenfür jede reelle Zahlähmgibt eseinen folgenindexendenElementendlos schreibe ich mal die natürlichen Zahlen ab eins aufwärtsfür jedereale Zahl her ähm Ausrufezeichenegal wie groß sie ist gibt es einen folgenden Indexsodass ab dem folgenden Indexdie Folge oberhalb bleibt und nicht zurückkehrtso das A ähm größerdiesem MS oder größer gleich schon aus größer gleich diesen ähm istfür alleIndicesab diesen einensicher größer gleich oder größer schreiben und hier größer gleich odergrößer schreiben das macht einen großen Unterschied?? ich hatte sie heute größer gleichegal schreibtdas ist die offizielleDefinition von bestimmt divergent gegen plus unendlichfür jede noch so große Schrankeähmmuss ich zeigen könnendass die Folge irgendwannkomplettoberhalb der Schrankenab daab irgend einendas dann typischerweiseweit draußen seindas will strikte formale Definitionan will ich im einzelnen vorführen wie das denn tatsächlich gehtalles etwasgestand EDSFallbeispielefür die man das aber ziemlich einfach zeigen könntedrei Wochen an ein paar Beispielevon Folgen diebestimmt divergentessindanein Quadratsinnvollerweisein sichanguckeneins hochzweizwei hoch zweidrei hoch zweioffensichtlich überwinden sie jede Schrankedamit und kommen nie wieder zurückdas es so einfachund ?? zeigenalso das Zoff nicht bestimmt divergent gegen plus unendlich E hoch N genausodie äh Funktionwächst über alle Grenzen kommt nicht zurück und das gleiche gilt natürlich dann bin ich jetzt hiereinfach die hoch eins E hoch zweihoch drei sind Maßstab stimmt überhaupt nicht wie hoch vier Ego fünf Bilderdasdivergiert bestimmt gegenplus unendlichan die Wurzelfunktionist ein bisschen langsamer zu Gangeschafft es aber auch da Komma seit gerade mal zum Test nachprüfenam Baum die Position das schafftdie Wurzel auf mein Limit nicht die komplette Wurzel sondern ich nehme die Wurzel aus eins die Wurzel aus zwei die Wurzel aus drei weiterschreibe das hintereinanderbehaupte das wächst über alle Grenzenohne zurückzukehrendas man als Nachweisvorgeführtwie schaffe ich dasnunich möchtezum Schluss das Wurzelähm größergleich ähm ist irgend eine vorgegebene Zahl ähmfür alleIndicesdie Größe einengegebenen Enden sinddie Frage setzt wie bestimme ich dieses enbestimme ich das ähmso das die Wurzelnab diesem Indexgrößer sind als angegebenesdas ist gegebendas Leben und das ?? unten ist gesuchtvielleicht mal lesbar geschriebensuchtist das ähmwie finden Sie das änderndieses en zu sein gegeben ähmdas bei dieser Formel wirklich billig als gegeben ähmwähleNgleicham Quadratdann habe ich das was ich habendas dieses Spiel ging wie folgtjemand sagt mir auch?? zeigt mir dass deine Folge hier garantiertab irgend ein Index größer ist als ähm?? und ich sageokaydann probier den Indexam Quadratin leicht im Quadrat ab dem Index wird sie garantiert größer seineinfach nachwenn ähmgrößer gleich N istN also größer gleich im Quadrat ist ist die Wurzelgrößer gleich im bindas esso haarsträubend willigKomma weiter auflösen kannmanfür diese Folgen hier wäre das einfachfür schwierige Folgenist ganz im Detail vorführen geht'sum den Gedanken der ?? stecktdieses diese Idee von diesem Bildnicht so ein Diagramm hier Bauer ich schneide meinen meine Folgebei irgendeiner Schranke abmuss ich auch rechtsimmer abschneiden könnensodass sie unten keiner mehr liegtegal auf welcher Höhe ich abschreiben und was verboten ist ist das die Folge hinwieder wiederdazu Punkt das darf nicht passierennur dann heißt sie bestimmt divergent gegen plus