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15.6 Potenzreihen und Analytische Funktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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einmal – noch ein Rückblick – zu den Hotels rein – waren – zwei Aspekte gab's bei Potenz – wenn ich eine Tellerreihe – bildet zu einer gegebenen Funktion – fehlerfreie – Bildungsfunktion – guck ich mir die Funktionen ihre Ableitungen an einer – Stelle an – Funktion – und hoffe dann – lass das – dass die Telereihe die damit bilde die Potenzreihe – die Kellerei die ich damit bildet es diese Funktion – nicht nur ?? sein Stelle nach an das ein bisschen wenig sondern vielleicht sogar insgesamt für alle X Werte – nach Abend leider hat das nicht ganz zwei Probleme – erstes ist die Frage konvertiert – die Kellerei – ich zu mir ja unendlich viele Sachen auf – einem wenn sie nur auf summieren – ?? zwei plus drei plus vier römisch – bei der tausend andere Sachen Eskalation endliche Summen sind kein Problem – das Problem ist diese unendliche Summe die Reihe – sie auf summieren eins plus ein halb plus ein drittel plus ein viertel – wird das zum Schluss was endliches werden – lustigerweise das wird schon nichts endliches werden diese Summen müssen hinreichend schnell abklingen sonst klappt es nicht mit der Konvergenz – sowie der Zimmer vorgeführt bei Potenzrheins – das dann relativ einfach – beantwortet der Konvergenzradius – wenn – die Stelle an der ich meine Fusion ausrechnen will bestelle X ich meine Reihe einsetze – wenn die hinreichend dicht an der Stelle ist dann der die Funktion entwickle ?? zehn – wenn sie so weit weg ist haut nicht hin mit der Konvergenz – und das geht in alle Richtungen – gleichermaßen – das ist das erstaunliche – ähm – ?? Komplexen macht das ist die Stelle an der ich entwickle im komplexen – Alter – Imaginärteil – Stelle an der ich entwickle hier meine X null – gibt es einen eine Kreisscheibe – mit einem bestimmten Radius das nennt sich der Konvergenz der Netze der Konvergenzradius – überall innerhalb dieser Scheibe – habe ich Konvergenz – überall außerhalb dieser Schreiber garantiert Divergenz – genau auf der Kreislinie – kann man so nicht entscheiden was passiert – das Kampagnen – bei der Untersuchung der Konvergenz auf relativ einfaches Konvergenzverhalten – aber typischerweise – wird man nicht für alle X Werte eine Konvergenz haben diese Potenzreihen die man daraus bekommt Fliegen an gern – um die Ohren – und zwar sobald man mehr als den Konvergenzradius – von D Punkt Schreck ist dem entwickelt hat das war die Antwort auf die Frage nach der Konvergenz – die zweite Frage ist die denn dann – auf das richtige rauskommt – wenn diese Kellerei mit – ihren unendlich vielen zum Anden – unwiderleglich zu bilden ist – ist das Ergebnis die Originalfunktion – oder nicht – ?? ähm ist die Reihe – leichter Originalfunktion – Originalfunktion – die zweite Frage – das muss ja nicht sein Punkt in der Tat stellt sich heraus Punkt – es gibt auch gerne mal Funktionen bei denen das nicht passiert – und ganz sicher erst vorstellen ob ich Bilder – zu einer gegebenen Kurve – an eine Stelle an der ich entwickle – die Tangenten gerade die – Spiegel Parabel die – kubische Spiegel Parabel – das weiter treibe es weiter – wenn das im unendlichen – nicht divergiert – müsste das doch eigentlich – die Originalkurve – werden – leider nicht – das kann schief gehen diese zweite Frage ist auch – äh – gerne mal mit nein zu beantworten und die Originalfunktion – wieder rauskommt – das gibt einen anderen Begriff mit dem man das klärt – da bin ich jetzt ein – Nummer sechs analytische Funktionen – nämlich wenn das funktioniert – wenn aus der Kellerei die Originalfunktion – wieder rauskommt mit kantigen Textes ?? das aufgeschrieben wenn das Geld – heißt die Funktion die man entwickelt hat – analytisch – vermasselt – sind heftiger – aber die Idee dahinter ist folgende – ?? bei einer analytischen – Funktion – Beistrich – wenn ich die Entwickler – mit – Tangenten gerade schräge Parabel – und so weiter bis ins unendliche – dann ist zumindest innerhalb vom Konvergenzradius – das Ergebnis das Ergebnis der Originalfunktion – das ist aber nicht sicher bei allgemeinen Funktion die analytischen Funktionen – sollen diejenigen sein bei denen das tatsächlich stimmt das Original wieder rauskommt – die nicht analytischen Funktionen die in Martin das schief geht – offensichtlich gibt's welche bei denen das schief geht – Komma muss bisschen – basteln um eine einfach hinzu schreiben – die übliche – habe ich im Skript aus buchstabiert die übliche – Funktion die nicht analytisch ist folgende – nicht – wieder – das übliche Gegenbeispiel – ich sage meine Funktion soll sein sowieso für alle reellen Zahlen definiert – ausbau ich – ich sage sie sollen nur sein – an der Stelle X gleich null – und ich soll – Punkt sie soll die hoch – minus eins durch Dicks Quadrat sein – wenn X – ungleich – an – das sieht dann ungefähr so aus – ?? für die Nummer achtundzwanzig – spannendste – an dieser Funktion – ist der Graf – was halten Sie von der – dem Grafen dieser Funktion – wie wird er aussehen ✂ also für sehr große Hitze steht hier einst durch eine sehr große Zahl die hoch minus – eins durch eine sehr große Zahl die ungefähr null eins – nach rechts raus – wendet sich das auf der Höhe eins ein – Stift – wenn sich das auf der Höhe eins eins nach links raus – negativen Zack verdienen positiv einst durch eine große positive Zahl – minus – wendet sich auch bei der eins ein E hoch null ebenfalls – wenn X – dicht beim null ist steht hier einst durch etwas dicht bei null – ins Quadrat also etwas Positives – eine große – positive Zahl – eins durch etwas dicht mangels Quadrat eine große positive Zahl mit einem Minus ist eine große negative Zahling – eine große negative Zahl ist dicht bei null – das muss zum Schluss Punkt war nicht ganz – zum Schluss so was werden diese Kurve – ist – extrem platt gedrückt auf die x-Achse – Punkt rund um – X gleich null – unzulässig tatsächlich unendlich oft differenzieren – an der Stelle null – und so ist dies so platt – dass alle Ableitungen gleich null sind der Funktionswert ist nur die erste Ableitung ausrechnen – Punkt und so platzte es Ableitungen – zwei Tabletten ausbrechen nur alle Ableitungen – sind nur diese Funktion ist unendlich oft differenzierbar – und alle Ableitungen sind null das heißt wenn ich die – Täler bei Bilder – gibt's genügend extra beschreibt sich als ?? noch mal wenn ich für diese Funktion die Kellerei Bilder mit X null gleich Null – würde dann sowas dastehen – würde sowas steht nehme den Wert der Funktion an der Stelle null plus – die Ableitung der Funktion an der Stelle Nullmatrix – minus null – plus die zweite – Ableitung der Fusion eine Stelle nur so bleibt es schon wieder null ist mal X minus null – Quadrat halbe – plus und so weiter – was wird also die Kellerei für diese Fusion ergeben ✂ wenn sie das machen würden kennen kennen sie einfach nur heraus – dann – diese Funktion – nachbilden mit einer Kellerei ergibt – einfach null – was deutlich – was anderes ist als die Originalfunktion – das heißt – auch dicht neben dem Ursprung – wird das nicht mehr Stimmung die Funktion hat er im Original zwei sehr kleine Werte dich sehr dicht an null aber nicht null – das ?? der Stelle null stimmte der tatsächlich mit dem was sie aus der Reihe rauskriegen aus drei kommt überall raus – das ist definitiv falsch das ist das Feld Waldwiesen Beispiel – für eine – nicht analytische – Funktion – wenn sie davon die Kellerei bilden können sie leider was anderes aus – kann passieren – ?? – immer noch – die Funktionen des wahren Lebens – sind typischerweise – nicht analytisch – wenn eine Funktion analytisch ist heißt das ja – sie bestimmen – hörte Funktionswert – alle Ableitungen – einer Stelle und können den Wert an einer anderen Stelle perfekt vorhersagen – Punkt das muss man sich – auf der Zunge zergehen lassen – wenn sie eine analytische Funktion haben dafür jetzt kein Lückentext – werden einfach als Idee im Hinterkopf behalten wir sie eine analytische Funktion haben und Sie kennen an einer Stelle – mit Funktionswert – die erste Ableitung – zweite Ableitung und so weiter alles an dieser einen Stelle – ein heißanalytisch – dass sie perfekt vorhersagen – können was der Wert an einer anderen Stelle ist eine defekte Vorhersage – weil die Kellerei dann ja mit dieser Information machbar ist wenn sie alles hier wissen – die ganzen Ableitung der Funktion ?? Funktionswert ?? Kellerei hinschreiben – und – innerhalb des ?? Konvergenzradius – des telereist der Kellerei können Sie damit die ganzen anderen Werte vorhersagen – und das ist natürlich etwas was – eine – Praxis müssen stutzig macht das heißt keine gewöhnliche Messung – kann ein analytisches – Signal sein – und das wird ja heißen zum Beispiel ?? messen messen müssen messen – und dann könnten Sie jetzt vorhersagen – was der Wert – in zwei Sekunden – das kann nicht sein ?? der Wirklichkeit das was in der Wirklichkeit typischerweise – ?? – sind keine analytischen Funktionen offensichtlich – die Signale – eher analytische Funktionen – sind – zu die Modellfunktionen – die man gerne hat die Ex Mensafunktion – analytische – großes Z analytisch – eher natürlichen – Tangens – Agnus Tangens – der ganze kürbisanalytische – Potenzen die Wurzeln der Logarithmus – an die rational Funktionspolynom – ist – die Funktion in der Warenwelt was ich wirklich Messe – die können – in den meisten Fällen nicht analytisch scheint tatsächlich keine Überraschung – drin – sind vor sich seine Mathematiker sind – eher – total stolz auf die analytischen Funktionen aber das kann können nicht die Funktionen seien – immer dann wirklich als – Signale messen kann – das als Warnhinweis am Hang – hat solche Entwicklungen – sind eher was für – modellhafte – Funktion – angefasst noch mal – das waren die beiden wesentlichen – Aspekte – gehören – zu der Tälerreihe – erstes muss ich angucken ob sie korrigiert – das tut sie nur wenn ich nicht – zu weit weg von der Stelle bin an der entwickelt wird bei der Zahlfunktion Sinus und Kosinus – der Lichen schönen Sachen habe ich das Glück – geht immer der Konvergenzreis – ist unendlich – untypisch dass der unendlich ist – Punkt eins Konvergent – Punkt zweite was sie rauskriegen – muss nicht die Originalfunktion – sein und je realistischer – die Funktion ist – mit der ?? starte – so klein ist die Chance das wirklich die Augen offen zu rauskommt weil – analytische Funktionen sind – an der Warenwelt Komma sehr an die Funktion sind in der Warenwelt eher selten