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15E.2 Potenzreihenansatz für die Differentialgleichung y' = y² + sin(x)


CC-BY-NC-SA 3.0

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??Differentialgleichungansatzweise mithilfeeiner Potenzreihelösendie Ableitung des ?? Suchfunktionsoll sein das Quadrat der gesuchten Funktion plus der Sinus von X und als anfangs Bedingung Beistrich dass wir startenmit dem Wert vier an der Stelle dreiwaren sie dazu mal ein Potenzreihenansatzinzwischen diverse Verfahren kennengelernt für Differenzialgleichungenhaben sogar nichts mehr einfälltwird das typischerweisefunktionierenprobiertsieschreiben was hin muss irgendwie Vision Polynom aussieht aber unendlich lang wird sozusagenein Y an der Stelle von Xdas soll werden einkonstanter Wert mir jetzt mal A nullplus etwas was es zu einer geraden macht sage mal A einsmalXgeschickter Weise X minus X null und dann etwas was es quadratischmacht A zweietwas was quadratisch macht aber den Plus A drei mal etwas was es kubisch macht Schluss und so weiter das wäreein Potenzreihenansatzdieses X minus X null denken Sie an Tälermit Hehlerei ist ja auch eine Potenzreiheumgekehrt ist jede Potenzreiheeine Telereihebei Tellerschreibens ja sowas wie die Funktionan der Stelle X null plus die Ableitungan der Stelle X null mal X minus X nullplus die zweite Ableitung an der Stelle X nullmal wasXminus X nullQuadrat halbe plusdrei Strich von X null malnach dem müssen Sie das jetzt also durch sechs drei Fakultätminus X null ?? hochdreidurch drei Fakultätenmit Hehlerei ist auch ?? Potenzreihe?? sich das anguckendas hier wird mein A null werdenBeistrich von X null wird man A eins werden F zwei Strich von X null Halbe wird man A zwei werden man nimmt diesedieses Entfakultät den Nenner einfach mit den Koeffizienten rein F Beistrich sechstewird dieses A drei werden und so weiteralso wenn sie einmal die Form der Täler Reihe von letzter Woche verinnerlichthabenversuchen das er fast noch einfacher zu schreiben als es ist ein fester Wertbei Telefunktionswerteständig so zu sichern was eine Liste von zurzeit eine Stelle X nullplusetwas was den Jahrmarkt mit X minus X null im Jahr gemacht ich möchte ja wenn ich hier X null Einsätzedas nur elf von X nun übrig bleibt es Beistrich die Fusionswerte rauskommen ?? Excel einsetzenerweckte es weg der es weg diese überall X minus X null sechs null einsetzen für X muss der ganze hintere Teil wegfallendaher dieses X minus X nullwir wissen was A eins jetzt ist es über die Ableitung einer Stelle X nur A zwei ist also die zweite Ableitung an der Stelle X nur halbe und so weiter und so weiterdes eigentlichen andere Art die Delle reinzuschreibenwenn ich diese ganzen Ableitungen noch nicht kennenwenn ich die Ableitung ausrechnen kann begleitet Hehlerei so hinschreibenkann ich jetzt noch nicht manches umgekehrt ich schreibe hin was denn die Form sein wird eine PotenzreihePotenzen von X minus X nur noch soundsovielAufsummenmit festen Zahlen der vorhundert ?? bis jetzt möglichst viel über diese festen Zahlen die Koeffizientender Potenzreihezu erfahrenBeistrich dass man dazu schreiben das sind alsodie effizientenüber Polynomdie Koeffizientenjetzt bei der Potenz reihte Koeffizientenpolynomheißt ja sie brechen irgendwann ab plus X minus X nullKlammer zu zwei Leerzeichen Polynom zwei vierzigsten Grades wieder zufällig nicht nur vorstehtdass der Potenzreihenansatzmehr als überlegen sich was wissen Sie über A null A eins A zwei A drei was können Sie über die herausfinden mithilfevon Differenzialgleichungender AnfangsbedingungManifestodie Anfangsbedingunghier ?? ich entwickleum eine Stelle X nur herumum welche Stelle werde ich wohl entwickelndie Stelle X gleich dreian der Stelle drei soll der Wert vier rauskommenjetzt guck ich mir an wie die Funktion den die Lösungsfunktionsich weiterentwickelnwird ich werde X nur gleich drei das steht außer Frage alles andere wäre sehr kompliziertwenn ich drei Einsätze für X dann soll vier rauskommen?? da drei Einsätzen drei minus drei ?? zwei und so weiter der ganze hintere Teil fliegt weg glücklicherweiseA nullmuss vier seindas folgern sie jetzt aus der Anfangsbedingungnull ähnlich sinnvollerweisegleich drei und A null muss dann automatisch gleich vier seinWissen satte vier plusirgendwaseine Korrekturden ja quadratischkubischdas man aus der Anfangsbedingungdamit die Anfangsbedingungschon erfülltist also Y von X ist gleichvierplusA einsmal X minus drei plus zwei mal X minus drei Quadrat?? dreimal X minus dreihoch dreiplusdrei PünktchenAnfangsbedingung ist automatischeserfüllt wenn sie drei Einsätzenfällt der ganze unendlich lange hintere Teil weg und es bleibt viel übrig wie sich das gehörtdickes passives Mitte Differenzialgleichungensie gelernt habe das kostet Deutschland über Wien und das ist jetzt mein Ansatz für die Differenzialgleichungsie setzen diesen Ansatz in die DifferenzialgleichungeinKomma zurück wie das bisher ausgesehen hatBeistrich freundlicher DifferenzialgleichungenNebenbemerkunghiernur sowas haben Y Strich ist gleich siebenYdann hätten sie sowasals Ansatz gemachtoder sofortige Lösung hingeschrieben aber angenommen sie müssten nicht sofort die Lösungwerden als Ansatz gewähltY von X ist gleich A mal eben hoch B mal Xund das hätten sie eingesetztdiesen Ansatz hätten sie in die Differentialgleichungeingesetzt wird Ableitung gebildet also einmalehemaligehoch mal X auf der linken Seitemuss sein sieben mal die OriginalfunktionVisier steht Armani hoch wie Marxsie bisher gearbeitet?? BezahlgleichungSchach angeseheneinen Ansatz hingeschriebenund den Ansatz eingesetzt in die Differenzialgleichungenund angeguckt was sie lernen über Asienals egal und was sie über B lernen sie sind B muss sieben sein wenn A ungleich null ist sinnvoller Weise Abgleich nullsetzte jaso das bisher funktioniert den Ansatz in die Differentialgleichungeinsetzendasselbe markierenin an das Differentialgleichungeinsetzenwas fürchterlich wirddas es unschön an diesem Potenzreihen ansetzen es funktioniert zwaraber man hat ein Ausdruck der sich ins unendliche erstrecktund damit auch beliebig produziert werden kann?? das da einsetzen ich brauche die AbleitungChaplin Laun Ausrufezeichen man hin und die Versager Normannen gibt Beistrich ist ?? separate Sinus von Xdas war mein DifferentialgleichungausZins von X deutlich an Plusund der Ansatz warmit der die Anfangsbedingung schon eingebaut Y von X ist gleichvier plus A einsmal X minus drei pluszweiX minus eins Quadrat Plus A dreiX minus dreihoch dreiplusund so weiterins unendlicheden Ansatz den will ich jetzt einsetzenin die Differenzialgleichungenauf der linken Seite leiten Sie auch das habe ich jetzt einen Sten gesehendie Ableitung hiervoneine Summe sie leitenso man für so meintdie vier ableiten ist null Musik kann ich in Schrott oder Schubser sich bei den ?? versehenesvergessen haben null plusden hier ableiten?? einzige Konstante die ich nicht kenneein Vielfaches von X minus drei X minus drei ist gerade mit der Steigung einsan der Stelle dreigehen sie durch dieBundesverkehrsministereine Stelle drei gehen sie durch die x-Achse durch eine Gerade mit der Steigung eins und davon das A eins fache die Steigung ist A einskonstanter Steigung hier stimmt das A eins Plusjetzt will ich den ableiten wases von dem die Ableitungzu?? mit Kettenregel ableiten hier steht eine Funktionund davon eine FunktionX minus drei die innere Funktion vertretende Ausrufung ?? und davon ein Vielfachesnicht erwähnenswert also ein Vielfaches von?? die Ausrufung zum ableiten das Quadrat ableiten ist zweimalwas drin steht X minus dreiund jetzt die innere AbleitungmalX minus drei ableiteneinmal X minus zwei ableiten ist mal eins da steht eigentlich ausführlich hingeschrieben?? Ableitung hat zwei mal zwei mal X minus dreiplus der nächste geht nach dem entsprechenden Schema ein festes Vielfaches vonder dritten Potenz von X minus drei sie leiten die dritte Potenz ab das gibt dreimal die zweite Prozents X hoch drei ableiten drei Quadrateinmal die zweite Potenzstatt und stehen was drin stehtmal die innere Ableitung das war die Ausarbeitung des Wadi in Ableitung dies wieder als plus und so weiterdas steht auf der linken Seite meiner Differenzialgleichungendas muss jetzt einwirklichkleines was jetzt Definition ist und so weiter das erste ForderungY Strich soll sein das steht auf der linken Seite der Differenzialgleichungenjetzt kommtüber sein Quadrat jetzt muss man vorsichtig seinwenn das was stünde wie vier plus X ins Quadrat ?? es einfachnur sechzehn pluszwei mal vier mal X also acht X plus X Quadratdes wieder einfachDezember da unendlich viele Summen stehen ich nur zwei Summen stehen unendlich viele Summen stehen das macht das ganze etwasungemütlicherwie wird man das ganze strukturiert hinschreiben können wonach sortiereich hiervon das Quadrat bilden unendlich viele Summenund davon durch das Quadrat bilden also nicht die Nominierung nicht Rizzoli sondern sozusagen endlich nominiertwiesortiere ich das vernünftigich überlege geradeschreibe ich erst mal hineinklarer was will ich ich will hiervon das Quadrat haben als vier plus A eins X minus dreiplus A zweimalig X minus drei ins QuadratPlus A dreiX minus drei hoch dreiplus und so weitermalsich selbstals klug vermischt ?? dasselbe noch mal ganz gedrängten vier plusA einsmal X minus drei äh plus zwei malX minus??hoch drei plus zwei Pünktchendas Quadrat der gesuchten Funktionmein Ansatzmal sich selbstplusThemes von X der steht auf der rechten Seitejetzt muss ich das irgendwie vernünftig hinschreibenQuadrate kann ich nicht viel anfangen ?? ich will nachher sowas machen wie ein Koeffizientenvergleichoffensichtlich Koeffizienten von X minus dreisinnvollerweisedieses Produkt hier willig ausmultiplizierenwie modifizieren sie dashalbwegs strukturiert aussoalso die vier müsste ich modifizieren mit der vierder vier ins Quadrat dann müssen die vier multiplizierenmit A einsX minus drei ?? und müßig auf Rang vier mal eins X minus dreiplus dazwischen plus vier mal A zwei X minus drei Quadrat hier unten hin plus vier mal und so weiterplus A einsX minus drei mal vier Schüsse stehen plusA eins X minus drei Mal eins mit minus drei pluseins Ixus drei Mal war zwei X ist als Verein und so weiter und so weiter plus dieserMartin und so weiter und so weiterjeden links mit jedem rechts multiplizierendas wird offensichtlich sehrunübersichtlichdas muss man strukturiert anfangen und muss es vernünftig sortierenwie sortieren siesortierennach Potenzen zwar nach Potenzen von X minus drei ich möchte ja nachher ein Koeffizientenvergleichmachen wir mit dem X minus dreiist eins Quadrat X minus drei Punkt nullich sortiere nach Potenzen von X minus dreivier mal vier sechzehnmal X minus drei Wochen und das als über sie habe mit X minus drei null pluses kann uns angucken was wir haben mit X minus drei hundert einswas taucht auf mit X minus drei ?? einsmüsste etwas feststehenderändernsoum sie zu ärgern zweimalvier A eins nicht nur vier eins sondern ich schreib mal mal zwei mal vier A einssie haben ja einmaldiese viermal den hierund sie haben aber auch den hier mal diese vier zweimalvier mal A einsX minus drei der taucht zweimal auf und ansonsten gibt es nie wieder etwasbei dem einfach nur X minus drei noch eins vorkommtdas taucht nie wieder aufund das übrige sich jetzt gerade mal alleine X minus drei ins Quadrat mal wasundX minus drei hoch dreimalwas und den Sinus sie dürfen nicht vergessen schreiben zu mal dazu plus Lines von X oder natürlich hier plus drei PünktchenX minus drei ?? vier mal X minus drei noch fünfmal und so weiteraber die beiden sich gerade nochalsoquasi vinomiins unendliche verlängertdas steht mit dem Quadrat X minus drei ins Quadratgucken sich an wie das zustande kommen könnte es könnte zu Stande kommen indem sie hier dem zweiten links nehmen und den zweiten rechts nehmenentsteht der A einsX minus drei Mal eins mal X minus dreialso A eins Quadrat mal X minus drei Quadratzu sein Quadrat mal ?? eins Quadratdas wird stattfinden mir das immer noch nicht alle sie können auch die vier nehmen links und dass sie rechts nehmenviermal als zwei malig minus drei Quadratviermal war zweimal X minus drei Quadratdas geht auch andersrumdie ebendie können auch hierdie X minus drei Quadrat nehmen und da die vier nehmenSession zwei von der Sorte nicht viermal als frei sondern zweimal vier zweisprachig etwas ausführlicherund das ist jetzt alles was ich machen kann umdas Quadrat zu kriegenhoch drei kann ich vorkommen nannte kein Verrat mehrdas sind die einzigen Möglichkeiten des Quadrat zu fegenhoch dreiPunkt ?? hoch drei rauskommensie könnenden hier nehmen mal die viersie was mit hoch drei vier mal an drei mal die dritte Potenz oder umgekehrtdie vier maldie A drei auf der Seite nehmen wie dem auch sei viermal A drei und zwei von der Sorte zweimal vier A dreidas sind solche Möglichkeiten die dritte Potenz zu bekommensoA eins und A zwei sind in den hier links und sie nehmen den hier rechts dann haben sie die dritte PotenzA eins A zweidas geht interessanterweiseauch wieder rückwärtsA zwei auf der linken Seite A eins auf der rechten Seite also plus zwei mal A einshat zweiweitere Möglichkeiten an die drittePotenz zu kommenso gibt sich in der Tat gerne was mit hoch drei drin sowieso schon hoch drei mal vier das aber schon drin das nächste wäre mit hoch vier ist zu viel des Guten und so könnte man es jetzt durch Nudeln fix minus drei hoch vier X minus drei Wochen fünftes also schöner Job für Computerplusbei Pünktchen hier bis ins unendliche unterbrochen ?? noch den Sinusab jetzt wird ?? Ansatz in die Differenzialgleichungeingesetztdas war mein Ansatzund den habe ich nie Differenzialgleichungeneingesetztlinks jetzt in der Mitte hier links steht die Ableitungrechts steht das Quadratalso mit drei Pünktchen hier und dann kommt noch der Sinus dazujetzt will ich im Koeffizientenvergleichmachen mir bin ich angekommenich möchte ein Koeffizientenvergleichmachenlinks stehendenA eins malX minus dreiWochen null zwei A zwei mal X minus drei ?? eins und so weiter und so weiter rechts stehenden Gesetz auch ablesen sechzehnX minus drei Wochen null und so weiter und so weitermit einem Körnchen Salz ?? steht jetzt der Sinusvon X was muss ich es mit dem Sinus von X den veranstaltender steht da sehr sperrigsoan dem Sinus nervtdas ich da jetzt kein Koeffizientenvergleichmachen kann der steht sperrig in der Gegendansonsten so Potenzen von X minus drei ganze ?? Potenz von X minus drei wunderschönnur der Sinus von X derpasst nicht in mein Spiel als ihr Gedanke war cremig für den Sinus kümmere Potenzreiheangebenzum BeispielX minusein sechstelX hoch drei plus und so weiter und so weiterdie übliche Potenzreihe für den Sinushilft uns densodas die falsche Potentiometermuss stehen X minus drei in die soundsoviel ?? Potenz die übliche Potenzreihe für den Sinus hilft mir nicht ich brauche für den Sinus jetzt auch irgendwasmit X minus drei also eine Konstanteplus eine Konstante mal X minus drei plus eine Konstante mal X minus dreiins Quadrat plus und so weiter dann kann ich in Koeffizientenvergleichmachen ähnliche den Sinus von X auch so aufgeschlüsselt habe im Potenzen von X minus ??was bedeutet das eigentlich wie kriege ich jetzt hier diese Zahlendie sich hinter den Klingeln verbergendoch?? kleine Nebenrechnungalso der Job ist den Sinus zu zerlegen ich möchte schreibenSinus von Xsoll seineine feste Zahldividiert Sommer nahmdie nullpluseine feste Zahl mal X minus drei plus eine feste Zahl mal X minus drei ins Quadrat plus und so weiter bis ins unendliche so muss ich mein Sinus zerlegenwie kriegen Sie den Sinus so zerlegtsoder erste ist der Sinus von dreiübrig hatten wir lustigerweiseam Anfangwenn siehe drei Einsätzen Sinus von drei Krieges auf der rechten Seite B null plusB eins mal nulldrei minus drei plus B zweimal null ist Quadrat plus und so weiter alles fällt weg?? Zufluss der Sinus von Reis gleich B null damit dem in den ersten Jahrenwas ist der zweitesoist es die Tellerrei gefragt als sie gehen mir normal zurückich möchte den Sinusan der Stelle drei entwickelndie Tälerreihe für den Sinus an der Stelle dreides Sinus an der Stelle drei die Ableitung des Sinus an der Stelle dreimal X minus drei die zweite Ableitung des Sinus an der Stelle drei mal X minus drei Quadrat halbe plus und so weiter und so weiterdie tellerreif für den Sinus eine Stelle drei die will ich habendas müsste man jetzt dann schnell hinschreiben können B eins ist also die Ableitung??groß muss an der Stelle dreihier B zweiwar die zweite Ableitunghalbedie zweite Ableitung Sinus groß X minus Sinuseine Stelle drei halbeund so weiterden Sinus entwickelnan der Stelle drei jetzt weiß ich was diese Kringel hier sindschwarzganz dreist dazu hier obenalso was ist der Sinusan der Stelle Xdas ist der Sinus von drei an der Stelle drei ?? entwickelt plusder Kosinusvon dreimal X minus drei plusminus die Hälfte vom Sinusan der Stelle drei halbeMal den plus und so weiter ins unendlicheund jetzt steht da der Sinusmit den richtigen Potenzenpotenzenvon X minus dreieinfach den Sinus hier entwickelt an der Stelle X minus dreijetztmüssten siemit dem Koeffizienten Vergleich anfangen könnenda sind wir jetzt machen den Koeffizienten Vergleich und lernen etwas über A eins A zwei vielleicht A drei mal sehen über das Treibenderersten Koeffizient zumindesteffizientvonX minus drei Wochen null auf beiden Seiten gucken Beistrich mit X minus drei Wochen nullA einssteht mit X minus drei ?? nulldass sie mit X minus drei ?? eins da steht mit X Mosaik ins Quadrat und so weiter und so weiter kommt nicht wieder vor ?? auf der rechten Seiteversteht mit X minus drei hoch null die sechzehn steht mit X minus drei ?? nullerste Potenz zweite Potenz dritte Potenz und so weiter kommt nicht wieder vor beim Sinus habe ich noch den Sinus von drei besteht auch mit X minus drei Wochen nullzwei Prozentsund weiter also bloß den Sinus von dreidamit kriege ich jetzt also A eins rausder Koeffizientvon X links und rechtsvon X minus drei hoch einsdas ist X minus drei hundert eins also zwei A zwei auf der linken Seiteund auf der rechten Seite sind sie acht A einsdas ins Quadrat ?? die dritte Potenz kommt nicht wieder vor ?? und dem Sinus habe ich jetzt noch den Kosinusdrinnen Pluszeichen Kosinusvon drei und so weiterHier würden sie jetzt A zwei rauskriegen A eins habe ihm rausgekriegtsetzen sie da einen kriegen sie A zwei raus und so weiter und so weiterSie könnenwenn sich die Geduld reinsteckenoder Computer verwenden sinnvollerweisekönnen sie tatsächlich das dann auf größeren eine Potenzreisigzusammen stecken