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22E.1 lokales Extremum einer Funktion zweier Veränderlicher; Kriterium am Beispiel


CC-BY-NC-SA 3.0

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diese – Funktion zweier veränderlicher – meine Funktion F von X Y – soll definiert sein als – X Quadrat – Y hoch drei – minus acht X Quadrat – minus Y Quadrat – aus acht – hoch drei soll das sein und diese Funktion an der Stelle ein zwei – ein lokales Extreme – nachprüfen mithilfe der Ableitungen ✂ erste – Schritte bestimmen die ersten partiellen Ableitungen – schwierig sich wahrscheinlich dieses D zu schreiben ein altes gewöhnliches kleines T – es ist kein griechisches – Delta – ist es erst recht kein lateinisches – D – ich möchte arbeiten die Funktion – nach – X einmal partiell ableiten – dann wirklich zwei X mal Y hoch drei – so schreiben das leiseste Sex der Leine steht minus – acht mal zwei X also sechzehn – Keks und jeden kommt kein X mehr vor die partielle Ableitung nach Y – sechs hundert mal drei ?? Y – Quadrat also drei X Quadrat mal Y Quadrat – das wird null werden minus drei Quadrat minus drei – Quadrat – und die Art fällt weg wenn ich ableiten – das erste was ihm jetzt angucke – ist auf ?? Chance haben sind die beiden gleich Null an der Stelle eins zwei – wenn ich ein lokales – Maximum – habe – einen Hügel hier anzudeuten ist und Hügel haben – hier oben drauf – wäre der lokal größte Wert wenn sie so Hügel haben dann ist klar dass die Tangentialebene – an dieser Stelle – horizontal sein muss der Gradient muss Null sein – lokales Maximum bedeutet der Gradient muss Null sein kleines A Leben ist horizontal – in den Ernährung tut sich da nichts – das Silber Lokalminimum – wenn sie ins Tal reingehen – zu zeichnen – die Tangentialebene – im Tal muss ?? ?? sein das eine notwendige Bedingung – und das wird es nicht gehen dass es notwendig – notwendig – für ?? lokales – Extremum – an dieser Stelle eins zwei – ist das beides gleich null wird an dieser Stelle ein zwei an anderen Stellen – kann was anderes rauskommen – möchte wissen wie läuft die Tangentialebene – an dieser Stelle ein zwei an der Stelle nicht wieder gezeichnet Dranskoordinate – einzige Koordinate zwei – darüber ist mein Funktionsgebirge – und da möchte ich die Tangentialebene – wissen an dieser Stelle ein zwei und möchte sicherstellen dass sie dann sein Leben horizontal ist – und das will ich kein lokales Extremum haben an der Stelle das ist notwendig – um es einsetzen – auch nicht Punkt jetzt auch zwei mal – eins – mal acht – sechzehn minus sechzehn mal eins ist tatsächlich null und hier unten drei mal eins – Quadratmeter – drei – mal – Substanz Quadrat – vier einmal vier Wochen steht zwölf minus drei mal vier zwölf sind tatsächlich bei den null erledigt also dieses notwendige Kriterium ist erfüllt – Initialebene – ist tatsächlich horizontal – das heißt aber noch nicht das man – eine ganz extrem an der Stelle hat – zwei dimensionalen – könnten insbesondere ein Sattel passieren – zu zeichnen – sowas hier könnte ihn im zweidimensionalen – Passieren – mitten auf dem Sattel drauf – ist die Tangentialebene – horizontal – blöd zu zeichnen – Komma – mitten auf den Deckel drauf sie damit sein Leben horizontal nur das ist weder lokales Maximum noch ein lokales Minimum – sie haben in direkter Nachbarschaftswerte – die größer sind – und sie haben in direkter Nachbarschaft werde die kleiner sind aus dem Sattel drauf – was möchte man ausschließen – und es gibt doch Superrandfälle – die man auch noch ausschließen möchte – wenn sie Sohnesituation – haben – in der Einrichtung – geht's runter – und in der anderen Richtung ist die Funktion konstant – dass es heikel – das es ?? in die Funktion ihr konstantes ist es tatsächlich ein lokales – Maximum – beim lokalen Maximum kommt's drauf an ob der Wert – größer gleich – der Werte in einer Umgebung ist größer oder gleich das ist der Fall aber Smith neigt es könnte sein dass das ein bisschen hochgebogen – ist dann ist es kein lokales Maximum mehr und wenn es hier mit – X hofieren sozusagen hoch geht es kein lokales Maximum – Klammer zu müssen positiv sein an der Stelle – zwar nicht sicher ?? müssen höhere Ableitungen stellen – also Leerschritt Communities an wie das ganze gekrümmt es geht es – nach unten weg insgesamt geht es insgesamt nach oben weg hoffentlich bleibt es nicht auf einer konstanten Höhe – in der zweiten Ehrung dann stehen bei ?? wissen nichts genaues – artiges und die zweiten Ableitungen die bestimmt sie die zweite Ableitung – nach X – sodann geschrieben – dieses kyrillische D – ins Quadrat sozusagen nach die X Quadrat was immer ganz fürchterlich aussieht es ist nicht gemeint nach X Quadrat abzuleiten – ist leider Sonne kommt die Schreibweise mit dass man ein Klammern soll das ist gemeint wenn ich das schreibe die partielle Ableitung nach X ins Quadrat – das ist eine das Quadrat von den unten was gemeint ist – davon nicht irritieren lassen – das ich gerne die Zeitarbeit ?? X ich hätte gerne die zweite Ableitung nach Y – ich hätte gerne die – gemischte Ableitung – nach Y und danach X aber das wissen Sie schon wenn die Funktion nicht übel ist ist das dasselbe wie die Ableitung – erst nach X und danach Y da muss man also noch einmal nach kucken die drei bestimmen Sie mal mit den guckt man sich dann an – Fusion weg und aus der Tangentialebene – wir wissen jetzt eine Stelle eins zwei – an der Stelle ein zwei haben wir eine horizontal Tanzerlebnis – biss sich aber wie kommt sie die Funktion weg geht die insgesamt nach oben weg dann weiß ich es ist ein lokales – Minimum – geht die insgesamt nach unten weg dann weiß ich es lokales Maximum – Pech habe – machte was gemischtes – teilweise nach oben teilweise nach unten und dann ist es weder noch kein lokales – Minimum und kein lokales Wachstum also auch keine ganz extrem das Punkt Mitte zweiten – ?? aus ✂ die – zweite Ableitung nach X – sollte man sie Schreibweise bisschen erklären das sollte eigentlich heißen nehme die erste Ableitung partiell nach X und davon bilden noch mal die Ableitung partiell nach X das soll in so kurzer Weise heißen gerne diese zwei D Sima zu – D zwei her – und ?? nahm sie zwei von den Keksen – das zusammengefasst – sieht dann so aus – hatte die Ableitung nach X partiell noch mal nach X partiell ableiten – diese Ableitung nach X – noch mal nach X ableiten – nahm sie ihr zweimal Y hoch drei – minus sechzehn – die Ableitung nach Y noch meine rülpsen ableitenden – drei X Quadrat mal zwei – Y das sind sechs X Quadrat mal Y – hier – die Ableitung nach Y – noch mal nach Y ableiten sind sechs – Y minus sechs Y – und die gemischte Ableitung – erst nach Y ableiten dann nach X ableiten oder sie kriegen dasselbe raus als wenn sie – erst nach X ableiten – und danach – Y ableiten zu mit allen handelsüblichen Fusion könnte dasselbe raus – wir nehmen die Ableitung nach X die nach Y steht der zwei X mal drei Y Quadrat sind sechs – X mal Y Quadrat – minus sechzehn X – zu arbeiten ist nur andersrum – die aber noch Tipps und Tricks ableiten – dreimal zwei X Y Quadrat – sechs Expertenquadrat – Selbstresultat – wie es ?? zum Quadrat nach X ableiten – der hier ist nur Selbstergebnis – pro Berechnung – wird sie Zahlenwerte – an der Stelle eins – zwei – zwei mal zwei hoch drei mit sechzehn ?? null werden – sechs mal eins mal Y minus sechs ?? somit auch null werden und hier steht sechs mal eins mal – zwei Ziffer dreißig mal vier hundert vierundzwanzig werden – diese Zahlenwerte sagen mir jetzt etwas dazu wie sich die Funktion weg und aus der Tangentialebene – ?? ich weiß dass sie damit ja eben horizontal – ist – ich weiß in X Richtung – passiert – nichts großartiges was die Krümmung angeht – ich weiß in Y Richtung passiert nichts großartiges was die Krümmung angeht – und in dieser gemischten Richtung ?? G4 zwanzig raus – das sieht schon mal schlecht aus was er nicht schreibt ist die Hesse Matrix – Hesse Matrix – an der Stelle – eins zwei – sie nehmen diese Ableitung schreiben wir alle zusammen als Matrix – die doppelte Ableitung nach X ist null an dieser Stelle die doppelte Ableitung – die zwei Verarbeitung nach Y ist null an dieser Stelle – und die gemischten Ableitungen sind beide gleich vierundzwanzig – ?? guckt sich diese Matrix – diese Matrix beschreibt diese die Funktion weg kommt aus der Tangentialebene – an der Stelle eins zwei – wie könnte man sich das jetzt überlegen – geht die Funktion nach oben weg geht nach unten weg schon gesehen das Essen bisschen heikel anscheinend entlang von X tut sich nichts entlang von Y – tut sich nichts – und zwischendurch Dementi diese vierundzwanzig das sieht nicht allzu gut aus wie kann man das jetzt vernünftig fassen was guckt man sich bei dieser Matrix an ✂ über – Eigenwerte Eigenvektoren – wenn sie von dieser Matrix einen Eigenvektor – haben – immer die Drehzahl ebenso ?? in sie ein Eigenvektor haben von dieser Matrix – mit einem positiven Eigenwert – damit die Funktion – rauf gehen in diese Richtung – steht sowas wie wie weit gehe ich in Richtung des Eigenvektor – raus aus der zentralen Stelle – ins Quadrat – mal den Eigenwert sowas widerstehen – sie positiven Eigenwert haben wird in die Richtung nach oben gehen wenn sie negativen Eigenwert haben wird in die Richtung vom Eigenvektor – nach unten gehen – mir auf die Eigenwerte an von dieser Matrix – was wissen Sie – in den politischen – Situation – der wendischen lokales – Minimum habe – wenn ich lokales – Maximum – habe – wenn ich einen Sattel habe – was passiert mit den Eigenwerten in diesen drei Fällen was wissen Sie über die Eigenwerte ✂ im – linken Falter haben sie zwei Eigenwerte – zwei mal zwei Matrix symmetrisch die Hardware der zwei Eigenwerte liefern gleich sein zufälligerweise – beide Eigenwerte sind positiv – schreiben mal bei der äh EWE – sind positiv – egal in welche Richtung sie gehen die Funktion geht auf das kostet bisschen Überwindung lokales Minimum heißt positive Eigenwerte das hat man im ein dimensionalen ja auch schon man sich die zweite Ableitung anguckt – zweite Ableitung muss positiv sein für ein lokales Minimum auch schon im eindimensionalen – lokales Maximum – heißt beide Eigenwerte sind negativ – es geht immer nur abwärts – in jede Richtung – alles allenfalls abwärts gehen soll soll ich das sagen es könnte auf derselben Höhe bleiben aber sind unsere Sache sicher wenn es abwärtsgeht wenn beide Eigenwerte – negativ sind ?? der Sache sicher sein es geht immer nur abwärts – und das hatte – entlang vom Rücken des Pferdes – ein positiver Eigenwert und quer dazu ein negativer Eigenwert – positiv – und ein Eigenwert – negativ – bisschen vorsichtig sein was passiert geeignete gleich null sind wie gesagt es könnte ja so ?? Situation sein sie sind entlang einer Richtung konstant – und quer dazu fällt ihre Funktion ab nahm sie entlang dieser konstanten Richtung ein Eigenwert gleich null – das macht das heikel – ist ?? also – wenn beide Eigenwerte positiv sind dann kann ich sicher sein dass es sich um ein lokales Minimum handelt – es hinreichend – ?? gleich null und bei Ableitungen – als Verarbeitung gleich null und beide Eigenwerte der Hesse Matrix positiv ist hinreichend für ein lokales Minimum – beide Eigenwerte der Hesse Matrix negativ – und der Gradient gleich null sind ?? und war lokales Maximum – und hier einer positiv einer negativ – das ist hinreichend für ein Sattel – wenn einer von den null ist müsste man mehr nachdenken – weicht höhere Ableitungen bilden vielleicht sich was anschaulich überlegen – Beistrich versichert haben ?? komplett schreiben und Gradient gleich Null – das keiner hier vergisst – eine mögliche hinreichende Bedingung an einer bestimmten Stelle – ist der Gradientenweg Vergleich nun als Mitglied eines ?? horizontal – Musik um sich von der Hesse Matrix die Eigenwerte an die dann beide positiv sind obendrein noch wissen sie es bloß ein lokales Minimum sein kann ?? diskutieren – der Gradient nur der Nullvektor einer bestimmten Stelle beide Eigenwerte der Hesse Matrix negativ dann können Sie sicher sein das hinreichend – dafür – dass sie ein lokales Maximum haben und dass sie wirklich recht ausgeprägten – Sattel haben wie beim Pferd – ein ?? wird positiv ein eingängiger die von Hesse Matrix und – der Gradient gleich nur Wasser gibt es nicht viel Sinn wenn sie nicht wirklich auf der richtigen Position vom Sattel sitzen – und jetzt kann man mit denen er Determinante – dran was wissen Sie über die Determinanten – beide Eigenwerte positiv sind negativ sind einer positiv einer negativ was passiert mit der Determinante ✂ die – Determinante einer zwei mal zwei Matrix – sie gehen mit irgend einem Flächenstück – mit den Ortsvektoren – irgendeines – Flächenstücks – in die Matrix reinkriegen – irgendwas – komisches wieder raus – aus der Matrix – wieder so ein Flächenstück – das Verhältnis der Flächen Siggi mit drei Quadratzentimeter – rein und komme sechs Quadratzentimeter – raus das Verhältnis der Flächen ist der Betrag der Determinante – versicherte die Determinanten ?? Pack zwei – und wenn Sie hiermit nach – rechten Hand reingehen – ?? rechte Hand – so wenn Sie mit der rechten Hand reingehen und geringe linkerhand raus dann wissen Sie dass das Vorzeichen – auch interessant – Komma denn wissen Sie dass das Vorzeichen der Determinante negativ – ist das Vorzeichen der Determinante Sackgasse Orientierung – Eigenwert ?? ich weiß in eine Richtung – geht alles – bei den einen Eigenwert genommen die eine Richtung wird alles meinen anderen Eigenwert genommen Punkt dann ist die Determinante das Produkt der Eigenwert ?? was ist das was man an dieser Stelle braucht die Determinanten des Produkte Eigenwert wenn ich komplett – alles in Eigenvektoren zerlegen kann kann man in diesem Fall symmetrische Matrix – eines Determinante das Produkt der Eigenwerte – beider Eigenwerte positiv – beide Eigenwerte positiv das heißt die Determinante – der Hesse Matrix – positiver positiv ist auch positiv – beide Eigenwerte negativ – das heißt die Determinante der Hesse Matrix – ist minus mal minus – zwei dimensional ist auch positiv – einer positiv – einer negativ das heißt die Determinante – der Hesse Matrix ist negativ – muss man minus – als wenn sie feststellen das die Determinante der Hesse Matrix Negatives wissen Sie es muss ein Sattel gewesen sein ?? auch der Gradient der Nullvektor ist wenn sie wissen dass die Determinante positiv – ist können Sie sicher seine Swissair lokales Minimum – oder ein lokales Maximum es muss einer dieser beiden Fälle sein – muss ?? noch zwischen diesen beiden – unterscheiden – ist es mir lokales Minimum oder es ist ein lokales Maximum – das war ziemlich billiger Trick ✂ erinnern Sie sich – auf der Diagonalen gucken sie – egal was da sonst so steht – links oben – wenn da ein positiver Wert steht dann wissen Sie bei der Eigenwerte sind positiv – und bei dem hier – bei der Eigenwert Negativgruppen sind links oben – ist ein negativer Wert wissen Sie bei der Eigenwerte sind negativ die Götter rechts unten gucken steht rechts unten ein positiver Wert wenn die Debatte positiv ist und links oben ein positiver Wert steht steht automatisch auch rechts unten ein positiver Wert mit minus oder automatisch unten ein minus Sekunden sich ein wird auf der Diagonalen – zwei Schritte im Sommer zwei – gucken uns die Determinante der Hesse Matrix an ?? feststellen dass sie positiv ist Komma noch an steht auf der Diagonalen – ein – positiver Eintrag oder ein negativer Eintrag – das sind die drei Fälle die man dann unterscheiden kann auf Anhieb schwierig wird's wenn die Hesse Matrix eine Determinante gleich null Hudson ist ein Eigenwert null und müssen etwas hilflos – zu was einziges von dieser Hesse Matrix ✂ gucken – so das erste Determinante an die Determinante hier von null mal null minus vierundzwanzig mal vierundzwanzig – Komma null minus vierundvierzig mal vier zwanzig definitiv negativ – minus vier zwanzig ins Quadrat – bei uns – ist die Determinante von der Hesse Matrix – gleich minus vierundzwanzig ins Quadrat das ist definitiv – negativ – sehen wir haben diesen Fall der Gradientenvektor ist der Nullvektor habe festgestellt die Determinante – der Hesse Matrix ist negativ es muss ganz klar so ein Sattel sein es kann kein lokales Maximum sein es kann kein lokales Minimum sein – und damit kein lokales Extremum – Extremum als Maximum oder Minimum – es ist weder noch also kein lokales – Extremum – an dieser Stelle – so kann das fusionieren