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01.2.4 Vektorraum


CC-BY-NC-SA 3.0

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der – Begriff Vektorraum – das ist – zum ersten Mal vielleicht das es wirklich – abstrakt wird in der Mathematik – das man – abstrahiert – von etwas was man vorher schon kannte – von den Pfeilen zu den Mengen von freien zu – irgendwelchen Sachen die man addieren kann und wie man Zahlen modifizieren – kann – solche Gebilde – nennt sich dann Vektorräume – den Jahresfestes im englischen seltener Vektorspaces – meist Mediaspaces – den Jahre Räumen – werden das bei den Pfeilen gesehen Pfeile – oder – Mengen von parallel verschobenen Feinde man jetzt ganz streng sein wird kann man – addieren – miteinander hängen – Punkt es gibt ?? summe – ich kann Pfeile multiplizieren – den mal drei – er – wird weiter werden – und dabei gelten die üblichen Rechengesetze – das ganze ist – zum Beispiel – Kommutativgesetz – Ideen addieren und dann den Urlaubsideen – und den addieren andersrum – dasselbe – man kann ausmultiplizieren – Skript auf Seite zehn – sie – zum Beispiel haben drei plus vier mal den Vektor – fünf sechs – drei plus vier mal den Vektor fünf sechs ?? so ein Vektor der siebenfachen Länge in die gleiche Richtung – eines ist natürlich nicht anders als wenn sie nehmen Vektor – der dreifachen – Länge in die gleiche Richtung plus Anblick der vierfachen Menge – in die gleiche Richtung einfach die beiden miteinandergehängt – ?? drei und vier sollte mal – das dreifache und das vierfache miteinander gehängt dann haben sie das siebenfache – ich darf also – wenn ich vorne eine Summe habe – ausmultiplizieren – das gleiche gilt auch umgekehrt wenn sie haben siebenmal – die Summe zweier Vektoren – haben immer das war zwei plus drei – eins plus fünf – bin ich hier eine Summe habe – dann steht er eigentlich siebenmal die Summe zweier Vektoren – was wird das sein – nicht gerade überraschend ist das sieben Eilers Vektor plus siebenmal der – zweite Rektor – hatte ?? auf zwei Weisen – ausmultiplizieren – Summe – im Faktor vor dem Vektor kann ich ausmultiplizieren – eine Summe von Vektoren – besteht ja eigentlich der Rektor zwei eins plus – drei fünf – eine Summe an Vektor eine – sehr – ganz ähnliche Rechenregeln – offensichtlich – man packt all das zusammen – angenommen – ich habe – eine Menge von Dingen egal was Pfeile – oder schlimmere Sachen – die ich addieren kann mit den üblichen Rechenregeln – die ich mit Zahlen modifizieren – kann ?? mit den üblichen Rechenregeln – die – sowas wie ausmultiplizieren – Klammern auflösen können – muss Nullvektor – gibt und ähnliche Geschichten ganze Liste an – Eigenschaften wirklich aufhören – kann sie nur was nachgucken was ist an üblichen Eigenschaften was man so verlangen würde von einer Addition und einer Modifikation – gezahlt – wenn das erfüllt ist für welche Menge an Objekten auch immer nennt man das Vektorraum oder den – Linersbase – ein – Beispiel – Skript auf Seite neun – der C zwei – die Fragen wozu soll das bloß gut sein – der kommt zum Beispiel – in der Quantenmechanik – vor mein Physik auf bisschen – heftigeren Niveau macht Elementarteilchen – beschreiben will noch ?? Designvektorraum – wenig überraschenderweise – der er zwei waren alle Haare aus reellen Zahlen der C zwei – sind alle Paare aus Gartenbaus konvexen Fall – am Rande erwähnen – müssen ?? mit Schreiben – als ihr Sturz steht sowas drinnen wie – ?? nun zwei plus je – und die minus Wurzel zwei die – das während Vertreter der Nullvektor ist natürlich auch drinnen – waren die üblichen Kandidaten – dreizehn minus zweiundvierzig – sind drinnen – aber eben komplexe Zahlen – oben – und unten – das wäre der C zwei – diese Dinger kann ich offensichtlich addieren diese normalen Vektoren addieren – passiert nichts schlimmes – komponentenweise – addieren sie können Sie mit Zahlen modifizieren – ob es lustig ist die Karte sogar mit komplexen Zahlen modifizieren wenn sie den hier mit der Zeit ?? multiplizieren – sie wieder – ein Ding sage jetzt mal ein geordnetes Paar derselben ?? – um eine konvexe Zeit unten eine komplexe Zahl dies ist ein Vektorraum – ?? nicht nur über den reellen Zahlen sie können jedes Ding davon mit reellen Zahlen modifizieren – sondern sogar mit komplexen Zahlenvektorraum – über den komplexen Zahlen – über zehn – hundertster – also hier habe ich eine Menge an Zahlen – das wäre in diesem Fall wird in diesem Fall die Menge der komplexen Zahlen – eine Menge an – Anführungszeichen unten – Vektoren – Sie sind die hier als Feile darzustellen – wird eher schwierig – sie haben mir schon zwei Dimensionen drin und da Komma zwei Dimensionen drin – an – das gibt nicht wirklich gut als Fall darzustellen – trotzdem nennt man das dann – Vektoren – eine Menge von Vektoren weil – das ganze ein Vektorraum bildet in diesem abstrakten Sinne – sie können – diese Objekte hier – addieren – üblichen Recht illegal ist es die Reihenfolge ist egal man kann ausklammern – sie können diese hier mit den Zahlen in diesem Spiel das seine komplexen Zahlen mit Zahlen multiplizieren – dabei gelten die üblichen Rechenregeln wie ihr das – ausklammern insbesondere – wenn sie mit null multiplizieren – kommt null raus – wenn sie mit minus eins modifizieren kommt das – additiv inverse raus – der Vektor der – umgekehrten Richtung wobei die Frage ist – was heißt sie einig auch Richtung – ?? ich kann ausmultiplizieren – Produkte und somit ausmultiplizieren – ganze Liste an Sachen die gelten – festgelegter – Sachen nicht auf ?? – sehr hässlich ist diese Leertaste Liste aufzuschreiben – das was man üblicherweise erwartet – steht da drin – deshalb heißt das Vektorraum – in diesem abstrakten Sinne ein Bild ein mathematisches Gebilde das sich so verhält – wie File und zahlen – das wäre einer davon – Fans um – Kodierung geht's – wahrscheinlich – werden sie das nicht so doll erleben im Studium bei Überweisungstechnik – und dass er dann vor – die übertragenen Daten sicher oder wie übertrage ich Daten sodass kein anderer mitlesen kann hat man noch ein paar andere Vektorräume – werden insbesondere Vektorräume – die nicht mehr unendlich groß sind – das ist dann ganz schräg – an – ein Vektor oder was ein eine Sorte an Vektorräumen – immer noch sehen werden – die vielleicht noch schräger ist ?? – von Funktionen – kann Funktion addieren sich dann Fusion mit Zahlen modifizieren es gelten die üblichen Rechengesetze – deshalb – bieten die einen Vektorraum – so schräg wie das ist man darf – dann nicht versuchen sich das als man sollte nicht versuchen das als Feile vorzustellen bald gelingt es ihnen den Gesichte recht wenn das feine vorzustellen das hier ist ja schon als File – nur sehr schwer vorzustellen – Vektorräume von Funktionen – lernen – was soll sein dreimal – die Exponentialfunktion – so muss das ergehen – der Spezialfunktion – ist eine Funktion – wenn ich sage die – Funktionen – bilden ein Vektorraum – weil es über den reellen Zahlen muss ich sagen können was denn eine ideelle Zahl mal eine Funktion ist das an der grundlegenden Operation zwei und Innovationsvektoren – addieren Vektoren mit Zahlen modifizieren ?? was ist eine Zahl mal Anführungszeichen unten – Vektor muss ich dann sagen – eine Funktion – ähm der Spezialfunktion – eben hoch – geht von ideellen Zahlen – in den reellen Zahlen – ?? – solange nach dem Willen Zahlen – ähm – dabei das so lassen und einfach sagen diese Funktion hier dreimal die Exponentialfunktion – ist die Funktion die für jedes X – welches Ergebnis hat ✂ also eine nicht ganz – eine nicht ganz – entfernte Idee wäre das man sagt E hoch – E hoch E hoch X das ist aber – eher was was man als dritte Potenz verkauft nicht als das dreifache ?? dritte Potenz – am Sinne bei den Funktionen nicht sowas bilde eine Funktion einer Funktion einer Funktion einer Funktion von X – nenn ich das gerne – die vierte Potenz der Funktion angewendet auf X – eine Potenz kein Vielfaches – aus dem Grund – wenn ich – wieder sowas miteinander verketten wenn ich F hoch vier verkehrte – mit F hoch – zwei von mir aus – ist das dann definiert – die vierfache – Anwendung der Funktion – angewendet – auf die zweifache – Anwendung der Funktionsweise – ?? Klammer auf – ?? sechs Klammer zu eins zwei drei vier fünf sechs Klammer zu – die vierfache Anwendung der Fusion auf die zweifache ?? davon zu ?? ist die sechsfache Anwendung der Funktion – das Passwort zur Potenzrechnung – mich das so schreibe vier plus zwei macht sechs – deshalb würde ich die mehrfache Anwendung lieber als – Potenz verstehen – das wir das hat sich so eingebürgert weil das so – genial passt – haben – als das würde man – als Potenz nehmen – E hoch E hoch E hoch X – als die dritte Potenz – der E Funktion auf sehr abstrakte Weise ist viel billiger – dreimal – hoch X einfach das dreifache – an jeder Stelle liefert die Fusion das dreifache – wenn ihre Augen – ?? in ihrer Originalfunktion – DE Funktion ist – besser mal nimmt – in ihrer Originalfunktion – die Ehefunktion – ist – wäre das dreifache – ?? ganz dumm – an jeder Stelle – an jeder Stelle – das dreifache genommen – wie bei – den klassischen – ?? der siehe oben in Troja – wie bei den klassischen Vektoren – sie nehmen Erstkomponente – das dreifache – und in der zweiten Komponente das dreifache – und hier – nehme ich an jeder Stelle für jedes X – das dreifache das wäre das dreifache einer Funktion – das geht mit den üblichen Rechengesetzen durch wenn sie das drei plus vier fache einer Funktion bilden – können Sie hoffentlich – ausklammern – ohne das was schlimmes passiert – bei dem nächsten was ist die Addition – in diesem Spiel – ich – gucke mal ob ich Funktionen – zu Vektoren machen kann – also möglichst nicht an feine Denken an der Stelle sondern das abstrakte Konzept – addieren geht modifizieren mit Zahlen geht – und die üblichen Rechengesetze sind erfüllt ?? ich kann also was veranstalten Sinus plus Kosinus wies die sonst so was habe aus diesen hier bloß den hier möchte ich addieren den hier – problemlos sowas mal Sinus Bus groß musste sich auf eine Plasma fürchterlich aus die Summe zweier Funktionen – ja – beide leben – auf den reellen Zahlen der wird sich hoffentlich nicht viel dran ändern – und was wird jetzt für jedes X rauskommen ich suche eine neue Funktion – die sowas sein soll wie Sinus plus Kosinus was wir diese neue Funktion – an einer jeden Stelle X machen ✂ ?? dass sie das nur so haarsträubend Ausrufezeichen – die einfach dann sein wenn ich dreizehn Grad habe so rauskommt Sinus von dreizehn ?? plus – Kosinus von dreizehn einfach diese beiden Funktionen Punkt weise – ich Punkt beide an jedem X zusammen addieren – die beiden übereinander stapeln – das soll die Summe zweier Funktionen sein – und natürlich – gelten dabei die üblichen Rechengesetze – wenn sie jetzt sowas bauen wie – er dreimal – den Sinus plus den Kosinus – ist das an jeder Stelle – Sinus X plus großes X und das ganze mal drei es natürlich nichts anderes als wenn sie dreimal den Sinus genommen hätten – und dreimal den Kursus dazu gezählt – es gelten die üblichen Rechengesetze – das ist völlig banal – ähm – aber trotzdem genial war man die äh die das ganze was man über Vektoren lernt – Spezialfunktionen – übertragen kann wo ich sonst – bei Vektoren zum Beispiel zerlegen Bestandteile – kann ich nun anfangen Funktionen zu zerlegen bestand – das sehen wir dann insbesondere – bei der Fourier Transformation – Wurfsignale – zerlegt werden Sinus vermittelt Signale – so wie sie sonst einen Vektor nehmen – und den vielleicht in – ein Vektorraum – und den dann in X Komponente und Y Komponenten Z Komponente zerlegen – zerlegen sie dann ein Signal – in – irgendwelche Silos vermieden werden – als eine sehr – eine Ähnlichkeit auf sehr abstrakten Niveau – was man rechnet dabei ist Banalgesetzes – noch achtundzwanzig den Nullvektor – bei den Funktionen – der Nullvektor bei den Funktionen muss natürlich wieder eine Funktion sein – ich brauche eine Funktion die bei der Addition nichts tut – welche Funktion tut bei der Addition nichts ✂ Na wenn ich eine Funktion suche die bei der Addition – zu einer anderen Funktion nichts tut heißt es hier muss immer Null dazu kommen – die Funktion überall null sein an jeder Stelle – das ist der ein Viertel Zeichen – Nullvektor in diesem Spiel die Funktion überall null ist – ?? zum zehnten Mal zu sagen – dann wenn von Vektorräumen – von Funktionen – die Rede ist sowieso von etwas abstrakteren Vektorräumen – denken Sie vielleicht – nicht so doll an Feile – eine Funktion als File – finde ich eher Irritierendmann – denkt er da dran ?? ich kann das addieren – Richter habe zu anderen solchen Objekten und ich kann es mit Zahlen modifizieren – und kriege wieder so ein Objekt – und es gelten die üblichen Rechengesetze die ich jetzt gar nicht aufgeschrieben habe weil sie so banal sind – besichtigen können was passiert – und das nette ist das man – dann große Strecken neunzig Prozent der linearen Algebra sofort verwenden kann um Funktion zu einer – Person zu veranstalten – werden auch noch Skalarprodukt – sehen für Funktionen – insbesondere und eine Länge für Funktion die auch so funktionieren wie man sich das vorstellt und die sie auch – durch fünf Minuten Dachdecker so hinschreiben können – kann gar nicht anders sein