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04B.2 Spaltenraum, Rang, Defekt einer 2x3-Matrix


CC-BY-NC-SA 3.0

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nannteeinige technische Begriffeum diesePrüfungeinfacher zu machen ob es Lösungen gibtund wenn ja ob sie dann eindeutig sindsich mal diese Matrix an eins zwei null zweivier einsund überlegen sich folgendeswas ist das Bildeines immer das Bild offiziell heißt es der Spaltenraummit anderen Worten was kommt aus dieser Matrixraus an Vektorenwas darf also wenn ich Sohngleichen System hin schreibewas da vier auf der rechten Seite steht alles in dem Bild dem Spaltenraumsonst nichtsdas über den sich als ersteszweitenswas ist der Rangdieser Matrixund drittens was ist der Defektdieser Matrixund was hat das für Erlösanteilund die Eindeutigkeitvon Lösungenfür gleichen Systeme mit dieser Matrix zu tun??das Bild der Spaltenraumalle Vektorendie rauskommenkönnen diese Matrix modifizieren sie offensichtlich mit einem Dreiervektorzahlder Spalten ist drei hier brauche ich drei Zeilenund der Spaltenraumist alles was an Vektoren rauskommenkann das könnte man jetzt mal so dreist so hinschreibenalso einmal X plus zweimalY des Normalzeit steht oben einmal X plus zweimal Yobenzweimal X plus Firma Lips und das einmal selbst steht untenund daslustige ist das ich das wieder auseinanderziehenkann dass verglichenen Videos vorgeführtaber das scheintetwas verborgen gewesen zu seindas sie kann ich wieder auseinanderziehendas ich X mal der Vektor eins zweiplus Ymal der Vektor zweiviergroß Z Male Vektor null einsdeshalb heißt das Ding auch Spaltenraumeins zwei zwei vier null eins eins zwei zwei vier null einsdas was ich aus den Spalten bilden kann ?? das ist der Spaltenraumalles was aus dieser Matrix rauskommen kannmit anderen Worten alles was nach auf der rechten Seite vom gleichen System stehen darf ?? eines Lösung geben sollmuss sich so bilden lassen Vielfaches der ersten Spalte positiv aus der zweiten plus Fivers der dritten Spaltealles was ich aus den Spalten bilden lässt alle Vektoren die sich offizieller Begriff als Linearkombinationder Spalten bilden lassen die Bild mit Spaltenraumoderdas Bild der linearen Abbildunganund das muss nicht immerder R zwei sein hier ist es netterweise der A zweiwenn ich aber hier unten eine null geschrieben hättewas wäre dann das Bild der Spaltenraumja das wäre eine gerade nur noch alle vielfachen von Vektor eins zwei eins rechts zwei nach obenund dazu genommen die vielfachen von zwei vier das doppelte davonzwei nach rechts vier nach obendiese beiden Vektorenliege vielfach jeweils zusammen addiert werden auch immer nur solche Vektoren gebendas wäre nicht der gesamte A zwei sondern nur eine geradewas eindimensionalistwenn da eine null Stundeversteht aber keine nulldeshalb ist die Antwort die sie so intuitiv gegeben haben wichtig aber mir ist auchwichtig dass sie wissen warum die intuitive heute wichtig ist so was mache jetzt den Weg ?? eins zwei eins ?? zwei nach oben ?? Gegenvektor zwei vierzwei nach rechts vier nach oben und ich habe den Vektornull einsnur eins nach oben gehenüberlegenalsoaus den dreien kann ich jedenSR zwei bildendie drei haben kriegen sie jeden hinanden zum Beispielkönnen Sie bilden indem sie den violettenokaysie oben verlängernsowie von den violettendann gehen sie in negativer Richtung den grünenSohn zu viel als negative Zahl minus unsere Firma den grünrotenwürden sie auf die Weise kriegen als mit den dreifing sie tatsächlich jeden Vektor des R zwei und deshalb ist das Bild der Spaltenraumtatsächlich der gesamte A zweidas muss aber nicht so seinwenn hier lauter Nullen gestanden hättenwird immer der Nullvektor rauskommenund ich hätte hier wirklich nur den Nullvektor als die Menge mit dem Nullvektor so sehr das dann aus auch das könnte passieren?? okaydas ist der Spaltenraum hier ist der A zweisie denken weiter nach über den Rang über den Defekt und was das jetzt für gleichen System alsdie man mit dieser KoeffizientenmatrixPunktdas laufe ich die benutzten Vokabeln dieses Semesters ich muss es gestehen anKomma sichecht ein bisschen Reinfuchsnässesowie Chinesisch lernen aberglauben Sie mir nach ein zwei Wochen ordentliche Arbeit damitwas nicht auf die Reiheder Rang das habe ich jetzt gesehen der Rank funktioniertist die Dimension des Bildesdie vielen Dimensionenhat dieses Bilddas sind zweiin der Variante wir ebenals einen ?? ?? nur reingeschrieben habe testweisebei das Ergebnis ja eine eindimensionaleMengenur eine geradedann ist der ?? natürlicheinsin dem Fall aber hier ist es eine zweidimensionaleGeschichteauch zwei Basisvektorenalles auf zu spannender Rang des zweiten ?? kann auch einfach zählen wie vielelinearunabhängigeSpalten finde ich ich finde zwei Lineal unabhängig Spalten zum Beispiel diese und diese aber nicht dreidas ist der Rang wie vielen Jahren unabhängig Spalten findeman kann damit List und Tückeauch noch begründen dass das gleiche für die Zeilen gilt wie für den Jahrhundert ?? die Zeilen finde ich aberdas ist eigentlich die Herkunft wie linear unabhängige Spalten ähnlich wie viele Dimensionenhat das Bild ist das Bild eine Ebenesehr mit den drei Vektoren hier können Sie eine Ebene bildenDankes zwei ist das Bild eine geradewenn ich Dinge nicht hättekönnte ?? eine gerade bilden quer durch den Raumder Rang wäre einsstünde hier lauter Nullenund es käme immer der Nullvektor rauswer das Ergebnis null dimensionalder Rang wäre nullso der Defektist wie viele Dimensionnull werden müssennicht mehr alle Vektoren anguckealle Vektoren zusammen sammle die zum Nullvektor werdenden habe ich den Herrnder Matrixraumder Matrixwelche Vektoren werden alle zu null gemachte Defekt ist die Dimension davonderzeit eine ganz bestimmteBilanzich gehe mit drei Dimensionen reinkommen zwei Dimensionenden Rang wieder rausmit drei Zeilen rein mal so sagen ich geh mit drei Zeilen reinin mein Vektor ?? die Matrix hat drei SpaltenKomma mitSophie Dimensionen raus wie der Rang sagtder Defekt muss sein was verloren gegangen Punkt das muss seindie ZahlderSpaltenmit diese Dimension nicht eingegangen bin das sind drei zeitiger Vektordrei Spalten der Matrixminusder Rangdimensionnicht wieder rausgeheich ?? Dimension überleben sozusagenso viele Dimensionensindverschwunden in der Matrix so vieleDimensionen werden von der Matrix zu null gemachtokay ?? an drei Spalten der Rang ist zweider Defekt ist einswas sagt uns das jetzt überdie Existenz und die Eindeutigkeitvon Lösungenich schreib Dinge normal in eins zwei null zwei vier eins ein Gleichungssystemdieser Koeffizientenmatrixob man durchdrei Komponenten der ??ein Gleichungssystemmit dieser Koeffizientenmatrixhier stehen irgendwelche Zahlenabivon mir aus dreizehn zwei vierzig ?? FragezeichenLeistung Weinviertel auf der rechten Seite des kleinen Systemsstehen endlich auch in Echtzeiteinsmal X plus zweimal Y plus Nummer Z ist gleich minus dreizehnzweimal X plus Firma Lips und das einmalige des Vermieters zweiundvierzigund von der Koeffizientenmatrixweiß ich jetzt der Rang ist zwei und der Defektisteinsder Rang war die Dimensiondes Spaltenraumsdes Bildesein wifidimensionalesGebilde rauskommen kannwas sagt dieser Wert trank gleich zweiüber dieses Gleichungssystemder Rang istzuweilenes kommt ein zweidimensionalesGebilde rausPunkt sie sehen alles was überhaupt auf der rechten Seite stehen dann muss deshalb vorkommen könnenich kann auf die rechte Seite schreiben was ich willes kommt rausegal was er steht dreizehn zwoundvierzigWurzel zwei und Pi es muss rauskommender Rank ist zweiaus dieser Matrix kommt der komplette eher zwei rausbefassen wir gern ein voller Rangder Rang ist gleich der Zahl der Zeilen des von der kompletteRaum brauste auch nur theoretisch rauskommen könnteBeistrichalles ist möglich immer lösbaregal welche AB ich auf die rechte Seite schreibe es ist immer lösbarsolche Matrizen mag manegal was ich mit dieser Matrixein System hin schreibe?? es wird lösbar seindas sagt in der Rang wenn der Rang gleich der Zahl der Zeilen ist dieser sogenannte voller Rang wenn der Rank gleich eins wärewas für eben hattenwenn aus dieser Matrix nur alle Vektoren rauskommen können die auf irgend einer geraden liegenein kann ja sein das sie erweckte den ?? sechzehn schreibesie nicht auf der geraden liegt typischerweise bitte nicht auf der geraden liegen und inhaltlichen Problemen kann der nicht rauskommenin der Rang gleich eins ist ist die Sache unsichertypischerweise wird es keine Lösung gebenbei dieser Vektor hier quer liegen kannBeistrich wenn der Rank nulldas ist man von den Rang ab der Rank hat mit der NutzbarkeitExistenz von Lösungen soll ich sagen zu tun wenn der Rang groß genug ist es egal was auf der rechten Seite steht es gibt immer eine Lösungwandern Punkt warum kann hier nicht der Rang drei rauskommen?? ich habe drei Vektorenin R zweiund sie sehen egal wie sie sichbiegenmit diesen drei Vektoren im R zwei kriegen sie allenfallsden gesamten ?? zwei raus ein zweidimensionalesGebilde die kriegen niemalseinen Würfel rausin dreidimensionalenmit allen diesen Vektoren die immer nur mehr zwei liegender Rang kann nicht drei werden egal was sie mit den bilden es bleibt im zweidimensionalenRang zwei hier ist das Maximum mehr geht nichtder Defektich gucke mir anwelche Vektoren werden zu null gemachtalso dieses Gleichungssystemeins zwei null zwei vier einsist gleich eins heißt wenn ich all diese Vektoren zusammen nehme habe ich eine geradefinde eine gerademit dieser Eigenschaftwas sagt Ihnen daswas können Sie nun machenich muss woanders damit ihnen amNummer die Kurzfassung wollte sie sie aufgeschrieben habewenn ichso einen Vektorjahr habeder von der Matrix zu null gemacht wirddann kann ich Dinge absurderweiseoben dazu addieren Beistrich dasselbe Ergebnis rausdas ist der Trick wenn dieses hier unten klappt's mit einem Wechsel nicht der Nullvektor ist kann ich diesen Vektor zu einer Lösung addieren und hab noch ?? Lösungden für den Vektor kommt auf der Seite null null raussobald der Defekt nicht nur lässtsie die Lösungen nicht eindeutig bestimmt nur wenn der Defekt null ist in ihr nur der Nullvektor geht von null emotionales Ding gehtnur dann sind die Lösung eine staatlich bestimmt wenn der Defekt nicht nur lässt die Lösungen nicht eindeutig bestimmt das hängt eben auch mitunter bestimmt zu sagen das es automatisch ein unterbestimmtesLeerzeichen Systemdas ?? Komma ?? Defekt ist eins also nichtsnullund deshalb ist die Lösung wenn es eine gibt niemals eindeutigdass der Mann aus dem Defekt in der Defekt null istfällig hier unten nur den Nullvektor als Lösunggehabtwenn der Defekt nicht nur lässt gibt es hier andere Lösungen die kann ich zu jeder anderen Lösung meiner ursprünglichenGleichung ?? ?? Systems addiert und damit ist es nie eindeutig lösbardas ist hier der Fallokay das istabstrakt und heftigamvielleichtja um sich tatsächlich mal folgendes anwelche Vektoren schaffen lassen welche X Y Z kann ich hier einsetzen und ich kriege null null rauslösen sie das maleine Gleichung von eben mal X Y Z soll null null sei nicht in die AG sondern null null sein welcheVektoren sind denn diejenigendie verschwinden in der Matrixfand das Hanse gelöst Beistrich ich würde das jetzt hier sehr hemdsärmeligangehenwenn ein X plus zwei Y plus null Mahlzeitnull sein sollPunkt die zweite Gleichung an zwei X plusvier Y plus einmal Z soll auch null seindann fällt mir auf okayein X zwei Y null wenn es auch zwei X plus vier Y gleich null dass sie vorne muss schon null werden wenn sich Z muss Null sein sonst kann das nicht hinhautFitness alle etwas ausführlicher zu Fuß das wäre jetzt soder direkte Weg einfach möglich hingucken Z muss nur sein gar keine andere Chance ??und dann später zweimal dieselbe gleichen Konzept gleich null ist Leerschritt also nur noch einmal X plus zweimal Y gleich null sagen X ist gleichminus zwei Ysoalsoist X Y Zgleichwas mal vorsichtig hinschreibendas kriege ich als geraden Gleichung würde das ganz monströs als geraden Gleichung auffassenals Stützvektor den Nullvektor den schreibe ich sonst nicht in aber hier nur mal zur Veranschaulichungplus ein VielfachesvonZ muss immer null seinO und X muss minus das Doppelte von Y sein minus zwei Y eins das sollte ?? sein ??einmal gerade nachdenkenZ ist immer null vergisst immer nurX istminus zwei Landerund Y ist gleich Lander Access minus zwei Lander ErgänzungsstrichLanderdas ist ?? es ist eine gerade durch den Ursprungund mit diesem Richtung Vektor einen Ursprung gerade allePunktealler Ortsvektorenauf dieser geradenwerden von der Matrix zu null gemacht und sonst keinerdas nennt sichder Kernder Matrix jetzt aber Name den Begriff auch noch mal der Kerngroß ?? Gesetz ausführlichder Kern in den Klammern kommt jetzt die Matrixdie seine Funktion F von irgendwasin Klammern steht was ich einsetzein Klammern steht jetzt welche Matrix das jetzt bisschen blöd aus in der doppelten Klammerneins zwei null zwei vier eins die inneren Klammern sind die von der Matrix und die äußeren Klammern sind die von Kernvon irgendwasander Kern also die Mengealler Vektorendie zur null gemacht werden zu Nullvektor gemacht werden ist also diese gerade der Kern ist schreibe ich Sitze ausführlichin Asia das nicht so ausführlich?? amwerkeln ist diese geradesodas es sehr hemdsärmelig ??derDefektist die Dimension von Kerndie geradeeindimensionalda kommt das Heerder Rank sagtwas die Dimension des Bildes ist es beiden Raumsdessen was rauskommen kannder Defekt sagtwas die Dimension von Kern istdie viel zu null gemacht wird es wird eine gerade ein Eindimensionalgebildezu null gemachtder Defekt ist einswarum das jetzt noch ??Wohnungist der Trick folgender wenn Sie eine Lösung für die Originalgleichunghaben Klammer aufwenn sie irgend eine Lösung für diese Originalgleichunghabendann können Sieirgend einen dieser Vektoren dazu addieren zum Beispielminus zwölf sechs nulloder minus zwei Pi ein Pi und nurirgend einer von denen hier können Sie addierenund haben ihr oben wieder Lösung rausdas ist der Trickkann irgend ein Weg aus dem Kern nehmen zu einer anderen Lösung von meinemvom Anwender gleich System addieren und ?? wieder eine Lösungweil alle Lektoren aus dem Kern der zu null null gemacht werden die ändern die rechte Seitedas einzige findet sich dann auch bei dengenialen Differenzialgleichungenwieder ??macht man genau dasselbe machen Punkt sich einmal anwas die allgemeine Gleichung der ist mit einer rechten Seite die nicht nur lässt und dann guckt man sich an was passiert wenn ich die rechte Seite gleich null setzteeine homogene Gleichungderselbe Trick kommt bei den ?? Fragezeichenist das weniger mit Zahlenwenn hier stündeeinsdreidann hätte ich zum Beispieleine Lösungüberlegen könnenals eins null eins sowenn auf der rechten Seite eins drei stündean gleichen System wäre also einmal X plus zweimal Y plus Nummer zehn ist gleich einsund zweite Gleichung zweimal X plus Firma Lips und das einmal sind es gleich drei in das man Gleichungssystem wärewäre eine Lösung eins null dreieinmaleins Plus voneinszweimaleins plus vier mal null plus Einmaleins ist drei das eins null eins wäre eine Lösung für dieses GleichungssystemNetz kann ich irgend einen Vektor aus dem Kern nehmen zum Beispiel minus zwei eins null ist der billigsteminus zwei eins nullkann ich nehmen und zu meiner Lösung addieren und es käme weiterhin eins drei raus bei dieser grüne Weg aus dem Kern der würde ihr zur null null werden das ist der Witz bei den Vektoren aus dem Kernsind denn die rechte Seite nicht ändern dass während einer aus dem Kern aber genauso können Sie auch zwei Pi und ein Pi und null Pi nehmenund es geht mir nullnull Kies wäre wieder eine Lösung dieser neue Vektor hier eins minus zwei Pi null plus ein Pi und so weiter wäre eine weitereneue Lösungalso bald in den Kernnicht nur der Nullvektor drin ist wenn der Kern nicht nur null dimensionalistkann ich Vektorendie nicht null sind addieren und meine Lösung ist nicht eindeutigdass es der Gedanke