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01E.1 Neun Arten von Klammern in der Mathematik
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die Klammern in der Mathematik sind ein mittleres Drama war deine Klammer – nach Zusammenhang an unterschiedliche Bedeutung hat – muss also genau hin gucken was hier was gemeint ist deshalb stelle ich hier mal 9 Arten von Klammern vor – erste und wichtigste Art sind Klammern – denen man die Reihenfolge – ändert – gilt punktrechnung vor Strichrechnung also – 3 + 4 x 5 heißt 4 x 5 ausrechnen – 3 – dazu 23 – ich aber erst 3 + 4 rechnen will – dann mit 5 multiplizieren – will dann – brauche ich Klammern und – Kriege raus 3 plus 4 sind 7 x 5 sind 35 – Malzeichen hat sozusagen eingebaute – Klammern hier oben und könnte man wenn man wollen würde – um das Produkt machen das würde das Ergebnis – ändern – oder mal ein komplizierter Ausdruck – Klammer – Quadrat ich möchte etwas quadrieren – nämlich viermal – und hört was da vorne soll sein 3 plus 7 mal etwas und das soll sein 6 + 2 – den Klammern sage ich in welcher Reihenfolge hier gerechnet werden sollten nehme ich nicht – x 6 zuerst sondern 6 +2 zuerst – mich von innen nach außen 6 +2 das gibt – ist zu rechnen 7 – mal – macht 56 – und dann ist 3 + 56 – zu rechnen – 859 – und dann ist zu rechnen 4 x 59 – mach 236 – soll ich V abziehen – habe also – und das soll zum Schluss – werden – und das gibt – Rechnung 53361 – die – Klammern sind also von innen nach außen – was in Klammern steht unser – für zwei in den innersten Klammern steht ist zuallererst auch zu Rechner – man sieht welche schließende – Klammer zu welcher öffnen in Klammer gehört kann man die Klammern verschieden groß machen das habe ich hier versucht – nassen Klammern klein die äußerst Klammern groß – man verwendet verschiedene – Arten anklammern dann – ist es etwas klarer – ok außen nehme ich schweifklammer – kommt das Quadrat und die habe ich viermal und dann nehme ich z.b. eckige Klammern weiter drinnen – in den eckigen Klammern fange ich vielleicht mit den runden Klammern an – plus 2 in runden Klammern – Hinterrhein Mathematik sieht man diesen Trick seltener – oder auch in der Physik sieht man häufiger dass dann verschiedene Klammern benutzt werden damit man besser erkennen kann – Paar anklammern – hierbei zu zusammengehört – es gibt immer wieder Ärger mit negativen – Zahlen in diesem Zusammenhang deshalb – sage ich das einmal ausdrücklich -3 – ins Quadrat – Quadrat ist zuerst auszurechnen – wir haben punktrechnung – vor Strichrechnung und – obendrein – Potenzen – vor der punktrechnung erst die Potenzen dann die punktrechnung dann die Strichrechnung – es ist nicht -3 – zu quadrieren Sonnen des 3 zu quadrieren – davor entsteht ein Minuszeichen eigentlich – stehen hier Klammern – und – das 3 Quadrat – aber – ich -3 – quadriere – weiß - 3 Quadrat hier – hätte ich jetzt gerne - 3 Quadrat – habe ich - 3 x -3 – das gibt plus neu nicht – - 9 – mit dir mal das Schreibweise sieht man schon – Zahlen im gelobten sollten schöner mit Klammer geschrieben werden – wenn ich z.b. 5 mal -4 – rechnen will schreibe – ich – nicht 5 x - 4 das sieht ziemlich hässlich aus – ich schreibe 5 x in Klammern - – 4 – war die erste Art die Klammern vorkommen – II – hart wie kann man vorkommen für funktionsargumente – von X eine Funktion von – X da schreibe ich Klammern – normalerweise – es gibt doch andere Schreibweisen aber die übliche Schreibweise ist f von X mit Klammern um das was man einsetzt das Argument und das X schulmäßig – sieht – man sowas wie Sinus von 42 Grad lieber nicht – ist Sinus – von Klammer – 42° – Klammern – um das Argument 42° – manchmal – ist die Klammer auch unnötig Wurzel 36 das – ist klar was gemeint ist ohne Klammern E36 – muss ich nicht ein – sind die Klammern – überflüssig – gibt immer wieder Verwechslungen mit dem Klammern um funktionsargument – den Klammern zur Reihenfolge bei – und Strichrechnung insbesondere – deshalb achtung – ich rechne 3 x 4 + 53 – x 9 dann – kann ich auch stattdessen rechnen 3 x 4 + – 3 x 5 – vier Sachen und fünf Sachen verdreifachen – gleich die vier Sachen verdreifachen und die fünf Sachen verdreifachen toll – was gerne schiefgeht wenn ich den Logarithmus habe aus 4 plus 5 – ist das nicht nicht – nicht – gleiche wie der Logarithmus hier der natürlich Logarithmus aus – 4 plus der natürliche Logarithmus aus 5 – ich will wissen was – der Logarithmus von neuen – ist da kann ich nicht einfach den von vier und den von 5 addieren das – wird nicht funktionieren – im Quadrat passiert es auch gerne – + 5 in Klammern jetzt Quadrat das ist nicht – gleich 4 Quadrat plus 5 Quadrat man kann nicht einzeln quadrieren – mir ja schon ein binomi a – B Klammer netzquadrat ist a Quadrat – Quadrat – dann kommt ihr noch 2 AB – x 4 x 5 wird auf der rechten Seite damit – das stimmt – ähnliches Phänomen – Brüchen 42 halbe – sind ein 20 da kann ich kürzen aber – der Sinus von 42 – Grad halbe – 42° – schmeiße ich in die Funktion Sinus – und – das was rauskommt teile – ich durch 2 – ist – das – gleiche als wenn ich rechne Sinus – von 21 Grad – vorsicht – mit denen nicht die Reihenfolge von punktrechnung und Strichrechnung Ändere – kann – ich typischerweise zusammenfassen – ausklammern und so weiter bei – Klammern – funktionsargumente – das normalerweise schief – Fußnote zu den funktionsargument – in Klammern – und funktionsargumente – wenn es richtig kompliziert wird wenn man Funktionen – von Funktionen hat – man gerne Stadt der runden Klammern – Klammern oder Schweiz Klammern und klarzumachen um das wird kompliziert z.b. – der Erwartungswert – Erwartungswert der Zufallsgröße X hoch 3 das – ist nicht einfach eine Zahl sondern was kompliziertes da schreibt man plötzlich eckige – Klammern – man auch anders machen können ist so Tradition – an der anderen Stelle kommt es auch noch prominent vor bei der Laplace-Transformation – Laplace Transformation – nimmt z.b. – die Funktion e hoch 5 t was – ich eigentlich so schreiben müsste Tee wird abgebildet auf Evo 5th privates nicht übertreiben – nimmt – Funktion e hoch 5 t – das hat man gerne Schweiz Klammern um die Funktion herum – das große L in Schreibschrift und Zusagen davon die Laplace transformierte also – es um komplizierte Objekte geht die eingesetzt werden dann stehen plötzlich mal LG Klammern oder Schweif Klammern statt der runden Klammern aber am Anfang runde – Klammern um funktionsargumente – jetzt wird's geometrisch – dritte hat von Klammern die Klammern für geordnete Paare Tripel – und so weiter – im Allgemeinen – GARTEN Paare versteht – man ja gerne und zum Zahlen geht als Koordinaten – in der Ebene – Punkt mit der X Koordinate 2 – und der y-Koordinate 3 – Den schreibe ich dann das geordnetes paar – runde – Klammern ein Strich in der Mitte oder – runden Klammern was – bisschen gefährlich ist im deutschen 2,3 – auch die Zahl 2 + 13 sein – Dezimalzahl – in Deutschland – ist vielleicht sicherer da ein Semikolon zu machen zwei Semikolon 3 – drei hiervon ist dasselbe geordnete paar – verschieden geschrieben – ist dem Paar ist die zwei II – impar ist die drei Betrieben – steht da drei hintereinander und so weiter und so weiter – ganz verband damit sind die Vektoren und dann die Matrizen – vielleicht erstmal wieder im zweidimensionalen – mit den – oder Komponenten 23 – z.b. – als – vom – Ursprung dann also zum Punkt mit den Koordinaten 23 – oder – von mirusia 203 – nach oben in diesem System – oder hier – zwar nach rechts drei nach oben – hier – zwei nach rechts drei nach oben und – so weiter – das wären Repräsentanten – wie das so schön heißt Feile – die den Vektor repräsentieren – den – Vektor 23 – mit – großen Klammern und – dann die Komponenten – oder Koordinaten – übereinander geschrieben nicht nebeneinander geschrieben – Matrix ist dann – nur eine Spalte sondern im Zweifelsfall – etwas in Spalten und Zeilen ausgedehntes – z.b. diese Matrix hier 123456 – links und rechte Klammern – gibt da neben den Spaltenvektoren – auch noch Zeilenvektoren – etwas – Zeilenvektor – wäre dann ein Spaltenvektor – also zahlen – oder auch andere Objekte später mal – einem rechteckigen Muster oder als Spalte oder als Zeile mit Klammern links und rechts – mit Büchern – Videos aus den USA dort schreibt man statt der runden Klammern – Klammern also das wäre der Spaltenvektor – 23 – der anderen Seite des Ozeans und diese Matrix wäre dann mit eckigen Klammern – eine englische 1 123456 – eckige Klammer runter Klammern – das war so geometrischen – ähnlich wie Spaltenvektoren – Binomialkoeffizienten – aus – z.b. – 49 – über 6 ist so der übliche binomialkoeffizient – jetzt nicht gemeint – Spaltenvektor – X Komponente – 49 und Y Komponente sechs sondern es ist gemeint – viele Möglichkeiten gibt es sechs verschiedene – Sachen aus 49 – verschiedenen Sachen zu ziehen – dass man die Reihenfolge beachtet – das kommt also eine Zahl raus immer eine ganze Zahl – Zahl von Möglichkeiten – ziehe sechs verschiedene Sachen aus 49 – verschiedenen Objekten – ich 49 Möglichkeiten – für das erste Objekt – ich noch 48 drinnen und 740 und so weiter – sich natürlich hier und das klassische – viele Möglichkeiten habe ich sechs verschiedene Objekte aus dem neuen wird sie verschieden Objekten zu ziehen – war aber noch die Reihenfolge egal sein – heißt teile durch die Anzahl der Möglichkeiten E6 Objekte – verschiedene Reihenfolgen zu bringen durch die Fakultät von – die nächste – Möglichkeit die – Nummer 6 Intervalle – bei -1 – bis – zwei – mit der – Klammer sage ich die -1 ist enthalten mit – der runden Klammer sage ich die zwei ist gerade nicht enthalten die 1,99 – ist enthalten – ist enthalten aber die zwei selbst nicht mehr – schreibt man auch in Deutschland – der runden Klammer eine eckige Klammer falsch – herum – zwei soll nicht mehr drin sein dass all diese eckige Klammer – herum bedeuten – anderen Worten – dem Zahlenstrahl – 10.12 – Menge aller reellen Zahlen – der -1 einschließlich – bis zur zwei aber die zwei ist nicht dabei – sind schon ein Beispiel für Mengen bei den Mengen als solchen kommen auch die – prominent – vor – die Menge mit den Zahlen 7 und 3 – 1 – man Semikolon statt, – damit es nicht so nach Dezimalzahlen aussieht – ein Beutel und die drei Sachen drinnen sind die sieben und die drei und die eins – will jetzt die Schnittmenge – Menge – n Elementen 13 – und 42 – indem sozusagen dann XIII 42 – drin sind Bildmenge zu bilden heißt was haben – beide gemeinsam nichts – linke Beutel und der rechte Beueler nichts gemeinsam die Schnittmenge ist als die leere Menge schweifklammer – gar – nichts – Leere Beutel sozusagen oder alternativ, – ne eine Null durchstreichen – für die leere Menge beides – bedeutet – leere Menge – jetzt kommen noch ein bisschen rechnen – für die – auf und Abrundung – das ist vielleicht etwas exotisch wenn man zu mir erstmal sieht – mit eckigen Klammern die aber nur unten einen Haken haben – eckige Klammern mit dem Haken unten und die 4,2 soll 4 heißen – drei nadi – ist das schon gewundert bleibst – - 3 ist auch gerundet Bleibt -3 es – soll aber immer abgerundet werden deshalb – -2,3 – ich – und sich – das am Zahlenstrahl vorstellt – 0 - – 1 - 2 - 3 - – 2,3 – möchte ich abrunden dann – lande ich bei der -3 – aber das so lustig ist – den eckigen Klammern die nur unten diesen Fuß haben noch was auch noch umgedreht mit eckigen Klammern die oben – so eine Decke haben das – ist das aufrunden 4,2 jetzt so also zu 53 – ist – ja schon rund Bleibt 3 - – 3 ist auch rund Bleibt minus drei und – -2,3 – nicht grundsätzlich nach oben Runden wird dann also nicht -3 sondern -2 – Funktionen – sind das ja die haben auch englische Namen – die – Funktion nennt sich floor von wegen Fußboden – die aufrunde Funktion nennt sich Sieling man schreibt aber nur kurz Ziel – wegen – Funktion ist auch ganz klassisch die Stadt nicht von Herrn Gaus sogenannte gaußklammer – wirklich vollständige – eckige Klammer noch geschrieben – die Nummer 9 – die Fallunterscheidung – Klassiker ist die Betragsfunktion der – Betrag – reellen Zahl X – sein – kommt eine schweifklammer – für die Fallunterscheidung – Betrag einer reellen Zahl ich soll sein einfach – nur X – Zahl X größer gleich null ist und – Betrag soll minus X sein sonst – schweifklammer an prominenter Stelle und – zwar eine öffnen schwarz, es – gibt nicht auf der anderen Seite anschließende – dazu – während 9 Arten an Klammern in der Mathematik