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13A.1 lineare Differentialgleichung als DGL-System mit Eigenwerten und Eigenvektoren lösen


CC-BY-NC-SA 3.0

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sich – mal diese Differenzialgleichung – an Y zwei Beistrich – minus fünf Y Beistrich plus sechs Y – ist gleich null ?? – einmal nach dem üblichen Verfahren – als erstens wie gehabt – ?? – zweitens Form sie die mal um – in einen Differenzial Gleichungssystem – und versuchen wieder ein G drei Strand zu gehen mit Eigenwerten – Eigenvektoren – hoffe das man dann – durch den Vergleich von diesen beiden – Lösungswegen – bisschen was lernen kann darüber – dass man eigentlich die ganze Zeit dasselbe macht es so komplett anders hin schreibt ✂ wie gehabt ist also – ich erkenne das es den ja Differentialgleichung – homogen – steht nichts ohne Y – mit konstanten Koeffizienten eins minus fünf sechsten dann ist der Ansatz – immer – ganz billig – nämlich – Y – Doppelpunkt – Y – ist gleich – E Hochland – X – ich würd da – jetzt keine Konstante mehr davor schreiben wir werden nachher sowieso mehrere Lösung Familien erhalten und die dann mischen müssen aber so hinschreiben das Lander bestimmen – an erweitern inzwischen dies funktioniert also wenn ich den Ansatz mache sehe ich – Lander Quadrat – minus fünf flammender – plus sechs ist gleich null – ?? quadratische Gleichung – dann finden Sie bla Blabla quadratische Gleichung ein Problem – an der ist gleich zwei – oder Lander ist gleich – drei – nur was aber nachrechnen – zwei Quadrat macht vier vier minus – zehn plus sechs gibt null in der Tat und wenn sie drei Einsätzen – neun – minus fünfzehnter – sechs gibt auch korrekt – an also weiß ich allgemeine Lösung – dieser Differenzialgleichungen – wird sein – SG wird sein Y von X ist gleich – irgend ein Vielfaches – von der ersten – Familie die – zwei X – und irgend ein Vielfaches der zweiten – X – oder anders rum gar – so funzt mir das hier – im – jetzt bauen das mal um in einen Differenzial Gleichungssystem – Vasallensystem – erster Ordnung natürlich – sinnvollerweise – und versuchen Sie da mit Eigenwerten und Eigenvektoren – anzugehen – ?? – ich mach mir das immer dran klar Anfangsbedingungen – ich brauche – für diese Differenzialgleichungen – muss ich zwei Zahlen vorgegeben – was ist der Wert von Y – an einer bestimmten – X Stelle – und was ist die Ableitung von Y einer bestimmten X Stelle – die zweiter bei den Mäzene automatisch geschenkt und alle weiteren ist recht – ärmlich versuche als Engpass zwei Komponente – die Funktion – und ihre Ableitung – überlege gerade – ja sogar des Landes aufgeschrieben – was ist die Ableitung – von diesem Ding – und das versuche ich wieder mit diesem Vektor selbst auszudrücken – die Ableitung von Y Y Strich versuche ich mit Y Y Strich wieder auszudrücken – die Ableitung von Y Strich ist Y zwei Strich – können Sie oben ablesen was Simpsons Beistrich fünf Tipps Beistrich minus sechs Y Asunción stehen fünf Y strich – minus sechs Y – etwas überraschend ist das hier oben die Ableitung von Y – ausdrücken – mit Y und Y Strich ganz blöd einfach Y strich – mit diesem Vektor – möchte ich ausdrücken was die Ableitung von dem selben Vektor ist bei den von Y – Trennstrich – ?? verwenden – ähm – das Differenzial Gleichungssystem – was man dann also offiziell hinschreiben – würde wäre also sowas dass man sagt die Ableitung – von meinem Vektor – Y null – Y eins – soll sein – Y eins – und John steht fünf Y eins minus sechs – Y – null – und das ist netterweise jetzt den ja – ist auch hier nicht auf von wegen Sinus Y – oder Y Quadrat Y null Mark Y eins – und es ist obendrein auch noch homogen ist auch nicht auf ohne Y – umso besser – sogar das mit einer Matrix schreiben – ?? eins netterweise – was jetzt in der Matrix steht zur Konstante zahlen weil hier – auch interessante Zahlen stehen eins fünf fünf sechs – was für Zahlen schreibe ich in die Matrix – also ?? sie so mache mit dem ?? zur null oben und ?? schon als unten – muss sich so seine ganz andersrum machen – dann müsste ich hier – können – eine – stehen – Y null mal null – denn hier will ich Napster eins haben Y eins mal ein zur Konzentration – schon eins raus kommt nun mal Y null einmal Y Preis gibt jedes Y eins und John brauche ich also minus sechs – für das Y – ?? eins – Pazifist aus meiner – Differenzialgleichungen – über Umwege etwas geworden in dem das prominent eine Matrix auftaucht – diese Matrix hier – hin gab es ja einen Weg durch Analyse dieser Matrix festzustellen – was dieses – Differenzial Gleichungssystem – wohl für Lösungen hat ✂ der Trick wird nun sein das sich mit den Eigenwerten – und Eigenvektoren – dieser Matrix die Lösung sofort hinschreiben kann ?? bestimmt erst mal die – Eigenwerte – der Musik glaube ich noch mal – was zu sagen ich möchte gerne – das – diese Matrix ich hab es mal A dass diese Matrix – einen Vektor nämlich ein Eigenvektor – dann zum vielfachen zum Lander fahren von sich macht – und der Trick war zu schreiben – ?? auf die rechte Seite Lander mal Einheitsmatrix – meinem Vektor – bringen das auf die andere Seite dann steht der Arm minus andermal Einheitsmatrix – mal im Vektor ist gleich – Nullvektor – das klappt hier mit dem Lander – also genau dann wenn diese Matrix ihr vorne steht nicht umkehrbar ist das ist der Trick die Determinante – von dieser Matrix hier A minus Land einmal die Einheitsmatrix – die muss Null sein das war die Bedingung der Schreiber hin und habe eine Gleichung für – Eigenwerte – also – landen da – ist – en Wert – dieser Matrix – null eins minus sechs fünf genau dann wenn – null ist gleich – diese Determinante – auf der Diagonale Lander abziehenden Bundesländer – eins minus sechs fünf flammender – und das macht – minus andermal fünf – flammender – Minuslander – mal Minuslander – sind das Lander Quadrat – minus – die Diagonale – minus sechs mal eins minus – sechs mal eins plus sechs – das soll Null sein Lander Quadrat minus fünf Lander plus sechs – und das ist lustigerweise – nichts anderes als was wir eben hatten mit dem Ansatz – ?? berechnen eine dasselbe – komplett andere anschauliche Bedeutung jetzt plötzlich die zum Eigenwerte – war und nicht irgendwelche komischen Exponenten – die Lösung ist natürlich dieselbe wie eben Lander ist gleich zwei – oder Lander ist leicht rein – so – Punkt jetzt bräuchte nur noch um die Lösungen für diese Versager ?? System hinschreiben zu können Eigenvektoren – ?? ich suche einen Vektor – einen Eigenvektor – zum Eigenwert – zwei – und ein Eigenvektor – zum Eigenwert drei was heißt das – welche Vektor wird von Doppelssprecher – Vektor wird verdreifacht – Matrix ✂ Eigenvektor – zum Eigenwert zwei ich suche einen Vektor der verdoppelt wird von der Matrix entdeckte der von dieser Matrix verdoppelt wird ?? entwickelt sich Gruppe sofort diese Matrix an – der für Lander zwei ein von dieser Matrix wieder zu Null gemacht – ?? ja gerade gebaut ist ob es zweimal – eines Mannes rüber geholt – werden als ich suche einen Vektor mit der Eigenschaft – das – minus zwei – eins – minus sechs – drei – mal meinen Vektor was auch immer – den Nullvektor ergibt – und der Matrix ?? zu null gemacht werden – will ich jetzt nicht lange rechnen – nur diese Matrix angucken – ein Vektor der auf beiden Zeilen – senkrecht steht heißt dass er zum Schluss erste Zeile mal diese Spalte ergibt null zweite Zeile meine Spalte gibt null sie wählen offensichtlich – sowas wie eins oben und zwei unten zum Beispiel – eins zwei tut es ?? lang – und breit lösen aber lohnt sich nicht suche einen Vektor der das kann scheint offensichtlich nur diese Einrichtung zu geben alle vielfachen aber nicht das null fache – von diesem Vektor ein zwei die Tunis – ausgeglichen – und ?? und natürlich bla Blabla genauso – es kommt raus – drei – daraus kann ich jetzt meine – Lösungen – zusammenbauen – die allgemeine Lösung von – diesem – Differenzial Gleichungssystem – Sternchen – die allgemeine Lösung darf – von Sternchen – Y null Y einzig ?? tatsächlich von X von X – wie kann ich die aus diesen Zutaten – zusammenbauen – ich kenne einen Vektor der von dieser Matrix verdoppelt wird – ich kenne einen Vektor der von dieser Matrix verdreifacht wird alle vielfachen werden auch verdoppelt und verdreifacht von den jeweiligen Vektoren – des russischen Kindes die X Ableitung dasselbe tut – indirekt ?? hier verdoppelt wird soll gefälligst die X Ableitung – von dem gesamten Konstrukt – auch verdoppelt werden – das ist der Trick den man dann anwendet wenn sie etwas hinschreiben wie E hoch zwei – X mal eins zwei – ?? Lösung gefunden – auf der – rechten Seite – von der Differenzialgleichungen – und das doppelte raus bei der Vektor ein zwei verdoppelt wird – auf der linken Seite leiten sie nach X ab – wie das RX ableiten – ?? zwei kommt nach vorn wird auch verdoppelt das ist der Trick – das Essen Eigenvektoren – zu der Matrix und hier steht – die zwei als Eigenwert der Matrix weiter so hinschreiben – ?? Lösung produziert – dieser Weg damit verdoppelt die rechte Seite der Differenzialgleichungen – Matrix wahlweise steht auf der linken Seite die Ableitung für sie ableiten – auch für das doppelte Haut also hin – dasselbe geht's mit dem Ehebruch – drei X eins – drei – und wieder zwei Lösung Familie nicht beliebig mischen kann sie davon aus – das wäre die allgemeine Lösung – für dieses – Differenzial Gleichungssystem – System – im Jahr Differenzialgleichungen – erster Ordnung homogen – konstante Koeffizienten – muss er sich nur die Matrix angucken ?? Matrix analysieren – und sich dann – eine Lösung raus – können – Sie die Zahlen sind verdächtig – ähnlich zu den Zahlen die wir eben hatten – zwei und drei – wo finde ich eigentlich ?? diese Lösung wieder – in diesen Vektoren – offensichtlich – ein wichtiger Nachtrag noch zum umformen von – der Differenzialgleichungen – höherer Ordnung in die Versagersysteme – erster Ordnung wenn ich dieses jetzt gelöst habe dieses Differenzial Gleichungssystem – diesem Fall der zwei Funktion Y null zwei eins oder wenn es – vorher dritte Ordnung fachliches über drei Funktionen zur null Sondersitzung zweiter – ich will aber noch offiziell nur eine Funktion haben als Lösung – wo kommt die her ist es Y null – das ist meine Lösung – in dem einfach das Y nur – entweder fertig auch die Rolle von dem Y – besser vorher hatten – die erste Ableitung von dem Y Betriebsland eins sein – Y eins die erste Ableitung – von Y das normal ableiten wird die zweite Ableitung von Y sein und die muss sein fünfmal die erste Ableitung minus sechs mal die Originalfunktion – des Y null ist die Funktion die mich interessiert das Y einzig ganz banal die Ableitung davon – das angucken nur das Y null – Y null ist gleich – A malte er hier – E hoch zwei X mal eins – Plus – A zweimal – E hoch drei zwei eins – das ist genau das was wir eben hatten – als allgemeine Lösung – eher auf die übliche Art ein Vielfaches von ihrem zwei X und ein Vielfaches von E hoch drei X – null Vielfaches von ihrem Zweigs unter Vielfaches von ?? streikt – die zweite Komponente hier schon eine Geschichte greifen die Ableitungsfaktor – zwei – Faktor drei – so hängt das miteinander zusammen in diesem billigen Fall – wenn dieser – Matrizen ihr komplizierter werden sie Vorstände des alles was haarsträubend aber im Prinzip hängen diese Sachen so zusammen – es gibt noch eine Lösung – das sofort hinzuschreiben – ohne ihr zu rechnen – für dich auch gezeichnet – es überraschend – wenn sie – so eine Differenzial – haben – die Verteiler ?? System haben – merken – null eins sieben sechs fünf – die – ganz kurze Lösung – ?? null eins sechs – fünf – mal – Y null Y eins soll sein die Ableitung – von Y null Y eins – fünf ja – er kann absurderweise – die Lösung auch direkt hinschreiben – am Y – null – von X Y eins von X – ist gleich – ein magischer Ausdruck mal Y null von null Y eins von null ✂ Ver – super tolle mathematische Konstruktion – eh hoch die Matrix – Matrix Si null eins minus sechs fünf – mal X – oder X mal die Matrix egal – dann – wenn die das so sehen – ist das superschön – andererseits ?? ?? nicht wirklich was ausgerechnet was passierte mit der CX – drei Komma sieben Einsätze – im – restlichen bisschen auf dem Schlauch und der gemeinsame Fall dann doch wieder – so nachrechnen müssen was passiert – Beistrich aber tatsächlich so ?? komplette Lösung Formel – ohne nachzudenken – sobald sie einen Jahres homogenes System von – Differenzialgleichungen – haben – mit konstanten Koeffizientenmatrix – drin und sonst nichts zu ?? wird – direkt mit der Kommentarfunktion – eine Lösung hinschreiben – bei der Kommentarfunktion – noch nicht wirklich sagte man die Lösung jetzt hier – ausrechnet – haben das Video vorgeführt – das sie geht wie die übliche Ex Mensafunktion – eins Plus – meine Matrix widersteht – plus meine Matrixquadrat – ?? X ?? ?? zu schreiben – Matrix Quadrat plus und so weiter wie die ganz übliche Mensa funktioniert das – nur das sehr Matrizen verziert werden und – in die Sauce für die Potenzgesetz – werden – dann – mit der zum Beispiel kann die sechs Mannschaften zur Mausex – ähm – in matlap – bietet in dieser Kommentarfunktion – müssen Sie nicht erst über – Eigenwerte ein Vektor – das wäre ganz – an das schöne daran ist dass das so aussieht wie man es von – Differenzialgleichungen – einfach Universalgleichungen – kennt wenn sie sowas haben – Y Strich ist gleich – K mal – Y – meine Ableitung – ist ein festes Vielfaches – der Funktion – das ist dann Y – von X ✂ die hochkarätig – eben explizites Wachstum ist Mensa der Fall mal den Anfangswert – Y von null – Yen ableiten nach X – und nur – etliche ableiten X kommt das K nach vorne – und ich kriege das gar fache meiner Originalfunktion – raus wenn sie ist gleich null setzen steht hier einzelnes konnte Anfangswert aus – dann – das es relativ einfach ist Mensazerfalls – Münchens Wachstum – Lustigerweise – hat man in mehreren Dimensionen dann was analoges – untersteht eben dieses – absurde Konstrukt wie hoch eine Matrix – aber das funktioniert genauso ?? – mit Verweis – trat auf die Schnelle noch mal was passiert – wenn – diese Differenzialgleichungen – nicht homogenes – sondern inhomogene – Spaghetti mal eine ganz dumme – Inhomogenitäten – dran – X – Büros was passiert dann – wenn Sie diese – Differenzialgleichungen – lösen – was – muss jetzt weiter passieren – nur der gerade also nichts mit X Quadrate siehe X Quadrat probieren für die spezielle Lösung sechs Matrix Quadrat – fünf mal irgendwas mit X hiervon steht Konstante Nancy links X Fahrrad rumfliegen will aber ganz verdaut und – sie würden ansetzen irgendwas mit Amal X plus B – offensichtlich muss aber gleich ein Sechstel seines sofort X rauskommt – und so weiter und so fort und das dann dazu addieren – dann – was für die hier unten sich ändern – Komma Differenzial Gleichungssystem – hier – das umformen wollen müsse und noch plus X dazu – was ist die zweite Ableitung von Mann Y Y zwei Strich fünf Y Strich – minus sechs Y – plus X und müsse noch flüssig dazuschreiben – was das ganze blöde macht ich kannste nämlich nicht mehr – damit nun auch wieder plus X ich kannste nicht mehr mit einer Matrix schreiben entwickelt sich stattdessen schreiben und schreiben Sie hier stattdessen in – Schreiben an ?? plus dritter null X dahinter – wieder Spiel – die zweite Komponente hier – damit vergrößert werden – ?? habe ich geschrieben als die Ableitung meines gesuchten weg das es Matrix – mal der gesuchte Vektorfluss – sein Versatz – sieht bisschen aus wie den vielen Abbildungen – vom Anfang des Semesters irgendwas gedreht werden verschoben werden ?? spiegelt werden verschoben – und so weiter und so weiter man rechnet im Endeffekt genau dasselbe wieder – was man die oben gerechnet hat – allgemeine Lösung der homogenen Form plus spezielle Lösung – der inhomogenen Form genau das – zitieren sie unten durch es passiert kein großes Wunder – müssen im einzelnen machen's klar – das – zu einem werden Eigenvektoren – im Zusammenspiel mit Differenzialgleichungen