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07.2 Anwendungen von Eigenvektoren


CC-BY-NC-SA 3.0

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also – ein Eigenvektor – das war ein Vektor – der in eine Matrix zu einem vielfachen von sich macht will sagen das ist ein Eigenvektor – dieser Matrix – ein Veto für sich kann ich ein Eigenvektor seine Kanu Eigenvektor – einer Matrix sein – dieser Vektor – Gibson wird zu einem vielfachen von sich gemacht durch die Matrix eines sein Eigenvektor – dieser Matrix – es sei denn ist der Nullvektor – aber wenn hier der Nullvektor stünde – ähnliche Schreiben das Ergebnis bald wieder null ist es soundsoviel – dreizehn achtundneunzig Mindest die Malaise weg das macht keinen Sinn – als ich gucken als Eigenvektoren nur Vektoren an die nicht der Nullvektor sind es diese Aussage wirklich – mit mehr Leben gefüllt ist – den Eigenwertdaten – Eigenvektor – und dann noch meine Eigenvektor – die Matrix – mit der ich das machen kann nur quadratisch – sein – wenn diese Matrix – eher soundsoviel Spalten hat Mustervektor – genauso viel zahlen haben – was sie rauskommt – muss um ein Vielfaches unbeliebter sein das heißt die Matrix kann nur genauso viel Spalten wie Zeilen – das geht nur mit quadratischen Matrizen – den Eigentor – ?? Beispiele waren – nicht Spiegel – X und Y austauschen – billiges Beispiel ?? der nämlich – X Richtung auch nie das ordentlich in das wird die – Hilfseinrichtung – eine Spiegelung einer fünfzig Grad Diagonalen – das Auto nicht kennt ?? es wird kein Vielfaches – wenn ich ?? von vierzig Grad Diagonalspieler – nämlich dort Normalvektor – in Richtung der fünf vierzig Grad diagonal – aber dreizehn dreizehn ?? – das wird natürlich funktioniert – dieser Vektor gespiegelt – an der von vierzig Grad Diagonalvektor – selbst das heißt ich habe ein Eigenvektor – zu dieser Matrix – unter den Eigenwert eins – als banal – dieselbe Matrix hat einen – noch eine andere Art Eigenvektoren – einen anderen Eigenwert – was man einen Eigenwert hat diese Matrix ja noch ✂ den hier nehmen – Sie den hinnehmen und spiegeln dann wird er minus er selbst – der bleibt liegen – und der wird zu seinem negativen – diese Matrix hat zum Beispiel – den Vektor – was Mama dreizehn nach rings dreizehn nach oben minus dreizehn dreizehn – als Eigenvektor zum Eigenwert minus eins – null bei minus dreizehntes – dreizehn mal eins oben steht dreizehn – plus dreizehn – minus einem minus dreizehn ?? und unten – minus er einmal minus dreizehntes Nummer dreizehn steht minus – einmal dreizehn – ein Eigenvektor – zum Eigenwert minus eins – dann – das hat tausend Anwendungen – die erste Anwendung können Sie sehen wenn's um – Drehbewegungen – geht – man nimmt sich einen – wie auch immer Gefahr geformten – festen Körper – äh hängte an einem Punkt im Raum auf – und versucht zu beschreiben – wie träge der ist für meinen um eine bestimmte Achse dreht – durch diesen Punkt – die Achse würde ich dann mit einem – Vektor Omega angeben so heißt er gerne dann dem Spiel wenn's um Drehbewegungen – geht – und ich möchte ausdrücken – wie schwer oder wie leicht es ist den Körper um diese Achse in Drehung zu versetzen für jede Achse – und was sich dann herausstellt – man kann das beschreiben mit einem mit einer Matrix – nennt sich dann – Trägheitstensor – und dieser – Trägheitstensor – der hat im allgemeinen drei verschiedene – Eigenwerte – und dazu jeweils eine eigene Richtung – und noch lustiger ist dass diese – Einrichtungen – Mengen von Eigenvektoren – dass diese Einrichtungen – alle senkrecht aufeinander stehen – zwei Bild ergibt sich dann – also das wird – diese Massenverteilung – wird dann durch ein Tensor – wenn die Physiker das der Mathematik wird es durch Matrix dargestellt – wird durch eine Matrix beschrieben – weiteren Gorillasystem – festgelegt haben können Sie Marsurteile durch eine drei mal drei Matrix beschreiben – und sie dreimal drei Matrix wird drei bevorzugte Richtungen haben – dies hier wird gleich dein Eigenvektor sein – dann dieses war die ganze Achse – Eigenvektoren – in derselben Richtung – mit dem selben Eigenwert – oder der exakt negativen Richtung – eine zweite Achse wird es geben senkrecht dazu – aus Eigenvektoren – mit einem allgemein anderen Eigenwert – und noch eine dritte Achse senkrecht dazu das sind dann die Hauptachsen – jeder Körper wird – er nicht zufällig – sehr symmetrisch bebautes drei verschiedene Hauptachsen – haben dann – die stammen aus Eigenwerten Eigenvektoren – zwar so ganz abstrakt lassen – et cetera sich genau anguckt was man jetzt rechnen muss mit – äh Drehimpuls – und – Produktionsgeschwindigkeiten – und so weiter nur ganz abstrakt – aus den Eigenvektoren – von den Trägheitstensor – wird man dann herausfinden – mit denen man herausfinden – an die man diese Masse verteilt noch knapper beschreiben kann mit drei Richtungen jeweils senkrecht auf einen Bestehen – gebildet von Eigenvektoren – und deren Eigenwerten – das ist eine Ecke wo Eigenvektoren – einen Werte auftauchen – die andere Ecke – das es wahrscheinlich sogar noch die wichtigere Ecke auch wenn die jetzt im Studium hier jetzt nicht so doll vorkommt – in der Art die andere Ecke kennen sie – sollten Sie schon gesehen haben in der Chemie – wenn man – elektronenorbitale – beschreibt – wie fliegen meine – Elektronen – um den Kern herum – vielleicht so vielleicht so – wo sind die gerne die Elektronen – ähm Fragezeichen – ganz komisch irgendwie – Und-Zeichen und so weiter und sofort die üblichen orbitale – das sind Funktionen – zu einem Punkt im Raum sage ich – nicht direkt aber in gewisser Weise sei nicht wie groß die Wahrscheinlichkeit – ist – das Elektron an diesem Punkt im Raum anzutreffen – und sagte Heines direkt die Wahrscheinlichkeit – ?? müssen nicht in die Details gehen – ?? ich habe eine Funktion – die mir den Raum abbildet – und Deckenswahrscheinlichkeiten – Wahrscheinlichkeitsamplituden – wenn man will – ähm – eine Gewinnsumme ist eine Verteilung – darstellt – wo denn das Elektron zu sein pflegt Jesus häufiger da als seltener – bei diesem orbital ist es hier häufiger oder da genauso häufig und hier ist es seltener bei diesem ?? vitales gerne mal irgendwann hier auch gerne mal da Komma da – Funktionen – an – sich vorsichtig erinnern mit Schreckenfunktionen – kann ich ja auch als Vektoren erfassen – das hier – diese orbitale sind – Eigenvektoren – ?? eines ganz bestimmten – Operator Swiss sein heißt nicht mehr Matrix sondern als Operators – in einen ziemlich fürchterlichen Raum – auch die entstehen dann aus dieser Theorie der Eigenwerte Eigenvektoren – etwas – abstrakt – aber ich hoffe ich kann Ihnen schon mal – die Idee geben warum Eigenwert ?? Eigenvektoren – wichtig werden können – ?? – orbitale sind Eigenvektoren – wenn ich Eigenschwingungen – das kennen wir auch schon aus der Physik wenn sie Eigenschwingungen – betrachten – Eigenschwingungen – einer Seite – die heißen nicht umsonst Eigenschwingungen – wenn ich die richtige mathematische Konstruktion benutze – ?? – um das zu beschreiben – das auch Eigenvektoren – das ?? zum Beispiel könnte eine Eigenschwingung – sein einer Seite die Seite ist links und rechts eingespannt – Grundwelle – schwingt einfach mit einem Bauch nach oben nach unten – ähm dann kann die doppelte – er die doppelte Frequenz passieren so wird die schwingen – Seite mit der doppelten Frequenz anregen – hier rauf und runterschwingende – Treffer – dreifache vierfache – auch das sind in Anführungszeichen – Eigenvektoren – wenn man das nur mathematisch richtig angelegt – auf die sich dieser nicht nur Matrizen – sondern um kompliziertere Sachen Differenzialoperatoren – an – Eigenschwingungen – heißen ja auch gerne – da Komma noch im Begriff – damit kriegen – Spektrum – kennen Sie wahrscheinlich aus der – Chemie – oder der Physik weiß ich nicht als – armen – Menge der Wellenlängen – die tatsächlich vorkommen – ?? ich gebe irgendein Salz – in den Bunsenbrenner – oder richtig irgendein spektroskopische – Weltall und gucke mir an was denn an Wellenlängen – elektromagnetischer – Strahlung der auf mich zu kommt – die Menge aller dieser Wellenlängen ist das – Spektrum – und – was man dann in der Mathematik sagt ist die Menge aller Eigenwerte – ist das Spektrum hier zum Beispiel das Spektrum von dieser Matrix – ist die Menge mit der Zahl eins und der Zahl minus eins ich nehme alle Eigenwerte zusammen und sage das ist das Spektrum einer Matrix – das passt wunderbar hierzu – die Eigenwerte die man hier hat – kann man zum Beispiel verstehen als die Frequenz – nochmals andersrum schreibt auch als die Wellenlänge – alle diese Eigenwerte hier haben tatsächlich was mit den Wellenlängen zu tun – wenn ich an die zusammen gesammelt war habe – die Eigenwerte habe ich im Endeffekt die Menge der Wellenlängen bestimmt – das heißt – das macht sehr viel Sinn – dann auch hier – die Menge der Eigenwerte als Spektrum zu bezeichnen – das übliche Begriff dann – mit der Mathematik – an der Stelle das Spektrum einer Matrix – die Menge ist die Menge der Eigenwert – das hier hinzuschreiben – ist – grandios – kompliziert das will ich ihm nicht antun – ähm das hier könnte man gerade noch hinkriegen will ich Arbeit auch nicht die Viertelstunde investieren – ?? Idee – wie das alles zusammenhängt – nachher sind die – Eigenvektoren – in diesen Situationen – viel spannender – und die viel komplizierter – als die Eigenvektoren – hiermit Matrizen die Eigentor mit Matrizen – eignete und von Matrizen kommen vor – aber in relativ wenigen Situationen – diese Sachen hier orbitale – Eigenschwingungen – in der die Eigenschwingung einer Brücke oder die Einstellung eines Gebäudes – an auf das sind Eigenvektoren – aber – etwas ?? Literat – eine mathematische – Bemerkung noch für die Nummer fünfundzwanzig – ?? angenommen die Matrix A – hat folgende Eigenvektoren – einfach durchnummeriert – V eins – V zwei – ?? V drei – und so weiter – und Eigenwerte – dazu jeweils – der erste soll Eigenwertlande – eins haben den nächsten ein hundert zwei hundert drei – und so weiter – wenn es mir gelingt – einen Vektor – mit denen hinzuschreiben – gegeben irgend einen Vektor wenn ich den hinschreiben kann mit Eigenvektoren – sagen kann – Session – zu viel mal der erste Eigenvektorplus – soundsoviel mal der zweite Eigenvektorplus – soundsoviel mal der dritte Eigenvektorplus – und so weiter wenn mir das gelingt – ein Wetter – zu zerlegen in Eigenvektoren – kann ich sofort sagen was die Matrix macht – die Matrix angewendet auf den Vektor – muss – auf jeden von den einzelnen Werken das muss sein – Haar angewendet – auf das Vereinsvielfache – von V eins – plus angewendet – auf das katt zweifache – zweifache von vor zwei – plus – A angewendet auf das katt dreifache von V drei – plus und so weiter – kann ich das jetzt ausrechnen ✂ ?? egal noch mal mit konkreten Zahlen damit leichter wird ähm – das ?? eben eine Spiegelungsmatrix – Uppsala – die Spiegelung an der Film vierzig Grad Diagonalen – das Leichtar wäre und jetzt steht da dreizehn – mal – ein Eigenvektor was hatten wir es eigentlich ?? zum Beispiel – zwanzig sechsundvierzig fern Eigenvektor – wie könnte ich das umformen ✂ ist der Gedanke stehen lassen aber – das haut so mathematisch nicht innig wo die dreizehn hier diesen Faktor – nach diesen Faktor dreizehn hundert nach vorne – besteht der Matrix mein Eigenvektor – und ich weiß was das wird Eigenwert ?? Eigenvektor – selber mache ich da – im allgemeinen – das Vielfache hole ich nach vorne – Matrix mal Vielfaches von Vektor ist Vielfaches von Matrix mal Vektor – aber das kenne ich nun – was ist einmal V eins ✂ als er gerade der Witz V eins soll ein Eigenvektor zum Eigenwertlander – Einssein also hier steht Lander eins V – dass wir zum Lande eins fachen von V eins Matrix A soll den V eins zum Standard ins vielfachen mache und dass er sich hier das wird K zwei – lang das zwei V zwei – und das hier wird – K drei hundert drei – V drei – das heißt – wenn es mir gelingt – einen Vektor zu zerlegen in Eigenvektoren – kann ich relativ einfach sagen was denn mit dem Wetter passiert – wenn ich die Matrix A anwende – diese ganzen – Anteile – diese Koeffizienten – K eins K zwei K drei – werden einfach mit Eigenwerten modifiziert – wenn sie vorher – zweimal – V eins drin hatten haben sie jetzt zweimal den Eigenwert V eins drin und wenn sie vorher – siebenmal vor zwei Tagen hatten ist jetzt im Ergebnis siebenmal den Eigenwert – dazu ?? vor zwei drin und so weiter – wenn einfach diese Anteile mit den Eigenwerten multipliziert – das heißt man kann – relativ einfach sagen die denn seine Matrix wirkt – und netterweise – in die üblichen physikalischen – Situationen – das gilt hierfür die – Trägheitstensor – ebenso für die wie für die orbitale und die Saitenschwingungen – in üblichen physikalischen Situationen – kann man – jeden Vektor komplett in Eigenvektoren – Zellen – können es hier tatsächlich mit für jeden Vektor – ähm – so weit treiben dass der komplette Licht des publizierten Räumen hier – mit den orbitalen und den Schwingungen – haben muss man vielleicht dann bis ins unendliche gehen mit der Summe vielleicht typischerweise muss man dazu in der Summe ermöglicht es komplett zerlegt – und kann dann sofort hinschreiben wie denn diese Matrix – in – anderen Räumen der nicht Matrix sondern wieder Operator dann direkt – auf einen beliebigen Vektor – jeder Anteil wird mit dem entsprechenden Eigenwert – modifiziert – das zum philosophischen