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K12 Längen im Dreieck bestimmen, Cosinussatz, Sinussatz


CC-BY-NC-SA 3.0

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einneuer Dreiecksberechnungsie haben ein Dreieckmit der Seitenlängesechshier unter Seitenlängefünf daso unter Seitenlänge vier hielt nicht ganz gelungen aber sie wissen was ich meineich suche diesen Winkelwie können Sie den Winkel bestimmenja das sollte wirklich gradlinig gehenwenn ich den hier mal?? Komma nenneschreit das nach dem Kosinussatzkenne drei Seiten suche einen Winkelim Kosinussatzgeht's ja um drei Seiten und einen Winkel wenn ich drei davon habe kann ich dasVierte ausrechnen diesem Fall habe ich die drei Seiten und rechne das vierte den Winkel ausKosinussatzistäh Pythagorasmit Korrektur fürs nicht rechtwinklige Dreiecksie können eine ?? Pythagoras hinschreibenwenn dieses Dreieck rechtwinklig wäre wenn dieser Winkel Gamma ein rechter wäre hätten wir fünf Quadrat ist gleich vier Quadratplus sechs Quadratdas offensichtlich nicht in diese Strike ist ein rechtwinkligesDreieckund die Korrektur ist zwei malvier mal sechs mal den Kosinuszweimal der SkalarproduktPark und der Kosinussatzein sich hier hin steht minus zwei hundert Skalarproduktvondiesen beiden Kanten?? das ?? Klammer aufhaben also fünf Quadrat minus vier Quadrat minus sechs Quadratist gleichminus zwei malvier mal sechs mal den KosinusWunschhaben also der Kosinusvon Gamma istfünf Quadrat minus vier Quadrat minus sechs Quadrat durch minus zwei malvier mal sechsunddamit habe ich den Winkelmit dem Arcus Kosinusaus dem was da stehtnunfünfundzwanzigminus sechzehn minus sechs und dreißigdurchacht malsechs sind achtundvierzigtausend minus achtundvierzigundund sich das noch jahrelang Urlaubsende ihrdas jetzt klein klein aber sei sovon zwanzig minus sechzehnsind neunneun minus sechsunddreißigsind minus sieben zwanzigdurchminus achtundvierzigdas Minus können verkürzen also Arcus Kosinus von sieben zwanzig achtundvierzigsteich sollte zu dem Arcus Kosinus noch was sagendie Winkelfunktionsind ja alle nichtumkehrbarwenn ich den Kosinushabevonnull bis zwei Piund ich gebe den Wert für den Kosinusan ich sage ja mein Kosinusist sieben zwanzig achtundvierzigstedann könnte es ja auchdieser Winkel sein hieroder auf der anderen Seitedieser Winkel hier sein ?? der großen sagt ihnen nicht das Vorzeichenvom Winkelwas einem in Dreieckwird sich so fürchterlich stört ist dieser Winkel positiv oder negativ egal es ist dieser Winkel mich interessiert der Betragder Situation es ist kein Drama also was aus dem großen Satz rauskommteigentlich können Sie dann auch nur sagen es könnte der negative Winkel seines macht in drei keinen unterschiedinsofern kein Problem mit dem Arcus Kosinusdieser hier ganz sowieso nicht sein bei der über hundert achtzig Grad liegtdas sehr sehr komisch aus wenn sein Winkel über hundert achtzig Grad angegebenen Dreieckder Gruppe und ein anderes Dreieck noch aneine Seite soll sieben lang seinein Winkel hier der sollvierzig Grad seindiese Seite sollsechs lang sein Punkt insoweit machtsound ich fragenach der Länge dieser Seite da untenwie lang ist die dritte Seite gegeben zwei Seiten ein Winkel wie lang ist die dritte Seitedas hier soll die Zahl sechs sein kann kleines B sondern die Zahl sechsder viel damit sie mit dem Sinussatz angefangenwenn ich diesen Winkel hier unten zum Beispiel wissen wollen würdedann werde SinussatzhübschBeistrichzwei Längen und zwei Winkel im Spiel damit kann mirSinussatzhelfen denn da geht's um zwei Längen und zwei Winkeldie eine Länge durch den Sinus vom Winkel gegenüberist die andere länger durch den Sinus von deren Winkel gegenüber?? mit der Sinussatz zwei Längen zwei Winkeleine Situation hier habe ich jazwei Längen und dritte Länge im Spielhat einen Winkel auch das musste wieder Kosinussatzseinwenn bei dir wirklich malPunktwenn das irgendwie nennen wir sie A AS gesuchtals ich hier würde ich ihr den Kosinussatzvermutenalso der Kosinussatzhier für diese vierzig GradschreibePythagorashinund korrigiere dann sechs Quadratistsieben Quadrat und lag Quadratdas wäre Pythagoraswenn hier die neunzig Grad wärenaber ?? ist nicht sodeshalb minuszwei mal sieben mal paarmal denKosinus vonvierzig Graddas wäre derKosinussatzdas wird jetzt absurderweiseeine quadratischeGleichung A QuadratAich habe arg QuadratminusvierzehnMal Kosinusvon vierzig Grad mal Aund dann habe jetzt sechs und dreißigminus neunundvierzigauf der Seite neun vierzig minus sechsunddreißigplus neunundvierzigminussechsunddreißigist gleich null das ist meine quadratische Gleichunggegründet ?? ausrechnenund wird sich mit sechsunddreißig sind dreizehnhundert können Sie mit PQ Formel dransie wissen also A erstdie Hälfte von Pdas hier ist das Pminus die Hälfte vom wemalso siebenKosinusvon vierzig Gradplus minus die Wurzel jetzt das was sie vorne steht Quadrierenneunundvierzigmal den Kosinusvon vierzig Grad Quadratund die dreizehn abziehendas wäre PQ Formelund in der Klausur ohne TaschenrechnerKosinus vierzig Grad das bleibt durch die das lassen sie da so steheneine Zugabewäre noch ganz nettnatürlich die Aufgabedieser Aufgabe stellen würde dann entsprechend formulierenwenn sie dieses Bild hier sehennehmen Sie das Plus oder nehmen Sie das Minus vor der Wurzel jetzt habe ich zwei Lösungenich hab keine Eindeutigkeitmehr die ebenhier war der Winkel bis aufs Vorzeichen eindeutigjetzt aber bei dieser Länge steht er sowieso Plusminuswurzelwenn sie das Bild sehen ähm sie ihr Plus oder nehmen Sie Ihr minusdernach solcher die Seite sechs kann hin und her wackeln die Seite sechs kann ja auch so liegenund dann wird arg kurz das sind die beiden Fälle wenn sie nurdiese Seitenlänge sieben haben und die linken vierzig Grad und die zweite Seitenlänge sechs haben keine zweite Seite so liegen oder so liegen das ist die Mehrdeutigkeithier deshalb haben wir zwei verschiedene Lösungenund natürlich kriege ich die kurzeLösung mit dem minusund ich kriege die lange Lösung mit demPost das sind die beiden also würde ichfür meine Originalskizzedas Plus nehmen aber das wäre jetzt wirklich?? im Sahnehäubchen auf der Lösung welche von den beiden sein mussalso vorsichtig mit solchen Dreiecken mit solchen Angaben soll ich sagenArm in diesem Fallist das Dreieck nicht eindeutig bestimmthaben Sie beim Sinussatzein Problem wenn ich diesen Winkel hier bestimmt hätte mit dem Sinussatzhätte ich direkt die MehrdeutigkeitSinusüber den Arcus Sinuswarwenn sie den Sinus Wert habenwir sind ja Pi hundert achtzig GradWende Sinus bekannt istkann sie zwei plausible Winkeldesignkönnen im Dreieckdas ist der Ärger bei Markus Sinus der Kosinus gibt die nur den kleinerenalso mit dem Sinussatz sehen Sieokay hier wäre der Winkel nicht eindeutig bestimmt bei der Sinusseine ungeschickte Funktion ist es denn zwei Stellen denselben Wert annimmtund sie sind mit den Kosinussatzganz auch Ärger geben wenn sie die Länge ausrechnen können die plötzlichen quadratische Gleichung kam auch schon wieder zwei Lösungen wie sich das gehörtdie kann natürlich mit zweimal Sinussatz Rechner sie bestimmen diesen Winkel dann haben sie den Winkel da obenund ein Wink mit dem Sinussatz die Länge der Ordner zweimal Sinussatz miteinander würde auch hinfällig akzeptabelwäre nur mehr Rechenarbeitund bei der ersten Anwendung des Sinussatzes wird sie feststellen dass dieser Winkel nicht eindeutig istmit dem Arcus Sinus hat sie eine Lösung aber sie müssen noch mit zweite mit in Betracht ziehen