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05A.3 Trägheitstensor und Drehimpuls mit Vektorprodukt, Spatprodukt, Skalarprodukt


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetztKomma zu den fortgeschrittenenSachen der Trägheitstensorein großes Ding in der Physikwird sich dass sie alle sich normalauswendig merken wir Trägheitstensorfunktioniertich will nur benutzen um mal mit ihnen durchzugehen wie man wirklich mit VektorproduktKreuzproduktund spart Produktund Skalarprodukt rumhantieren kann und sehr interessante Sachen rausfinden kann ?? mir geht es um die Art des Rechnens nicht um das was hierphysikalisch passiertdas ist eine Fußnotefür die Physik parallel aberdas ist nicht der Kern der Kerne soll sein wie man Kreuzprodukt Skalarproduktundspart Produkt anwendetwenn ich einen Masse Punkt habeirgendwo im Raum und umherschwirrtdas saisonüblichesphysikalischesModellamdann kann ich dem einenDrehimpulszu schreibenjetzt meinenMasse Punktmit der Masse ähmdurch den Raum hat einen Ortsvektorpassen gerne perGesetz der Ursprungdas ist das StückchenMaterie das durch die Gegend fliegtamdenn derRange so in die Richtungspflichtund einen normalen linearen Impuls P hat das ?? Masse mal GeschwindigkeitVektor B aus Beistrich das weckte den normalen Jahren Punkt hatman in den diese Richtung liegtdas der Ortsvektor ist dann sage ich der Drehimpulsgroß Lheißen typischerweiseden Fall darüber machen groß ListanderAbstandsvektorhier vom Ursprung der Ortsvektor kreuzt denImpulsvektorund Lustigerweiseist diese Größeeine Erhaltungsgrößein sehr vielenphysikalischenSystem wenn ich das für alleTeil MassenjahrTeilchen für alle Teilchen Aufsummenist das typischerweise eine erhaltene Größe sowie die Energiein den typischen System auch eine erhaltene Größe ist jetzt die ganze Physik diskutierenan was wir von meinen begüterten ?? vorgeführt warum dasdann in der Summe typischerweise konstant bleiben sie über alle Teilchen zu mir??der Abstandsvektoroder der Radius Vektor der Ortsvektor vom Teilchen mal denImpulsvektordas heißt die könnte ich jetzt hierden Drehimpuls einzeichnenwie geht dasgeometrischaber besser ?? zusammentragenkönnen also das Ergebnis ihres Kreuzproduktessenkrecht auf dem Ortsvektor stehenund auf dem Impulsvektor steht das es am einfachsten mit dem hier einzeichnenallerdings aus physikalischen Gründen glaube ich keine gute Idee den ihr Einzelzeichender Mathematik ist mir das ja egalerst malalle Vektoren durch die Gegend schieben kann und es am einfachsten zeichnetestets senkrecht auf dem Impuls und er stehtnunin das immer wieder weg das jetzt ?? und er steht senkrecht auf dem ihrvon Haus zuähm die Physikerwerdenden Drehimpuls al allerdings nicht dahin malen sondern ihr hierhin malenin den Ursprung des ist die Drehung um den Ursprung des?? betrachtetwird wird im Sinne hängt von der Situation Herralsoklar ist ?? LL soll senkrecht auf dem Impuls sein und senkrecht auf dem Ortsvektor seinen senkrecht auf dem Ortsvektor seindas wissen wir daszweite was wir wissenistdas die Physikerdas Koordinatensystemimmer recht ähnlich machen X Y Zund das deshalb diesen Drivediese drei Vektoren auch ?? rechte Hand bilden müssen sie nehmen denDaumenzeichnerisch herausfordern Komma sie nehmen dem Daumenin Richtung des ersten Faktors erdann nehmen Sie den Zeigefingerin Richtung des zweiten Faktors schon falschKomma dassso muss ich stehen den Daumen in Richtung des ersten Faktors den Zeigefingereingenialer Zeigefingerin Richtung des zweiten Faktorsund dannwird der ?? hochgeklapptMittelfingerfür den jetzt Platz schaffen mussder hochgeklapptMittelfinger sowie derseine Finger Zeichen in der hochgeklappt Mittelfinger zeigte ??Andersseinzu Fußund ich über weitreichendenAuge Leerzeichen nach oben derzeit nicht nach unten und das Wasser gerade hatten in der erstenFingerübungdiese Fläche hierBeistrich dieses Parallelogrammwas von dem Ortsvektorund dem Impulsvektor aufbeiden werden sie davondie Fläche bildenhaben Sie die Längevon den Drehimpulskreuzen sich die Physiker die Fußnägel weiter andas ist natürlich keine Fläche eigentlich was ich hier ausgerechnetder Abstandsvektorwird in Metern gemessen?? Drehimpulsvektormit der nicht in Metern gemessen das hier ist keine Länge in Meternzusammen mit einigen Körnchen Salz nehmen Sachs ist diese Fläche ein mathematischer Seitz oder sich die Einheiten betrachtet tatsächlich diese Fläche hier die Lichter bildet die Mengevon demDrehimpulsvektorso das ist die geometrische Anschauung dahinterPunktsie können sich das so vorstellen dass sie sagen der Drehimpulssagtum welche Achse gedreht wirdim Kreis vorder Drehimpuls sagt ihn um welche Achse gedreht wird und somit in welche Richtung diese Achse verläuftund wie heftig die Bewegung ist wie ein Impulsgroßer Impuls heißtdieser Masse Punktverursachtengroßen Schaden danach vor die Wand knallter große Drehimpulsanalogieheftig ist dieseDrehbewegungbetrachteteinen starren Körper nunstarrer KörperAusmaße Punktverglichenam Stahlkörpersoll heißen dann okay ich habe Massepunktejeder von diesen Punktenliegt irgendwo im Raumeinigemit mehr Masse eine ein ?? mit weniger Massestarsoll heißen man denkt sich die hiermitmasselosenStreben verbundendiese Streben können nichtgestaucht und nicht gedehnt werdendiesem Baugerüst verpflichten sich gegensurreales Baugerüstund an allen Kreuzungen hängen sie noch vonStückchen Blei an das Baugerüstdas Baugerüst selbst darf keine Masse habendas wäre eine Vorstellung vom starren Körperständig Atome vor Atomkerns ?? versagten die Atomkerne vor und die Elektronenvermitteln hier irgendwelcheStreben dass das Ganzenicht auseinanderfliegtdas ist die Idee hinter dem starren Körperan neunzig überlegen okay was ist dennderDrehimpulseines starren Körpersdas Komma lustigerweisesehr einfach ausrechnengenommen ?? irgendwo nicht mein UrsprungOund irgendwomussirgendwoisthier eineDrehachseund nicht nur eine Drehachse sondern gleichzeitig eine WinkelgeschwindigkeitOmegakann jetzt sagenwas den Drehimpulsvon der gesamten Konstruktionist wenn ich sie um diese Achse mit dieser Winkel GeschwindigkeitDrehähmWinkelgeschwindigkeitalsodieser Winkelgeschwindigkeitsvektorist entlang der Achseum die gedreht wird klar als andere müssen komischund wieder rechte Hand wenn Sie die rechte Hand dran liegen hier derDaumenähDaumenund sich dann an Gruppen wie die Finger der rechten Hand gehen dann sagen die Finger in welche Richtung gedreht wird den Daumenin Richtung von Omega untersagen die Finger A so gedrehtdass er daheim und die Länge dieses Sektors sagt einemwie schnell gedreht wird und zwar auf die etwas komische Art zwei Piheißt dannKomma dass man einmal pro Sekundegeht also diesediese Angabe ist in Radiant pro Sekundedie Länge in Radiant pro Sekundegemessen Bogenmaß pro Sekunde einmal pro Sekunde heißt dann alsozwei Pi pro Sekunde als Länge dieses Vektor schon bisschengewöhnungsbedürftigmacht einige Formen aber leichtersommerliches ausrechnen willist folgendesich möchte denGesamtdrehimpulshaben der gesamte Drehimpulsheißt ja ich summieren diese Teildrehimpulsversagen dieses I zu einfach dieBestandteile durchnummeriert ein zwei drei vier fünf sechs sieben drei Millionen Leertaste Ionen dass sie solche Bestandteile durchnummerierenund die zu niedrig die einzelnenDrehimpulse auf der Ortsvektorvon den BritenMasse Punkt mal denlinearen Impuls von den Lippenmasse Punkter dieVektorprodukt natürlich ?? sage mal?? KreuzPekingund das will ich jetzt in Wissen knetenbis zum Schluss was handliches rauskommtin dem ich einfachdie Winkelgeschwindigkeitdiesen Vektor Omega ?? sagen denDrehgeschwindigkeitsvektoreinsetzen ?? Presse kann man auf raffinierte Weise um Formundmehrfach gesagt mir geht's darum dass sie mal sehen wie man Dinge spaßig mit Vektorprodukt und Skalarproduktund spart Produktirgendwas an der Stelle rechnen kannokay Komma ihr zweiterAbstandsvektormalImpulsvektorin der Tatder Impulsvektorist klassischerseitsdie Massemal den Geschwindigkeitsvektor?? bin ich jetzt da angekommen das ich sage der gesamteDrehimpulsist also die Summe über alle Teilchendie Masse des TeilchensmalOrtsvektorKreuzgeschwindigkeitdie Massaker nach vorne bezog mich am Sitz Vektorproduktein Vektor mal das Vielfacheeines anderenZahl mal einen anderen können die Zahl nach vorne nehmendie Geschwindigkeitjetzt die nächste Baustelledie Geschwindigkeitin einer Drehbewegungmal das aber für ein Teilchen aufeinenKenner einenEinblick in den Ortsvektorzum Ursprung rausich kenne denDrehgeschwindigkeitsvektorirgendwie so wird dir Geschwindigkeitsvektorzeigenweitere ?? machendas unten ist ein O für RodrigoUrsprungwelcher Zusammenhang besteht zwischen denanschaulich schon und das man jetztvon vorne liefern kann Komma sind sie anschaulichen Zusammenhängenerhalten senkrechtamstellen sich folgende Situationvor wie es mein Ursprunggehe ganz steil nach oben mit meinemOrtsvektorund direkt daneben liegt das Omegadas wir ja nicht verbotennurmit einem Körper vor dieser Punktkönnte da oben liegen?? das wäre nicht verboten dass die?? parallel sinddieser Winkel wird zwischen den beidenmuss nicht unbedingt senkrecht sein das kann jeder Winkel seiner Süßigkeit jetzt das zwischen Omega und er ein senkrechterWinkel ist das sie senkrecht zueinanderstehenauf V und er das ?? auch gesagt V und er sieht aber senkrechtin der Tat als aufwendig hier aus dieser Richtung ?? kuscheln sich vor was hier passiert alles platt in der Ebene liegt wird ja meinenPunkt nach hinten entschwindenso wird V ausder ?? nach hinten entschwindenwill dass Eltern einen rechten Winkel mit dem erdas ist ein rechter Winkelzu meiner Ideedas ist ein rechter Winkelwas es noch rechtwinklig zueinanderrichtig Omega und V wenn sie Omegamag wennsie Omega meine hinten schicken schieben ist das Weiteres klarer?? noch nicht einmaldas hier ist ein rechter Winkeldie Drehbewegungbehält er die Höhe weiter Punkt hier wird immer auf gleicher Höheum die Achse gedreht werden das heißt der Geschwindigkeitsvektorzeichendank der Höhe also senkrecht zur Achse dieses Frau muss senkrecht auf Omega stehenRechtsgelehrtendas alles wieder weg und schreibe einfach ?? meinerseits gelernt habennunalso ?? istV die senkrecht zu Omegaund es isteherdie der Ortsvektor senkrecht zu V Iwas schon Zusammenhang schreit dasdasV steht senkrecht auf demAbstandsvektordiademdem Ortsvektor und das Omega steht senkrecht auf dem V besagen V steht senkrecht auf Omegaund dem Ortsvektor das ist für mich ein klares Zeichen das V sowas sein muss wie dasVektorproduktvon den beidenirgend eine Konstantegelang da maldas VektorproduktvonOmegaunder das bitte mit der Richtungnicht so schönpassen nicht also das angucken dieses Vektorprodukthier muss senkrecht zu Omega stehen senkrecht zu erstehengenau das macht der Vektor Vdeshalb muss das ein Vielfaches von den beiden Seiten des Produkts ihr seinBeharren die richtige Richtung Komma dieses Produkt bildendas muss ein Vielfaches sein hier der GeschwindigkeitsvektorKomma die das Vorzeichenüberlegendie Zahl die hier steht ist die positivoder ist die negativgenau wegen rechter Anträge muss die Zahl hierpositiv seinemsie Omegadas ist der Daumenschafft es nicht Anführungszeichen untenOmega ist meinen Daumener wird der Zeigefingerjetzt vonhinten gesehen undVmuss dann der Mittelfingerseinin der Art genau wie was eingezeichnet haben also lange auf jeden Fall positiv?? noch zwei Minuten länger nachdenken welcher sich vor verstellte FestS einsist tatsächlich einfach so ganz banaläh istOmega KreuzOrtsvektor den FälligkeitssektorsOmega Kreuzfahrtund an der Stelleist das sehr hübsch das Omega diese komischen Einheiten hat Radiant pro Sekundedann habe ich nämlich kein zwei Pi und ähnlicherMalereien vorstehen sondern ganzheitliche Formdas ist dieGeschwindigkeitbei einer Drehbewegungum den Ursprungsachseentlang Omega und Winkelgeschwindigkeitist der Betrag von Omega das macht alles etwas handlicherdas kann ich des Einsätzenin meinengesamten Drehimpulszweiter Macherden der oben weiter mache finde ich der gesamte DrehimpulsVektorzu schreiben der gesamte Drehimpulsvektorist also die Summe über alle Teilchenmassedes TeilchensOrtsvektordes Teilchenswird für das lustigComte mit Mathematik langen Spiel OrtsvektorKreuzgeschwindigkeitsvektordas Ding Ortsvektorkreuzen Geschwindigkeitsvektorund hier steht derGeschwindigkeitsvektorder Geschwindigkeitsvektorist OmegaKreuzOrtsvektordas dann ausdas ist ein ziemlich erstaunlicher Ausdruck?? ich meinen das erste Mal siehter stand eben noch der Geschwindigkeitsvektorund den Geschwindigkeitsvektorschreibe ich mit Omega KreuzOrtsvektorwird den Apple sich zwei Kreuzprodukt hintereinanderpersönlich mathematisch spannend das ist der Grund wieder sie erzählen nicht so sehr derDrehimpulszwei Kreuzprodukte hintereinanderan das auseinanderzunehmenwie denn das vielleicht mal wasbrauchbares werden könnte was man rechnen kannanmirgeht es mit reinerMathematik weiterdannwas passiertwenn ich die Winkelgeschwindigkeitso verändere das ich die Achse beibehaltenaber die Geschwindigkeitverdoppelt die Winkelgeschwindigkeitverdoppeln gleiche Achse was passiert mit den Drehimpulsgenau überall kommt der Faktor zwei ?? raus wenn wir zwei Omega reinschreibenkönnen Sie die zwei aus diesem Vektorprodukt rausnehmen davordie zwei aus diesem ?? Produkt rausnehmen ?? ersatzweise zum rausnehmendann verdoppelt sich der Drehimpuls das es hoffentlich auch ganz überraschendwenn sie irgend ein ?? Materie drehen und irgend eine Achseund sie verdoppeln die Drehgeschwindigkeithat das Ding den doppelten Drehimpulsdas wäre auch der Schrecken das nicht so ist es gibt eine Eigenschaft überraschender istdenn hier eine Summe stetswaseine schräge Angelegenheit ist diese Lektoren hierkennzeichnen ja eine Achse und eine Drehgeschwindigkeitzu addierenistauf eine bisschen komisch was heißt dass ein für die Drehung wenn ich die addiere egal was rein mathematisch nehmen wenn ihr eine Summe stehtvon zwei solchen Omegavektorenwas passiert danninnere Kreuzprodukt könnten sie dann zerlegenin Omega eins Kreuzeins von KreuzbergI plus Omegazwei kreuzt diesehrnette Eigenschaft von den Kreuzprodukt wenn ich eine Summe Kreuz ein Vektor nehme Geistes auseinandernehmenwas können Sie damit den Kreuzprodukt tunwenn sie noch mal auseinander nimmt er ihn Kreuz kassierendaser dies hier steht die Summe zweier Vektorendas gibt also EnergiekreuzOmega einsOmega Omega eins KreuzIplus?? I KreuzkreuzOmega zweiKreuzdas auseinandergenommen?? kann ich die Summe auseinandernehmenund hier steht zum Schluss das ist der gesamte Drehimpulsfür das Omega einsPlus der gesamte Drehimpulsfür das Omega zweidas man auf sehr schräge Weise Präsident Drehimpuls addieren beim Kreisel kommt danach ?? sowas vorich addiere die Omegamöchte Omega Satire hat eine ?? Drehimpuls addiertdas ?? einen wasüber diesen Zusammenhangwenn Sie so seine Formel von dieser Art haben ein Vektor Omega wird zu einem anderen Vektor L gesamte Drehimpulsund zwar so wenn Sie diesen Vektor Omega vervielfachenkommt das Vielfache raus wenn sie eine Summe stehtkommtdie entsprechende Summe raus dann weiß ich das ich dieses hier mit einer Matrix schreiben kannFinder gleich wie das geht ?? ich weiß auf jeden Fall rein abstraktaus der Mathematik heraus es gibt eine Matrixmit der ich das schreiben kannin der FormI das ist dann eine Matrixund diese Matrix multipliziertmit dem Omega so muss ich das schreiben könnenwenn sie so schreiben es klar dass das gehtOmega vervielfachende facto vor die Matrix ihn erledigt wenn die für Omega ?? Summe stehtMatrix bei den ein Plasma bis man einen auch erledigt?? Maker noch zeigen dass es rückwärts geht wenn diese Eigenschaft gilt muss es so eine Matrix gebenund diese Matrix ihrenPreis der Trägheitstensordas ist sowas wiedie Masse in diesem Spiel über Drehbewegungenbei demnormalen Impuls haben wir sowasdass der Impuls ist gleich Masse mal Geschwindigkeitgroße Masse mal Geschwindigkeit hier steht Drehimpulsist gleichder komische TrägheitstensorAnführungszeichen obenReckers denn so mal Geschwindigkeitsimpulsesgleichsowas wie Masse mal Geschwindigkeit der Trägheitstensorhat sowas wie die Rolle der MasseNebenspiel bei Drehbewegungaber sie sehenweit in den Jahren Gardinenbewegungist die Masseeine Zahlundhier wird die Anführungszeichenmasseplötzlich eine Matrixwas finstereswas finster kompliziertes das ist der Trägheitstensorsei die Rolle derMasseaber ebenem Masse wenn ?? mit einem Masse mit neun dreimal drei Einträgenes gibt nicht eine einzige sondernman muss je nach Richtung was anderes tunund als kleine Übung möchte diese Matrix jetzt mit Ihnen ausrichten die komm ich jetzt von der Formelzu dieser Matrixeine Sache vor noch mal haben?? schon der Versuch kam dieses eher das er zum Quadrat zusammenzufassengerade zeigen dass das Ärger gibtVorsicht mit dem VektorproduktRandnotizVorsicht mit dem Vektorproduktwenn sie ?? ?? Kreuzwie Kreuz sie rechnen und das vergleichenmitArt KreuzBkreuzt sieVektor manchmaldeningenieurmäßigsoähmist das dasselbeoder nicht ?? schon so Frage ist wahrscheinlich nicht wenn sie Gründe wo das schief geht?? das erste Warnzeichenwas man so sieht es der obere Vektor muss senkrecht zu A seinund der untere Vektor senkrecht zu C seindas finde ich schon höchst komischein Vektor der senkrecht zu heiß und senkrecht zu C ist sinnlos obendrein senkrecht zu diesem Produkt sein?? dieses Produktes aber senkrecht zu C muss senkrecht sein Vektor senkrecht zu C sein oder senkrecht zu C seinBeistrich allmählich habe ich an wird sich im einzelnen auch vorführen rechnet zwar mit Beispiel durch und sie sehen im allgemeinen ist das nicht dasselbe ?? allgemeinim allgemeinen ist das nicht dasselbedas Vektorprodukt ist nicht assoziativ?? dürfen nicht beliebig Klammer auf selbst wenn sie die Reihenfolgebeibehaltendürfen sie nicht beliebig klammernund Wasser schon in den alten Videos vorkam ist es sowieso nicht kommunikativdas erst recht nicht wenn sie rechnen A Kreuz B und reichen das mitB Kreuzarmhängen die zusammenkomplett nicht kommunikativsondern es ist eben genau falsch rum wenn sie die Reihenfolgevertauschendann ändert sich das Vorzeichen was wieder aus der Determinante stammtzwei Spalten in der Determinante vertauschen heißt die Determinante einer das vorzeigen kann es hier also das Vektorprodukt istnicht assoziativsie können nicht umklammernselbst wenn die Reihenfolge beibehaltenund es ist an die Commodityvorsichtig anrechnen es heißt Produktaber es ist einsehr verallgemeinertesProduktnunkorrigiert sie wieder zurück ich möchte diesen Ausdruck hierbewältigenDinge nicht als Effektivität muss ich gucken wie ich klammerein das ?? der Geschwindigkeitsvektorden erst ausrechnenlassen ihr Kreuzdendiesen Ausdruck hier will ichauch für ein Vektorkreuzeinen anderen Vektorkreuzden ersten VektorgroßerEinschub einen VektorErbe nach Energiekreuzeinen Weg zur Omega Kreuzden wechselt er von der vornedas rechtliche verschreibendann kann die Formel vereinfachenwen sie irgend ein Anhaltspunktwas hat das hier für Eigenschaftenauf der linken Seitealso dieses Ding hier eher Kreuzdiesen Vektor muss senkrecht auf beidenFaktoren stehen senkrecht auf dersenkrecht auf dem Omega Kreuzherrenich fang mal mit dem Omega Kreuz eher anweil ich weiß wie's weitergehtBeistrichdas hilft zu wissen wie's weitergehtmit dem fang ich mal an dieses Ding ist also senkrechtzuOmega KreuzeherOmega zeigt nirgendwohinLeerzeichen irgendwohinsoOmega Kreuz er wird auf den beiden senkrecht stehender Handund ersuchensomit also liegen senkrecht auf beiden rechte Hand die Länge einerlegalsenkrecht aufstehen und senkrecht aufdemTitelbild Omega Kreuz eher so liegen und jetzt weiß ich dass dieser Vektor hieralso Anführungszeichendieser Vektorsenkrechtauf Omega Kreuz er istwas heißt das eigentlich wie können Sie diesen Vektor also bilden wenn sie wissen es senkrecht auf dieich gedachte müssen sich an Ebenen erinnern ich suche jeden Vektor senkrecht zu den kenne er des senkrecht dazu schönOmega Kraniche senkrecht dazu männliches überlegen wo liegen denn noch andere allein dieser eben eine der selben EbeneAnführungsstriche zumal was gesundes dazu machenalle Vektoren in dieser Ebene hier in einer Ebene mit Omega und er das sind die die senkrecht auf Omega Kreuz erstehenwie kann ich diese Vektoren erzeugen alledirekt wegen der Ebenengleichungalle vielfachenvon R plus Vielfaches von Omegaalso weiß ich jetztdieser Vektor hier mal wiederWiederholungszeichendieser VektorhieristeinVielfachesvon dem Vektor erund ein Vielfaches von dem VektorOmega ich weiß ich das wie vielfach aber ich weiß es ihn so schreiben können mussalles was da rauskommtrauskommen kann muss ich so schreiben können denn ich weiß es kommt ein Vektor der senkrecht zu Omega Kreuz er senkrecht zu dem und jeden Vektor senkrecht zudemgar nicht so schreiben denn das ist ein guter Weg durch in der Ebeneparallel zu R und OmegabesserAusrufezeichen endlich kann also mein Ergebnis auf jeden Fall als soundsoviel Mark Erpressung zu Firma Omega schreibenich weiß nicht wie viel das so zu viel istaber das ist ein erster SchrittamFuß wurde für die heftigen Mathematikeres kannein Ärgernis passieren dass das hier keine Ebene wirdman mir das keine EbenenJahren die beiden parallel sinddiese aufeinander winterlichen Problemergibt sich hier keine Ebene haben sich das überlegen hier ?? die beiden vielfach Fernandes interessiertdas sowieso schon der Nullvektorund so weiterkeine Aktiondas geht schon klaralso kann ichmeine geht es in jedem Fall so schreibenwillst benutze ich die andere Eigenschaftüber eben schon gesehen habendas Ergebnis hier Anführungszeichenist nicht nur senkrecht auf Omega Kreuz er das Ergebnis auch senkrecht auf Rkönnen Sie gerne wissen was rechnenalso ich weiß zweitensrömischrömisch zweitensweiß sich dieser Vektor obenist senkrecht zu erdenner ist einer der beiden FaktorenalsoGeldwas wie kann ich das in Formel übersetzender Skalarprodukt wird nur das ?? im ?? zu testen benutztzur Region senkrecht sind alsodergesuchte Vektor steht senkrecht auf dem Ortsvektor dann weißich also null ist gleichder Ortsvektor?? NV Schulung ist gleich der Ortsvektoreinfachmalden besagten Vektor aber jetzt weiß das ja schon der besagte Vektor lässt sich so schreibendas ist eher malarm ARgroß B malOmegaund Dessertsosie nicht wieder eine weitere Gleichungimmer noch zwei Zahlen ich nicht kenne aber eine weitere Gleichungsuchen sie da was zu machen ?? kann ich aus dieser Gleichung erfahrenwas denn jetzt A und Bgenauer sinnlich wird nicht komplett auflösen können zwei Unbekannte eine Gleichung ist eine zu wenigversuchen sie etwas auszuwechselnwas über A und B zu lernen aus dieser Gleichungan das sie nicht mit dem Druck von Zahlen verwechseln wenn ihr ständig X eine Zahl mal Y eine Zahl gleich null dann wüssten Sie das mindestens X gleich null ist odermindestens im vergleichen lässt oder sogar beide gleich null sindwenn Zahlen werden aber dass sie sicher Vektorendas hier heißt nichts anderes als dass diese beiden Vektoren er uns diese Summe senkrecht aufeinander stehen sie könne sich dank einer von denender Nullvektor seinnur ausgedrückt dass die beiden senkrecht aufeinander stehender nächste Schritt wird sein das es aus zu modifizierenund einfachdann nach Hause nach B aufzulösenokay ich seh das Problem ist das man einiges tun darf und eines nicht tun darf und die Schwierigkeit isthierbei zu wissen was man tun darf und was nicht und auch sie dürfen durchZahlentalentedürfen nicht durch Lektorentalentedürfen nicht durch Matrizenteilinverse Matrix kann in zuvor aber erst mal nicht Effekte und ??Seite dürfen durch Zahlen Teilnetterweise muss man hier nur durch Zahlen teilennunan als ?? des Mannes die Ausbuchtungen??vorgefallenKomma weiterhindarf ausmultiplizierenein Vektor mal das Vielfache eines anderen Vektores geht mit Skalarprodukt und Vektorproduktsie können das Vielfache nach vorne holen das ist das Vielfache von Vektorjetzt Skalarproduktmal Vektorund hinten das B kann auch nach vorne ziehen ausklammern geht auch mit SalatVektorproduktB nach vorne ziehen eher malOmegahier steht jetzt eher mal eher das ist die Länge des Vektorsehrbaulängedes Vektor eher ins Quadratin einem Skalarprodukt kann ich nicht viel tunalso habe ich gelerntsinnvolles nach aufzulösenkönnenich habe gelernt das Minusdie malehermal Omega Skalarproduktgleichhaben mal Länge voneherQuadrat istaber nur den rüber gebrachtso unter sie stehen an der einige Leute sich gescheut habendas ist eine Zahldurch die sie teilen können wenn die Zahl nicht nur ist Fußnotewennder Ortsvektor gleich null ist das ganze sowieso ziemlich langweiligwenn ich einen Punkt um den Ursprung drehe dem Ursprung sitzt hat er nicht allzu vieleherMoment dahinterokay also ich kann einfach den Fall betrachten dass sie niemals null steht das dasjenige ?? kann Punkt auf dem Ursprung sind seine Zahlen durch Zahlenteilenmit anderen Worten alsoruhig mal klarmachenwas für ?? Sorte Objekt man gerade hatich teile durch diese Zahlenund entsteht auf der linken Seite der Skalarproduktdurch die Länge von eher Quadrat ist leicht ankann A mit B ausdrückenund das dann weiter oben einsetzen mit meinerLösung schon ein Stückchen näher ich habe nun gelernt dass er Kreuz Omega Kreuz er gleichdas A kann ich es einsetzen mag er plus bin Omega istgelerntdasser KreuzOmega Kreuz er das Objekt und das die ganze Zeit geht ist gleichzurückarmmalden Ortsvektorsteht da also minusB mal eher mal OmegadurcheherQuadratmal den OrtsvektorHaar mal in Ortsvektor plusB mal Omega Stand erhobendie vom Kopieren soll Entschuldigungimmer Omega A das Monsterausgerichteter Mann Ortsvektor groß B malOmegaso muss das Ergebnis sein das B kann ich hier noch rausnehmen??und sortieren sie auch ganz nett aus das Hirtenplus also nehme ich das Omega nach vorndasOmega nach vorneminusdas Baby hervorgezogener mal Omega durch eher Quadratsmeilenvektoreher eher mal Omega Skalarproduktdurch die Länge von Vektor eher ins Quadratsmeilenvektormehrsie neunzehn was jetzt passiert er mal Omega ist eine ZahlX Komponente Matrixkomponentebesitzen Komma den weißen Z Quartett zusammen welche oben steht eine Zahlionsteht eine Zahl die Länge ins Quadrat ist eine Zahlbesteht insgesamteine Zahl mal einen Vektor den Ortsvektorso fühlt sich der alles zusammenjetzt fehlt mir hier noch das unsägliche Billionen habe ich tatsächlich die Formelfertig haben willwir gucken uns maldie Frage ist was ist Bdas letzte große Rätsel an dieser Stellewir gucken uns mal die Länge von diesem Vektorkann dann schon was gelerntein weiteres mathematisches Experimentwas ist die Länge voneher KreuzOmegaKreuzerins Quadrat um es leichter zu rechnenwas wissen Sie über diese Längengenau diese Längeins Quadratmuss die Fläche sein die vom RadiusVektorund Omega Kreuzradesekteaufgespanntwirdins Quadrat angenommenQuadrat geschrieben habedieseseher die Flächedie von diesem Vektor und diesem Vektor aufgespannt wird ins Quadratwas ist der Winkel zwischen diesem Vektor dem ersten und dem zweitengenaujetzt raffinierteWinkel zwischen diesen beiden Vektoren ist aberneunzig Gradich suche die Flächedes Parallelogrammwas von diesem Vektor und diesem Vektor aufgespanntwird Wasser mit damit gerade gelerntals recht Ex in der Tat dieser Vektor steht senkrecht auf dem Vektor als interessiert mich keins die Fläche einesParallelogrammsowie Fläche eines Rechteckund dies einfach Seitenlänge mal Seitenlängeist die Fläche des Rechteck?? und ich will das Quadrat haben also Quadrierendie eine Seitenlängeverlierenmal die andere Seitenlängevertriebeneinfach geometrisch und dass sie das mit Zahlen gerechnet habendiese Länge wieder zu Quadrieren ist ist die Fläche von den Parallelogrammwas von R und Omegakreuz er aufgespannt wird dieses Parallelogrammist aber ein Rechteck weil die beiden senkrecht aufeinander stehenalso modifiziert einfach die beiden Seiten denQuadrat vollliefVertragdas ist die einheitlich das Quadrat der Länge ausrechnen kannund es kommt mathematischer Kunstgriffdies selbe Ergebnis muss ich auch kriegen indem ich diesen Vektormit sich selbst modifizieren ?? erKreuzOmega Kreuzerund jetzt kommt Skalarproduktdieser Vektor mal sich selbst das ist ja seine Länge ins Quadratnicht immer ganz raffiniertich schreib nicht den Vektor wieder dahinter blieb mir nichts Neues für das Bee Wissensezierfür den zweitendass der oben mit dem B einmalBOmega minuser malwardurch die Länge von eher Quadratmalt erdas jetzt mein Trick um eine Gleichung für B zu kriegen eine weitere Gleichung für B zu kriegen ich kennedieses Quadratder Länge rein anschaulichweichen Rechteck da habehier steht nichts unbekanntes mehr drinumgekehrt weiß ich aber auch dass dieses Quadrat gleich Vektor mal sich selbst ist Vektor mal sich selbst und für dieses Mal selbst setzt sich das ja ein mit dem B und hoffe ihr sich jetzt nach B auflösensind relativ einfach nach B aufzulösen der stetig als Faktor drindas ist B mal den einener KreuzOmega Kreuzermal den anderen Omega minusmal Omega durch Länge von eherehernunmal guckendies hintere kann ich ja auseinandernehmendieses Produkt hierist der ersteder erste mal Omegaplusder erste Mal den hinteren Teilhier steht die Differenz zweier Vektoren sie können der Skalarprodukt auseinander nimmt was passiert wenn sie diesen ersten Vektormit dem hinteren Teilmodifizierenwir mit dem hinteren Teil zierenwieder eine Stelle an der man nicht rechnen muss wenn man bisschen denktder hintere Teil des parallel zum Vektor eher eine Zahl mal den Vektor eherder vordere Teil ist senkrechteher als ein Faktor in den Vektorprodukt der vordere Teil ist senkrecht zu dersie modifizierenEinwände der senkrecht zuerst Skalarproduktmit einem Vektor der parallel zu R istnicht in senkrecht aufeinander also Skalarprodukt wird der hintere Teil ist völlig egal ich einfach rauswas die Sache vielleicht machtso da steht dann das es jetzt B maleher KreuzOmega Kreuz erihr steht ein Skalarproduktdie Reihenfolge ist egal ich kann das vorne neben das Omega ist also B mal Omega malminus maleher Kreuzersound jetzt muss man sichandas Sparprodukterinnern Punktwenn ich drei Vektoren nebeneinanderSchreibespaltendreier Vektorendrei davon nebeneinander schreibedann ist das AbendmahlB kreuztsieerkennen sicher irgendwas wiederkönnesie die Formel fürsBad Produkt haben direkt zu OrtenArztes Omega ist also mein Haar das er ist mein B ist es ganz lustig das es hier dasKreuzproduktalso ist dieses hier gleichen B und jetzt kommt das spart ProduktOmegain der ersten Spalte der Determinanteund dann kommter JürgenPeters war er in der zweiten Spalte der Determinanteund hier hinten stehtdas in der dritten Spalte Omega Kreuzherrenso steht das da erste Spalte Omega zweite Spalte eher dritte Spalte Omega Kreuz eher ein Determinante gebildet einmal dreieinfach durchdiesenhierein bisschen sputenwenn ich nur dreimal drei Determinante habedann müsste ja das Volumendieses parallele Gebetsund die Orientierungdes Vorzeichensach die Orientierung wenn sie in drei mal drei Spalten durch tauschenälteste Orientierung und das Volumen ich kann die Spalten durch tauschen in drei mal drei und die Determinante ändert sich nicht das es dasselbe als wenn ich rechneam?? man den letzten Tausch ichnach vorne Omega Kreuz er nach vorne getauschtOmegaeherdieselben drei Spaltennur zyklisch vertauscht das geht in drei mal drei bei der Determinanteund ändert ihren Wert nichtund jetzt benutze ich noch mal diese Formelaber total andersnämlich hier steht jetzt das es Omega Kreuz er Omega Kreuz erSkalarproduktArm ist jetzt das Omega Kreuz er SkalarproduktOmega Kreuz er Omega Kreuz erden wie das Kaninchen aus dem Zylinder und sauberendas sie so funktioniertalso in der Determinante darf ich durch tauschenund der steht wird sich das Omega Kreuz er mit der breit mit der Rolle von Artrennen und das istB und das C ich kriege dasdiese Skalarproduktist dann einfach die Längevon Omegakreuzerins Quadratbrauche somit ein gelernterähmLobby angefangendie habe ich angefangendie Länge von eher ins Quadrat weiter Länge von Omegakreuz eher ins Quadrat istB mal Omega Kreuz er ins Quadratswasserwieder so gelernt?? von der gelernten B istdie Länge voneher ins Quadrat zu vergleichen einfach den Ausdruck hiermit dem und jetzt einmal eine komplette Formelhier muss ich also einsetzen ich bin das forderte sie obendrein mangels Zeit hier muss ich also einsetzen B ist die Länge von eherins Quadrat und sie sehen was passiert hier steht also ihr steht die Länge von eher ins Quadrat mal Omegavorneminusdas gehört sich jetzt eher Quadrat eher Quadratminus er mal Omegawar eherso wie das nun aus das es dieser komische Ausdruck eher KreuzKlammer auf Omega Kreuz erjedoch nistet sich nur nochSkalarprodukt darauf und Längenwidersetzt sich oben in meiner Gleichung ein eher Quadrat mal Omega minus er mal Omega malherkann ich oben in meiner Gleichung einsetzendie Lieder findeich hierwas hier steht ist alsodie Masse malund jetzt kommter Quadratbezüglich der Elitevektoreher dieQuadrat mal Omegaminuser niemal Omegamaleherwiehier Klammer zudas ?? gerade ausgerechnet das man das so umschreiben kann das Doppelte Kreuzproduktwas das dann sowas wird Hammer gerechnetwerden müssen dieser Clubnur zu Hause angucken?? man jetzt weiter arbeitet sie gucken sich an was mit den Bestandteilen von Omega wirdOmega X die X Komponente von Omegawo landet die hier imDrehimpulsund sie gucken sich an A damit sie mit dem ganzen erhielt ein vierzig modifiziert und so weiter man sortiert das auseinanderund finde danach ??zu spät ?? danach ?? folgendesdiese Matrix I sieht so ausdie Summe über alle Teilchen in diemal denRadiusVektor IY Komponenteins Quadrat des Radius Vektor die Setzkomponenteins Quadratund so weiter und so weiter und so weiterwir drunter stehtminusdie Summe über alle ?? die in ihm mal den Grades Vektor selber nachdenkennie musste Xmal?? und Klammer aufX mal eherYund so weiter und so weiter es gibt handliche Formen für die gesamten Einträgejetzt leider nicht ??ist auch nicht so wichtig das man jetzt nicht so spannterwichtig finde ich diese geometrische Anschauung was macht das Bad Produktund was macht das Vektorproduktund was macht das Skalarprodukt