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18.05.1 Fundamentalsatz der Algebra, komplexe Nullstellen


CC-BY-NC-SA 3.0

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inden Ingenieurwissenschaftensind die komplexen Zahlen so nettwegendieser Eulersche Identitätdiese Geschichte hier das ich Sinus und Kosinusersetzen kann durcheo ich Fi das erspart einem extrem viel komische Rechnungen wenn's umSchwingungen und Wellen gehtamin der Mathematikaber noch andere schöneEigenschaft von den konvexen Zahlen über die man sich freut dass jede animalischeGleichunglösbarschon gezeigt ansatzweise gezeichnet und ansatzweise gezeichnetquadratischenGleichungenmit zum Beispiel dir nehmen Z Guatemalasplus sechs Z plus dreizehn gleich nullund dann einfach mit PQ Formel weitermachenfinden Sie Z ist gleich minus P halber also minus drei plusminusdass sie Quadrieren neunund Q ab zehn minus vierzehnbis dreizehn ?? weiter minus dreizehnmacht also minus drei plus Minuswurzelminus vierund dass sie dann gar nicht mehr so verboten auswies Beistrich mal ausgesehen hat es muss also sein minus drei plus minuszweidieWassermischung gesehen quadratische Gleichungen haben jetztgrundsätzlich zwei Lösung es kann mir passierendas unter der Wurzel null steht dann habe ich zwar offiziell nur eine Lösung groß fühlt sich trotzdem irgendwie anders ups zwei Lösung hättewenn diein den Jahr Faktoren zerlegen hier das Polynom in Linearfaktorenzerlegen sich zwei gleiche Linealfaktorenwerdenunter der Wurzel null gestanden hätte und typischerweisezwei verschiedene Lösungenund dasabsurde ist das dann automatischauch alle anderen Gleichungen plötzlich alle anderen Leichen auch höheren GradesLösungen haben müssenin konvexen Zahlenes gibt also keine unlösbarenAlgebra gleichenkomplexen Zahlenjedes Polynommuss eine Nullstelle habenden komplexen Zahlenund das hat auch zur Folge dass sie jedes Polynomkomplett zerlegen können müssennunals wenn sie irgendein absurdes Polynom habe ?? genügend existiert es Komma so sie irgend ein absolut absurdes Polynom habenirgendwie sowaskönnen Siesicher seinund nicht mit X natürlich damit setzter wenn sie sicher sein das es irgendwo eine Nullstelle hat das heißt sie können diese Nullstelle abspalten Z minus irgendwasund hier steht dann an den Polynom EZ hoch fünf und so weiter und so weiterman kann sicher sein das das Nullstelle hat sowieso was ?? leider gratisabersonst hätte auf jeden Fall eine Nullstelle die könnte abspalten und so weiter und so fortkonvexenZahlen heißt das kann man jedes Polynom komplettInsel im Jahr Faktoren zerlegen bester EL Zahlennicht manuell zahlen könne zum Schluss was bleiben wie zur vier bis dreiTempo Richtung aus der Wäsche war das keine Nullstelle mehr hat den konvexen Zahlen kann es nicht passieren das muss bis zu Ende durchgehen lauter Linearfaktornureine Folge darauswenn man sich einmal überlegt hat dass jedesPolynom in konvexen Zahlenmindestens eine Nullstelle haben muss dann können sie auchweiter zerlegendes WICHTIGstreng zeigen dass das geht aber ich möchte Ihnen in Idee geben was hinter den Kulissen der Einsicht passiert warum das funktionieren kanndas ganze nennt sich Fundamentalsatzder AlgebraFormenvermisst Polynom nämlich Vertreterkommen uns an Z hoch vier plus Z hoch dreiminus vierzig Quadratplus fünf Zminus zweimöchte wissenwelche Z dieses Ding null werden kanndas ungeschickte bei diesenkonvexen Funktionen ist andas können sie nicht ordentlich punkten wenn eine Funktionnach üblicher Art habeneinenF von X ist gleich Yin realen Zahlen nimmt sie irgendwas mit X zwosieben?? ?? also weiterhin reell Zahlen malen sie auf der x-Achse was rein geht auf den zu maximal Sie auf was raus geht das persische Netzkurve mal das ungeschickte beidieser Funktion des ich gehe schon mit zwei Dimensionen rein alter Imaginärteilich die hier mit zweiVariablen einzig ein SZ hat Realteilung imaginiert hat und ich gehe auch mit zwei ?? haben darausweitere Magnete des Ergebnissesich wollte vier Dimensionen um das zu Plattenplatz funktioniert gut auf Papierdiese üblichen Funktionen ganzer Papierplatteneine Mission rein eine HausJan sie verloren zwei Reihen zwei ?? aus muss es in Brixenbei Platten das will ich noch vor für die man beim Platten von Person tricksen kann um sich dann tatsächlich vorzustellendas da irgendwodie Funktion sozusagen durch die Achse gehen muss sie kann gar nicht anders muss ihnen die einzigewar das kann manin zwei drei SeitenfensterRechnungen auchzeigen Komma die sie gar nicht verstanden was dahinterstecktfolgenderTrick ich setzeganz viele Zahlen auf dem Haufen einnämlichZ ist gleichja maldie Hofiund dieses Vieh sofort durch laufend vonnull bis zwei Pieinen kompletten Kreis setzt sich einund ich gucke mir was rauskommtkann was rauskommtamwenn sie eine Zahl einsetzen würdeneinausgiebiger Lückentext dafür Klammer zu guckenan wenn sie eine komplexe Zahl einsetzen würdenwarbei E-Plus einmal diedarum einsetzensie kriegen eine für die komplette Zahl raus keine Ahnung ?? diefür das so abgebildet werden der würde da abgebildet werden setzen sie die nächste einfach die ?? und kriegen gleich die Rausansätzesind noch einer ein und kriegen vielleicht die raus und setzen noch eine einen Trennstrich die raus Trick den ich mache es folgender ich setze alle ein auf diesen Kreis ein kompletter Kreis mit Radius Ralle konvexen Zahlen auf diesen Kreis setzt sich ein und ich gucke mir an welche Figur dann daraus kommtalle diese Zahlengucken als ungläubigan?? Punkt was passiert mit dieser komplexen Zahl was passiert mit dieser komplexen Zahl was passiert mit dieser komplexen Zahl mit dieser komplexen Satz alleauf einem Kreis um den Ursprung German E hoch I Fifiwandert von null bis zwei Pi fester Radiusradiusfestund mit dem Vieh wandere ich einmal rum von nulldie halbePiäh drei habe diezwei Pialle die nämlich auf einen Schlagund Maler aufwas dann rauskommtwann habe ich eine Nullstelle gefundendie zeigt sich Nullstelleständig vor aus demwird dieseraus den nächstenLeerzeichen dieser aus diesemwird dieser aus diesem wird dieser und so weiteroder ?? scheint ja aus irgend einem schon Null geworden zu sein wie das aufgemacht habedas heißthier gäbe es irgendwo einen auf dem Kreisder tatsächlich zu Null Wert landet auf der konvexen Zahl null sowie sie gemalt habe wenn die Kurve wieder rauskommtwas auch immer führen ?? dass wir das in die Gleiter sitzt sehr künstlerisch ausan welche Kurve man rauskommt wenn die Kurve durch den Ursprung gibtder rauskommt heißt das ja ?? irgendwo eine Zahl eingesetztso das rauskommt auf eine Nullstelle gefundenwenn die Kurve hier nicht durch den Ursprung geht die raus gehtdann habe ich keine Nullstelle gefundenich versuche jetzt gleich den Radius so zu basteln oder zumindest so zu argumentierendass man den Radiusso basteln kanndass die Kurve hier die daraus kommt durch den Ursprung musssie kann nicht anders als durch den Ursprung laufen irgendwo muss sie durch den Ort und glaub das war in die ganz viel billiger bei bei komischen Parabeln zum Beispiel meiner komischen Parabel wissen Siewenn er wenn der Faktor vor dem ?? zu zwei positiv ist sie mussdann nach oben verschwinden sie muss danach und verschwinden also keine Chance muss irgendwo durch die Achse gehenbei diese Funktion gewiss schwieriger weil ich mit?? nicht mit einer Dimension rein und einer rausgehe seine zwei Dimensionen reiner zwei Dimensionen rausmuss und ehrliches Argument möchte ich versuchenund mir überlegen das wenn ich nur den richtigen Kreis nehmen in der richtigen Größedas tatsächlich das Ergebnis durch den Ursprung muss man das Ergebnis durch den Ursprung geht als das es gibt hier ein Xsodass das Ergebnis der Funktionnull vier ich habe eine Nullstelle gefunden dieses X wäre dann eine Nullstelleich glaube das ?? also ??mit matlaphabenich baue erst mal alleWinkel vonnull bis zwei Piin kleinen Schritten natürlich kann ich jetzt nicht unendlich viele Winkel ausprobieren mit Sondersoftwareaber ich kannzumindest in kleinen Schritten der durchgehenmuss wäre mal null Komma null nulleinsJahr wardas hinhauenso das wir jetzt Listealler WinkeldurchgegangenRahmenich lege meinen Radius vielleicht mal auf irgendwas dummes festdreißigKomma siebenwas auch immernunjetzt rechne ich alle komplexen Zahlenaus die da rauskommenZ nämlich die zum BeispielRadiusmalund nun steht da Exponentialfunktioneh hoch wie Martin Winkel die Artischockenbesser einmal wieder funktioniert bessereinmal ihm mal den Winkeldas liefert mirsind was man Ihrerseits schreiben kann ich damit die Rechnung dem Winkel rechnen das ist Polardarstellungdieser Länge drei Komma siebenund hier steht eh hoch I mal den Winkel alle Winkel durchexerzierteinmal im Kreis rum all das alle Möglichkeiten davon in die Variable Z reinjetzt rechtlich aus was aus meinem Polynom rauskommtsollte sein Fett hoch vierman kann jetzt leider nicht direkt ZOB vier schreiben ?? später erzähle ich das mal hier Z Punkt hoch wir schreibenuns jeden Fall einzelnzu potenzierenZ hoch drei wollte ich dann haben und dann wollte ich habenminus viermalZ QuadratKomplex finde es sogroß fünfmal setzminus zweiden will ich habenund ich möchte jetzt Plattenüberlegen fertig beides auf einmal ich würde mal beides auf einmalLeerzeichen es mal sodas ?? also wenn ich das platteStück Kunstein Eiähmweil ich vergessen habe die Achsen auf gleiche Größe zu stellen hatte leichte Verzerrung drin so soll es sein das wäre XTCQuell nochSemikolon weil ich nicht weiß alsoso das ist unnötig reingehensind die Zahlen Z mit den gehe ich Reinwinkelder Winkel durchlaufendund der Radius ist drei Komma siebensollte ein Kreis mit BildpunktenKreis mit Mittelpunkt Ursprung sein und er sollte den Radiusdrei Komma sieben haben Komma warum ich ungefähr drei bis zwei Komma siebenwomit ich rausgeheessen diese webspassedie Figur Dieter im auf der rechten Seite hattedas kommt rausX um Rundungen hier gilt es die Geschichte nicht immer beide sind einein ein Displayimerinnerewas will ich will eine Zeilezwei Spaltenund davon den ersten sosetzund ich will Einsatz Amanda von Linzdreizehnund jetztwieer Sommer beides auf einmal bisherigen gemalt habe was rein etwas rausgeht ??okayallerdings sind was rein geht in meiner Funktionalle Zahlen hierauf dem Kreis in der ganzen Zahlen eben auf dem Kreismit Radius drei Komma sieben und den Ursprung wir sind was rauskommt Ausrufezeichenzwei hundert pluszwei hundert ?? genähert hatte Alltagnunbau ich meine irgendwo dazwischensechsMann alsoso und im nächsten SchrittKomma Barexperimentewas da passiert mich interessiertauf was ich den Radius stellen muss sodass rechtsdie Kurve wirklich durch den Ursprung gehtlinks astrein geht etwas rausgeht wenn rechts die Kurve durch den Ursprung geht habe ich eine Nullstelle gefunden muss es hier auf dem ?? auf dem Chrysler eine Nullstelle