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13.1 Differentialgleichungen mit Eigenvektoren lösen


CC-BY-NC-SA 3.0

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ein – weiteres Verfahren für – Differenzialgleichungen – netterweise ein Verfahren das man ?? benutzen kann und was über die Stabilität der Lösung auszusagen – man erfährt ob einem ein System um die Ohren fliegt oder ob es beherrschbar bleibt – an – sich starte – mit der – dem Federpendel mal wieder – so hingeschrieben wie – letztes Mal – vorletztes – Mal auch – als Differenzialgleichung – mit zwei – gesuchten Funktionen – nun – Ort gegebenen – Impuls gegeben – ?? am Anfang und dann geht's los – das Differenzialgleichungen – System sagt mir – was die Ableitung des Orts ist der Titel sei ?? System sagen was der ?? des Impulses ist die Ableitung des Orts – und der ?? des Impulses versuche ich dann wieder mit Ort und Impuls auszudrücken – der Leitung des Orts ist die Geschwindigkeitsgeschwindigkeitsimpuls – durch Masse – steht oben – kann das letzte Mal – immer wieder vor – um die Geschwindigkeit – hingeschrieben mit dem Impuls – und John die Ableitung des Impulses – ich brauche die Ableitung des Impulses Masse mal Geschwindigkeit – also maximal der Plattengeschwindigkeit – ist Masse mal Beschleunigung – ist die Kraft hier steht die Kraft – eher was ist die Kraft beim Federpendel – minus Federkonstante – mal Auslenkung – und minus wenn ich die Reibung einnehme – dieses Billigmodell – der Reibung minus Reibung mal ?? Ausrufezeichen Sonntag – wie es Reibungskoeffizienten – ?? Geschwindigkeitsgeschwindigkeit – beim Puls durch – Masse – auseinanderhalten die durch im Makro – für diesen Reibungskoeffizienten – so weit hatten bei der – das kluge ist jetzt das ?? eine Nummer anders zu schreiben – das hier kann ich schreiben als Produkt einer Matrix – mit X ✂ und P – erster Nachher steht die Ableitung – von meinem gesuchten Lösungsvektor – ist eine Matrix – mein – mal mein – gesuchte Lösungsvektor ✂ was muss in dieser Matrix stehen – der hier – oben muss doch sein – die erste Zeile der Matrix mal diese Spalte – aus diesem Produkt soll P durch M rauskommen – was muss also herumstehen – hier muss null stehen da muss einzig im Stehen null mal X plus eins sich MAP – nahm sie dabei durch ein – ganz quasi etwas entgenieren – ich möchte B durch ein raus haben – für mein Differenzialgleichungen – großes B durch ähm null – null mal X plus eins durch ähm – mal P – steht HP durch ein – genauso kann ich die untere Zeile – genieren – minus dem Alexa schön minus T – minus Rohr – durch ein – sehr – ähm – dieses Produkt ausrechnen – kriege ich minus dem Alex – Haar minus Rohr durch MAP – fertig – das heißt – was aus meiner Differenzialgleichungen – hier – nicht das Wasser die Fassaden rauskommt sondern – eher meine Differenzialgleichungen – die rechte Seite meinen Transatlantikanschreiben – als Produkt einer Matrix – mit – dem gesüßt gesuchten Lösungsvektor der XP – das heißt das ich hier habe ist ein Spezialfall – von folgender Situation – einen Spezialfall – dieser Situation – die Ableitung – eines Vektor – beschreibt jetzt X Vektor die Ableitung eines Weckers nach der Zeit soll sein – eine quadratische – Matrix mal dieser Vektorpresse – wäre meine Matrix A – und XP wäre der gesuchte Vektor in Abhängigkeit von der Zeit – um diese Art von – Differenzialgleichungen – System – soll es gehen Systeme weil das sicher mir die Fenster gleich noch ein Beweis der gleichen Einschlag sind einmal die fixeinmal die für P – durcheinander – gemischt an die von Zeitleitungssystem – oder jeder mit einem Vektor geschrieben die Ableitung eines Rektors – ist gleich eine Funktion von diesem Vektor aber noch viel einfacher hier in diesem Fall ist eine Konstante Matrix – mal diesen Vektor – Thematik natürlich quadratisch – wenn sie hiermit – so soviel – sei lernen – reingehen in die Matrix Thematik muss so viele Zeilen haben wieder Vektor gespalten hat – waren sie müssen aus der Matrix aber so viele – Zeilen wieder rauskommen wieder rausbekommen wie der wirkliche Zeilen das geht gar nicht anders als dass diese Matrix sehr quadratisch – ist – zu einer Art von – Differenzialgleichungen – System – zur übungseinmal klassifizieren ✂ die das hier sehen – wie wäre das zu klassifizieren – also – diese Differenzialgleichung – System ist – erster Ordnung – ein maximal einmal abgeleitet – wird – es ist linear – Vielfaches – meiner gesuchten Lösung – die Ableitung meiner gesuchten Lösung – und dann sich überraschenderweise – anscheinend – homogen – inhomogen – wäre das wenn die noch sowas stünde wie plus – ein Vektor – drei vier – alles was hier jetzt aber steht – ist ja ein Vielfaches – von der gesuchten Funktion – oder – ein Vielfaches der Ableitung – es gibt keinen absoluten Ter nichts was ohne – die gesuchte Funktion erstellt – werden soll dann Amazon Vergleich haben zu Y Strich und so weiter die üblichen Kandidaten – interessant BY Strich plus Sinus von X mal Y – Strich – plus – Y – durch was weiß ich zwar drahtlos eins ist gleich – null das wäre auch homogen – hier ist Y gesucht – und alles was sie an so manchen steht – ist ein Vielfaches von Y oder seinen Ableitungen – es gibt keinen zum Mann – der ohne Y oder seine Ableitung steht wenn sie hier ?? Kosinus von X den schreibenden haben sie ein Zimmer ?? Y sein Ableitung das wird inhomogen – wenn sie hier nur hinschreiben – ist es homogen – Tickets natürlich – absondert Beistrich – um Y als abhängige Variable X als unabhängige Variable hier ist jetzt X die abhängige Variable und T – die unabhängige Variable – ich suche also nach ?? ausdrücken – die – ohne ein X oder X Punkt X zwei Punkt Stehen gibt's ähnliches gibt keinen Gemeinden – ohne ein X oder ein X Punkte gibt's keinen Gemeinden wie – er – Sinus von T E hoch T – was das in das dabei stünde würde das Ding inhomogen – ohne den hier – bleibt es homogen – neben Bugs auch konstante Koeffizienten – weisen Matrix A hier konstantes – Unfall vor der Ableitung hier auch wenn sie wollen Einheitsmatrix – steht – es so explizit – manche die Ableitung ausdrücklich auf einer Seite steht aber ?? nicht so spannend – nun – erst ordentlichen Jahr homogen – ist der spannende – nun wenn ich nun von dieser Matrixart – ist der quadratisch – wenn ich davon – Eigenvektor kenne – und einen eigenen – Wert dazu – kann ich erlösende Differentialgleichung – angeben – an der schließt sich dann der Kreis zu den Eigenwerten – Eigenvektoren – plötzlich haben – Eigenvektoren – Eigenwerte von so einer Matrix etwas mit den Lösungen – dieser – Differenzialgleichungen – zu tun – muss das als angenommen – angenommen ich kenne einen eigenen Vektor – V genannt angenommen ich kenne ein Eigenvektor – dieser Matrix das heißt – abermals – Eigenvektor – ist gleich Lander – der Eigenwert – mal diesen ein Vektor – und ein Wetter natürlich nicht – der Nullvektor – angenommen das sei so – eine Sofortlösung – hinschreiben – nun – habe ich sofort eine spezielle Lösung – ich die allgemeine Lösung aber ich kann sofort eine Lösung hinschreiben nämlich folgende – X soll so von der Zeit abhängen das es einfach – die hochlangen – damals zehn – mal den Eigenvektor – ist – dann aber stellt sich eine Lösung – dafür – das aber bisher anders gemacht – am – dieses – Differenzialgleichungen – System – richtig hingeschrieben mit X zwei Punkt X Punkt – und E Hochland einmal etwas eingesetztes – geht aber auch anders wie sicher sind an ich gucke mir diese Matrix an Suche nach alten werden Eigenvektoren – dieser Matrix – und kriegen damit Lösungen – dass das jede Lösung ist Komma will ich nachrechnen – waren – denn – die – Zeitableitung – davon ✂ freigeworden – die Zeitableitung – davon – ist folgendes wie leiden sie das nach Tee ab – der Eigenvektor Essenkonstante – in dem Produkt bleibt stehen – eh ?? andermal Tee muss ich ableiten – nach altbekannter Art außen ableiten bleibt SI hochbla – in Ableitenlander – das wird die Ableitung sein – aber das ist nichts anderes als – E Hochland AT mal Abendmahl – V den Amal V ist – Lander mal VA soll den Vektor zum – landerfachen – machen – und dann sehe ich AHA also die Ableitung – meiner gesuchten Funktion ist nichts anderes als arm mal – meine gesuchte Funktion genau was ich haben will – die Differentialgleichung – ist tatsächlich gelöst – das zwar – ausgelöst werden soll ich suche ein Vektor der von der Zeit abhängt – und dessen Ableitung nach der Zeit soll – das Matrix A fache von den Vektor sein – dann können Sie ganz billig so ein Angeben wie Hocheigenwert – mal die Zeit mal – passende Eigenvektor – in der man nicht jede Lösung Komma eine Lösung immer – ?? – und man kann auch was über das Verhalten dieser Lösung sagen – das ist dann nachher ganz – charakteristisch – geschaffene Verhalten dieser Lösung für – T gegen unendlich – je nachdem was für ein Lander da rauskommt was wenn Eigenwertlander – herausgekommen – ist – verhält sich ✂ diese Lösung verschieden – was wissen Sie schon – okay – nicht vergessen dieses Lander kann eine komplexe Zahl sein – an – wenn der Realteil verlangt der größer ist als Null entsteht hier eh hoch – sowas wie dreimal T – plus was komplexes – Idiot einmal tief nicht mehr um die Ohren – und die Lösung wächst exponentiell – in der Realteil – von Lambda kleiner ist als Null durch das gegenläufige – es klingt exponentiell – ab – sowie der radioaktive – Zerfall – oder – ein Kondensator entladen wird – Aktien ab – und dann – auch das – ganz lustige was passiert wenn eben das Ding echt komplex ist wenn der Imaginärteil – nicht null ist – wenn hier nicht nur – nach oben – wenn ihr nicht nur – dreimal T steht sondern wenn der steht eh hoch drei plus vier I – mal T – wenn dieses Lander – echt komplex ist einen komplexen Anteil hat – Komma den ihr zerlegen und die hoch drei plus Film Atheist E hoch drei T – mal – E hoch vier T – Prozentzeichen Gesetz zum Exponenten – hier steht der Funktionen – der explodiert – aber hier steht jetzt Funktion mit der organischen Formen die schwinggehen steht Sinus und Kosinus – soweit sie – einen imaginären Anteil im Lande haben haben sie diese Schwingung hier als Faktor dabei – entweder exponentiell – steigend – oder exponentiell abklingen ?? beginnen null stets mit konstanter Amplitude – aber auf jeden Fall ist eine Schwingung dabei Sinus – Kurven schwingen dabei – also jährlich einen Faktor – Sinus – Kosinus dabei an Oszillationen – mit konstanter Frequenz – sobald dieses Lander ein Imaginärteil – hat ungleich null – das heißt die – eigenen Werte dieser Matrix A – sagen mir was über die Stabilität – meines Ziffer zeigte der Lösung meines Differentialgleichung – Systems – wenn das wirklich Maschine beschreibt – man sich die Eigenwerte von dieser Matrix angucken und lernen aus den Eigenwerten – ob diese Maschine – weitere das anders gebaut sein sollte damit sie – die Inbetriebnahme überlebt – arm – das kann man weitertreiben das es wenn ich einen einzigen eigenen Weg zur V – mit einem Eigenwertlander dazu gefunden habe zu dieser Matrix wenn ich komplett – alle – Vektoren zerlegen kann – damit natürlich noch viel einfacher also wenn – wenn die Matrix A – N verschiedene Eigenwerte hat das ist der übliche Fall aber im Schulbuch geht es manchmal schief – wenn diese Matrix – ähm verschiedene – Eigenwerte – hat – natürlich eine einmal in Matrix – war nicht damit – steht als Index – wenn die in verschiedene Werte hat – kann es jeden Vektor – in Eigenvektoren – zerlegen – gibt es in verschiedene Richtungen an Eigenvektoren – in verschiedene Richtungen wie alternativ – einander sind das muss alles – ziemlich bald sein – in – Eigenvektoren – waren – also stets auch im Text wenn diese Matrix in verschiedene – Eigenvektoren – Eigenwerte – Eigenwerte hat – Komma dann lässt sich jeder Vektor zerlegen – sagt das ist die übliche Fall – kann was indes welche von den gleich sind dann letztendlich – lässt sich jeder Vektor zerlegen – in Eigenvektoren – Nummer fünf – gegeben ein Vektor X null können Sie den zerlegen in soundsoviel – mal einen ersten Eigenvektor – plus soundsoviel – mal einen zweiten Eigenvektorplus – und – und so weiter – Fluss – soundsoviel – mal den letzten – Aigenweg – der Gedanke – an sie zu dieser Matrix zweimal zwei Matrix in diesem Fall wenn sie zu dieser zwei mal zwei Matrix oben – tatsächlich zwei verschiedene Eigenwerte – finden – wenn sie auch zwei verschiedene – Eigenrichtungen – dazu jeweils einen eigenen Vektor – an – ?? jeden Vektor in Eigenvektoren zerlegen – in dieser Art jeder Vektor wird ein Vielfaches des ersten eigenen Rektors präsentiert das und zweitens weiter zusammen – und wenn ich das weiß – kann ich sofort sagen wie – ab einem Startzustand – X null – die Lösung – weiterläuft – am – Isaac okay das nämlich als Startzustand – nicht – zerlegen meinen Staat Vektor – in Eigenvektoren – und gucke mir an wie das weiterläuft – ist die Nummer sechs des gemeinen ganz billig hinschreiben – waren – es kommen einfach diese E Hochland das dazu – K eins mal die Hochlander – eins T – V eins – plus Card zweimal – ihre Lander zwei – T V zwei plus und so weiter – plus – was das noch Kaeinmaleoplanta – N T – V N – wenn ich – meine Hanf mein Anfangsvektor – diesen Startzustand – bei dem es losgehen soll das sollte Vektor sein mit dem des Wasser Gleichungssystem – anfängt – wenn ich den verlegt habe – fünfmal den ersten ein Vektor siebenmal den zweiten und so weiter – diese lustiger weisen Lösung die mit dem startet – die Lösung – die eine Lösung die mit dem Staate Dresden bilden fünfmal – jedoch erst einen Wert mal die Zeit – den ersten ein Vektorplus – versickert siebenmal die hoch zweiten eigen wird meine Zeit – und so weiter das kann es aber nachrechnen – Komma ?? gerade pro Berechnung dass das wirklich hinhaut – erster mit dem Anfangswert – wenn ich null Einsätze – gefallen heute wenn ich null Einsätze grimmig raus – K eins mal E hoch null V eins – also einmal V eins plus Card zweimal – einmal jedoch nur einmal V zwei – Punkt – zwei plus und so weiter und hier steht kein malige hoch – null einmal VN – in V ähm – das ist in der Tat – das X null – das heißt der Anfangswert stimmt wenn ich hier null Einsätze staatlich beim richtigen Wert und wenn ich die Ableitung bilden – möchte zeigen das diese – löst diese vermeintliche oder erhoffte Lösung soll seine erhoffte Lösung die Differentialgleichung – erfüllt wenn ich hier die Ableitungsbilder – kriege ich K eins mal – den ?? ableiten ?? eins kommt nach vorne – Pluscard – zweimal – Lander zweites – Lander zwei kommt nach vorn – ?? zwei plus und so weiter schreiben ?? zehn – aber was hier steht – was hier vorne steht – ist nichts anderes als – K eins – mal – nicht unseren ?? – oder mit der ?? Äußerung K eins mal E Hochland R eins T – A – V eins – hiervon steht – ?? eins Beistrich da dieser Faktor hier eh Hochland R eins die das ist eine Anzeige bleibt auch teils eine Zeit stehen – Lander eins V eins – glücklich in dem ich Bildermatrix – mal diesen Artikel in das soll er gerade Lander eins auf eins werden die Matrix auf diesen Eigenvektor angewendet soll das Lander eins fache werden – dieses hier wird – K zwei mal wie Hochlander – zwei T – Amal – V zwei – Lander zweimal vor zwei und so weiter – und zum Schluss steht der insgesamt das ist arm mal – Ka eins Seoblende – eins T – V eins – durch den wieder zusammen Pluscard – zweimal – Theo Klammer zu zwei – C – V zwei – plus und so weiter – gucken was da oben steht – für X von T das war mein – Mann versuchte Lösung – das ist exakt ähm das was hier steht das ist X von T – ?? tatsächlich eine Lösung – Differentialgleichung – zu diesem Anfangswert – X null – ?? kann zu Fuß nachrechnen wenn sie Null einsetzen – Krings aus dieser Lösung der oben – aus dieser Lösung den richtigen Anfangswert rauslassen – Vektor soll sogar sagen – wenn sie ableiten – kommt ganz kunstvoll – die Matrix – malten Vektorhaus – stimmt auch – an – das heißt – ich kann auch die allgemeine Lösung hinschreiben – werden erst spezielle Lösung – sieht irgend einen eigenen – Vektoreigenwert – und ?? haben ein paar aus Aigenweg einen Wert haben – sofort eine spezielle Lösung hinschreiben – von diesem Differenzial Gleichungssystem – wenn man – in verschiedene Eigenwerte hat – ist gesichert dass man tatsächlich jeden Vektor so zerlegen kann – ich habe in konstanten hier das passt sehr gut in Konstanz um einstellen – und die bleiben hier in der allgemeinen Lösung stehen dessen Weine in Konstanten zum Einstellen – und ?? kann man – diese Stabilitätsaussage – noch strenger fassen in dieser Situation – die übliche Situation in der ich in verschiedene Eigenwerte – habe – in der ?? muss dasselbe natürlich Geld nicht Diesel anders an – und frage mich okay wenn das hier die allgemeine – Lösung ist – die Zahn K muss ich richtig einstellen die Lander sind gegeben ?? IV sind gegeben Lander sind die Eigenwerte – V sind die Eigenvektoren – wann wird das was hier auf der rechten Seite steht – garantiert nicht explodieren – ?? nicht vergessen die Landes können komplexe Zahlen sein werden ist nach einer Praxis auch gerne sein – wenn hier – vorne beim ersten Lander Sommer steht wie drei plus vier I würde das heißen dieser erste Teil schwingt wegen des vier I – und explodiert wegen der drei – das es garantiert nichts was stabil ist für die ganzen anderen genauso sobald eines dieser Lander as – einen – positiven Realteil hat wird der entsprechende Anteil hier sobald das jeweilige K ungleich null ist aber das typischerweise der Fall sein bitte entsprechende Anteil wird in die Ohren fliegen – das heißt es darf keines dieser lang das – eine Alter größer als null haben kann es instabil werden – ?? Alltag – von allen Lander gleich null ist – ein Teil des immer noch heftig ausfiel ihren – ?? aber es könnt nicht mehr außer Rand und Band geraten uns trotzdem bisschen gefährlichen auf der Kante zu sein – am ?? wird folgendes aufschreiben – alle Lösungen klingen genau dann ab wenn – die Realteil – von allen Eigenwerten – kleiner ist als Null – und das gilt für alle Eigenwerte – wandern – lassen dürfen alles nur Zahlen sein wie minus drei plus sieben I minus achtzehn plus neun I – minus vier plus null I okay Hauptsache der Realteil ist negativ wenn ich hier – bei diesen Zahlen immer die Realteile negativ sind das exponentiell ab das klingt als potentieller Plastik exponentiell ab es kann nichts mehr – schief gehen sobald ein einziger Realteil positiv – ist – wird dieser Anteil – ins unendliche wachsen – das ist dann ein wesentliches – Kriterium für Stabilität – ?? guckt sich Eigenwerte an – und von den Eigenwerten die Wahl teil – und hat damit schon festgestellt ob dieses System auseinander fliegt – oder – entzaubert – die ganze Seite gesagt Komma guckt sich die Situation anders ist in verschiedene Eigenwerte gibt – das es wie gesagt die übliche Situation – ?? es können auch welche gleich sein und trotzdem passiert das hier – nun das ganze wird schwieriger zu analysieren – wenn mehrere gleich sind – hat man typischerweise – hier bisschen fiese Gedärme – das aber dieser allgemeinen Situation – immer – nur Ungleichheiten – Werte hat – zum Abschluss Komma so hat die Eigenwerte für das Federpendel angucken – was den oben aus der Matrix rauskommt – ?? – acht – die Matrix für das Federpendel – war war war war diese hier – heute nicht – am – null eins sich im Minus die minus – durch ähm – zwei ?? Matrix – null eins durch ähm minus – T – minus – durch ähm – unwillig wissen was die Eigenwerte – dieser Matrix sind – Lander ist ein Eigenwert dieser Matrix – genau dann wenn – mit welchen Kriterien kann ich das untersuchen ✂ als ihr zweimal zwei das geht nur mit diesem Kriterium die Determinante – von A Minuslander – eines Matrix muss Null sein – das schreibe ich in Landes Eigenwert davon – genau dann wenn null – die Determinante – ist von dieser Matrix Minuslander Einheitsmatrix – also – dieses Ministern eines Matrix null Ministern deines Matrix ist Lander – der bleibt stehen – der bleibt stehen und von denen kommt auch aus der einer Matrix dann noch minus roh im Minus und Minuslander – das ist aber Minuslander – Marianne Beistrich dass es meine Matrix A – und das ist jetzt ziemlich billig – einfach die Determinante ausrechnen – Hauptdiagonale – Nebendiagonale – bei zweimal zwei – Minuslander – mal – minus roh durch ähm das gibt also – wodurch ähm Mallander – minus andermal Ministern ergibt Plus Lander Quadrat – minus – Produkt auf der Nebendiagonalen – also – los die durch ähm – ähm – äußerlich an der nach vorne nehmen sie das hübsche aus Landerquadrat – plus Rot durch ähm – Lander plus – die durch ähm – eine ganz dumme quadratische Gleichung – das heißt Lander ist gleich minus roh durch zwei – ähm – plus minus – den Quartieren – Rock vertrat durch vier im Quadrat – minus die – ähm – damit habe ich die Landersdis – hoffe – sich noch an die Energie hatten wir vorher auch aus – auf eine ganz andere Art – als wir – Lösung gesucht haben – Herrn für das wieder Bände da aber noch in der Form X zwei Punkt plus und so weiter – und jetzt diese anderen Formen der algerischen – Form über das Lander plötzlich zu einem Eigenwert – ich mache eine ganz normale Eigenwertberechnung – ?? dieselben Zahlen aus wie vorher – haben die Hammer nun eine andere Bedeutung – die tauchen dann aber auch wieder in Serie Hochlander von der EU-Landerform – auf – ?? wieder finde – in – dieser – Form tauchen sie dann aber auch wieder auf die hoch zueinander was herausgekommen – ist – mal die Zeit mal ein – Aigenweg ?? dazu gehört