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16A.1 Jede (übliche) periodische Funktion lässt sich als Fourier-Reihe schreiben; Delta-Funktion


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – letzte Mal dieser Potenzreihen – werden das bei der E Funktion gesehen wie die hoch X ist gleich eins plus X plus X Quadrat – halbe – plus X hoch drei – sechsten – und so weiter bis ins unendliche – anfangen mit den Foyers ein – Mann versucht etwas ähnliches aber eben nicht mit Potenzen – sondern mit Sinus – und Kosinus – der Folie erfunden und zwar möchte ich mit folgendem anfangen – dann – mit einer Potenzreihe – und sie versuchen die mal – umzudeuten – folgende Potenzreihe – eins plus null Komma neun – mal die hoch I T – plus null Komma neun ins Quadrat – ?? E hoch zwei GT – plus und so weiter also hoch drei – drei C – uns plus – null Komma neun mal ?? minus – City – und null Komma neun Quadratmeter – minus zwei T – plus insoweit Artikel mir so Komma neun hoch drei – E hoch minus – drei ET und so weiter immer auf summiert bis ins unendliche – ?? das sieht einerseits schon nach Foyer aus mit ihm hoch ihm mal irgendwas – ich hoffe das jetzt – aber auch erkennen können dass da parallel was mit Potenzreihen – drin steckt versuchen Sie mal Potenzreihen – zu erkennen da drin und es auszurechnen – mithilfe von Potenzreihen ✂ was – hier oben zumindest schon mal gesehen haben ist das folgende steht hier steht – wenn ich den hier – mal rot ein Teste – da steht – das rote Kästchen hoch null Punkt eins raus plus – hoch eins verkommt der raus plus – hoch zwei da kommt er raus und so soll es ja weitergehen – alle Potenzen ab der nullten – von – dieser rot eingekreist Klingeltonzahl – auf summiert – und hier unten – analog – diese Zahl in all Potenzen auf summiert alle bloß dieses hoch eins Plus – dieses grüne Kästchen hoch zwei – plus und so weiter – und dafür haben wir jetzt eben – eine Potenzreihe – die Note Potenz und die erste Potenz und die zweite Potenz und so weiter – was eine Reihe ist das – genau – die gemischte Mixer eben nicht hingeschrieben wie hoch X ist die eine – super wichtige Reihe und die andere super wichtige Reihe ist die geometrische – eins durch eins minus X ist die Summe – aller – Potenzen wenn sie mit der null ?? anfangen Punkt drei plus und so weiter – das Ding geht aber nicht für alle X für welche Echse gilt dass diese Gleichheit das die geometrische Reihe sich zu einzig einzelne sechs hundert – ?? – also von minus eins bis plus ein – ?? mit dem Konvergenzradius – auch schon – diese drei hatten Konvergenzradius – von eins – ?? sinniert gerade nicht an den Grenzen – von plus minus Zeichen – die benutzen Sie mal – um zu sagen – was diese rote Summe ist und um zu sagen was diese grüne Summe ist – okay ?? sind gewisser gekommen am – Bier steht – an das dieses rote Kästchen innerhalb hoch null hoch eins und so weiter – dafür haben wir netterweise diese – Potenzreihe – eigentlich Flughafen – bisschen bin ich jetzt sofort rein schreibe – dass dies hier – einst durch eins minus null Komma neun – E hoch niemals Tee ist – ein – bisschen geflogen hat das es nicht ganz was da oben steht – pro Flug – genau geschieht dann komplexe Zahlen jedoch niemals T Kosinus groß I mal Sinus die rechtlich mit komplexen Zahlen – netterweise gilt dasselbe also dieses hier gilt auch für komplexe Zahlen – Leerschritt erzählten Konvergenzradius – der Konvergenzradius – geht dann eben auch in komplexen ich kann um die Länge eins – rausgehen – aus der Stelle welchen Wechsel in jede Richtung also das hier gilt auch für komplexe Zahlen mit Betrag kleiner eins und diese konvexe Zeit hier hat ein Betrag kleiner eins – null Komma neun mal die Länge eins – das kann tatsächlich rechnen – so und hier unten – in dem die Formel eins Rennen – schreibe ich einfach noch Null dazu und ich ziehe auch nur wieder ab – und stimmt alles der erste Teil – wird dann sein ?? eins – durch – eins minus null Komma neun ?? minus – ET bitte unten stehenden da steht ja – die Note Potenz jetzt von diesem Ausdruck die erste die zweite alle auf summiert – wird das werden – dieses Ding ist einfach eins – bekriegen also insgesamt – komische Summe – eins minus null Komma neun unten Kehrwert – E hoch I C – plus – eins durch eins minus null Komma neun – minus eins – sind was sie oben – ziemlich kompliziert angefangen hat und schon nach Erfolg die Reihe ausgesehen hat mit ?? Punkt IT – Potenzen davon – wird plötzlich – sehr schlicht endlich – Preise man – eine ähnliche Summe – fassen sie die mal zusammen – die ersten beiden auf einen Hauptnenner bringen und dann ziehen sie noch eins ab – dann müsste das ganze ziemlich handlich werden – und dann haben wir – eine – sehr interessante Funktion – eine Foyerreihe – umgewandelt – dieser Schritt ist eher banal – ?? Hauptmänner bilden – Produkt der beiden Männer eins – Komma neun ?? Punkt IT – eins minus null Komma neun ?? minus Item – den ersten – auf den Hauptnenner bringen also den erst mit dem erweitern – eins minus null Komma neun – E hoch minus GT – steht dabei dem ersten Plus den erweitern – mit dem – Nenner – entsteht da eins minus null Komma – hochlustige – Idee – und jetzt kommt – die Orders Identität – sie schreiben eh hoch IC – mit Kursen Sinus – Unternehmen sicher ganz viel weg und dann lohnt es sich allmählich auch die minus eins mit oben auf den Bruch zu nehmen – wird es erst noch mit dem E hochsoundsoviel – Weiterrechnen – noch nicht – direkt die Eule einsetzen das ?? insofern wahrscheinlich gerade unsinnig erzählt – ähm – eins – den Einfluss einzelner zwei werden toll – ähm null Komma neun – E hoch minus GT abziehen da und hier noch mal null Komma neun – E hoch IC abziehen – muss eins Komma da noch unten einmal eins – null Komma neun ihre Idee mal eins – sieben – eins – minus hier einmal – null Komma neun ähm – Komma – nie Produkt von den beiden – minus mal minus plus – null Komma neun neun Komma neun bis null Komma acht eins – E hoch I Thema – hoch minus GT – Denkmal sein Kehrwert oder die Exponenten addieren ist eins verwendet einfach – ganz schlicht null Komma acht eins – ohne alles weitere – Thema – minus – null acht eins – war – und – jetzt kommt der Euler – sicherheitshalber – auf Gemahls – Realzeit – Imaginärteil – die Hochbifi – ist die komplexe Zahl mit der Länge eins und dem Winkel fiel – das heißt hier habe ich den Kosinus – an Kathete – und hier habe ich den – Sinus – gegen Kathete Eoevi – ist Kosinus groß I mal Sinus nicht anders – an – ihr steht also zwei minus – null Komma neun – jetzt das E hoch IC – ist Kosinus – minus zehntes großes T – Kosinus macht nichts mit dem minus T – ähm – und minus die mal Sinus T – eigentlich niemals Sinus minus zehn – Points im Sinus negativen Winkel haben Bundesminister vorne holen – wir das letzte weiter – minus null Komma neun mal – für E I T Kosinus T – plus Sinus dem – Wassergraben auf dem Bruchstrich – jammern und bestehen eins Komma acht eins – und – null Komma neun mal – Kosinus – plus Sinus – mehr zu schreiben als man sich das so vorstellt – und hier – null Komma neun mal Kosinus – minus I Sinus – Komma streichen endlich – minus – minus – niemals Sinus – minus plus I mal Sinus das haben schon gesehen ähm war das Licht aus und unten – minus niemals Sinus minus – minus immer sehr sachlich daraus – die Rechenarbeit sehr – oben bleibt – zwei minus – großes R jetzt zweimal – also minus eins Komma acht mal Kosinus – ähm und unten bleibt – eins Komma acht eins – den Kosinus T – null Komma normal abgezogen und noch mal null Komma neun mal abgezogen also auch minus eins Komma acht – Kosinus von T – zu retten war das – ?? – das fassen sie nur meine zusammen die minus eins der reinen Telefonnummer zu skizzieren wie sieht das aus wie sie diese Funktion aus – wenn sie verschiedene Teewerte – einsetzen – so wir bleiben beim elementaren Bruchrechnen hier alles noch auf einen Nenner eins Komma acht eins – eins acht kosinusups – Kosinus – zwei minus eins acht – Kosinus – minus – ich ziehe den nach vorne ab eins Komma eins – ich ziehe minus – das hinten ab plus also – plus eins Komma acht – Kosinus – netterweise – sieht jetzt oben auch noch der Kosinus raus – und es bleibt hatten die meisten ja auch – ähm – null Komma eins neun – Komma eins neun zwei minus eins Komma acht eins durch – und bleib stehen eins Komma acht eins minus eins Komma acht bei den wow – das war langer Weg bis in den ?? zwischen Ausdrucken gestartet und sind jetzt bei einer ziemlich – handlichen Formel – was wissen Sie alles über diese Funktion ✂ das man hatte zuerst diese Funktion ist periodisch zwei die periodisch weil der Kosinus periodisch ist wenn sie mit T drei hundert sechzig Grad zwei Pi weitergehen Krisen selben Wert daraus eine periodische Funktion – negative T null Einsätze – auf die meisten gesehen mithilfe T null Einsätzen – fing seinen mörderischen Wert – entsteht dann null Komma eins neun durch – eins Komma acht eins – minus eins Komma acht Kosinus mit – eins – Komma eins ?? – als Nummer eins minus eins Komma acht ?? – macht – Punkt macht null Komma eins neun durch – null Komma null eins will sagen neunzehn – ?? überraschend ist das Doppelte zum Teil rauskommt – wenn sie andere Zahlen für das T einsetzen – stellen sie fest der Kosinus – gerät – allmählich in die Größenordnung – von null und minus eins sie werden zum Schluss ja sogar was addieren – versteht er nachher null Komma eins neun – durch eine Zahl in der Größenordnung von eins – das heißt für andere Tee – bitte Werte ziemlich klein sein null Komma eins neun kleine Zahl durch etwas in der Größenordnung von eins – widersetzt sich großartig – Wert für Wertflotten – nur von der Idee her soll jetzt also klar sein wie das aussieht – eine zweiperiodische – Funktion – die – wird eh gleich Null sehr groß ist ?? dazwischen abfällt – sehr flach wird – noch mehr diverse Male aber vom Prinzip her und dann wieder rauf geht und wieder abfällt – und so weiter – und so weiter so wird sie aus den ?? schön symmetrisch – sich die Mühe – sowie die Subvention aussehen – am – was wäre passiert – was wäre passiert wenn hier nicht null Komma neun gestanden hätte sondern null Komma neun neun null Komma neun neun ?? vorne statt null Komma neun – Komma neun neun was würden sie erwarten – was die Funktion dann tut ✂ denke selbst wenn man mich jetzt im einzelnen nachrechnen ist nicht ganz unlogisch wenn der null Komma neun gestanden – eine der ersten Komma neuen stetigen war das immer null Komma neun neun reinsetzen – werden wir wohl – einen Verlauf kriegen der das ganze noch bisschen weiter treibt – hier ganz fürchterlich explodiert – und hier noch mehr auf der Achse sitzt das wird ?? werden bei null Komma neun neun – Fußnote – wenn man das weitertreibt – nennt sich das ganze die periodische – Direktfunktion – korrekterweise periodische – Distribution – die sie dann also aus die Funktion ist die ganze Zeit null – Nummern der Stelle null ist sie quasi unendlich und an der Stelle zwei Pi ist sie quasi unendlich benannte Stelle vier Pi ist die quasi unendlich – am – Fuß wurde die Kontinent wieder mal vor die periodische – Funktion älter als die gerne dann mal – verziert um zu sagen dass die periodisch ist – er interessiert mich in dieser Vorlesung nicht weiter – als eine sehr eigenwillige Funktion haben wir gerade zerlegt – was hat das denn jetzt mit fungieren zu tun – diesen Ausdruck am jetzt irgendwie ausgewertet – und eine periodische Funktion generiert – die hierdurch dargestellt – wird – was hat das mit Foyer rein zu tun welche Foyerreihe habe ich gerade ausgerechnet – dann muss ich noch was zu Herrn Foyer sagen anscheinend – die Foyerreisende – üblicherweise so aus – ich summierte – über alle ganzen Zahlen – des Rundschreiben Gleichnissen endlich ist er nicht gemeint dass ich wirklich mit Minuten endlich anfangen das offene Wissen Gepflogenheit hier gemeint ist – ?? beliebig negativ – beliebig positiv nicht das unendliche tatsächlich einschließen – aber – alle bis dahin sozusagen – über alle ganzen Zahlen summieren – sie ähm – die komplexen Foyerkoeffizienten – mal die hoch – ihn mal einmal T – das wäre die Foyerreihe für zwei Pi periodische Funktionen wenn sie hier mit der – der Zeit T – und zwei Pi dreiundsechzig Grad weitergehend – steht ein ganzzahliges Vielfaches von ihren drei hundert sechzig Grad zwei Pi E hoch das kommt wieder das selbe raus dass es eine zwei die periodische Funktion – und jede – sinnvolle – nein Fragezeichen zwei Videofunktion – lässt sich so umschreiben – Beistrich einen alten Videos vorgeführt – die Frage ist – was hat das jetzt miteinander zu tun werden diese Summen jetzt uminterpretiert – als zwei Potenzreihen – um aber die roten Summen einmalig Unsummen an – kommt noch Interpretation – diese Summe als Fourierreihe – was sind diese CN – in dieser Reihe – das Programm selber – okay das haben jetzt – an einigen ?? gesehen hier komplett sich der Betrag vor das ist der Trick wenn sie hier schreiben für das CN – null Komma neun Hochbetrag – ähm – immer wieder dasselbe eine zweite Interpretation – für das was eben zwei Potenz reinfahren – und Zweitinterpretation – jetzt als eine einzige Foyerreihe – wenn N gleich null ist – es der mitarbeitenden – gleich null ist – null Komma neun hoch null macht eins Mali hoch null das Telefon – wenn gleich eins ist null Komma neun hoch eins Malibu GT – das ist der wenn in gleich zwei S null Komma neun Punkt zweimal ihre zweite – das ist der und so weiter – wenn ?? gleich minus eins ist negativen ?? auch dabei – in gleich minus eins ist null Komma neun hoch – eins – weil ich auch minus Idee dabei ihn endlich minus zwei ist ?? Komma neun hoch – zwei – malige hoch minus zweite – das jetzt werden also auf diese Weise ist das ganze auch eine – Foyerreihe – damit ganz nebenbei gesehen wenn sie die Foyerkoeffizienten – so wählen – CN hast mir dann die komplexen Foyerkoeffizienten – mit die so wählen – kriegen seine Funktion aus – die auf diese Weise verrückt spielt die immer an – Null – und an einem vielfachen von zwei Pi ganzzahligen vielfachen von zwei Pi – ausgerastet – und ansonsten praktisch null ist – und wenn sie dann nicht nur Komma neun – reinschreiben sondern null Komma neun neun bis noch schlimmer Semikolon ein hundert neun ein Schreiben – wird noch viel schlimmer werden – am – was ist – mit dessen besserem Spiel mit dieser Funktion – was ist wenn ich nicht diese Funktion so haben will wie wir sie da hatten sie was ist wenn ich diese Funktion – sagen wir um – null Komma fünf verschoben haben wird null Komma fünf Radiant – ähm zwei Pi sind wir bei sechs Komma noch was sie sind wir bei drei – eins Komma fünf sowie verschoben – selbe Form – aber um null Komma fünf – verschoben – denen wegnehmen – so – das keine Nullstelle sondern nur sehr klein – so eine Fusion möchte ich mal bauen wie kriegen Sie die – aus der Funktion gebaut die Wetter gerade hatten – so – wie kriegen Sie diese Funktion gebaut – um null Komma fünf verschoben – aus dieser Funktion – was heißt das dann zum Schluss für diese – komplexen Foyerkoeffizienten – was nützliche vorne vorschreiben – und das ganze um null Komma fünf zur Seite zu schieben – als erste Frage was heißt eigentlich eine Funktion um null Komma fünf zur Seite zu schieben nach rechts zu schieben was müssen Sie hier tun und wie können Sie das dann wieder auseinandernehmen – und das Ganze in die CN reinkriegen – wenn ich das also verschieben will null Komma fünf – Punkte – Komma fünf – in die Richtung nach rechts verschieben – schreiben Sie hier T minus null Komma fünf – locker fünf Einsätzen Krisenwert raus der Vorwahl null rausgekommen ist – das Ding ist also null Komma fünf nach rechts verschoben – und ich kann es schnell wieder in die Form einer Foyerreihe – bringen – in dem ich darum die null Komma fünf – rausholen – ?? mich gerade ob ich oben noch Platz schaffe oder nicht – dann – weiter unten – also ich habe folgendes – da stand null Komma neun Hochbetrag – in – mal die hoch INT – Arbeit T minus null Komma fünf um es zu verschieben – verschoben funktionshängenden – Differenzen Exponenten Immobilienthema – wie hoch minus – null Komma – ähm – und den Versicherter mit dem davon zusammen sollte korrekt schreiben von minus Beistrich Uppsala bis plus unendlich – bleibt die Summe von minus unendlich bis plus unendlich – ähm null Komma neun Hochbetrag – in den etwa vorne Jochen minus null Komma fünf – I – N – mal E hoch INT – zu sehen ?? dass es meine neuen Foyerkoeffizienten – wenn ich – Funktion habe – in Foyerkoeffizienten – dann kann ich relativ schnell ausrechnen was passiert wenn diese Funktion – zur Seite schiebe – das ?? mit jeder Funktion machen sollte ?? diese hier vorgeführt – das sie wenn jetzt die komplexen Foyerkoeffizienten – der – verschobenen Funktion – der verschobenen Funktionsfunktion – arbeite ich das überhaupt – war es jetzt – was sie daran sehen dass man eine ganz bestimmte Klasse an Funktionen – relativ schnell bauen können mit der Foyerreihe – ich kriege Funktionen – die alle zwei Pi – total ausrasten – und dann zwischendurch wieder praktisch Null werden – die periodisch eben ausgerastet – dann wieder nur – und der so und wieder null – diese Funktion kriege ich relativ billig mit der Foyerreihe – ich kann die auch verschieben – müssen sie gerade gesehen ich kann die verschieben kein Problem wohin ich will – und jetzt kommt der große Kunstgriff – weil ich diese Funktion bilden kann mit der Foyerreihe – kann ich alle – vernünftigen zumindest alle vernünftigen Funktionen bilden – warum – schmeißt man irgend eine vernünftig und vernünftig aussehende Funktionen – am – periodische sein – irgend eine Funktion ?? Geschosse seinem sachskost – Überwindung – sowas – das aus dem Handgelenk ist nicht so – sie an mal – so eine periodische Funktion – irgend eine periodische Funktion die jetzt – mathematischen – gewissen Sinne – halbwegs gebändigt ist – wenn ich diese Funktionen alle hinkriegen kann – indem ich wie hoch die Tee – hinreichend komplex miteinander verwurzelte wenn ich die alle hinkriegen kann als Foyer rein warum kriege ich dann auch diese Funktion – was ist der Trick – ?? die schwarze werden können die Route bilden können ?? bleiben natürlich addieren – besagen schlicht und ergreifend die Foyerkoeffizienten – addieren eine zwei Foyer rein haben – die eine mit CN – Developer und andere mit DIN – weiter – und sie addieren die Stiche einfach die Summe – ?? ausklammern entsteht hier die Summe der Koeffizienten – besagen wenn ich – die schwarze bilden kann und die Boote bilden kann ?? auch die blaue bilden – das einfach damit der Summe der Koeffizienten – am – geht dann plötzlich auch so eine Funktion – grundlegender – Gedanke in der Mathematik ich hoffe wenn sie einmal gesehen haben – es in der gar nicht mehr vergessen können – ich nehme folgende Funktion – definiert die Grünen gucken ob ich noch Farben habe dann nämlich hier diese hier diese Orange – sollte noch periodische – Orange genehmigt – und dann nehme ich mir noch eine Zwirnfarbe – nur – den Richter und Pfarreien – zu handhaben – nur noch näher – bringt der Schönling war da so rein – und so weiter – sie an was ich mache ?? ich bilde meine – Funktion – die gegeben ist will ich nach – mit – diesem – ähm mit diesem kam er sozusagen mit diesen hohen und steilen Funktionen kann ich jede gegebene Funktion nachbilden – ?? ich addiere die Grüne die Orange Indizien Farben und die – wieder Farben und so weiter hier für den Rest auch noch und habe meine vorgegebene – schwarze Funktion nachgebildet – wenn ich jetzt aber – die grüne – bilden kann Männer Foyerreihe und ihre ?? und so weiter soweit addiere ich einfach alles zusammen und habe schwarze Gebilde das ist der Gedanke – das heißt man hat auf diese Weise – nicht mathematisch streng gezeigt aber zumindest – für – Physiker und Ingenieure hinreichend plausibel gezeigt dass sich jede vernünftige Funktion zu bilden ist jede vernünftige Funktion muss sich in eine Foyerreihe zerlegen lassen egal wie wild sie aussieht – im Sinne der Ingenieure und der Physiker die Mathematiker kennen Funktion bei dem es dann – Probleme gibt's – aber das was sie im wahren Leben als Meßsignal haben können Sie auf jeden Fall zerlegen egal – was seine Form das im Detail hat weil sie diese ganzen – Funktionen – so passend zusammen zu können – das ?? noch was zur Vollständigkeit – des Ganzen – kann wirklich jede vernünftige Funktion auf diese Weise – zwei Pi periodische – Hilfe nötige zwei Pi periodische Funktion auf diese Weise schreiben – können – wenn sie auf Wikipedia und so weiter gucken stellen Sie fest das kann man noch bisschen feiner treiben was heißt vernünftig – in der Mathematik muss es ja – immer ordentlich aufgeschrieben sein für unsere Zwecke reicht das jeder – handelsübliche Funktion lässt sich auf jeden Fall so zerlegen – ja sie haben mich erwischt ?? man muss ja den Kreuzungspunkten aufpassen hier der Mitte summieren ich ja von der Grünen und von der orangenen – ?? muss aufpassen dass diese Summe nicht plötzlich größer wird als was ich vorhabe – der Trick wird sein das diese grüne und die Orange den richtigen Abstand haben müssen ich muss die so legen dass sie sich nicht überlappen – will das er zu heftig dafür auch nicht so liegen das die einzelnen liegen – muss den richtigen Abstand wählen – Komma dann kann darauf verwenden – das richtig einzustellen – das kann man offensichtlich richtig einstellen aber das ist mir dann Probleme haben sie recht das müsste man streng genommen sich also genau überlegen