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04C.4 Rang, Spaltenraum (Bild), Defekt, Kern einer Matrix an Beispielen

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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diese – Matrix kommen sie sich an eins – null zwei – eins zwei – null – vier – zwei – drei eins sechs – vier – und meine Frage ist was sind Rang – und Defekt dieser Matrix – und was bedeutet das für lineare Gleichungssysteme – in den dass die Koeffizientenmatrix – ist – defekt – Roms – was bedeutet das – man ersetze hier – das – für Gleichungssysteme – wie solche Schreiben LG Essen Jahr gleichen Systeme für lineare Gleichungssysteme – mit dieser Koeffizientenmatrix ✂ der Rank sagt offiziell – erst mal – nicht groß in Anführungszeichen – groß die Menge an Vektoren ist die rauskommt wenn ich diese Matrix mit irgend einem Vierervektor – multiplizieren – das es sicher leichter formulieren noch aber das ist erst mal der Gedanke sie nehmen diese drei mal vier Matrix modifizieren – die mit einem beliebigen Vierervektor – X Y Z U zum Beispiel – und gucken was rauskommen kann – sind die Sachen die daraus kommen alle auf einer geraden sind die alle in einer Ebene alle in einem dreidimensionalen – Gebilde – füllen wir den ganzen R vier ist es nur ein einziger Punkt der Ursprung – das sagt was der Rank ist erst mal offiziell – kann noch andere Vorstellungen entwickeln aber das es erstmals offiziell – der viertes wenn Sie das ausrechnen – einmal Xbox nun mal Y plus zweimal ZS einmal und so weiter – dann haben sie eigentlich gerechnet X mal die erste Spalte – plus Y mal die zweite Spalte – groß Z mal die – dritte Spalte zwei vier sechs – plus U mal die vierte Spalte um – eine richtige Reihenfolge plus zwo mal die vierte Spalte eins zwei vier – wenn ich jetzt gucke welchen – welche Menge an Lektoren kann ich so bauen – setze hier irgendwelche sind ein welche Menge an Anekdoten kann ich so bauen – dann sehen Sie – des der hier – egal ist – sie nehmen den Weg zu eins zwei drei D wird irgendwie im Raum zeigen – davon vielfache – sie nehmen den Weg zur null null eins der wird irgendwie im Raum zeigen davon vielfache – zusammen addiert wir sehen sie von denen hier – das doppelte und davon vielfache von dem mir das doppelt und davon Vielfaches bringt nichts – kriegen nichts neuestes könnte Vergessen – trennen sie den hier dieser Vektor ist die Summe des ersten des zweiten – dieser hier die Summe des ersten des zweiten – davon addieren den vierfache dazu das gibt ihnen auch keine neuen Vektoren gibt Ihnen keine neuen Richtungen in ihr können Sie auch vergessen sie komme zwei Vektoren aus alles was aus dieser Matrix rauskommt lässt sich als Vielfaches von ein zwei drei hundert Vielfaches von null null eins werden – die beiden hier die können sie nicht durcheinander ausdrücken was sie rauskriegen ist eine Ebene was sie rauskriegen ist zweidimensional – der Rank ist – zwei – das sagt der rein was ist die Dimension des Bildes der Menge an Vektoren die rauskommen – das kann man so auffassen dann jetzt die Kurzfassung – der Rank ist wie Vierling ja unabhängige Spalten können Sie finden – die beiden hier sind in der unabhängig wird noch einen mehr dazu nehmen – an sie verloren sie kriegen bei dieser Matrix maximal zwei – linearunabhängige – Spalten – zwei Spalten die sie nicht miteinander ausdrücken können so weit in die dritte dazu nehmen haben sie verloren – so kann man den Rang auffassen der heißt dann gerne – spalten Rank wie vielen Jahrhunderten gespalten gibt es – netterweise – ist die Mathematik – an der Stelle ganz komisch der Zeilen Rang wenn sie gucken wie viele Zeilen – linear unabhängig sind ist gleich dem Spalten rang sie können auch gucken wie viel Zeit mir unabhängig sind hatte ich nie vorgeführt ?? müsste einmal dann über den Defekt und mit senkrecht und so weiter hin will ich es auch gar nicht vorführen – wenn sie gucken – wie viele Teilnehmer – in ihrer unabhängig sind kriegen sie auch zwei raus – aber erst mal kommt das ganze von den Spalten her wie groß ist Dimension des Bildes da kommt ein der Begriff des Transfer – oder der Spalten rauf – offiziell müsse das Bild einen Spaltenraum – benennen – damit den Rang – defekt – was geht verloren – wie groß ist die Menge an Vektoren – die zu Null gemacht werden – wie viele – in Anführungszeichen – viele Vektoren ?? klein Z U kann ich finden – die zu Null gemacht werden wie viele Dimensionen – hat die Menge an Vektoren die zum ?? gemacht werden ?? der unendlich viele – Fabriken immerhin die Dimension angeben und das auch schon wieder zwei – weil die Summe aus diesen beiden hier die Zahl der Spalten sein Muss ich geh mit vier Dimensionen ein – zwei Überleben im Bild – dann sind zwei Defekt verloren gegangen die Summe von diesen beiden muss die Zahl der Spalten sein – des bis sofort klar dass der Defekt zwei ist – so was bedeutet das jetzt für ein lineares Gleichungssystem dieser Koeffizientenmatrix – ist gerade klar geworden dass das mit der Koeffizientenmatrix – Donner mal angucken müssen Koeffizientenmatrix – heißt – das was als wohl effizienter steht ein X plus null Y – plus zwei Z plus ein U ist gleich – irgendwas – zwei X plus – null Y – plus vier Z plus zwei – PREISE rauskriegen – ist gleich – leicht was anderes und drei X plus ein Y plus sechs Z plus vier ist gleich vielleicht noch was anderes – das wäre ein Gleichungssystem – mit dieser Koeffizientenmatrix – ein zwei vier steht nicht auf der rechten Seite – auf der rechten Seite steht die Inhomogenitäten – was in der Matrix steht – sind die Koeffizienten – jetzt – an sie folgende Schul auch anders gesehen – dass man die rechte Seite mit in die Matrix einnimmt kann man auch habe ich so nie vorgeführt erst mal ist das hier eine Koeffizientenmatrix – alles andere sind Rechentricks – ist es erst mal eine Koeffizientenmatrixkoeffizienten – die Zahlen vor den Unbekannten sind die Koeffizienten – ein zwei vier müssen mit einer Unbekannten stehen – und jetzt kann ich mit Rang und Defekt etwas über Gleichungssysteme – von dieser Art sagen – das überlegen Sie vielleicht tatsächlich alle Mal – untereinander – der Rank dieser Matrix ist zwei der defekt ist zwei bis müssen sie jetzt über ein Jahr gleichen Systeme von dieser Art ✂ der Rank sagt die Dimension des – Bildes – ist bei dieser Matrix zwei – alle Vektoren die sie so schreiben können – alle Vektoren die sie so schreiben können bilden eine Ebene etwas zweidimensional – ist das sagt der Rank – was hat – das miteinander zu tun alle Vektoren die sie so schreiben können was hat das mit diesem Gleichungssystem – zu tun ✂ als ein bisschen verborgen was sie auf der linken Seite steht – eigentlich ganz absurd was sie auf der linken Seite steht es genau das – wenn sie diese Matrix mal den Vektorrechnung kriegen sehr genau das raus ein Dreiervektor bei dem oben steht eine Explosion Y und so weiter eine Explosion Y plus zwei Z plus ein und so weiter – diese Matrix mal den Vektor ist genau der Vektor der hier auf der linken Seite steht – und wir wissen jetzt – die Menge an Vektoren herauskommen – kann Spaltenraum – bildet die Menge an Vektoren die herauskommen kann bildet eine Ebene – was weiß ich jetzt im allgemeinen – abstrakt über dieses Gleichungssystem – der unten – Stichwort Lustbarkeit – Stichwort Existenz – Eindeutigkeit – von Lösungen ✂ ich weiß was hieraus kann man kann aus der linken Seite als Dreiervektor – liegt auf einer Ebene nämlich der Ebene die durch den Ursprung und durch diese beiden Vektoren hier läuft – was sie rauskommen kann ist ein zweidimensional – Gebilde – wenn sie jetzt irgend eine – in Homogenität – auf die rechte Seite setzen – die nicht nicht auf dieser Ebene – dann heißt dass die kann ich rauskommen – was hier auf der rechten Seite steht muss auf dieser Ebene liegen muss im Bild liegen – sonst gibt es keine Lösung sonst komme ich mit der linken Seite – nicht auf diese Inhomogenitäten – das ist dass sich das gegenseitig bedingt – des gleichen Systems genau dann lösbar – wenn auf der rechten Seite was steht was im Bild liegt – denn alles was sinnbildlich – kommt raus – und was nicht dem Picknickkorb nicht raus das heißt hier auf der rechten Seite – da muss er verstehen was auf einer bestimmten Ebene liegt – das ist das Ding nicht lösbar – das sagt der Rankrank es gleich zwei – das heißt – hier muss etwas stehen – oder Landes sollte um sagen ?? gleich zwei daraus – folgt das Lineal Gleichungssystem – äh genau dann lösbar – war – es gibt eine Lösung – sagen ich hab's eine Lösung gibt aber genau dann lösbar es gibt mindestens eine Lösung – wenn – hier – ein Vektor einer bestimmten Ebene aus einer bestimmten Ebene aus einer bestimmten Ebene – dem Bild nämlich ich weiß das das Bild zweidimensional – ist – es geht nicht jeder Vektor – Denver daraus – ja mehr wenn sie alle neben den R drei nicht eine bestimmte Ebene seinen gesamten R drei es geht nicht jeder Vektor – SG nur Vektoren aus einer bestimmten Ebene und sie können sogar sagen welcher Ebene – X mal eins zwei drei plus im Sommer null null eins alle diese Vektoren aus dieser Ebene die dürfen auf der rechten Seite stehen – wenn der andere stehen das Ding nicht lösbar – der Rank sagt was zur Lustbarkeit – der Rank ist nicht drei – in der drei wäre – gäbe ganz Chemicals R drei raus – wäre immer lösbar in diesem Fall – mit drei Gleichungen der Rank S zwei das heiß ist es typischerweise nicht lösbar – wussten sie sowieso wegen – unter bestimmt – vier unbekannte drei Gleichungen ist unter bestimmten – Allee geht um die Existenz – ich muss vorsichtig sein mit der rechten Seite direkt auf der rechten Seite der Mushand gewählt sein – auf einer bestimmten Ebene – etwas weniger ist hier machen so auf einer bestimmten Ebene Hand gesucht aus der Vektorseite – in der Rank eins wäre – im Raum endlich das im Raum eine gerade am Rande müssen sie noch vorsichtiger sein mit der rechten Seite – in der Rank null ist – aber treffend den Ursprung sie müssten hier den Ursprung stehen haben – das Bild nicht lösbar – ?? wann geht's um Lustbarkeit – was die Existenz angeht gibt es eine Lösung existiert eine Lösung – jetzt der Kern – äußerte von defekt Reden der defekt ist für Dimension der Kerne der defekt – ist zwei – was sagt uns das ?? ✂ der Rank hat mit der Existenz zu tun gibt es überhaupt eine Lösung der Defekt hat mit der Eindeutigkeit – zu tun Lustbarkeit in der Mathematik hat immer diese beiden Aspekte gibt es eine Lösung – und wenn ja ist sie eindeutig der Defekt hat mit der Eindeutigkeit – zu tun Defekt zwei zwei dimensional – zweidimensional – wenn sich an die alten Geschichten erinnern wenn Sie eine Lösung haben – wenn ?? bemerkt wenn Sie eine Lösung haben heißt das können Sie zu dieser Lösung – Vektoren – aus einer Ebene dazu addieren diese Unbestimmtheit – ist in einer Ebene wenn Sie eine Lösung haben – können Sie eine ganze Ebene gleich angeben – die ebenfalls eine Lösung ist und nur die Ebene nicht mehr als die Ebene kein Volumen – wenn der Defekt eins ist heißt das mit jeder Lösung kriegen Sie eine komplette gerade die auch wieder eine Lösung ist wenn der Defekt null ist heißt das – die Lösung sind alleine es ist eindeutig – Defekt nun heißt es eindeutig lösbar – wenn es Lösung gibt dann nur eine einzige Defekt eins heißt mit jeder Lösung gibt's das ganze gerade dazu Defekt zwei heißt – mit jeder Lösung gibt gleich eine komplette Ebene dazu das ist jeder Fall – also – zu jeder Lösung wenn es warb eine Lösung gibt sehen gefährlich – zu jeder Lösung – ähm – existiert eine ganze Ebene habe ich meine komplette Ebene existiert – eine komplette Ebene an Lösungen – der Defekt sagt Ihnen wie – unbestimmt – die Lösungen sind – und hier sind sie ebenso bestimmt dass sie mit jeder Lösung auch zwei – Variablen über habe – ?? Komma wo das hergekommen ist beim Defekt guck ich mir an – wie groß ist die Menge der Vektoren viele Dimensionen hat sie die Menge der Vektoren die zu Null werden wie muss der Kerne für Dimension genauer gesagt hätte Kerne essen endlich groß aber ich kann Dimension zählt – der Kern ?? hat zwei Dimensionen – sie haben eine Ebene die zu null null null wird zum Nullvektor wird wenn Sie ein Vektor aus dem Kern haben – können Sie den zu einer Lösung addieren – diese nämlich bla plus null Platos nur bla plus null – das ist der Trick der Kern – beschreibt – diese Ebene – in welche Richtung kann ich aus jeder ✂ Lösung aus – der Kern ist hier zweidimensional – Defekt zwei das heiße Kernel zweitem – es ist eigentlich total banal wenn man es einmal so halbwegs verstanden hat – bei der Existenz – von Lösungen – geht es um das Bild die rechte Seite des gleichen Systems mussten Bild sein – und ich kann die Größe des Bilds messen mit dem Rang wie viele Dimensionen hat das Bild – bei der Eindeutigkeit – von Lösungen – geht's nicht um das Bild sondern um den Kern – welche Vektoren was ist die Menge an Vektoren die zu Null gemacht werden – und die Maßzahl dafür wie viele Dimensionen hat der Kern ist der Defekt – wenn der Rank gleich der Zeilenzahl – ist sie haben zum Beispiel eine drei – mal vier Matrix – mit Rang drei – wenn der Rand leichte Zeilenzahl – ist in meiner drei mal vier Matrix müssen sie es konnte R drei raus was dreidimensional – der gesamte R drei – es kommt alles raus wenn der Rank gleich der Zeilenzahl – ist – weiß ich das Ding ist immer – lösbar ist es existiert immer eine Lösung – wenn der Rang gleich der Zeilenzahl – ist – dann weiß ich es gibt immer eine Lösung – immer lösbar – egal was auf der rechten Seite steht es kommt alles raus was rauskommen kann – einem Defekt – habe ich eben schon gezeigt – wenn ?? Defekt eins des Herrn Simon komplette gerade mit jeder Lösung in der Defekt zwei Sams immer eine komplette Ebene mit jeder Lösung in der Defekt null ist – ist die Lösung alleine das ist das Wasser typischerweise haben wir Wände die Wände Defekt null ist dann weiß ich immer – genau eine Lösung – und nicht mehr eindeutig lösbar Beistrich schreiben das er nicht eindeutig lösbar – wenn überhaupt lösbar – Beistrich passierte sie keine Lösung haben – ?? aber wenn sie eine haben dann ist die eindeutig ✂ das sagt Ihnen der Defekt – zwei Spezialfälle – wenn der Rank null ist – wenn der Rank null ist – dann wissen Sie das was aus der Matrix rauskommt Spaltenraum – oder es was inoffiziell bezeichnet das Bild dann wissen Sie das Bild ist null dimensional – es kommt ein Punkt draußen das kann offensichtlich nur der Ursprung seiner Nullvektor genauer gesagt sein wenn aus der Matrix – nur der Nullvektor rauskommt ✂ was wissen Sie über die Matrix – genau dann wissen Sie hier können nur Nullen drin stehen wenn irgendwo – keine Null drin stünde dann würden sie ja ein Vektor finden – so das nicht nur rauskommt in der Matrix können dann nur Nullen drin stehen – die muss nicht quadratisch sein aber sie wissen es können nur Nullen entsteht und das heißt das einzige was auf der rechten Seite stehen kann ?? null null null null null das einzige was auf der rechten Seite stehen kann damit das gleiche System lösbar ist – ist der Nullvektor – was weiß ich wenn ?? gleich null ist das ein extremer Spezialfall dann habe ich die – Nullmatrix – oder ?? ja nicht die Nullmatrix – welches wie viele nur Matrizen das ist ?? zweimal zwei null – Matrix und das hier ist nur zwei mal drei Nullmatrix – es gibt unendlich viele Nullmatrix – für die ist der Rank null – und das kann ich auch nur schön Defekt gleich drei – mit einer drei mal vier Matrix die Schwanz immerhin eine drei mal vier Matrix – die den Defekt drei hat möglichst simpel natürlich das man sofort sehen kann dass sie den Defekt dreier ✂ ?? bisschen Gefühl dafür zu kriegen – so – irgendwie haben sich alle auf vielfache von eins eins eins eins zwei drei geeinigt – Waldeinsatz als es sich leichter rechnen eins eins eins zwei zwei zwei drei drei drei – vier vier vier wäre zum Beispiel eine Möglichkeit – eine von unendlich vielen – eine andere Möglichkeit wäre eins null null null null null null null – null auch die für die gehen – aber dabei zu ✂ dieser hier – ?? das Bild an das Bild wird gebildet – aus – und der Spaltenraum – offiziell – mit gebildet aus vielfachen von eins eins null – plus Vielfache von zwei zwei zwei für dasselbe Doppelplus – Vielfache von drei drei drei plus Vielfache von vier vier vier jeder Weg zu der hieraus kommen kann ?? nicht in die Richtung eins eins eins was aus dieser Matrix rauskommt – ist ein ein dimensionales – Gebilde – ein eindimensionale – Untervektorraum – eine Gerade durch den Ursprung – das heißt – der Rank – von dieser Matrix ist definitiv – eins – und die Summe von den beiden muss die Zahl der Spalten ergeben – Basis der Defekt drei sich als halber die Summe von Defekt und Rand gibt die Zahl der Spalten – für Dimension reingehen – bei diesem Kriterium eben – Rand leicht Zeilenzahl – geht's drum wie für Dimension theoretisch rauskommen könnten wie es von der Zahl der Zeilen – die Rede die Summe aus – Rang und Defekt ist die Zahl der Spalten – und wenn sie mit so viel Dimensionen rauskommen – Zeilenzahl – die sie theoretisch rauskommen könnten dann ist das Ding immer lösbar – nicht durcheinanderbringen – einmal gespalten einmal die Zeilen – könnte sich jetzt auch noch den – Kern überlegen – vielleicht ein paar Beispiele was ist hier im Kern der Kern ist eine Menge von Vektoren – unendlich viele Vektoren – im Sommer zwei drei an das meine Idee kriecht welche Vektoren ✂ im Kern liegen – als erst darüber nachdenken wie viel Einträge ich brauche ?? Woche Vierervektoren – ich modifizieren hier mit einem Vektor einem Vierervektor – und will wissen ob nur rauskommt – der – Dreiervektor – null – die neuen Vierervektor – Fotoapparaten – null – zwei null minus eins – einmal null plus zwei mal zwei plus drei mal null minus einmal vier würde null werden wir zum Beispiel einer oder sie nehmen – Nullvektor selbst das seitig müsse langweilig – immer noch machen – an – fünf – minus eins minus eins null – fünf mal eins zweimal minus eins ?? minus eins Nummer vier wird auf fünfzehn – ?? wenn Sie eine Lösung haben zu ein Gleichungssystem – mit dieser – Koeffizientenmatrix – dann dürfen Sie zu der Lösung null zwei null minus eins dazu addieren und sie haben wieder eine Lösung das sagt uns das – als sehr Kern ist schon bedeutend groß er hat ja auch eben drei Dimension – war das noch mal sicherheitshalber sie sehen hier Vierervektoren – dieser – Gelderkern – ist ein Unterraum von ersten vier eine Menge von vier Vektoren – bildet aber einen dreidimensionalen – Unterraum – ist nur ein Volumen es fehlt ihm eine Richtung – sind eine Gerade haben im Raum – das leicht – drei ?? und – Raum gut wenn das alles dreier Vektoren aber diese gerade ist ein eindimensionale – Unterraum – in diesem Sinn ist der Kern eine Menge von Vierervektoren – aber ist ??