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Senkrechter Wurf und freier Fall, Modell mit Ableitung


CC-BY-NC-SA 3.0

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undjetzt noch ein Modell für den vertikalen Wurf mithilfe von Ableitungenund dann kommt zum Schluss die Formel raus die sie sowieso schon kennendann aber nicht auswendig lernen müssen weil sie plötzlich wissen auch so einfach ist das vertikaler Wurf soll folgendes heißen ich nehme mir einen Steinschmeiße den in die Höhe?? würde ich ?? wieder runterexaktsenkrecht zum Erdboden aus ihr soll der Boden seinexakt senkrecht zum Erdboden schmeiß ich den hochund der Stein für den Link herunter ich ignoriere den Luftwiderstandder Stein soll nicht zu hochgeschmissen werden soll nicht alle bis zum Mond fliegen dann ist wahrscheinlichdie Schwerkraft etwas andersinbegrenzten Ausmaßen möchte diesen Steinbruch schmeißen und ich möchte den Luftwiderstand ignorieren der Stein soll kein Raketenantriebhaben kein Propeller und Ähnliches soll Hammerstein seinsimples Modelldas man da bauen kann?? mich interessiertich hab mal gesuchtPunkt mich interessiert dieHöhe abhängig von der Zeit weiter die Situation der schon zu schreiben also SteinenbeiT gleichen nullsenkrecht zur Erdoberflächein die Luft werfenwobei ich Luftwiderstandund so weiter ignoriere?? besucht ist die Höhe abhängig von der Zeitrelativ zum Boden gemessen natürlichjetzt hat man eine wesentliche Eigenschaftein Wesen die Zutat hier zur Schwerkraftdie schwere Beschleunigung der Erdewas eigentlich jetzt den ganzen Rest der Situationausmachtund die istirgendwas bei neun Komma acht eins Meter pro Quadratssekundehängt vom Ort ab?? hängt auch ?? müssen von der Zeit ab davon geht es auswenn sie wissen das es die schwere Beschleunigung der Erdeund zweitens wissen die Weg nach untenwir sagen immer so schön G klein G ist gleich neun Komma acht einskönnen Sie aus irgendwelchen Versuchenwenn die angehendenAstronautenund Astronauten mit soundsoviel G beschleunigt werden aus dem soundsovielfachender schwere Bestand der Erdedieses G ist natürlich auch weiter positiv steht nach unten gerichtetschreibt das man dazu wird nach untenbeschleunigteStein wird ja nicht nach oben beschleunigt wird zumErdmittelpunkt hin beschleunigtbei sich hätte man sagen müssen minus neun Komma acht eins ?? sind für so ?? Konstante eher komisch aus wenn die minus neun Komma acht einsdas ist die BeschleunigunguniversellfürSteineauf Augenhöheund jetzt können Sie sofort sagen okay was heißt denn das für die Geschwindigkeitdas Schreiben immerhinwas heißt denn das jetzt für die GeschwindigkeitKomma ganz weiterhin das Schreiben übers Dringlichkeit im was mit V sound was heißt denn das für den Ortmithilfe von AbleitungenBeschleunigung ist gegebenneun Komma acht eins Meter pro Quadratssekundeoder Meter pro Sekundepro Sekunde nach untenbeschleunigt ist gegeben und überlegen sich was was heißt das für die Geschwindigkeitvertikal genommen natürlich die Schnelligkeit und für die Position des ?? X schreibenZ sehr gut Z für die Höhewas heißt das für die Geschwindigkeitin Richtung der Höhe und was heißt das für die Höhe ZMitte von Ableitungen hingeschriebendie Geschwindigkeitist die Ableitung der Höhe als ich kann schreibendie Ableitung der Höhe nach der Zeit oder Sie schreiben schon ganz professionell Z Punktdie Ableitung der Höhe nach der Zeitverzugder Höhe von der Zeit abhängig ist die Geschwindigkeitzu dieser Zeit die momentan Geschwindigkeitund analog für die Beschleunigungdie Ableitungder Geschwindigkeitnach der Zeitwas ist die Änderungsrateder Geschwindigkeitdas ist die BeschleunigungMeter pro Sekundepro Sekundeum wie viel Meter pro Sekunde ändert sich die Geschwindigkeitjede Sekundedenken Sie an eben der hat nur was von wegen Atome pro Sekundehiergab's irgendwohier ?? hier hier hier warme Überatome pro Sekundeanaloggibt's jetzt hierMeter pro Sekunde bei der Geschwindigkeitund Meter pro Sekundepro Sekunde bei der Beschleunigungund die Beschleunigung des Wassers ganz so einfach die Beschleunigung ist konstantda ist nicht A von T wirklich abhängig die Beschleunigung ist minus G?? muss das Minuszeichen rein wenn sie die Zeitachse nach oben wählen was man typischerweise tun wird wenn die Zeitachse nach oben wer muss er das Minuszeichen rein man schreibt es nicht bei der Zeit die rein sondern da muss es dann eben hindas in zwei Differentialgleichungandie Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist konstantminus die Erdbeschleunigungund die Ableitung der Höhe nach der Zeitist die Geschwindigkeitjetzt lösen Sie eine nach der anderen das können Sie schondie erste die Ableitung einer Geschwindigkeitnach der Zeit ist minus die abgestorbene geschnittene Konstantemüssen Sie die erste Gleichung wie muss V von T aussehen wenn sie das gemacht habenkönnte damit die zweite Gleichung lösen sie wissen ?? was auf der rechten Seite steht und damit können Sie die Höhe bestimmenes werden irgendwelche Sachen noch zu regeln sein habe schon gemerkt ich weiß ich die Anfangsgeschwindigkeitwas ich anfangs für wenn Sie irgendwelche Namen dafüreineFunktionnamens V hat eine Konstante Ableitungminus GFakt ist es immer gut sich das normalan Sonnenbeispielim Sandkasten klarzumacheneine Funktionhat eine Konstante AbleitungF von X abgeleitetnach X ist dreiundzwanzigdas ist diese Situationeine FunktionskonstanteAbleitung minus irgendwas bei zehn Meter pro Quadratssekundenajaso sieht das im Sandkasten ausich suche eine Funktion mit der konstanten Steigung drein zwanzigdie gar nicht so aussehen weil Jever die Steigung größer dabei die Steigerung kleinerdiese Fusion muss eine gerade seinwenn sie die konstante Steigung hat nur dannwenn sie eine Gerade istwenn ich über Definitionslückewenn sie eine Gerade ist kann sie eine konstante Steigung habendaherwissen sie was sie einsetzen müssen dreiundzwanzigmal Xfür die Funktionund das ableiten haben sie dreiundzwanzig aber das ist nicht das einzige sie haben die Steigung integraler Widerstand bei zwanzig sollt ihr so Fragezeichen dasjenige ?? Widerstand rein zwanzigdiese Ursprungsgrade würdest du die können Sie aber auch auf und unterschiebenhat sie immer noch die Steigung dreiundzwanzigdie hier die tut es auch drei zwanzigstes fünfzehndie Arbeiten ?? sie drei zwanzig raus alle Funktionen von dieser Artdrei zwanzig mal X plus irgendeine Konstantesind die Funktionendie die Ableitung drei zwanzig haben alle anderen Funktionen haben nicht die Ableitung dreiundzwanzigund das wenn ich hier jetzt anich weiß das die Ableitung von meiner Geschwindigkeit konstant minus G ist okay dann ist also die Geschwindigkeitabhängig von der Zeitminus G mal T minus G ist die Steigung die Konstante SteigungTdie unabhängige Variable nicht X jeweils X ihr Systemplus eine Konstanteplus irgendein rasantes unsere Meter pro Sekunde gucken sich an wenn sie null einsetzenV von null kriegen sie null plus irgendwassteht die Anfangsgeschwindigkeitoffensichtlichso sieht das aus die Geschwindigkeit wie viel Meter pro Sekunde habe ich draufwenn der Stein meine Hand verlässt zum Zeitpunkt null das stete hinten wenn sie null einsetzenkriegen sie von null rausso Komma sich das überlegenden ersten Term kriege ich weil ich weiß das die Ableitungskonstanteistgleich minus G ist deshalb muss das verstehenund ich weiß ?? muss bloß eine Konstante stehen das beaufsichtigt die Anfangsgeschwindigkeitso gibt die Geschwindigkeitdie Geschwindigkeitändert sich pro Sekunde um neun Komma acht eins Meter pro Sekunde das steht ja eigentlich die Geschwindigkeit fällt pro Sekunde um neun Komma als mit Codes kann man sogar Platten sind das wohl so hiereherMenschlichkeit hier die Zeitdie Geschwindigkeit ist eine fallende geradeund sie fällt mitpro Sekundeneun Komma acht eins Meter pro Sekundeso sieht das ausjede Sekunde verlieren wir ein Geschwindigkeit neun Komma eins Meter pro Sekunde Beistrich auch im negativen ?? immer schon im Brunnen gefallen sind wird das immer noch schneller werdensolange wir deutlich unter der Lächerlichkeitbleiben und den Widerstand nicht berücksichtigenund auch dem Erdmittelpunktnicht zu nahe kommen weiter die beschleunigt der kleine Wirt und so weiterim groben Rahmen gilt dasTamtam die Geschwindigkeitdes ?? dasselbe für die Höhe Zhier habe ich jetztstehen okaydas ist minus G mal T plus V nullnungesetzlich von oben einund hab jetzt gegeben die Ableitung meiner Höhe Zist diese etwas kompetentere Funktion etwas einfacher die Ableitung ist eine Konstante jetzt kündigt diese etwas kompliziertere Funktionkönnen Sie aber auch ?? gehört seit?? können sich die einzelnen Terme angucken was leiten Sie abdamit V null rauskommt?? Krieg hatten wir hier schon V nullmal C leite ich ab dann kommt von null raus was leiten Sie ab damit minus G mal T rauskommtnoch mit X wird sechs hundert ableiten ?? sie zwei XAHA maßstabsgemäßwenn sie dreizehn halbe X Quadrat ableiten sind sie dreizehn Xgenau das machen wir hierwir leitenminusdie halbe T Quadrat abund kriegen minus G mal T das hier nach C ableitenminus G halbes ?? konstante Zahlbleibt stehenweißen Faktor ist die Quadrat ableitengibt zwei T die zwei kürzen sich sehr minus geht sie soaus minus GT wird jetzt hier bei der Höhe minus G halbe Teequadratund das es jetzt wieder nicht die einzige Funktion die das kann sie können mir auch noch fünf Meter addieren wenn sie wollen die Fusion geht auch die ableitenaus dem ersten Term wird minus GT aus dem zweiten wird V nullwenn sie fünf Meter ableitenwerden zu null verlassen Konstante ist additive Konstantedas heißt hintenist die Rolle der fünf Meter angucken wenn sie null einsetzen die Höhe eine zur Zeit null null plus null ?? steht die anfangs für neunzehnten nulldas ist die Formel aus der Formelsammlungmuss man sich nicht merken wenn man verstanden hat was schwere Beschleunigungund was Ableitungen sindfür die Höhe kriegen Sie diese Parabel raus das ist noch nicht die Wurfparabeldie Wurfparabel entsteht erst wenn sie nicht nach oben werfen sondern wenn sie auch Stück zur Seite werfen dann kriegen sie die Wurfparabelja jetzt den vertikalen Wurf und der geht genauso wenn sie den Steinen in den Brunnen fallen lassenwie beschreiben Sie das den Stein in den Brunnen fallen lassen wie beschreiben Sie das mit dieser Gleichungso ein Stein in einen Brunnen das heißt Schriftsätze immer der Zustand den Brunnen fallen lassen?? auch das kann ich beschreiben eines V null gleich nullnull Meter pro Sekundenull LichtjahreproJahrhundert das auch immer nullder klassischen ist nur sie starten hier mit der Geschwindigkeit nullund Z nullkeine Ahnung das ist die Höhe hier meine Hand sokaputter Arm zuanderen Themen so stetig wieder nehmen keine alldas ist irgendwie ein Meter oder was keine Ahnung Beistrich wann hört man dasdann machtdas wir das für den Brunnen also sie können nicht nur denvertikalen Wurf beschreibenkönnen auch ?? beschreiben wie ein Stein in den Brunnen fallen gelassen wird wo ist der Stein und auf welcher Höhe ist der Steinbei jeder Zeit eine Sekunden einer halben Sekunde setzen Sie ein kriegen die Hörer ausdieserSituation den Stein fallen lassen und sehen Sie die Farbgeschwindigkeitist nullGeschwindigkeit wird sofort negativimmer stärker negativmit den steigendenHoroskope leuchtenmüsse sicher Sohnefigurergebendie Wassertropfender Wassertropfenwird nimmt sie kein Steinsondern sie nehmen eineGießkanne die leg hat mir die Gießkanne hatten Leck und ?? gucken sich die Wassertropfen anda sehen Sie dass die Wassertropfen immer schneller werden wenn Wassertropfen schlecht natürlich der Luftwiderstandziemlich schnell zumir das jetzt keine Wassertropfen wären sondern bei tropfenden wird wahrscheinlich etwas besserdaran sehen Sie diese Beschleunigungimmer weiter auseinanderdieses hier die Geschwindigkeitnimmt im Fluge zuproportional zur Flugzeitzur Flugdauer nimmt die zu