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Vektoren und Vektorräume, Teil 1; Vektoraddition


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – Vektoren nicht willen erzählen was mathematisch – ein Vektorraum ist – so ein langer Weg dahin zu Komma könnte seine Definition hinschreiben wird keiner verstehen – nichts gewonnen ?? ich will ziemlich weit vorne anfangen mit Beispielen – wie kommt man jetzt drauf was mathematisch ein Vektor sein soll die haben vielleicht schon feine gesehen – Pfeile sind – je nachdem wie man sie behandelt Vektoren – aber bei weitem nicht die einzige Art – von Vektoren ist will ich Ihnen heute mal klarmachen und ihn auch ein bisschen was zeigen was Abstraktion – angeht was es vorgehen in der Mathematik überhaupt angeht – wie man Sachen begründet – beweist – bisschen größeren Horizont meiner – Vektoren sind Sachen – das sage ich jetzt schon mal ganz – in simplen Worten Vektoren – sind Dinge die man addieren kann – Beistrich wieder den von derselben Art raus und ?? immer mit Zahlen modifizieren kann dass es im Prinzip alles das Aspekt eine Mathematik und damit bisschen konkreter – das Addieren zusammen zählen Adi Addieren von Vektoren gucken und zwar verschiedene an – ausdrücklich nicht nur Pfeile – sondern auch andere – überlegen sich das mal gleich zwei feilen Sie mal komme irgendwie zwei Pfeile hin was sollte die Summe – zweier Pfeile sein – und dann das ?? sind außerschulischer mitgemacht zu haben oder weit aus dem Fokus schon – so eine Art dann Vektoren ich schreibe drei Zahlen untereinander – die addiere ich dann sein anderes Ding mit drei Zahlen ?? minus vier ?? – fünfzehn – acht oder sowas wie ein gierig zwei solche Dinge aber sollte das sinnvollerweise – sein – wird Komma schräge Geschichten sie wahrscheinlich noch nicht gesehen haben Schuleneinkäufe – ich möcht ein Vektorraum von Einkaufen bilden ein Einkauf – könnte sein ein Kilogramm Kartoffeln – plus – ein Liter Milch – plus vier Äpfel das könnte ein Einkauf sein – noch nicht geschrieben – wird – und addieren Sie mal einen anderen Einkauf dazu müsste das passiert mir jetzt einen anderen Einkauf finden – ähm – ?? oder was auch immer müsste man die addieren – das Eiserne Kreuz dazwischen – und es kommt eine vierte Sorte – an Dingen die sich nachher als Vektoren herausstellt – ?? Funktionen – Beistrich ?? die Haare zu Berge keine Angst aber wir – versuchen das müsse zu glätten eine Funktion ?? Funktionen können Sie als sowas wie Xbox drei hoffentlich – Funktion – oder artigen – Funktionen – vielleicht fünf X Quadrat – geschrieben – minus sieben Grad minus sieben ?? Sinus von X oder X durch – den Rhythmus von X oder was auch immer das kennen Sie vielleicht – Funktionen – das immer erstmals – Rechenvorschrift – ich kann ja so ?? Wert für das X einsetzen – seit vierzig Bindestrich – fünfundvierzig raus oder ich kann hier auch das machen ?? zwei vierzig ?? sollte zweimal – für das X ein hundert drei ?? Dreireife – des Kriegseinsätzen – fünf mal – drei Quadrat fünf mal neun sieben kann ich ausrechnen – ich traue an sich eine Zahl rauszukommen – ?? Funktionen Beistrich nehmen Rechenvorschriften – Funktion sagt irgendwas zu rechnen ist ?? es geht ein gereinigtes – Komma daraus – wird nachher etwas – zu sagen haben tiefer – Wasserfunktion – ist aber das was man die Funktion – was ich ihr sofort somit geben wir ?? sie lange Zeit sich dran zu gewöhnen solche Funktionen – kann man auch als Vektoren auffassen – möcht sie dann lieber etwas schöner aufschreiben – nämlich so als X wird abgebildet auf anzügliche Profischreibweise – des Unfall – mit mit links einem kleinen Strich dran – neben ein X – und mit aus dem X Rechner aus Ixus drei – ist man X wird abgebildet auf ?? Express drei dass sie unten X wird abgebildet auf – sechs hundert minus sieben – eine Rechenvorschrift etwas strenger hingeschrieben nicht ein hundert Pixel hatten sie hingeschrieben – sondern – X soll genommen werden und dann soll das Recht ausgerechnet werden sie an – kleines X schreiben sondern du schreibst dass sie selber Rechenvorschrift – nehme das Ding das Huhn nennen und rechne fünf Quadrat – in sieben aus ist das selber warum sie nicht völlig zu – irritieren ?? das aber demnächst – sowas offizieller geschrieben – diese Dinger – also ein Rechenvorschrift – ?? was mit dem X zu einer Rechenvorschrift – und noch eine andere die kriegen sie auch addiert das man glatt meinen was müsste das sinnvollerweise sein wie die zwei Funktionen – agieren – über zwo Komma Singers an der West auch mit Vektorräumen an das sie sofort dran gewöhnen – Pfeile – können Vektoren sein – sind es dann meist auch – aber das ist bei weitem nicht alles was Vektoren sein – das überlegen sichert man gerade die ersten beiden antideutschen Info gesehen wie würde man sowas agieren – grafisch und bezahlen – das müsste man unten tun ?? und meine zufolge den sicheren anderen Einkauf aus – wie müsste man die beiden hier unten addieren – wie müssen Addition von solchen Dingern sei jetzt anderer Meinung – sein – müssen ?? Addition ✂ passieren – das mit den Zahlen schien am einfachsten – ich muss leider überhaupt keine Ahnung von Vektoren haben – ?? ich hab ein Ding sage ich mal mit drei Zahlen drin noch ein Ding mit seinem drei Zahlenrente – soll wieder ein Ding von derselben Art auskommen ?? vom Sonderfall rauskommen darunter sollen Einkauf rauskommen soll Beistrich was – hier soll wieder ein Link mit drei Einträgen auskommen – ?? praktisch keine andere Chance als jetzt zeilenweise zu addieren eins minus vier ist minus drei – zwei plus fünfzehn sind siebzehn und zweites achten elf wenn ich mich nicht verrechnet ?? – alles andere wäre total komisch dass solche offensichtlich die Summe sein – bei den Einkäufen – schreibt noch mal Einkauf dazu – zu faul war nehmen tatsächlich noch mal man immer zwei Kilogramm Kartoffeln – und – immer mal damit zu sichert eine Tafel Schokolade – dann werden sie sinnvollerweise – schon das Ergebnis meist über den Gründer wenn sie sinnvollerweise sagen naja das SUV im Haushalt – ein Kilogramm Kartoffeln zwei Kilogramm Kartoffeln habe ich vor drei Kilogramm Kartoffeln – Kartoffeln – was – Taufen – Plus und so weiter schreiben müssen was passieren müsste und es wird offensichtlich auch mit negativen Zahlen gehen – minus ein Liter Milch heißt sie sind immer noch eine darf die Nachbarn vielleicht noch eine der mich schuldig und so weiter wird funktionieren sie kann solche Einkäufe addieren – wie sie die eben zu Hause im Kühlschrank oder sonst wo stapeln – und ignorieren sie immer schlecht wird – man den auch Einkäufe irgendwie addieren kann – was dann weiter über überraschend ist erst mal – dessen jetzt ja nicht nur drei Sachen hier bei denen – die Nieren – ?? erweiterte diese Dinger – mit drei Einträgen – manchmal drei Sachen immer zwei niemals vier immer drei Sachen sehen – und über sich einmal Schokolade dazu Beistrich wie man eine Zitrone und Orange – das wird ziemlich viel Verschiedenes verblichen X Y Z – uns vielleicht – heute Abend noch mal gucken was das eingliedern bedeutet – der Begriff Dimension eines Vektorraums kommt dann rein vielleicht Wasserversorger schaffen – äh – ganz ähnliche mit den Rechenvorschrift – mir selbiges auch bei vielen gesehen – was soll denn passieren wenn sie die beiden hat die addieren – eine Rechenvorschrift sagt – addiere drei drauf – und die andere Rechenvorschrift sagt Quartiere – mal fünf hundert sieben abziehen – was soll es bedeuten zu Addieren Sie bauen das natürlich zusammen mit dem sein wenn sie ein X haben das jetzt zu rechnen – nehme das fünffache von X Quadrat nehme X dazu – sieben abziehen drei drauf das heißt sie subtrahieren vier zum Schluss – die Summe einfach von den beiden Ausdrücken wieder – rechts stehen – was passendes raffiniertes wenn ich ihr zugeschrieben hätte – und die Summe gebildet und ein bisschen komisch – ?? ist wirklich immer gemeint – das Wasser vorne steht – welche Variablen auch immer steht die Welt umgerechnet – in fünf mal – eins Quadratmeter sieben – dass die Variable da ist etwas X – und ich bitte die Summe jetzt hier für dieselbe Variable die ich einsetzen Beistrich – das wird offensichtlich – noch nicht die Summe zweier Rechenvorschriften – dann später zweier Funktionen sein – total banal – etwas überraschend ?? ich war gerade das das mit den Pfeilen vielleicht gar nicht so klar ist – am – das schulmäßige wäre sie nehmen einen der beiden Pfeile und hängen den immer den unteren Hängen der mit dem Fuß – an die Spitze des anderen – einer – Parallelverschiebung – ist das – entscheiden hier aus den verschiebe ich ja parallel so – parallel verschoben da oben ähm – und dann wäre die Summe – der Fall der vom Fuß des erst zur Spitze – des zweiten geht bei mir das sehr gelegen sie an was ich hier veranstalten will das wäre die Summe – also den – zweiten mir parallel verschoben – an die Spitze des ersten an die Summe geht – quer durch andere Möglichkeit ist in der Physik zu arbeiten Kräfteparallelogramm – ?? Komma den oder nehmen – Sie wollen die Summe zweier Vektoren haben – einfach nur deutlicher so die Summe dieser beiden weckt als Weile besonders ausgefallenen – die Summe dieser beiden Pfeile haben – können das machen in dem sie ein Kräfteparallelogramm – sozusagen bilden so bundesweite Füchse gesehen – dann ist die Summe eben – dieser Fall – wenn sie genau hingucken sind sie was ich hier gemacht habe ich nehme den unteren Fall schiebe ihn hoch – habe ich um dieses Dreieck was sich da – so oder so – Pfeile aneinanderhängen – oder – die Diagonale bilden im – Parallelogramm dran sitze schon – wo diese Feile vorkommen werden Kräfte – das erste dann Geschwindigkeiten – Beschleunigungen – elektrische Felder und alles mögliche wird nach – mit Feilen dargestellt – elektrischen Felder vielleicht dann als professionell nicht damit fallen aber – damit fangen sie an – okay das wäre die Addition von – Vektoren einfach aus dem Bauch heraus – und sie haben mir schon gleich vier verschiedene Arten von Vektoren sind bei ?? ist das was man ✂ sofort im Kopf hat aber die anderen Sachen sind – mindestens genauso wichtig – und jetzt wäre das – im Sinne der Mathematik dass man sich erst mal Gedanken macht – was für Regeln gelten eigentlich – hierzu anschaulich – eine Idee – eine Addition – kann Sachen zusammenziehen – sozusagen – aus bedeutet das leidlich – als Regeln gibt sie irgendwelche Gesetzmäßigkeiten – einige werden schon gesehen haben – einige – Gesetzmäßigkeit – wäre zum Beispiel wenn ich so ein Vektor habe – immer wie das ganze Setting benannt wenn ich so ein Vektor habe ich weiter unten hin – denen ich mal A Großbuchstaben – wenn ich einen anderen Vektor habe – in den ich mal B dann kann ich netterweise – die so herum oder so herum addieren scheint nicht auf die Reihenfolge – anzukommen – müssen sie – bei den Einkäufen offensichtlich – ob sie heute – die Schokolade kaufen oder morgen Schokolade kaufen solange wie schlecht wir haben sie zum Schluss eine Tafel Schokolade egal in welcher Reihenfolge sie das gekauft haben – hier – schon bisschen schwieriger zu sehen – X plus drei und dazu addieren sie fünf X fordert minus sieben – ob sie das so tun das rundum beim addieren – das eine das andere das anderes das eine muss Brigade und erst recht hier – Zahl – um Zahl ob sie mit der minus vier Anfang oder Mitte eins anfangen – egal warum sie addieren – das selbe rauskommt ?? die Reihenfolge ?? hier auch ?? dass das Kräfteparallelogramm – schon weg gemacht an Kräfte Parallelogramm hätte man es gesehen – zwei Vektoren addiert – der eine verschoben an den anderen dran aber das ganze natürlich auch andersrum machen und sind offensichtlich dasselbe raus das Internkräfte – Parallelogramm es kommt nicht auf die Reihenfolge an – ich halte es hier mal so ingenieurmäßig mit Feilen – was wie X oder Z oder steht gerne für Zahlen – reine Zahl zwei vierzig Pi wie auch immer bei den Ingenieuren und Physikern zumindest ein Ingenieur und Physiker steht gerne was mit File für ein vektorprofessionelles – wird umso eher lassen sie den Fall weg wenn sie auf Wikipedia Punkt zum Beispiel Vektorraum der Insel wahrscheinlich nichts von Fall also nicht irritieren lassen – ?? nur mäßig physikmäßig – haben Vektoren gerne Fall darüber – dass es aber nicht in Stein gemeißelt – ?? es geht dieses hier also kann ich dazu schreiben das er gilt – für alle – Touren – A – B – gilt folgendes hier die Reihenfolge ist egal sollte jetzt noch sagen – alle Vektoren das Guthaben – eines bestimmten Vektorraums – sind es die Einkäufe sind es die Feile sie können nicht File und Einkäufe addieren das Risiko Beistrich am Eingang ?? ein Kilogramm Kartoffeln – das ein Fall das wird nicht funktionieren und sie können innerhalb von diesen – Räumen addieren sie können Pfeile zu Feile den Ringspfeil raus sie können – diese drei Erdinger – ?? schon das dritte zu nennen geordnete Triebe die können sie aufeinander die einzigen wieder Sundtriebe raus und so weiter Sie können jetzt nicht – Pfeile und Kartoffeln addieren sich offensichtlich nicht – das meine ich hier also für alle Vektoren AB eines Vektorraums eines und desselben Vektorraums groß R an was es wirklich heißt aber erst mal sowas wie die Menge aller Feile die Menge aller – Triebe die Menge aller Einkäufe – geht dieses Jahr für alle Vektoren eines Vektorraums – gilt das – Risiko Komma ob sie noch und der andere findet eine landesweit schon in der Schule gesehen und versuchen sich zu ändern – was wenn sie sonst noch an Gesetzmäßigkeiten – das wäre ✂ eine solche Gesetzmäßigkeit – es kommt nicht auf die Reihenfolge der Addition an – was sehen sie sonst – so bearbeiten jetzt von – unten nach oben die offensichtlichen Regeln das sind die die gar nicht so wichtig sind für Fang mit den offensichtlichen Anaconda zu den weniger offensichtlichen die aber die wichtigen sind fundamental und sind – dann – wichtig scheint zu sein es ist immer möglich ein Vektorweg zur Hilfe mit einem anderen Vektor ?? wenn Sie diesen Pfeil nehmen – und dann addieren sie diesen Fall dazu – das jetzt mit dem Kräfteparallelogramm – schon eigenwillig – oder mit dem Dreieck sie nehmen diesen diesen Fall da unten transportieren – denen parallel an den da oben – und gehen jetzt von Fuß zu Kopf zu Fuß zu Kopf und sind wieder an derselben Stelle – die Summe dieser beiden blauen Vektoren – dabei sozusagen nichts übrig ?? Vergleich definieren was heißt denn nicht das hätten sie bei den Einkäufen hin – haben sie Schulden ihren Nachbar fünf Kilo Kartoffeln kaufen fünf Kilogramm Kartoffeln ein – dann – sind Sie bei nicht sozusagen gelandet setzen Sie meine Funktionen lassen kriegen Sie bei diesen – Titeln hin eins zwei drei wie können Sie den aufheben sie addieren minus eins minus zwei minus drei dazu ist also anscheinend immer möglich sein Vektor aufzuheben – das wir die dritte von vier Regeln sein ?? – haben – kann jetzt noch nicht so genau hinschreiben – hatte sie etwa vorläufig ?? ?? das kann ich mir das es etwa vorläufig – gegenseitig aufheben schreibst immerhin – was mich jetzt fehlt – nämlich fehlt ist folgendes wenn so ein File haben und noch so ein File haben – die heben sich gegenseitig – auf oder zwei Einkäufe heben sich gegenseitig – auf Komma dass es mathematische ✂ noch bisschen komisch – was heißt das eigentlich fragen alle was heißt das eigentlich das sie sich gegenseitig – aufheben – ?? auch ein Name für – das ?? ist null da kommt – Und-Zeichen nichts raus besser sagen – er seiner kommt nur noch aus eine Nullvektor – jeder Vektorraum – muss einen Nullvektor haben hier bei den beiden Feilen oder bei einfallen – wäre das der Fall der nicht von dem wegkommt – der Liebe bleibt dann offensichtlich dann keine Richtung oder jede Richtung – und die Länge null der Fall – liegen bleibt wenn sie den Fall der nichts tut hier also ein hundert und sechs addieren – zu dem anderen Vektorcomputer – der anderen Vektor aus beiden – Partner schon in der Kopf – hier bei den Dreiervektoren – eines offensichtlich – dass der Nullvektor null null null wenn sie – das Beobachten war auch schon mal wenn sie den zu irgendwas addieren – kommt das raus – was sie addiert haben – dass wir hier einen Nullvektor das heißt ein Nullvektor der Nullvektor – es gibt den null Einkauf ?? sie gerade so schön gesagt haben sie gehen in den Laden und kommt nichts daraus aber auch keine Schulden nur Kilogramm Kartoffeln oder Milch nur davon Schokolade – das ist der Nullvektor für den Einkauf – wenn sie irgendwann zu Null Einkauf machen haben sie im Kühlschrank genauso viel wie vorher – ist eben der Nullvektor den null File addieren konnten und es ist nichts passiert und hier ist natürlich die Nullfunktion – also eine Funktion des Gleichnisse komisch aus eine Funktion die folgende grandiose Rechenvorschrift nach – einem egal was sie eingeben ?? die Funktion ist nur raus dass wir die Nullfunktion – wenn sie die Info drauf addieren – passiert nichts – addieren die null – das wichtig wir brauchen – überall – und das fundamentaler als die beiden anderen hier wir brauchen in jedem Vektorraum einen Nullvektor – geschaltet sich so ganz ausführlich in einen Nullvektor in diesem Vektorraum natürliches ist ein Vektor wie die anderen – es gibt einen Nullvektor – Valentine nahm – den nenn ich etwas ingenieurmäßig – nur mit File darüber – und ein Nullvektor – heißt – wenn sie den zu einem anderen Vektor addieren – kriegen sie immer wieder den anderen Vektor raus – das ist definierende Eigenschaft von Nullvektor – für alle – Vektoren – V – Leertaste vierzig V der Emulation – des Vektorraums – sehen vor lauter Position fällt mir auch auf alle Vektoren eines Vektorraums ?? soll ich ausschreiben des Vektorraums ich guck mir einen bestimmten an – Moral – Beistrich scheinbar mir – es gibt einen Nullvektor egal ob ich Feile habe oder Einkäufe oder was auch immer habe es muss ein Nullvektor geben – was heißt eigentlich – Nullvektor das ist ein Ding was ich addieren kann und es ändert nichts kaufen nichts ein – ein File – ohne Länge – und mit beliebiger – oder unbestimmter – oder keiner wie man will Richtung – oder hier – ?? – null null null wenn sie über addieren und kriegen dasselbe Punkt – ein Nullvektor muss es geben und jetzt wenn ich sage es muss ein Nullvektor geben jetzt kann ich sagen was denn das gegenseitige Aufheben – sein soll – versuchen Sie das mal alle – zu formulieren zu diesem Stile es gibt einen so das für alle für alle – sich es muss – Vektoren geben die andere aufheben wie wenn sie das formulieren scheint es mal selber hin ✂ wichtige – Zutat ist der Nullvektor – den Hammer jetzt – was meine ich es eigentlich mit dem gegenseitig aufheben in so einen Pfeil haben – dann gibt es offensichtlich einen gegen Fall so zu sagen sodass die Summe der – null File ist wenn sie einen Einkauf haben – ?? Kartoffeln gibt es ein gegen Einkauf minus fünf Kilogramm Kartoffeln sodass die Summe der Null Einkauf ist – und so weiter – das kann ich jetzt – im allgemeinen – machen das verlange ich von jedem Vektorraum es gibt zu jedem Vektor in dem Vektorraum – einen Gegenvektor – heute mal so hin es gibt – zu – jedem – Tor – V des Vektorraums – Punkt ?? – uns – einen – Gegenvektor – schreibe ich jetzt gar nicht einen Vektor – U habe ich mal einen Vektor – aus dem Vektorraum Grenzfall schreibe das Mädchen aus dem selben Vektorraum – sodass – das online Gegenvektor – seines Amtes gesehen was als ein Gegenvektor zu sein wirklich offizieller Begriff Gegenvektor – das Negative des Sektors einen Vergleich – aber noch nicht ?? – Panzers ein Gegenvektor wie teste ich das die Summe – von den Beines der Nullvektor dann ist der eine Gegenvektor zum andern – Schritt davor habe ich gesagt es muss ein Nullvektor geben und sonders kein Vektorraum sein jetzt Nullvektor hier recyceln und sagen okay – sich im Vektor sonst gefälligst – einen Vektor geben wir ihn in ein Vorzeichen aufhebt – also ein Vektor – sodass diese Summe null ergibt – jetzt kann man sagen aha es gibt also zu jedem Vektor ein negatives das verlange ich ja eigentlich es gibt zu jedem Vektor V – ein Vektor um – wenn sich das hier umgestellt vorstellen – U ist gleich Minusform – offensichtlich habe ich inmitten des negativen Zweckes definiert ich verlange dass es sich eben Vektor das Negative eines Rektors gibt – wie auch immer – das zu machen ist bei den Feilen die umklappen bei den Einkäufen das Vorzeichen ändern und so weiter – oder gibt es eine Regel auf die noch keiner gekommen ist weil sie so natürlich ist – dann für alle Vektoren – etwa – bei drei – Hammer genug für alle Vektoren ABC des Vektorraums – gilt folgendes – ist egal – wie sie Klammer auf ob sie Abfluss berechnen – und dann C addieren – oder ob sie – B plus C rechnen – und addieren – das soll dasselbe sein – das es so banal – aber gar nicht selbs verständlich – und sehr fundamental – das in vier Sachen die man von der Addition verlangt – soll ich das sie oben ?? Komma bei denen – bei den Feilen zeigen – auf es gelingt mir – wenn sie drei Pfeile nehmen – und sehen – Risiko – war – soll es wahrscheinlich zwei Fall addiere A und B so das soll die Addition zweier Vereine sein A – B – A plus B – und jetzt will ich doch den Fall C addieren – die fahrt mal so ein – ist der Fall C – A bis B und C möchte ich addieren dann ist hier – A groß B – groß C ?? Musik ?? Platz schaffen – ?? ?? groß B – also A plus B erst addiert und dann See drauf addiert – das wäre die eine Art zu klammern – letzter ?? reingeritten – lediglich die andere Art zu klammern – was muss ich jetzt tun damit ich die andere Art zu klammern habe ich möchte folgendes arglos ✂ PVC – was muss ich einzeichnen – quasi ein diagonal diesen hier zeitlich noch ein ✂ es müssen jetzt alle wissen was ist dieser grüne Vektor wirklich diesen Grünvektor Beistrich da – genau ?? Videos sehen – wenn sich jetzt angucken ich möchte zu A B groß C addieren – das ehrliche getan zu A möchte B plus C addieren und ich kriege wieder den unteren Browser den ihr die eben dasselbe Ergebnis wie eben also tatsächlich – A plus B in Klammern plus C dasselbe – wie – A plus in Klammern – B plus C – ist es nicht so die große Überraschung – aber es war nicht natürlich das das funktioniert – dass sie die kann man beliebig setzen können ✂ welche Rechenoperation – können Sie die Klammer nicht beliebig setzen – ?? sich als habe also zum Beispiel schon bei mir geht es nicht wenn sie rechnen – eins minus zwei – minus drei ?? ersetzen Beistrich nachdem es auch schief geht oder deutsch eins minus zwei ist minus eins – von ?? Beistrich der negativen Zahlen schon ?? Komma drei minus zwei – minus eins aus etwas hübscher – ähm drei minus zwei ist – eins davon sehe ich eins abgeriegelt null raus und es war was umgekehrt – drei minus zwei minus eins der Schmerz schon den Mathematiker sowas zu schreiben aber ich kann ?? einfach nur andersrum – drei von drei muss sich Abziehen zwei minus eins zwei minus eins ist eins sind sie von drei April zwei raus Punkt – ähm also beim Minus klappt es nicht es ist keinesfalls – so sehr verständlich dass man die Klammern irgendwie setzen kann bei minus dürfen die Klammer nicht irgendwie setzen das die diesem Beispiel sehen wir – gerne schief – bei den meisten fällt sie sich – mit Übung für zu Hause in welchen Fällen geht das bei Minus nicht schief mit den Klammern – an Umsätzen aber Vorsicht das geht nicht immer – bei der Vektoraddition – in das etwa Vektoraddition – muss das Gehen das verlange ich – für alle Vektoren – muss egal sein ob sie erst ab groß B – und dann per se rechnen oder ob sie hinten anfangen will plus C addieren und dann all – das ist fundamental – ich sage auch mal wie das ganze Jahr heißt das ganze heißt also Kreativität hier vorne – keine professionellen Begriffe A Soziaktivität – schreiben könnte – Assoziativgesetz – vorne – das das letzte – schon eher speziell das nennt sich – Kom oder TV-tät – oder Kommutativgesetz – das ist gerne mal – verletzt also Effektivität – ist doch häufig gegeben Komma da dividiert es gerne verletzt ?? morgen bei den Produkten Vektorprodukt Gänsefüßchen oben schon das ist – nicht kumulativ – und die beiden in der Mitte die haben auch noch im schönen Namen es gibt ein Nullvektor – das heißt professionell die Existenz des neutralen – Elements – der Nullvektor ist das neutrale Element der Addition Schreiber EL weicher – Gangplatz habe – das neutrale Element der Vektoraddition müsse ?? hinschreiben – und die unten wäre – die Existenz der inversen Elemente – beschreibt nur Ex – der – inversen Element – so hieße das professionell – man gewöhnt sich dann kann man es jahrzehntelang macht – es wichtig ist das man das – Gefühl hat was dürfen Sie diesen Objekten ANTUN – und es geht nicht schief diese vier Sachen wir von den Objekten antun oder verlangen Existenz eines neutralen ?? – das dürfen Sie von Vektoren verlangen und es wird gelingen konnte keine Vektor – plus ein paar weitere – Bedingungen die man fordert – Komma gleich nach der Pause – drauf das ist noch nicht alles das weist die Vektoraddition – ?? schon gesagt Vektoren Sommer addieren können – soll wieder Vektoren auskommen derselben Art – mit diesen Regeln hier – sonst wäre das irgendwie zu komisch was will ich das nicht Additionen wollen – gleich kommt noch bisschen mehr an reger – Modifikation bezahlen auch immer aber vor – eine Sache noch haben – nämlich jetzt können wir anfangen zu subtrahieren – ?? zu jedem Vektor gibt's einen Gegenvektor – eigentlich müsste man sich jetzt ?? noch überlegen – gibt nur diesen einen Gegenvektor wirklich übertreiben – zu jedem Vektor – V gibt es ein Minus V egal was für ?? Vektorraum sie haben – es muss ein Minus V eingebaut sein und damit gibt es eine Vektordifferenz – ich schreibe mal was ?? geschrieben Vektoren – addieren addieren ?? ?? geschrieben war der Begriff Vektor noch nicht da war also noch nicht ganz da ich aber Vektoren subtrahieren das können wir jetzt jetzt können Vektor subtrahieren – ?? – ich rechne nämlich wenn ich A minus – berechnen will die Differenz zweier Vektoren – dann rechtlich nämlich eigentlich – was mit den Sachen die bisher ✂ dran waren – okay das Gegenteil addieren das wäre der Gedanke jetzt kann ich sagen was minus ist ich weiß was plus ist das sollte eingebaut sein Vektorraum – ich weiß was Bus ist und ich weiß wie ich zum Vektor B – den Gegenvektor kriegen kann es muss – fordern wir ein inverses geben ein inverses Element geben den Gegenvektor geben – zu dem Peters mache – von dem B nehme ich den Gegenvektor – minus B und den addiere – wenn ich das fürchterlich Gründen mäßig vorkommt ja das ist fürchterlich korrekt mäßig aber so ist man – sicher dass man keinen Unsinn baut – ich sage jetzt was die Differenz zweier Vektoren ist wie kann ich Vektoren voneinander subtrahieren – ich addiere – den Gegenvektor – wenn sie das wissen – müssen sich kein Rezept gemerkt haben – das mal allgemein – was ist die Differenz dieser beiden Vektoren – dass man sie gerade mal selber hin – wenn diese Differenz doppelt so banal das – Wetter schon alle einig – die Differenz von den beiden Vektor tragen sie auch mal in aber – keinen Schaden – was ist das – sicher die Differenz der einig nennst mal A und B – sie malen mal die Differenz – hin – Fragezeichen meine Differenz haben minus B wie sieht die aus ?? – und ihr von den Beinen bei den Einkäufen und so weiter es klar wie das gehen muss sie ziehen das schon voneinander ab Manns bei den beiden mal was heißt jetzt eigentlich Vektoren voneinander subtrahieren – das Gegenteil ✂ addieren – als dass – die auf der rechten Seite – des Fischer mit den Zahlen erst mal einfacher was rechnen denn – ich habe gesagt – die Differenz – soll sein ich nehme den ersten sowie da ist Schluss – und ?? zweiten nämlich den Gegenvektor – offensichtlich minus sieben null – drei – mit die beiden addieren den und den lese Nullvektor raus das sie und muss aus der Gegenvektor von den oben seien – die beiden muss ich addieren – der Vektor A und von den zweiten Gegenvektor das ist was ich oben geschrieben habe die Differenz ist – den Gegenvektor – addieren das inverse – addieren – ?? und das kann ich es ausreichen die Summe von den beiden dass es banales über ausreichend eins minus sieben macht also minus sechs zwei plus null sind zwei und drei plus drei sind sechs ?? ist nicht null da wie man eine Stelle neu gesehen ?? selbst wenn sie schon rechnen drei minus minus drei ?? Pluszeichen – plus – ich nur – so wäre das bei dem – keine besonderen Regeln es gibt – die Addition von Vektoren und es gibt das Inverse eines Vektor ?? Aktion heißt das inverse – addieren – und das geht netterweise hier bei den Linken – kann von dem B – den inversen bilden – umgekehrte Richtung selbe Länge das wäre minus B – und jetzt addiere ich A und minus B – sitzplatztechnisch – etwas ungeschickt stelle ich gerade fest – war sogar das machen – ja die RA – in den Veteranen ?? – Punkt parallel verschieben – in der Vektor A – den Weg minus B – und jetzt bilden sie die Summe A – minus B die Summe aus den beiden also der hier – das ist der Vektor A minus B die Summe von A und – minus B – sie hätten das auch im Parallelogramm machen können das mal Klammer auf alles immer einmal – etwas krumm gesehen habe so sehr das Parallelogramm – aus – Parallelogramm heißt der wirklich – die gegenüberliegenden Seiten sind parallel – das sozusagen das Kräfteparallelogramm – vergleiche sogar Pfeile in das wäre normal minus B – und das wäre noch mal A – so sehe das als Kräfteparallelogramm – aus an dieser Stelle greifen sozusagen zwei Kräfte an Ana rechts oben minus B – nach links unten und der rote Fall – ist die Summe – zu seelischen Kräfteparallelogramm – Punkt – oder sie malen hier nur den – oberen Teil ein wie das gerade gemacht hatte drei gratis auch – damit ?? jetzt die Addition von Vektoren und die – das Bildnis inversen eines Vektor des Gegenvektor Sven so wollen das es eingebaut in jeden Vektorraum – und damit kann war auch Vektoren voneinander – subtrahieren – und nach der Pause geht's drum wie man denn Vektoren mit Zahlen multipliziert das ist die andere wichtige Geschichte