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20B.1 Ableitungen, ein paar Fingerübungen


CC-BY-NC-SA 3.0

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sojetzt von der hohen Mathematik wieder zurück zumdummen rechnenein paar Ableitungenund zwarwas passiert wenn sie X Quadratsmeilenatürlichen Logarithmus von Xableiten nach Xwas passiert wenn sieeh hoch Minuswurzelableitennach Uwas passiert wenn ich sage meine Funktion X von T soll seinwie hoch minus zweiundvierzigC mal den Kosinusvonzwei C plus dreiwas ist dannXPunkt von Tundder letzte im Bundesage meine Funktion F von X soll sein?? definiertals der oben auch definiert alsameinsdurch X hoch dreiausdem Sinusvon Xklarmachen?? eins durch X hoch drei Pluszeichen Sinus von Nexus klarer was zusammen gehört ?? durchX Sofia plus dreiwas ist dannF Beistrich von Xvierer dumme Ableitungen nach Schema Fdas ist nicht wirklich Mathematik muss ich gestehenso der erste in ?? extra so geschrieben um sie zu editieren ?? dieses Dan nach die X ist ja eine Schreibweisefür die Ableitunglassen Sie sich nicht von diesem Bruch in Anführungszeichenirritierenwenn sie sehen den ATX heißt das ja nur leider nach X abda wird nicht geteilthistorisch Fulda geteilt und das kann man sich auch so vorstellenaberwas hier geteilt wird ist nicht das was abzuleitenist das was abzuleitenist steht da X vertrat mal die Logarithmus das es abzuleitenist es nicht mit irgendeinem Bruch abzuleitenso das letzte was ich hier machebei diesem Ausdruck ist modifizierendieses Mal was da gar nicht stehtdieser Produktregelwas mach ich als letztes hier ein Produktalso Produktregelden ersten ableiten zwei X den zweiten stehen lassenden ersten stehen lassen bloß dazwischen bloß den ersten stehen lassenmal den zweiten abgeleitet Logarithmus natürlich nur Gutes ableiten müssen zwischen einzig Xverkürzenbesser wird's nichtnurdieser Fassade noch was vor das der stetszu Produktregelsagendiekurze Begründung für die Produktregelwie ändert sich das Produkt zweier Zahlen Produkt zweier Zahlen ist sowas für die Fläche eines Rechteckwie ändert sich die Fläche eines Rechteck?? wenn sie die eine Seite verändern und wenn sie die andere Seite verändernwas sie als Änderung kriegen ist mehr oder minder die Änderung der einen SeiteDeltamal die andereWelt der U mal Vplusdie Änderung der anderen Seite mal die eine Delta formal wowas ist was sie mehr oder minder als Flächenänderungkriegen für das rechteckige oben ist ein bisschen über aber das ist ?? Aroma Delta Vdas ist nicht allzu vieldas fällt dann weg nach ?? wenn man sichdie Ableitungen an Punktähm das ist die Anschauung hinter der ProduktregelFlächeeines rechtexändertsichumdie Änderung des einmal in anderen Plus die Änderung des andern mal in einenFluss ein kleines bisschen und ?? wirklich Ableitungen bildet dieses kleine bisschen der oben und fliegt rausda kommt die Produktregel eherden einen ableiten mal den anderen plusin einstehen lassen meinen anderen ableitendas war der erste so der zweiteEhe hochminus wurzelbäuerlichenSchreiben nicht N N sieht so aus ?? natürliche Zahl sehr komischeh hoch Minuswurzelnach U ableitendie hoch Minuswurzelnachob sieauch wieder von der Schreibweise nicht irritieren lassenSysteme nach DO ist nicht als Bruch gemeint sondern als Aufforderungabzuleitenleite ab nach der VariablenUsound jetztguckt man sich wieder an was steht dafür ein Ausdruck das letzte was hier passiert in diesem Ausdruck ist die Funktion einer Funktionwie hocheine FunktionKettenregel gesteht nicht als letztes ein Produkt oder ein Prozent oder eine Summesonderneine Funktion einer Funktionhaben eh hochBeistrich weil es wirklich nur mitFleisch auf Maschinchensie haben dieFunktion eh hoch irgendwas des Mensafunktionund in diese Ex Mensafunktionfällt rein was vor die Funktion minus wozuausgerechnet hat die FunktioneinerFunktionKettenregelist angesagtanaußer Ableitung mal innerer Ableitung die äußere Funktion ist Exponentialfunktionderen Ableitung ist wieder die Exponentialfunktiones bleibt also stehen eh hochjetzt vorsichtig das was davor gestanden hat ?? äußere Ableitungdie äußere Funktionableitenvon dem was der vor sowieso drin gestanden hat dasselbe Muster oben stehen bleibenmalen jetzt kommt die innere AbleitungMinuswurzelU ableiten nach oben vertreibt er sogar mal hin die Ableitung von Minus Wurzel U nachobendas hätte ich da gerneeinender Trick das haben glaube ich alle gemerkt der Trick ist das mandas schreibt alsminus U hoch ein halbWurzel aus Uist hoch ein halbdas steht da eigentlich das Minuszeichenkann ich rausholen aus der Ableitungsfaktorminus eins und es muss ich Buch ein halb ableitenminus U hoch ein halb ableiten die ein halb kommt nach vornePotenzregelfür die Ableitung des ein halb kommt nach vorne und es inhaltlich um eins verringert im Exponenten steht also ein halbminuseinseins wenigernach vorn und Exponenten eins wenigerdann sind wir bei minus ein halbbesteht also minusein halb ?? hoch minus ein halbplus ein halb heißt Kehrwert der WurzelUKehrwertWurzeldamit also insgesamt zweiE hoch MinuswurzelUminusein halb Kehrwert der Wurzel mal natürlich alles mal minusein halbKehrwert der Wurzeldas kommt zum Schluss rausgleich normal zur Kettenregelwurde Kettenregel Herr kommt anschaulichich möchte wissen was passiert wenn sich nur ein bisschen ändert wie ändert sich der gesamte Ausdruckguck ich mir zuerst an wie sich der Exponentändert hier das ist diese innere Ableitungund dann muss ich wissenwie sich die Änderungdes Exponentenauswirktauf die Änderung der Gesamtfunktionwas ändert sich an der Ehefunktionwenn ich mir etwas andere Zahlen Exponenten einsetzena tolldas sagt mir die Ableitung der E Funktiondie sagt mir welche Übersetzungsverhältnissozusagen das durchschlägtda kommt die Kettenregel herschautoder wenn sie das hier so auf malmeinEingangin die minus Wurzelfunktionwird etwas geändert?? endlich kleines Stückchen geändert und ich frage mich wie weit wird sich jetzt das Ergebnis ändern dazu guck ich mir an was die Wurzelfunktionanders Machtableitungder Wurzelfunktionund diese Abweichungwird dann ja noch maldurch die Ehefunktion geschickt was macht IE funktioniertmit dieser Abweichungdas es dieses Produkt dann mit der Ableitung der E Funktionalso bei der Kettenregeläußere Ableitung mal innerer Ableitungoder innerer mal äußere egal Produktist Kommutativgesetzund in die äußere Ableitung setzen Sie dieStelle einja immer schon bestanden hatwas ich in die Ehefunktion einsetze ist immer nochbei minus Wurzel U ein kleines Stückchen danebenAbleitung an dieser Stelle der Originalstellesozusagender nächste ?? so hier die Schreibweise aus der Physik mit dem Punktwenn der Physik was nach der Zeit abgeleitet werden soll schreibt man gerne ein Punkt darübermacht das ganze noch kürzer denn sie schreiben die X nach DTanspäter in der Relativitätstheoriefängt man dann an das man nur noch im ?? Komma oder Semikolon im macht zum ableitenegalähmist das letzte was passiert wieder ein Produktletzte Rechenschrittmalnämlich eh hoch sonst ?? Firma Kosinuswir haben diese Zahl eos soundsoviel Jahren die Zahl großes N zu viel und damit als letztes das Produkt davon gebildet also Produktregelden ersten ableitenKommadass man jetzt mit der Kettenregeldiesen ?? ableiten mit der Kettenregeläußere Ableitung hat man gerade gesehen ?? offenes Wein vierzig T bleibt so steheninnere Ableitung minus zweiundvierzig T nach T ableitenPunkt minus zwoundvierzig T nach T ableitenan sie noch minus zweiundvierzig stehen hier nach C ableiten also mal minus zweiundvierzigmal?? bei der Produktregelsind viele Schritte auf einmal Übung macht den Meister etwa bei der Produktregelden ersten habe ich abgeleitet jetzt in der Kettenregelder Kursus bleibt stehen Produktregelzwei T plus dreijetzt kommt der zweite Teil der Produktregelden ersten stehen lassen den zweiten ableitenden ersten Straße stehen plus den ersten stehen lassenden zweiten ableiten Kosinusvon irgendwas wird wieder die Kettenregeläußere Ableitung heißen Kursus abzuleitenPunkt das normal großes ableitenSinusfängt mit Steigung eins anBusiness abgeleitet ist der Kosinuswenn sie den Kosinus ableiten der fängt mit Steigung null anundsingtminus Sinus genauminus Sinusmusters werden es kann nicht anders werden auch ohne Formelsammlungalso als Ableitung von den Kosinus hier minus minus mal minus Sinusvon dem was da sowieso drin stehtwie ebendas war die äußere Ableitung meines Containern Ableitung zweite plus dreinach C ableiten??zweidas wäre der??gesagt es sich also viel Mathematik das eseinfach das stumpfe Anwenden dann von diesen RegelnMathematik wäredas sie verstehen wo diese Regeln herkommen das wäre mir am allerliebsten wenn sie verstanden haben wo diese Regeln herkommen dann ist der Restbanalso der letzte Einbruchindas letzte was hier passiert ist offensichtlich dass ich den Bruch ausrechnet ?? ich rechne den Zähler aus sich rechnenden Männer ausletzte Schritt ich teile die beiden durcheinanderQuotientenregelwird also das letzte seinAuto vermisse mehr Platzso ein langer BruchstrichQuotientenregel sagt dem Männer verlierenin einer Quadrierenso nerven sie auch mal wieder Nachdenkenkommt das eigentlich herkämedie Reihenfolge oben nicht merkenähmsowas haben U durch V das soll abgeleitet werdendann steht er ja eigentlichnun mal eins durch Vabgeleitetdurch Frau ableiten zu mal als ich vor ableitenund jetzt kann ich sagen um mal kann ich das Produktregel Produktregel es einfach hier ändert sich die Fläche eines Rechteck Produktregel kann ich im Schlafähmdas ist O Strichmal eins durch VplusU mal die Ableitung von eins durch Vmit Produktregel den ersten ableiten den zweiten stehen lassen plusden ersten stehen lassen den zweiten ableitendas wir Produktregelwie kann ich eins durch V ableitenalso Vorschlagja beschreiben das hier als Frau hoch minus einsabgeleitetfauchen eins abgeleitetwird sowas werden wieminus V hoch minuszweiaber da fehlt mir jetzt was fehlt mir da nochdas Musik normal aus ?? erklärt eine Funktion durch eine andere Funktion davon die Ableitungder komme ich draufdiktiert wird einer Funktion davon die Ableitungdes leichter zu kennen wenn es am Beispiel sehenan diesem Beispiel mal vorgeführt die Ableitungvon eins durchSinus von Xeins durch eine Funktionableiten das wir das konkret bei hingeschrieben einer Funktiondie Ableitung von Sinus von X hoch minus einsmit welcher Regel gehen Sie daranähm sie können das natürlich mit der Quotientenregelmachenihnen sehr einfach liiert weil die Ableitung von Zähler null ??ich wollte das etliches ausgeglichen nicht mit der Quotientenregel haben weil ich ja damit die prozentige begründen willund deshalb über die Kettenregelder Kehrwert vom Sinus ich hab zwei Funktionendie miteinanderverkettet sind ich habe den Kehrwertdas ist die äußere Funktionzum persischenTrichteram?? habe den Kehrwert das ist die äußere FunktionBleupo minus eins das ist die äußere Funktionund die innere Funktion ist der Sinusdas meiste des Extra Umfeldes X rein erst durch den Sinus untenden Kehrwert nehmenanKettenregeläußere Ableitung man in Ableitungdie innere Ableitung ist kein Drama das haben sie alle Kosinusvon X besteht er aber als Faktor dahinteräußere mal Innere der Kosinus wieder hübschganz allein als Faktor dahinter und davor steht die äußere Ableitungund das ?? etwas überraschend offensichtlichich muss den Kehrwertableitenwas ist die Steigerung von KehrwertkommenKomma ?? Extrablatt also was ist die Steigung vom Kehrwert X hoch minus einssteigen vom Kehrwert naja schön Potenzregelist minus X hoch minus zwei also minuseins durch X Quadratdie Ableitung der äußeren Funktion die Ableitung vom Kehrwertist minuseins durchs Quadratdas ist die Ableitung der äußeren Funktionminus eins durch das Quadratden Kehrwert ableitenist minuseins durch das Quadratdas ist die Ableitung der äußeren Funktionund ich setze jetzt ein die äußere Funktiondas einwas vorher als innere Funktion gestanden hat denken Sie an das mit ihm hoch ebenandersdas mir hierHerrnich möchteeh HochwurzelMinuswurzelableitenäußere Ableitung eh hoch ableiten wird wieder äh hoch untersteht weiterhin das was davor gestanden hat in der Funktion brennen die äußere Ableitungan der Originalstellediese innere Funktionwarhierdie äußere Ableitung an der Originalstelleund das war Sinus von Xdas kostet Überwindungdas sehe ich geradeaber so gehört das an dieser Stellealsodieinnere Ableitung geschraubt ?? ?? unter die innere Ableitung ist geschenktSinus wird zum Kosinusdie äußere Ableitung scheint ein großes Drama zu seinden Kehrwert ableitenund die Ableitung nicht mehr an an der Stelle Sinus X der Kehrwert abgeleitet ist minus eins ist Quadrat?? sehendas Gruppen sich an anderer Stelle Sinus Xkönnen wir jetzt weiter mit Tangens oder Cotangenshübscher schreiben egalsollte er nun Beispiel seinein Beispiel für diese Geschichte hier Beistrich als auf ein paar nicht ganzein Beispiel für diese Geschichteich möchte den Kehrwert einer Funktion ableitender Kehrwert einer Funktion abgeleitetist nicht einfachminus diese Funktion hoch minus zwei sondern was fehlt mir nochder die innere Ableitung V strich fehlt mir noch wenn sich das anguckeneins durch den Sinus ableitenSinus hoch minus eins ableitenwas haben wir minus eins durch Sinus quadratsfeinmal die innere Ableitung vor Beistrichdas fehlte mir ebenfallsBeistrichso kann sich jeder nennen das sollte eine normale kurze Herleitung für die Quotientenregelgewesen sein wie leite ich einen Quotienteneinbruchabich bitte einfach aufZähler Marke wird es in den nassen Kehrwert ist mir das Ding wirklich mit Kettenregel sind wir dajetzt kann ich zusammenfassenO StrichZähler ableitendurch den Nenner plusminusden Nenner Quadrierenunten lassenund oben mal die Ableitung des Nenner bringe alles mal aufV Quadratden erweitere ich mit V entsteht ?? O Strich mal V durch V QuadratO StrichVminusda steht schon V Quadrat untenU mal V Strichso geht also dieQuotientenregelden Zähler ableiten mal den Nenner minus den Zähler mal in eine abgeleitetdurch den Nenner ins Quadratwie ich mir das merke ist ich weiß einfach ?? diesen ersten Term ich Weißzählerdurch Nenner ist selber mal eins durch Nenner es geht also los mit Zähler ableitenmal eins durch Nenner die Ableitung des Zählers mussten plus habendie Ableitung des ?? Beistrich nach ?? Dienstes geht mit der Ableitung des Zählers loslange Vorbemerkungum es endlich zu der Aufgabe zurückzukommensollähmes geht also mit der Ableitung des Zählersloseins durch X hoch drei ableitenda hatte ich ebenwilde Sachen gesehendas wird ja nichts zu drei X Quadrat oder was die vorn steht der X hoch minus dreidas nicht übersehen das ist X hoch minus dreiund X minus drei wird also zu minus drei Mal X hoch minus vier bis ableitenda nicht von Excel drei irritieren lassen??den ersten ableiten zweiten ableiten Kosinus das ?? jetzt zu genügedas ist die Ableitung des Zählersund diemal den Nenneroder Switch und Ängste umdie mal den Nenner X hoch vier plus dreiminusden Zähler stehen lassen und den Nenner ableiteneins durch X hoch dreiplus den Sinus von Xden Zähler stehen lassen den Nenner ableitenvier X hoch dreida Komma seiner was zusammenfassenaber das es irgendwierettungsloschancenlosähmdas Reich der Mitte das ?? hinschreibenwollte an der Stelle nur wissen ob sie die Ableitungsregelndraufhabendas ich das zusammenfassenlässt kein Wunder sie sehen eine ganz billige Art wie man das vereinfachen kann man kann in der Regel natürlich hierdieses V das Vzumindest für den ersten so manchen streichendie können ja wieder dahin zurückwas ist die Ableitung eines Bruchesbin Zähler ableiten durch den Nennerminuswird sich auf dem selben BruchstrichdenZähler mal die Ableitung des Nenner durch den Nenner ins Quadratkönne sofort hier oben auch diese ?? zu vier plus dreißigster viertes drei zumindest im ersten Sommer loswerdenhaben sie nicht mehr einen einzigen Bruch sondern Summesowie die Quotientenregelaus ist etwas ekliger von der Rechnung her?? das es als es keine größere Mathematiksondern nur ihr dummes Rumrechnenmit den Ableitungsregelnwenn dasnoch nicht hinhauthier und da gab's insbesondere mit der Kettenregel noch Problemewürde ich empfehlen schreiben sie sich irgendwelche Ausdrücke hinüberlegen sich was rauskommt und mit Wolfram Alpha könnt ihr nachprüfenob sie richtig gemacht haben Wolfram Alpha seid ihr sogar den rechten Weg kann nicht schadenwenn sie davon sicher sind