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01E.1 Linearkombinationen von Pfeilen und von Funktionen

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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die – mathematische Idee Hintervektoren – was kann ich eigentlich mit Lektoren Tumor sollen Lektoren sein – ?? – nicht unbedingt Sachen – mit einem Fuß – und einer Spitze und einer Distanz dazwischen nicht unbedingt – im mathematischen Sinne sind Sektoren – Sachen – die man – addieren kann ein Vektorplus einen anderen – dass es ein und man kann sie mit Zahlen modifizieren – können sagen was das fünffache eines Vektorsis oder das minus sieben fache als Weg das ist – Komma dass jetzt hübsch fast hundert mathematisch – mathematischen Begriff von Vektorraum – eine Menge von – Dingen – das können Pfeile sein aber das können dann gleich auch Funktionen sein oder noch viel schlimmer Geschichten – eine Menge von Dingen die man sinnvoll addieren kann eines von diesen Dingen und ein anderes gibt wieder so eins von der Sorte – und ?? sind Polizeioffizier – man kann sagen das fünffache das null fache das minus die fache das Wurzel zweifache von so einiges dazu ?? dass die Fach ?? oder das zwei plus drei fache davon – den Vergleich – das ist was man als Vektor bezeichnet und dabei sollen – ?? mit Sternchen – soll die üblichen Rechengesetze gelten – kann man auflisten ist nicht so richtig – spannend und in Wikipedia nachgucken – Beispiel soll egal sein ob sie – den ersten Bus den zweiten Weg berechnen oder den zweiten Fluss den ersten Vektorrechnern Komma Relativitätstheorie – Beistrich – immer man so ?? Situation hat heißt das dann automatisch ein Vektorraum – so eine Menge von Vektoren mit solchen zwei Operationen – als Vektorraum – kann sicher verschiedene Mengen Zahlen angucken typischerweise reelle Zahl dass sie mit Pi multiplizieren – können oder mit Wurzel zwei oder mit minus achtundneunzig multiplizieren – können sein Vektor – klingen doch die konvexen Zahlen dann rein dass sie mit drei Plus Wurzel zwei I – oder ähnlichen Geschichten multiplizieren – können – Mathematik – man sich noch schlimmere – Mengen an Zahl Körper heißt das dann schlimmere Mengen Zahlen einer bei uns wird sich dem komplexen kommen dann noch vor den komplexen Zahlen – das soll die mathematische Idee von einem Vektor sein und Kleist – mit Pfeilen geht das in dem Einfall sie mir noch einfallen dann können Sie sagen was die Summe sein soll und das ganze Jahr nicht von der Reihenfolge ab ob sie den ersten großen zweiten und zweiten Bussen erst nehmen wenn sie drei Fall agieren sie Gase Klammer zu weiter – klage das mit Feindes mit dem addieren – und das modifizieren – wenn sie das dreifache eines Files haben wollen einmal miteinander – den Bauch in – das Wurzel zweifache Smith in schwieriger einfach und ?? Komma vier soundso vielfach ineinander hängen – das wusste zweifache eines Rektors das dreifache eines Sektors winziger Pfeil ist mit den Pfeilen geht das auf jeden Fall – es geht eben auch mit anderen mathematischen Objekten das ist das Spannende alles was man über die fast alles was man über die Feile lernt – kann man – für ganz andere mathematische Objekte auch anwenden sind Begleitfunktionen – noch mal im Detail – zum Ansatz weisen sie – schon Marx vertrat – zwar das funktionsfähige – Zwist klein X wird abgewehrt ?? zwei ?? das nur so – so ein Ding und dann addieren sie dreimal X hoch drei dazu – können sie doch irgendwie sowas sagen wie das ist ein – Vektor – und das ist – ?? drei ist ein Vektor – X und drei habe ich mit der Zahl drei modifiziert spannend – erscheint zu fusionieren ich kann den – Vektor X hoch drei mit der Zahl drei modifizieren erscheint fusioniert zu haben – kann ich den ersten Vektor diesen zweiten Vektor addieren der scheinbar so funktionierenden – Multiplizieren mit Zahlen addieren – mit den üblichen Rechengesetzen – und vierzig sind dann eben Funktionen auch – Vektoren – oder normalen Details – einer der Begriffe – doppelseitig – hinaus nach dem Vorspann ja einer der Begriffe die – ganz grundlegend sind – es die Linearkombination – kommt in den Ingenieurwissenschaften – Id nicht so dramatisch vor – Zettel schreiben und auswendig lernen ist eine völlig banal – was einmal gesehen hat was die Idee ist dann – ganz simpel – man – hat ein paar Vektoren gegeben – und baut jetzt – Vektoren daraus – mit diesen andere neue – Vektoren daraus mit diesen – Rechenoperationen – die meinen Vektorraum hat – massig Bilder eine Linearkombination – von Vektoren schreibt – Argumentation von Vektoren zum Beispiel in dem ich sage ich nehme dreimal – den ersten – Vektor in ein Vektor aber so Komma das ist – plus vier mal ein Vektor – B Plus Wurzel zwei mal ein Vektor C minus Pi mal einen Vektor – D – das wäre eine Linearkombination – oder ?? Ritter sogar die Manipulation – der Vektoren ABC – dass es nun umständlicher Name für etwas ganz banales – gegeben – irgendwelche Vektoren – können Sie daraus Linearkombination – bilden sie können die Vektoren liegen ja – kombinieren – und zwar – auf diese Art sie wenden einfach an was sie mit Lektoren tun können Sie können mit Zahlen modifizieren und sie können addieren – wenn sie die Direktoren wir haben was ganz ?? will sie können zum Beispiel dreimal den ersten ?? über den zweiten zweimal den – dritten minus die mal den letzten – ?? ein Beispiel mit diesen – Vektoren aus der Geometrie – kann man folgenden Vektoren – den Vektor – eins zwei – kann man den als Linearkombination – das mal im Jahr kommt – von folgende zwei Vektoren schreiben drei – vier – und – drei minus zwei – das – können Sie diese beiden Vektoren hier drei vier drei minus zwei – so miteinander – den ja kombinieren – als zusammensetzen – mithilfe von diesen Operationen sodass ein zwei rauskommt – Punkt dass man – so der – Ansatz wäre also – nicht dass sie noch anzugucken – möchte diese beiden hier mischen die beiden Vektoren hier möchte ich mich so soviel mal den ersten groß soundso wie meine zweiten mehrmalig – ?? und dann soll ein zwei raus kommen – was will ich also habe ich möchte das eins zwei – ein Vielfaches von den ersten ?? sich schon mal – Klammer zu erweise X geschrieben und habe – auch immer – um mal den ersten – groß V mal den zweiten – ?? das möchte ich wissen geht das oder geht das nicht gibt es Zahlen – U und V sodass ich einstweilen – so zusammensetzen – kann aus den beiden – was auf der rechten Seite steht es eine beliebige Linearkombination – von diesen beiden Vektoren – wie Fach zum ersten die Version zweiten zusammen addiert – ?? Falles gibt es eine Zahl U gibt es eine Zahl V das das geht – dann teilweises aufgezeichnet – keine schlechte Idee nur viele meinen sie zahlen und V bei diesem Beispiel nicht durch Zeichen ?? arg krumm sind Komma kann ich zum Sommer grob vorstellen was passiert – ich nehme den Vektor drei vier – drei nach – rechts vier nach oben zu nur – drei nach rechts – dran – und vier nach oben – wenn Sie so wollen – den Weg zur drei vier ich nehme den Weg zur drei minus zwei also drei Nachricht zwei nach unten – und ich möchte rauskriegen – eins zwei jetzt untermalen sollen ein zwei möchte ich rauskriegen also zwei nach oben so zu sagen wie ich diese beiden jetzt – denn einer kombinieren kann frage ich mich um den rauszukriegen – finde das jetzige zu Fuß probieren – Komma den Kürzen immer davon nur die Hälfte vielleicht – Punkt – keine Ahnung Nehme davon minus ein drittel – diesen hier – und diesen – addieren – das es grafisch alles müssen täglich das Netz rechnen müssen Komma das wäre die Idee – könnte diese beiden Vektoren mischen – und in der Tat zwei rauszukriegen ?? ich würde jetzt einfach brutal rechnen lassen und dir dann auch getan – es muss also sein eins muss sein dreimal mutlos dreimal Frau – und zwei muss sein – viermal – minus zweimal V – wenn sie das ja ausrechnen was ist das Ufer ?? vom Vektor drei vier – aus drei – und vier – das Doppelte haben wollen würden zwei mal drei vier – sieben sechs acht – Doppelpunkt drei das Doppelte für die dessousfache – betreiben vier – das ist der hier das sie mit drei V minus zwei V und wenn sie Addieren haben sie oben bei plus drei V und unten haben sie vier minus – zwei V – das heißt diese Gleichung hier – Gleichung – mit Vektoren links und rechts – ist – bedeutet das selber ist logisch äquivalent zu – diesem Gleichungssystem – einen Jahres Gleichungssystem – die an schon mal auch hoffentlich warum Vektoren was mit den Anleihesystemen – zu tun haben umgekehrt ?? man kann Vektoren in derlei Systeme – kompakter schreiben – als diese Gleichung hier oben ist – dieses Gleichungssystem – ist logisch äquivalent zu diesem Gleichungssystem – das kann man jetzt auf tausend und eine Art lösen wir sind die Semestern offenbar – sagen – intelligente – Arten große Gleichungssysteme – zu lösen über so kleinen – zwei unbekannte zwar Gleichung – Komma zwei schlau zu machen ?? wenn sie eine Million gleich und eine Million Unbekannte haben dann – Mississippi systematisch angehen das kommt diese Messer dran – irgend ein ✂ Vorschlag – wie man die raffiniert umformen kann – ?? – zum Beispiel die obere Gleichung nach U auflösen – unten einsetzen – oder – eine besinnlich krumm – oder vielleicht – ?? gleich mal zwei nehmen die untere Gleichung mal drei nehmen und addieren das es schon deutlich raffinierter – Punkt manchmal – die obere gleich mal – zwei nehmen also zwei ist gleich sechs U plus sechs V – und die unter gleich mal drei nehmen – sechs ist gleich – zwölf U minus sechs V – wird uns die beiden gleichen addieren dann fällt V Weg – ohne dass ich jetzt diese Brüche habe das macht es etwas – eleganter – aus ich könnte die Summe – bilden von den beiden Gleichungen – in diesem ?? oben gilt die Gleichung der unten Geld – verbrennt die beiden gleichen addieren muss die Summe der linken – Therme gleicht die Summe der echten Lärm sei – das mache ich jetzt mal links steht acht – muss also dasselbe sein wie achtzehn Uhr – Deutschen einst – und jetzt will das V Weg – achtzehn U und das Faust weggefallen – ?? die beiden natürlich nicht nur zu einer gleichen machen – ich müsste eine der beiden Gleichungen behalten – oder ich könnte noch die Differenz von den beiden Gleichungen nehmen – überlege mal ?? was ich sinnvollerweise – behalte vielleicht die erste Zahlen scheinen etwas freundlicher – sparte man die erste zwei ist gleich – sechs U plus – sechs V – Schlafzimmer gewesen sein – wo ist also – Teile durch achtzehn acht achtzehnte – will sagen vier neuntel – und John Nummer V raus – disziplinieren – sechs V bis zwei minus sechs U ?? sechs Teile – werden manchmal machen – eine über ?? sechs Teilen – steht da nicht zwei sondern ein Drittel – und ich habe V ist gleich ein drittel minus um – ein Drittel minus vier neuntel vorher – zu Kopfrechnen auf einen Nenner bringen – alles auf neuntel dann haben Sie hier – drei neuntel – minus vier neuntel – ist also – ?? ist minus – ein neuntel ✂ das – heißt – es gibt tatsächlich – solche Zahlen U und V mit denen das geht also die Antwort ist ja – die habe ich sogar – nicht nur begründet dass es solche Zahlen U und V gibt ich habe sogar ausgerechnet welche Zahlen U und V das sein müssen es gibt nur eine Möglichkeit auch – offensichtlich – vier neuntel für das wo und minus ein neuntel für das V nur so geht es es gibt keine andere Möglichkeit haben herausgefunden ihr – alles immer alles logisch äquivalent ist Punkt – alles mal so schallend ist – das hätte man natürlich jetzt im einzelnen man sich genau überlegen müssen welche Gleichungen nehme ich – habe jetzt wirklich logische Äquivalenz – was ich eigentlich – gut gezeigt habe bis jetzt immer das – von links nach rechts aus – dieser Gleichung folgt dieses Gleichungssystem – daraus folgt dieses gleiche System daraus folgt das Gleichungssystem – doch das Bankensystem – aus über die – ähm dieser Weg von links nach rechts den habe ich eine vernünftig gezeichnete wich zurück – das war gerade doch eher – Ende wedelt – was man tun könnte sich da greifen meine die vier neuntel und die minus ein neuntel setzt wiederum ein wenn das stimmt – dann auch der Weg zurück Punkt – offensichtlich geht er nicht zurück also ja man kann ein zweites in der Kombination von drei vier und drei minus zwei schreiben – wohin das mal einmal gerade – auf eine etwas komplexere Art – ist – der Vektor eins zwei drei vier – neun eins vier dimensionale – eine Linearkombination – von – diesen drei Vektoren – eins eins null null – null eins eins null Euronen ✂ eins – sachlich einfacher zu rechnen – das ?? mal – es – geht dank der einfachen Zahlen etwas schneller – als ich wüsste gerne – selber Ansatz für eben ob der Vektor eins zwei drei vier vier dimensionalen – sich schreiben lässt als irgendwas – mal – eins eins null null – plus irgendwas – mal null eins eins null plus irgendwas – mal – null eins eins – ?? geht das oder geht das nicht ist die Frage – wo gerade – Anmerkung – Karl kam schon die Frage auf – wenn sie nur Zahlen hätten dann wäre das ziemlich banal wenn sie fragen würden ist dreiundzwanzig – nicht – ähm – um mal sieben kleines V – mal – drei – ist immerhin offensichtlich solange nicht null – null stehend – bezahlen ist Dramatischvektoren – jetzt Band – habe die Raumrichtungen – haben und im Zweifelsfall zu wenig Raumrichtungen haben das sieht man jetzt hier in Aktion – einem noch Geduld – beschreibt also hin was soll das bedeuten das es jetzt ein Gleichungssystem – mit drei unbekannten OVB – ein lineares Gleichungssystem mit drei bekannten OVB und Gleichungen – eins muss rauskommen – wenn ich rechne einmal U – plus nun mal V – Plus nun mal die gut – stehen zwei muss raus kommen wenn Rechner einmal U – plus einmal V – plus – Nummer WS null – drei muss rauskommen wenn ichrechne – Nummer V – Nummer ?? Utensilien schreiben einmal V – einmal W – und vier muss rauskommen wenn ich Rechner – nerve – das muss also verlangen – Frage gibt es drei Zahlen U V W – sodass das hier fusioniert alle vier Gleichungen gleichzeitig – erfüllt sich eine nach der anderen sind alle gleichzeitig erfüllt sind – die Zahlen so einfach – indirekt ablesen hier Humus Einssein steht er ja schon Humus Einssein – W muss vier sein sonst damit sowieso verloren – ?? ?? Gleichung bestimme das VO ist bei mir jetzt schon eins muss das V gleich eins sein ebenfalls mit A zwei rauskommt – Punkt es soll aber obendrein noch diese Gleichung erfüllt werden drei soll sein V plus B soll sein drei gleich V groß W also eins plus vier – das ist ein Widerspruch kann nicht sein – mit anderen Worten – eins vier eins kann auch nicht sein für VW – endlich – das es jetzt aber dass sie schon mal durchstreichen – auch das geht ja nicht ich finde wenn es überhaupt ein Buch gibt dann müsste das gleich eins sein wenn es überhaupt ein Weg gibt müsse das gleich vier seines Wappen V gibt müsse das gleich eins sein – da stelle ich fest geht aber sowieso nicht die haben wahrscheinlich – andere Werte dastehen Hauptsache sie stoßen auf den Widerspruch als es ist nicht gleich ein ?? gibt keinen Wert für ?? finden – weil diese – bei mir jetzt die dritte gleichen ?? für das meinesgleichen an der gleichen ?? auf jeden Fall ist dieses Gleichungssystem – widersprüchlich – es verlangt zu viel – also Antwort Nein – Punkt das ist ein wäre die Antwort ist keine Linearkombination – sie haben hier drei Vektoren im vier dimensionalen – ?? gucken sich an was sie mit den dreien bilden können und stellen fest – das hier können Sie nicht Bild ist es im zweidimensionalen – dreidimensional – leichter zu verstehen – wenn sie zum Beispiel zwei – Vektoren im dreidimensionalen – haben – und gucken sich an was sie aus den bilden können vielfach von dem einen – das Vielfache von dem anderen – dann kriegen sie immer nur Vektoren raus – in der Ebene von diesen beiden Vektoren liegen – sie kriegen niemals ein Vektor raus – der quer zu dieser Ebene zeigt – das ist der grundlegende – Tag an dieser Stelle – können mit zwei Vektoren nicht jeden Vektor des – drei dimensionalen Raums bilden zum Beispiel – auch hier sie können mit drei Vektoren im vier dimensionalen nicht jeden Vektor Jensen vier dimensionalen Raum werden – es könnte sogar noch schlimmer sein – ?? zurückgehen hier – zu – den hier – die können Sie – diese Aufgabe abändern wickeln sie den Vektor abändern – diesen drei minus zwei – und es wäre auch nicht mehr lösbar – ein zwei wäre auch ✂ keine linear Kombination mehr von drei vier von diesem Vektor hier was von anderen Vektor können Sie da hinschreiben und ein zwei ist keine Linearkombination – mehr – vorgenommen – hier ein Vielfaches von drei vier stehen würde – das wird normal in ein zwei drei vier – immer sowas probiert hätten – eins zwei kann ich eins zwei schreiben als Vielfaches – von drei vier – und dazu addiert ein Vielfaches von sechs acht – das sieht erst mal harmlos aus – aber sieht das genau angucken – drei vier – rechts vier nach oben sozusagen der Vektor sechs acht ist – das Doppelte davon – jetzt will ich aber ?? bilden den Vektor eins zwei – eins nach rechts zwei nach oben den Billigbildern aus den beiden Sinne sind diese beiden hier in vielfachen zusammen addieren haben sie keine Chance dass nicht immer alles auf eine derselben geraden – aus diesen beiden Vektoren hier können Sie den ich ausging und schon gar nicht den – ?? dass es gar nicht so sehr verständlich dass diese Gleichung hier lösbar sind – normalerweise – gibt man das mal davon aus dass nicht jeder Vektor so aus Solinger Kombination rauskommen kann ?? es sei denn die Vektoren hier auf der rechten Seite sind ganz raffiniert – zum Beispiel weil sie eine Basis bilden der Begriff kann auch schon – soll ich mal vorsichtig zu den – Funktionen – ?? die ganze Zeit hier mit Feilen agiert – Pfeile im zwei dimensionalen – Fall im – vier dimensionalen – und das ganze – geht auch durch für – Funktionen – plötzlich – kann man die Funktion als Beispiel – folgende Funktion – X wird abgebildet auf – X Quadrat – für reelle Zahlen X klar Fragezeichen – als Linearkombination – schreiben – Punkt folgende zwei Funktionen – muss man mit ausführlichen – Akkumulationsschreiben – von folgende zwei Funktionen – die eine soll sein – Text wird abgebildet auf zwei X plus eins und die andere soll sein X wird abgebildet – auf – X hoch drei minus – X Quadrat – solchen Funktion doch Namen – geben – die Funktion ?? oben wenn ich das ehrlich mal elf – und die nenn ich mal geh – denen ich mal haben – das es jetzt von der Notation Herrn bisschen pingelig – ingenieurmäßig – würde man sagen – ?? die Funktion ist zwei X plus eins – und die Funktion ist X hoch drei minus X Quadrat – ich schreib das jetzt mal ihren bisschen – übermäßig sauber – was ist eine Funktion – sie nimmt – irgend – ein Objekt – und – macht dann damit was auf der rechten Seite steht X wird abgebildet auf zwei X plus eins schulmäßig würde man schreiben ihr G von X ist gleich – zwei X plus eins – diese Schreibweise hier – wird uns in der Informatik wieder begegnen – wenn sie schon mal dran gewöhnen – dass es eine der vielen Gründe weshalb es hier so dann schreibe wir nehmen irgendein Ding namens X und rechnen dann aus zwei Express eins das soll die Funktion G machen – die Funktion H soll Machern – gegeben irgendein Ding namens X – Platzhalter – X – soll sie ausrechnen ?? Platzhalter hoch drei oder Wasser drin steht in den Platzhalter hoch drei minus was drin steht ?? hoch zwei – meine Originalfunktion – soll sein – Amt F soll sein sie nimmt – etwas das heißt X als Platzhalter und bildet dann damit das Quadrat – wenn Sie jetzt – das Übertragen von gerade – müsste das beantworten können kann man jetzt diese Funktion als Linearkombination – Schreiben – wird sicherheitshalber – was ist das doppelte von der Funktion – was ist die Funktion zwei ✂ F – Klammer auf – Nummer groß I Klammer auf – die Funktion zweier – was ist das doppelte so einer Funktion – so – genau – den – Wert der rauskommt verdoppelt das Ergebnis soll ich sagen verdoppelt – X wird abgebildet auf zwei – X Quadrat so banal ist das – was soll man sonst du sie vervielfachen das Ergebnis mal zwei nehmen diesmal null nehmen – wenn sie immer nur neu rausbekommen – und sie als ?? Komma folgendes wenn sie die Summe bilden die Summe der Funktionen G plus H – die nenn ich dann ordentlich G plus H sie dürfen sowas schreiben wie Sinus plus Kosinus – dürfen die Summe zwei Funktionen schreiben ✂ und dass es X dabei steht – die Summe der beiden Funktionen gibt es ?? – was muss das also sein – wenn – auch sie addieren für gegebenes – X die Ergebnisse – also X hoch drei – Observatorien – schreiben X wird abgebildet auf unseren Fall mit zum Strich längst X wird abgebildet auf wird die Summe von den Resultaten nicht so schreiben sie zwar – plus zwei X – plus eins – das simpelste mögliche was man machen kann macht man an dieser Stelle – und damit sind Funktionen plötzlich Vektoren – ich dann Funktionen – sinnvoll mit Zahlen modifizieren – ich kann Funktion sinnvoll addieren sich jeweils immer Funktion aus und damit sind die Funktion mathematischer Satzvektor weiß gelten die üblichen Rechengesetze – zum Beispiel auf die Ergebnishaar – addieren oder H plus G addieren die Reihenfolge – macht keinen Unterschied – wenn sie mit null modifizieren kriegen Sie die – Funktion raus – wie offensichtlich – der Nullvektor – ist in dem Spiel Resident null Funktion zu einer anderen Funktion addieren – bleibt die andere Funktion sowie sie war – und so weiter und so weiter das sind die üblichen Rechenregeln und damit bilden Funktionen – der zieh die Funktionen von den reellen Zahlen nach den reellen Zahlen ein Vektorraum – wir können uns überlegen ob diese beiden Funktionen ihr wenn sie von G und H alle möglichen Linearkombination – bilden – ob sie dann die Fusion der oben rauskommen – bekommen – sollte ?? gerade was Elektrotechnik sagen warum – warum in einer Welt in aller Welt kommt man in Elektrotechnik auf solche Gedanken – eine Funktion zu modifizieren stellt sich vor sie bauen ein Verstärker ein sie haben ein Signal – und sie gehen mit diesem Signal durch einen Verstärker durch – das ist – so eine Multiplikation – was es ist ganz normale elektrotechnische – Operation sozusagen sie multiplizieren – ihr Signal mit irgendwas – und hier unten – wenn sie mit Signalen arbeiten sie haben ein Signal und sie haben noch ein Signal – und dann bilden sie die Summe von diesen beiden Signalen – zum Beispiel am Mischpult in der Audiotechnik – sogar noch die Faktoren einstellen ?? das Mischpult in der Audiotechnik – macht in der Kombination – des Maschinen in der Kombination herzustellen – in dem so soviel von dem einen und sonstige von dem anderen und sonstige von dem nächsten Schieberegler einstellt – als diese Operation hier stattfinden das Vielfache bilden sie das Vielfache Berger die Summe bilden das sind alltägliche Sachen – nur mit Signalen – arbeitet – so genug der Vorbemerkung Gästezimmer fest ✂ geht das ist diese Funktion F ein Linearkombination – der Funktionen G und H – oder nicht – so – besetzen Reihe einfach fort was ist das Doppelte von F – was ist die Summe G plus H – jetzt allgemeinen – einen – das dessousfache – irgend eine Zahl nun mal die Funktion G plus irgend eine Zahl V mal die Funktion H – sonst wahrscheinlich bisher noch nicht gesehen stellt sich vor sieben sowas hinschreiben dreimal den Sinus Bus Firma den Kosinus das ist okay – dreimal die Funktion – Sinus plus vier mal die Funktion Kosinus – davon tun der Mathematik – also so soviel mal die Funktion GU soll eine Zahl sein Sohn zu vier mal die Funktion HV soll eine Zahl sein wie funktioniert das im wahrsten Sinne X wird abgebildet auf – das – fache von – G also gut mal zwei X plus eins das Ufer Ergebnis jeweils der Funktion G – plus das V fache Ergebnis der Funktion H – so sehr das aus – also wenn Sie zum Beispiel – wissen wollen das es das S zwei G plus einmal Haar – diese Funktion – dann – haben Sie die Funktion X wird abgebildet auf zwei mal zwei Express eins Plus einmal X hoch drei – minus X Quadrat – meine große Frage war jetzt – ist – die Funktion – F das was daraus kommt – das mal so ist das Fragezeichen – gleich der Funktion F auf das davon sind durch den schreiben wenn ich sage – Sinus ist der Name einer Funktion – kann ich mich fragen ist der Sinus Fragezeichen – gleich dem großen Rüstung kann X stehen ist der Sinus gleich den Kursus mein offensichtlich ist es müssen nicht gleich den Kosinus – das wäre okay das so zu schreiben F ist jetzt der Name einer Funktion – in unserem Spiel gleich zeitig der Name eines Vektor zwar nicht Funktion addieren kann ?? BEZAHLEN sehen kann der Name eines Vektor – frage mich also jetzt ist diese Funktion F – die bekanntermaßen – war X wird abgebildet auf X Quadrat – ist die Funktion F – dasselbe wie diese Funktionsuma – gehe bloß formal habe nicht ?? und V nur richtig wählen sie Magie und Fantasie hat keine Ahnung – also ist die folgende Frage werden wir eben das jetzt auch wenn es ihm umgewandelt in ein lineares Gleichungssystem – im hatte ich sowas – hier – ist der Vektor ein zwei drei vier das Ufer vom dem großes V -fache von dem Bus das Vielfache von dem – ?? umgewandelt in alias Gleichungssystem – für das etwas raffinierter – jetzt gewiss nicht direkt an den Jahres Gleichungssystem – was wird passieren – diese Gleichung hier frage ✂ ob diese Funktion – gleich der Funktion ist sein kann – wie kann ich es diese Gleichung ausbuchstabieren – so – also es gibt nicht eben – zwei Gleichungen oder vier Gleichungen sondern – kriege es einfach nur X Quadrat – ist es X vertrat dasselbe wie – nun mal zwei X plus eins – Plus V mal X hoch drei – minus X Quadrat besuchten Zahlen wohl gemerkt nicht Funktionen sondern zahlen zwanzig dreizehn nicht als was ich durchwegs weiter – so sind Zahlen und V gibt es diese Zahlen – sodass das Geld – ebenerdig zwei Gleichungen – und vier Gleichungen – bei denen üblichen Fall mäßigen geometrischen Vektoren deutliche zwei Gleichungen stehen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen – jährlich eins mit vier Gleichungen stehen – jetzt die dann nur noch eine einzige Gleichung – das ist – komisch – warum ✂ sollte noch eine einzigartige Chance einfacher geworden zu sein ?? vier Gleichungen nur noch eine Gleichung kommt es aber gar nicht einfacher geworden – so – und V sind die Unbekannten die Rolle von dem X ist noch eine neue jetzt das hatten wir eben nicht das man dicht dahinter schreiben aus Ausweis immer das machen nicht nur mäßiger Weise – mal gerne nicht aber zur Stelle wenn Sommer wichtig – für alle X – aus den reellen Zahlen – ich habe nicht nur eine Gleichung – eins ist gleich – ich habe unendlich viele Gleichungen für jedes Kriegs muss diese Gleichung gelten ebenerdig zwei Gleichungen vier Gleichungen – zurück – ich arbeite aber im zwei dimensionalen gearbeitet sozusagen männlicher sozusagen mein zweite Menschenalter – zwei Gleichungen bekommen ich Arbeit im vier dimensionalen – vier Gleichungen – und jetzt habe ich – streng genommen unendlich viele Gleichungen für jedes X – für jede reelle Zahl – muss diese Gleichung erfüllt sein – wie Quadrat muss gleich sein wo mal zweimal die plus eins Plus V Magie hoch drei minus die Quadratsdi – zwanzig ins Quadrat muss sein wo mal zur weiteren zwanzig Mann und so weiter für jede Zahl X muss diese gleichen gelten sie ✂ haben direkt unendlich viele Gleichungen – für zwei ?? bekannt – nicht nur eine einzige Gleichung – zum Beispiel – mit Wissen etwas klarer sie kriegen – oder – sie kriegen wenn Sie so wollen ein lineares Gleichungssystem – mit unendlich vielen Gleichungen – zum Beispiel wenn sie eins einsetzen eins Quadratfuß – seien nun mal zwei mal eins plus eins Plus V mal eins hoch drei – minus eins Quadrat – wenn sie zwei Einsätzen zwei Quadrat muss sein nun mal zwei mal zwei plus eins Plus V mal zwei hoch drei minus zwei Quadrat – wenn sie die einsetzen – Kiquadrat – soll die Quadrat – muss seien – nun mal zweimal – die plus eins Plus V mal die hoch drei – minus – die Quadrat wenn sie null einsetzen null Quadrat – muss sein nun mal – zwei mal null plus eins – Plus V malen null hoch drei – minus null Quadrat und so weiter und so weiter – unendlich viele Gleichungen – als ich habe eigentlich nicht mehr nur eine Gleichung oder zwei Gleichungen vier Gleichungen ich habe unendlich viel Gleichung für jedes X muss das gehen wenn ich X Quadratsrechner – soll dasselbe rauskommen also nicht das rechnen was auf der rechten Seite steht für jedes – X für jede Zahl X damit habe ich eigentlich unendlich viele Gleichungen – und das natürlich schwierig zu lösen zwei Gleichungen zwar bekannte wenn Sie schon mitgekriegt haben das geht üblicherweise drei Gleichungen raube Dante wird üblicherweise auch geht es aber nicht unendlich viele Gleichungen – und zwei unbekannte – das wäre überraschend wenn das funktioniert – aber grundsätzlich – auch – auf die Schnelle überlegen dass das nicht funktioniert ✂ sicher besser und Folgefall – der Patient hat mal ein Widerspruch – begann sich schnell daraus einen Widerspruch konstruieren – sowie – es mit ?? Kultur das Wasser durch eine Null sein – wenn sie jetzt zwei von diesen Gleichungen sich herauspicken – wenn sie wahrscheinlich noch nicht in Widerspruch finden zwei Gleichung zwei bekannte mit der typischerweise gehen wir einmal drei Gleich und Gleich nehmen sofort – getroffen – damit dann ein Widerspruch zu finden – sichere Folgefall geschrieben ich nehme das ?? zu drei Gleichungen – aus diesen endlich vielen Gleichungen folgen jetzt insbesondere diese drei Gleichungen ?? man die mit null Volkes besonders null gleich – mal eins – Plus – Punkt Frausein ganz weg – ist – und das eins – Quadrat – gleich eins gleich – mal – drei ist dreimal U – plus – und hier steht formal einzutragen seines Verbandes war auch schon wieder weg – Ausrufungszeichen – zwei Gleichungen – sehr gut und überraschenderweise – reichen zwei Gleichungen – selbiger nicht klargemacht – also aus diesen unendlich vielen Gleichungen können Sie schon – folgern – können Sie folgern das nur gleich U sein muss wegen dieser Gleichung da unten und sie können folgendes eins gleich drei U sein muss wegen der gleichen da oben – dieser Folge Falls richtig – diese beiden Gleichungen folgen aus den unendlich vielen Leichen der oben – ?? Atoll – weiterhin schreiben sie sind muss Null sein Humus gleich ein Drittel sein ist nicht lösbar – Fragezeichen – überraschenderweise – zufälligerweise – schon zwei der Gleichungen – ist die Aufgabe lösbar Komma nein – ist die Antwort Nein – diese Funktion lässt sich nicht als Linearkombination – von den beiden anderen schreiben – wir stoßen auf einen Widerspruch – aus meine Funktion muss man noch vorsichtiger sein mit den Linearkombinationen – als bei den Pfeilen – bei den fein vielleicht mal alle Vektoren quer zu einer eben unsere Geschichten – aber das mit Funktion machen – Sie die Funktion – die Vektor der Gesang der Vektorraum ist derart groß – das immer sehr viel fehlt sowas mit Funktion machen – insbesondere – sind inzwischen allgemein bei den Polynomen offensichtlich – wenn ich diesen wesentliche Anwenderfunktionen – zu Vektoren – als Vektoren zu interpretieren – offensichtlich – kriegen sie nichts Polynom zweiten Grades indem sie – in der Kombination – vom Polynom dritten Grades und ersten Grades bilden – das wird nicht ähnlich sind sozusagen quer zueinander – das es geometrisch – sieht sich was geometrisch auf malen sollte das die quer zueinander liegen – sie an die ?? Pfeile – wie – eben zwei Feinde im Raum sie bilden alle Kombinationen – von zwei feinen Raum – im Raum fehlen ihnen alle Vektoren quer dazu – kommen Sie das hiermit Funktionen machen – noch viel schlimmer – viel in richtig richtig viel – Funktion – auf diesen Punkt und F nicht sozusagen quer sagt man nicht so aber ?? Ideen ✂ zur Entwicklung dieser quer – Subventionen G und H – können die Funktion F nicht zu wählen – ?? – gerade ein Beispiel dass das manchmal zufällig möglich – ist – wenn wir – hier nicht X Quadrat bilden wollen würden sondern wenn wir hier bilden wollen würden zum Beispiel – X hoch drei – minus X Quadrat – plus vier X plus zwei – wenn ich diese Funktion – mehr angucke – kann ich diese Funktion X wird abgewählt ?? zur kleines X verdammtes Wegs – plus zwei kann ich diese Funktion ausgehe und habe mir natürlich kann ich die bilden das ist – Haar – und zweimal geh – was es gibt Situationen – in denen diese unendlich vielen Gleichungen hier – tatsächlich lösbar sind aber das ist eben – sehr zufällig dass diese unendlich viel Gleichung tatsächlich mal lösbar sind es gibt solche Situationen – rechnen das ganze durch ✂ hier mit dieser – roten Funktion dann muss es ja funktionieren so oder Funktion ist eine linear Kombination aus G und H – diese – Fusion dieser Gattin geschrieben hatte sowie X Quadrat und X hoch drei unsere Geschichten sind für uns in Elektrotechnik durch das man nicht so spannend – kommt gleich mal irgendwo vor das Spannende für uns in erster Funktion die periodisch – sind – nicht das angucken die Menge aller Funktionen – ?? ich schreibe das ein bisschen – korrekter die Menge aller Funktionen – F die die Rebellen Zahlen abbilden nach den Wellenzahlen – da steht jetzt kein Strich links an diesem Fall – um sie zu ärgern – dass es nicht wird dieser – Rechenvorschrift – Feier X wird abgebildet auf sondern das ist ein ganz normaler Fall der Zins kein Strich kann – ich nehme die Menge aller Funktionen – die rituelle Zahlen verarbeiten – und reelle Zahlen liefern – und nehme nicht alle sondern ich nehme mal alle mit der Periode – fünf – der Götter zum Beispiel X Quadrat eben nicht dazu X Quadrat wiederholt sich nicht nach fünf Einheiten – das soll das heißen – Funktion mit der Periode fünf soll heißen – fünfzehn – fünfzehn und so weiter – minus fünf und so weiter – und somit der Periode fünf soll heißen – sie wiederholt sich ständig – auf – die können sich ideale Kopien vorstellen ?? immer wieder dasselbe nach fünf Einheiten immer wieder dasselbe – das wäre eine Funktion mit der Periode fünf – wenn ich diese Funktion mehr angucke dann ist das offensichtlich in der Elektrotechnik etwas bedeutsamer – denken Sie an das was aus der – Steckdose kommt – dann guckt man sicher gerne auch – Störungen davon an vielleicht wenn sie alten Wechselrichter haben der so Trapez förmige – Ausgangssignale – erzeugt – die sind periodisch – solche Funktion sind – erst mal sehr spannend in der Elektrotechnik – nicht nur Sinus und Kosinus sondern eben auch verzerrte Form von – Oberwellen darin Komma Drauffurche – also das interessiert mich jetzt die Menge aller Funktionen mit der Periode fünf – was dazu gehört im mathematischen Sinne sind auch Funktionen die schneller sind und trotzdem die Periode fünf haben wenn sie sowas nehmen hier eine Funktion mit der Periode – zweieinhalb – gemalt kriegen – so eine Funktion mit der Periode zwei halbes Auge – als diese von Sohn Jesse gemalt habe wiederholt sich auch nach zweieinhalb – Einheiten – sie hat die Periode zweieinhalb – aber sie hat auch die Periode fünf sie wiederholt sich auch nach fünf Einheiten auf der sie können die Funktion so in fünf Einheiten Langbaustücken – ineinander schreiben und dass es okay – eine Fusion mit der Periode fünf – noch andere Perioden jede Fusion mit dem ?? null fünf – hat insbesondere auch die Periode zehn – und hat die Periode fünfzehn – klar – basiert auch die Periode fünf die guck ich Mails an alle Funktionen von dieser Art ?? Funktion mit der Periode fünf – natürlich nach ?? Funktion mit der Periode – eine fünfzigste Sekunde – fünfzig Hertz – aber so ist es etwas übersichtlicher – bilden die ein Vektorraum – was passiert wenn sie die Mehrzahl modifizieren ✂ und wenn sie die zusammen addieren – geht das klar – gegen die ein Vektorraum oder nicht – so – ?? sind vielfach von Sonderfunktion nehmen dann – bleibt die Periode fünf – an ihrer Fusion also nicht dabei Null anfangen wenn das ihre Funktion ist und es geht immer so weiter Hohoho – als raffiniert – nach links geht auch so weiter – jetzt nehmen Sie diese Funktion – und modifizieren – somit zwei – in diese Fusion mal zwei – durch die null wieder durch – sowas diese Funktion mal zwei – ?? offensichtlich ist die dann wieder periodisch mit der Periode fünf wenn sie die mal zwei nimmt eine kritische Geschichte wäre wenn sie die mit nur multiplizieren – eine Funktion – mit dem ?? gefüllt die Multis mit null sind sie ständig Null raus – aber die Funktion die ständig nur ergibt – sich auch die Periode fünf das dann nach diesen in die fünf Einheiten längst wieder dranhängst ?? wieder dran Leertaste funktioniert immer Null ergibt die Funktion die immer nur ergibt hat die Periode fünf und die Periode dreiundzwanzig und die Periode Pi was auch immer wird jede periodische Funktion über Null ergibt als auch das fasziniert – es mit null modifizieren sind sie auch eine Funktion aus der die Periode fünf hat und klar wenn sie zwei solche Funktionen haben mit der Periode fünf und addieren – dann machen Sie in der nächsten Periode ja dieselbe Addition – es muss funktionieren – sie handwerklichen Rechenregeln – können sinnvoll agieren sie können modifizieren – das gibt ein Vektorraum – aus das ist ein Vektorraum es gibt einen Vektorraum – aller Funktionen – Wellenzahl nach dem ?? Einzahl mit der Periode fünf – ist ein Vektorraum wenn sie die übliche Addition und Modifikation dazu ?? – das ist der Vektorraum der uns danach ?? – Wassers nach Ablauf des Semesters zum Beispiel bei der verschiedenen Summation interessiert – kann ich diese Funktionen in Sinus förmige Schwingungen zerlegen – ist es möglich die zusammenzusetzen – das hatten wir jetzt ja eben gerade schon ist es möglich diese Funktion zusammenzusetzen – hier zum Beispiel – was ist die frage ist es möglich die Fusion F zusammensetzen – aus den Funktionen G und H – war nicht möglich – aber – in gewissen Sinne – ein Körnchen Salz Komma nicht nur endlich viele nimmt seinen unendlich viel Funktion – ein dann im Laufe des Semesters feststellen ?? – diese Funktion hier können Sie zum Beispiel aus Sinus und Kosinus – zusammensetzen – und sie wollen – ?? und ein Körnchen Salz – kommt im Laufe des Semesters drauf – oder sie jetzt an dieser Stelle schon meine Idee klingt – alles was jetzt in den kommenden Wochen – mit – Pfeilen dran kommt – all das werden wir dann im Laufe des Semesters – ganz genial übertragen auf Funktionen – wird man es mit Feilen zu tun – geometrischen Vektoren – und was wir damit machen – das meist Wirklichkeit das Vektorprodukt – die Determinante – ist auch nicht so lustig aber ist das meiste was wir mit den Vektoren machen es sich auf Funktionen übertragen – und dann ist man plötzlich – bei solchen Geschichten das man Funktionen Sinus förmige Schwingungen zerlegt und sowas das ist auch nur – Vektorrechnung – etwas – abstrakter aber sind auch nur Vektorrechnung