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12E.1 Differentialgleichung dritter Ordnung mit Euler-Verfahren lösen


CC-BY-NC-SA 3.0

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hierNehmer diese Differentialgleichungdie dritte Ableitung meiner gesuchten FunktionplusX mal diezweite Ableitungminus vier mal den Sinusvon der ersten Ableitungplus zweimal die FunktionX Quadratist gleich nulldie möchte das bisschen anfangennumerisch zu lösen die Differenzialgleichungendas Haus ist das Wind über Differenzialgleichungensodas ist also nichtlinearesVerzeichnisnicht in der dritter Ordnung auch schon ?? dazueinen Differenzialgleichungendritter Ordnungnicht lineardamit sie auch nicht ?? können sie auch gar nicht mehr sagen homogen inhomogenseinem effizienten Ergebnis so viel Sinn wenn ich den jawarum nicht den Jahrgänge Sinus hierLineal würde heißensie haben eine Funktionin der Irgendwo X vorkommtmalY Beistrich plus eine Funktion in der Irgendwo ein X vorkommtalsoY zwei Strich plus eine Funktion in der X vorkommtMale Beistrich bis eine Funktion in der Nix vorkommt ?? Yist gleichirgendwas unternimmt irgendwas kann noch einiges vorkommenjede lineare Versagerdritter Ordnungmüssen Sie so schreiben könnensonst ist es kein linearer sah gleich die Sinus macht es kaputtgesteht mal Beistrich nicht mal Sinus von Yder Sinus ist das Böse einer Stelle das der X Quadrat steht es nicht das Problemdas es erlaubtvon der unabhängigen Variablen dürfen sie beliebig finstere Funktionen haben das X davon ist auch okaydarf eine Funktion stehe von Xwar die zweite Ableitungwas wir natürlich häufig haben und was viel einfacher ist wenn ihr keine Funktion von X stehenden Konstanten stehenden Java Konstante zahlt ?? zwanzig stehtdas es okayaberim allgemeinendarf da eine beliebige Funktion von X stehen also hier darf auch keine Ahnung X hoch dreidurcheins Plus X bereitstellenes wäre immer noch eine Milliarde Versagergleichungund wenn auf dieser Seite hier stehtSinus von Xaus ?? hübscher ähmdurch Wurzel aus eins groß X Quadratauch das ist immer noch ein Lineal von zahlreichen wichtig ist ob die gesuchte Funktion und ihre Ableitungkönnen ob die Lineal vorkommen das tun siewenn das nicht der Fall ist wenn hier stünde Y Beistrich ins Quadratoder wenn hier stündeY mal Y strichdann wäre es nichtlinearhomogen inhomogen also wenn sie festgestellt haben ihre Differentialgleichungist jasehr minimal ändern immer eineähnliche aber lineare Differenzialgleichungenschreiben formal ähnlicheminus vier mal Y Strich nicht mit dem Sinus sondern einfach ?? Trennstrich plus zwei Y plus X Quadrat gleich nulldie Berlin jaY und seine Ableitungentauchen nur in Jahr aufNummer checken ist das jetzt homogen oder inhomogen das ganze jetzt ja sagen weil in den Jahren Differentialgleichunghomogen oder inhomogensosiehst also inhomogendas posix Quadrat macht es inhomogen?? homogen inhomogen kürzlich auf einer der Irgendwo gleich null stehtdas es relativ nur zur ganze hin und her umgeformt haben?? gibt es einen Kern der ohne Y oder eine der Ableitungen steht das X Quadrat das macht es Sinnwenn der sich zwar wegnehmen würdendann wenn sie eine homogeneMenge Leerzeichendas zu Erinnerungund jetziger weiter mit der ursprünglichennichtlinearenDifferenzialgleichungenwenn ich dafür Anfangsbedingungfestlegen will das er sicher in der Numerik machenStaaten wenn sie numerisch lösen mit einemAnfangswertkönnen nicht unendlich viele Werte parallel betrachten und viel Raffinessedie Staaten an einer bestimmten Stellebrauchen irgend ein Anfangswertwie würde man einen Anfangswertvorgeben eine Anfangsbedingungsollte ich genau sagenwaswäre eine Möglichkeit wie könnte man eine Anfangsbedingung für diese Differentialgleichung festlegendusie würden also drei Sachen vorgeben sowas wieschaffe einmal irgendeinunsinniges Beispiel in das ich an der Stelle drei ist gleich drei mit dem Y Wert zwei starteunddass die Ableitungmeiner gesuchten Funktion Y an derselben Stelle ist gleich drei gleich fünf ist unddass die zweite Ableitung der gesuchten Funktion unbeständig seichter Gleis sieben ist das wäre eine brauchbare Anfangsbedingungab da gibt es noch eine Lösung wenn sie nur den vorgebenkam sie immer noch unendlich viele Lösungen die das erfüllen können decken sie an die Physik in der Mechanikund typischerweise versagt Leitung zweiter Ordnung wenn sie von allenMassepunktenim UniversumPersonenSchnappschuss aufnehmensie wissen wo die zu einer bestimmten Zeit sind wissentlich wie's weitergeht ich gerade so oder fliegt da gerade so die brauchen harte Geschwindigkeitenin der Physik als Ganze nicht Anis weitergehtdas es in dieser Zeit ein System zweiter Ordnung typischerweiseder Physik der Mechanik Jammer dritter Ordnung zwischen drei Sachen vorgeben und sie können drei Sachen einstellennachdemjemand das eben am einfachsten mit Fusionswertableitungund zweite Ableitung an einerimmer derselben Stelle das macht es möglichst einfachkann das ?? noch an das passen aber das ist das üblichekönnte sich jetzt aber vergewissern wenn sie denFunktionswertErstableitung und zweiter bei dem Wissen an einer Stelle dann können Sie die Differenzialgleichungenbenutzen zu sein was die dritte Ableitungwie ändert sich also die zweite Ableitungich kann schließlich die zweite Ableitung ändern wird damit kann ich schließen sich die ersten wird und so weiter und so weiter das sind gleich Kommawas Versuche numerisch zu lösen das als AnfangsbedingungPunkt jetzt will ich das übersetzenvorab natürlich das übersetzen in anderen zahlreichen Systemerster Ordnungdas macht man typischerweisebevor man das in numerischen Möser reinfüttertzur Übersetzung in ein DifferentialgleichungSystemerster Ordnung schreiben Sie mal hinwie wird man das übersetzen mit Anfangsbedingungalsoder Trick istdas sich nicht nur Y als unbekannte Funktion auffassen sondern auch Y Strich ?? Y zwei Strich als unbekannte Funktion auffassteund dann darf eine Differentialgleichunghinschreibensage Ynulldas jetzt mal Y eins Y zweiY oder gleich die OriginalfunktionYY eins vergleicht deren Ableitung Y zwei wird gleich deren zweite Ableitungich tue so als ob ich drei Funktionen suchewas eigentlich Gepflogenheit ist aber ich tue es mal so und dann guck ich mir davon die Ableitung einer Schreiben sehen was ist die Ableitung von diesem VektorY null soll nach ?? unser Y sein Y einzusetzenBeistrich seine zwangsweisenSorten zwei Strich sein das können Sie schreibenwas das werden muss jetzt natürlich wieder mit Y null schon eins Y zwei hingeschriebendann haben sie DifferentialgleichungSystem erster Ordnungichversuche also quasi versuche ich erzwingedas hübsche eins die Ableitung von Y null werden das Y zweite Ableitung fünften eins wirdder ganz dreist hin Y eins in den oberstendie Ableitung von Y nullneun eins werdenSubstanzweinezweiten die Ableitung von Y eins soll Y zwei werdendamit habe ich dann automatisch sichergestelltdass tatsächlich diese drei Funktionen so zusammenhängen wie ich das will Y eins soll die Ableitung zu Null sein und Gibson zwei soll die Ableitung von Y eins ?? der letzte schwierig Beistrich schwierig einmal raffinierter die Ableitung von Y zwei hundert und zwei soll gleich die zweite Ableitung werden von meiner Funktion Y die Ableitung davon ist die dritte Ableitungwas ist die dritte Ableitung jetzt kommt die Differenzialgleichungendie dritte Ableitung der gesuchten Funktion ist gleichrüber bringen minusX mal die zweite Ableitung minus X meine zweite Ableitung der Hass jetzt auch Y zwei mein Spielplus Firma Sinus die erste Ableitungplus vier mal Sinus die Ausarbeitung die heiße Tipps eins in meinem Spiel plus zweimal die Funktionrüber gebracht also minuszwei mal die Funktion selbst erste siebzehn null Funktion selbst unter sechs hundert?? bringen ?? zweiterwir haben eine von zahlreichen System erster Ordnungdrei Funktionen sind gesucht Y null eins Y zweisind auf der rechten Seite tauchen auch nur die aufY null eins Y zwei alles in Ordnung und wenn Sie diese DifferentialgleichungSystem gelöst habenwas es erst Ordnung ist wie kriegen Sie dann eine Lösung für ihre originaleHansa Gleichungalso wenn sie das sie gelöst haben das DifferentialgleichungSystemganz einfach Y null nehmen diese eine der drei Funktionen die sie dann gefunden haben in dem einfach Y nullLösung für das Serumdenn wir wissen wenn eine Funktion?? nur noch einundzwanzig ?? zwei wenn die dieses DifferentialgleichungSystem lösenist schon eins die Ableitung von Y null steht hier ersatzweise die Ableitung von Y einsund Y zwei abgeleitetalso die dritte Ableitung von Y null ist minus Xmal die zweite Ableitung von Y zugenau zu vergleichen da oben und Leertaste Versager ?? System gelöst haben drei Funktionen ihr bekommen haben nehmen Sie einfach die erste jede Y null Funktion und sie haben die Lösung für die Original Differentialgleichungso einfach ganz sein die Anfangsbedingungsollte man ?? dazu schreiben es jetzt klarwas fordern Sie als Anfangsbedingunganalog zu dem hierinKoblenz also einfach an was war der Wertmit dem Gibson Staaten so zu und starten so zweiY null an der Stelle drei soll zwei seinwas ist der ?? mit dem schon ein Staaten soll das Wetter nach ?? die erste AbleitungY eins eine Stelle drei soll fünf sein ?? wohnt Y zweiBeistrich drei soll sieben sein so sieht die Anfangsbedingungenaus was wieder wunderbar passt sie ich gebe jetzt einenWert sozusagen vor ich gebe den Wertdieses Vektor siebter null Y ein Substanzwarenwertvon diesem Vektor ?? bei den Gewicht vorihmDifferenzialgleichungenhabe ich drei Sachen vorgegebeneFunktion ihre erste Ableitung ihre zweite Ableitung an einer bestimmten Stelle die Vasallen dritter OrdnungLeerzeichen Versager System erster Ordnunggibt sozusagen noch einen Wert vor der Wette nicht vor Gebisses aber ein Vektor zwei fünf sieben der Anfangswertfür meine FunktionsvektorY und Y als Y zweispielt das alles wunderbar zusammenwarum jetzt dieser Ärger für die numerische Lösung für man typischerweisevon zahlreichen System erster Ordnung haben und nicht Differentialgleichungdritter Ordnung haben also wenn sie das in ?? wird oder ob tif oder was auch immer Reinhecken oder selbst programmieren wollendann nehmen Sie typischerweisedieses DifferentialgleichungSystem und lösen das numerisch und nicht die Original Differentialgleichungschon zu viele Ordnung das Komma dass man andas explizite Eulerverfahrenmit Schrittweite Haar wie würde das Startenes wird kein Mensch zu Fuß rechnen aber wenn sie einmal Schritt zu Fuß abgeschrieben haben müssen Sie dieses programmieren könntendessen großes Wort in die Tabellenkalkulationeingeben könntenmit Schrittweite H schreibtdas würde man dann auch gern die Schrittweite würde man auch gerne sexy belassen auf was mit der Tabellenkalkulationmacht das in variablen ?? anlegen soll das Heim in eine Zelle reinin die Tabellenkalkulationeingeben wenn sie typischerweise Schritt weiter einstellbar lassen um die Genauigkeitkontrollieren zu können ??das mal auf wie geht das losder Gedanke ist ja ich habe jetztzu einem X Wertein Punktim Raumnicht mehr nur eine zum Wert sondern ein Punkt im Raumentwickelt zweitererste Schrittes kommt ein neuer Punkt im Raum rausneun Punkt im Raum auswie sähe das aus was würde man rechnen müssenmüssenes mit den Bezeichnungen etwas lustig sein die null und eins die zweiten der schon vergeben ich folgendesXnullder Wert von X bei dem es los geht die Stelle X bei der es los geht es offensichtlich dreiund jetzt wird das spannendYnull Y eins und Y zweian dieser stelle ich das ?? mit Doppelindicesin der Formwas ist mein Funktionswertam Anfangdie Stelle des Treibers beim Funktionswert am Anfang die Stadt natürlich mit zwei fünf siebenso weit so gut und jetzt gehe ich um die SchrittweiteHaar weiter das heißt mein X einsist drei Plus haarbindie Schrittweite Haar weitergegangensein sie Wasser das Eulerverfahrenzur YnulleinsY eins eins Y zwei einsein Stückchen weiter gegangen sinddie müsste man die ausrechnenPunktso der neue Wert von Y nullnach dem ersten Schritt Gänsefüßchen zunull Komma eins benannte der neue Wert ist ?? ja mehr oder minder der alte Wert Y null nullbei irgend einem Ynull null starte ich hier einen Schritt der Weite Haar auf der x-Achsewas kriege ich praktisch denselben Wert plus eine Änderungwas ist die Änderungdie ist ungefähr ein Jahr Ernährung Haar mal die Steigungdas hier ist Hammer die Steigung also plus Haar maldie Steigungwas ist die Ableitung von Y nur die Ableitung von Y null Simson einsals Y Einzel beim expliziten EulerverfahrenBeistrich die Steigung am Anfang vom Schritt also Komma nullda steht danach ?? es echt rechnen würde H mal fünfzweiplus einmal fünfich das es in variablen Ständern sind sie nämlich Wasser Programmier müsstedas Y eins ist naja das was es vorher war mehr oder minder Plus als Korrekturin der ErnährungHammer die AbleitungY zwei Notableitung am Anfang vom SchrittY zwei eins ist das was es vorher war mehr oder minder plus H mal die Ableitungund jetzt kommt diese der fürchterliche Teil der Differenzialgleichungendie Ableitungwird alsominusXX am Anfangallesbezieht Euler am Anfang von dem Schritt also hier kommt jetzt X null reinmal Y zweinullplus vier mal der Sinusvon Y eins nullminus zwei MalY null nullminus Xnull Quadratetwas länger die Ableitung ausgerechnet am Anfang vom Schritt mithilfe der Differentialgleichungdas wird ein Schritt mit dem expliziten Euler Verfahren ich bin jetzt um Haar weiter mit X um H weiterdas schöne ist das geht jetzt genauso durchweil ich hier keine konkreten Zahlen reingeschrieben habe ist das genau die Formeldie für den zweiten Schritt auch Geldwie kriegen Sie das mit zwei zwei zwei in dem sie hier auf der rechten Seite lauter eins eins eins einsetzenund so weiter und so weiter Sie würden in der Tabellenkalkulationdiese Formen hier einmal programmierenProgramm in Anführungszeichenund dann einfach die Reihe weiter aufziehenes in jedem Schritt genau dieses hier immer wieder gerechnet wird das wäre das explizite Eulerverfahrenfürdieses DifferentialgleichungSystem und wenn sich einfach nur Y null anguckendann haben Sie die Original Differentialgleichungnumerisch gelöst ?? sagen näherungsweisegelöstund ihr mich natürlich ein Minus vergessen Punkt so Clubsdas Minus gehört davoralshalber also X lautet in Schritten von H einfach weiter X zwei ist drei plus zwei mal Haar oderkönnten auch sagen X eins istwas es so ?? X eins ist X null plus Haar und X zwei istX eins plus H großes I besser zu programmieren dann auch sie gehen immer um Haar weiter in dem X das ist eine Konstante Schrittweitedie professionellen Verfahren sind dann raffinierter darüber die Schrittweite anpassenwenn nichts schlimmes passiertauf der rechten Seite wird man in großen Schritten gehen und wenn irgendwas fürchterliches passiert auf der rechten Seite gewannen sie anfangs einen Schritt weiter zu gehenhier sowie das aller verwandelt hier steht ?? Konstante Schrittweite sie gehen immer um Haar weiter dem X Wert