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13.2 Exponentialfunktion von Matrizen


CC-BY-NC-SA 3.0

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also – was habe ich versucht zu zeigen versucht zu zeigen wenn ich so ein Differenzial Gleichungssystem – habe – die Ableitung eines Sektors – soll ein Matrix Vielfaches – des Vektor sein – kann ich mit den Eigenwerten – Eigenvektoren – der Matrix – arbeiten – und kann Lösungen bauen – dieser Form eh Hocheigenwertmahlzeit – mal den Eigenvektor – oder Lösung der Artenzusammensetzung – nicht mehrere Eigenwerte Eigenvektoren habe – man statt Zustand so zerlegen – und dann meine Lösung insgesamt so zusammen bauen – der – kritische Teil des Ganzen ist das hier eh Hocheigenwert – mal die Zeit – mal den Eigenvektor – an – das immer noch anders angehen statt dass ich jetzt – ausdrücklich – Eigenwerte – Eigenvektoren – berechnen – kann ich eine Exponentialfunktion – bahnen exponentiell Funktion für Matrizen wie das ganze – sehr elegant in einem Schlag erledigt – also noch mal dieses Differenzial Gleichungssystem – ich möchte das die Ableitung eines Sektors nach der Zeit – das Matrixvielfache – von diesem Vektor ist zu jedem Zeitpunkt – und ab als Startbedingungen – zu – Startbedingungen – zum Zeitpunkt – null – soll – ein Vektor X null das ist ein fester Vektor sein – auskommen – in – solche Differenzialgleichungen – hatten wir – so sein durch diverse Anlagensysteme – hatten war in einfacher Shopform schon wenn es hier kein Vektor war sondern eine einfache Zahl war – erst mal das in einer Dimension – das hatten wir schon in einer Dimension – nun – einfach nur mit reinen Zahlen die Ableitung – einer Zahl X nach der Zeit – soll sein – das Vielfache – dieser Zahl – im Alexa ist auch fest – ein Vielfaches – dieser Zahl – zu dem jeweiligen Zeitpunkt – und als Startwert – und Startwert – dass diese Zahl – zum Zeitpunkt null – eine Zahl X null sein soll – das – sollen sie schon lösen können – dieses Differenzial Gleichungssystem – aber nun in einer Dimension entdeckte nur mit einer Komponente – eine einmal eins Matrixvektor – mit einer Komponente das heißt – die Ableitung – meiner Suchfunktion – nach der Zeit sein schiefes Panel suchen Funktion sein – ein konstantes – Vielfaches – bildete sich das ✂ E hoch A malt ähnlich ihre einmal X leider muss man damit – leben dass die Differenzialgleichungen – zur einen Hälfte – X nach C sind und zur anderen Hälfte Y nach X sind – am – gucken Sie genau hin was die was angesagt ist als ich ihr natürlich eine Kommentarfunktion – als Lösung – dieses X muss eine Exponentialfunktion – sein – eh hoch – wenn sie der Konserven zum ableiten muss ein Faktor einer vorne kommen also Muster stehen A malt sie – das wäre zum Beispiel – eine Lösung – wenn sie das nach der Zeit ableiten – ?? Konstante das ?? der Zeit ableiten bleibt es eh hocheinmal irgendwas – der Proteine Ableitungsfaktor – A dazu da ist das aber sicher – das erfüllt aber noch nicht Anfangsbedingungen – wie Kredit Anfangsbedingungen ✂ eine passende Konstante Punkt ihr braucht – irgendein Konstante Widersinn kriecht – hinter Facheinsätzen – zum Zeitpunkt null – null rauskommen – ich kriege hier aber zehnmal – Amal null C mal eins – ich WC raus sicher null setzen ?? PC raus möchte ich so rauskriegen hier muss also – X null stehen das wäre die Lösung – dieser Differenzialgleichung – möchte – eine Funktion haben deren Ableitung nach der Zeit – ein festes Vielfaches Mal diese Funktion ist mit dem Startwert – dann nehme ich das wir das auch die einzige Art das hinzukriegen dieser Startwert mal Ego – A mal die Zeit – die einzige Chance sind zu kriegen – dass es in einer Dimension – uns – jetzt kommt der Kunstkritik – möchte dasselbe hinschreiben – in hundert Dimension und einer Million Dimension – wenn das da stets die Ableitung meines Rektors nach der Zeit soll sein – eine Matrix – mal dieser Vektor – möchte ich dasselbe als Lösung hinschreiben – dieses hier wird eine Matrix werden eh hoch einem Matrix – mal die Zeit soll genau das dann heißen die Lösung – dieses Differenzial Gleichungssystem – also Wasser ?? was ich schreiben will – ist – dieses hier – ?? – ich möchte die Lösung von den analog schreiben können – wir die Nummer elf – Opfer – wollen – die Lösung von Sternchen – im Differenzial Gleichungssystem – entsprechend – schreiben – ?? – nämlich als Vektor X von T ist gleich der Anfangsvektor – mal die hoch einem Matrix – mal Zeit – hier steht erst mal in einer Dimension Ableitung einer Größe gleich Vielfaches der Größe und die Lösung wird sein eh hoch dieses Vielfaches mal die Zeit – versagt Liste Fenster Gleichungssystem – was ich lösen will ist aber Ableitung meines Rektors ist Matrix – feste Matrix mal Vektor – und dann sage ich okay Augen zu und durch das würde ich gerne so hinschreiben wie Hochmatrix – mal die Zeit – das heißt dass sie das auf der Zunge zergehen hier steht eh hoch eine Matrix eins zwei drei vier – war die Zeit also ?? ja mal die Zeit also sowas wie – ein T – zwei T drei C vierte das ist damit – gemeint rein vom eh hoch einem Matrix – ziemlich schräg – ein Ding – nicht soundso oft mittig modifizieren – E hoch drei – immer die – Malé – das immer noch hin – ergibt quasi die Matrix an die auf die Zeit eh mit sich selbst praktiziert – werden soll – das ist eher mein Problem – meine ich weiter darüber nach ?? soll einfach formal – diese Differenzialgleichungen – gelöst werden – nun – das ist die Ideen der Ehe noch eine Matrix – werden so was ähnliches ja schon das kann der gerade schon vor E hoch drei – plus vier mal die – ?? genauso ein gewagter Kunstgriff – Ego eine komplexe Zahl – das glückliche auch nicht als ehemalige Malé – was heißt die vier mal mit sich selbst zu modifizieren – gibt genauso wenig sind an – das war ja schon so eine Erweiterung – das man jedoch eine komplexe Zahl rechnet jeweils noch eine Nummer finsterer Ehebruch eine Matrix von mir soeben eine hundert mal hundert Matrix auf jeden Fall immer eine quadratische Matrix als eine quadratische Matrix ?? werden – die Muster der noch quadratisch sein aber sie kann beliebig groß sein das kann man sich dann rechnen die man sagt okay – eh Hochmatrix – mal die Zeit soll – die Lösung hierzu sein gibt – eine Geschichte die jetzt hier noch nicht stimmt ?? tätigen hier an dieser Gleichung was auf was noch so nicht hinhaut – von wegen Matrizen und – Vektoren ✂ ?? hier oben das Matrix mal die Zeit dann Aktion das kann man rechnen – nur wenn das hier hinten eine Matrix werden – die Versuche jetzt einen Spaltenvektor – mal eine Matrix zu rechnen sowas in dieser Art Matrix wird dann was anderes sein Beistrich was anders reinschreiben – als zwei vier irgendwas – das wirklich funktioniert das dieser Weg auf der linken Seite steht um das zu retten – und eine kosmetische Änderung – ich muss den Vektor – links wegnehmen – und dahinter stellen – so geht's dann tatsächlich – das war hier egal – bei der eindimensionalen – Angelegenheit – ob das X nur das zahlloser Sixt null vor diese Zahl dahinter diese Zahl schreiben – macht keinen Unterschied – gemacht nach ein unterschied – das wird nach einem Matrix werden das ist ein Spaltenvektor – ich muss den Spaltenvektor – rechts von der Matrix haben – Punkt das war – das – erst mal die Idee hinter der exponentiell Funktion einer Matrix – die Hochmatrix – mal die Zeit mal ein Vektor – soll – diese Funktion sein die das löst mit dem Anfangswert – mit dem Agrarsektor – formal hingeschrieben – was der Spezialfunktion – sein soll – aber das natürlich wenig befriedigend – wie rechne ich denn jetzt exponentiell Funktion eine Matrix aus – guckt sie das noch mal im – eindimensionalen – Anbeginn die Exponentialfunktion – für Zahlen exponentiell – Funktion – dann – keiner mehr lesen – Zahlen – um – die ging so eh hoch Z – wird – was werden welcher Ausdruck ✂ eh hoch – vier wäre ja einfach das wäre ehemalige Malé mal im erlebt – haben – aber wenn das für jede Zahl hinhauen sollen – eh hoch sieben Komma neun E hoch minus drei Komma acht E hoch Pi – muss man andere Formen haben das war die hier eins groß Z OZ Quadrat halbe Prozent hoch drei – sechste – Kloß die sechste sind eigentlich drei Fakultät – plus und so weiter plus Z hoch N – durch den Fakultät – plus und so weiter unendliche – das ?? für die Ex Mensafunktion – mal gefunden – für ?? sanken die exponentiell Funktion der Kommentarfunktion – zur Basis Eduards – Basis der – katholischen Zahl – an – wenn das hier so funktioniert für Zahlen – dann hofft man in der Mathematik – dass man dasselbe auch – verallgemeinern kann Wetten dasselbe auch schon für komplette Zahl das geht auf NZ eine komplexe Zahl ist das Waschen in Ordnung – kann hoffen wir doch auch dass das weiter geht wenn man Matrizen einsetzen – die Exponentialfunktion – für – quadratische – vorgemerkt – Exponentialfunktion – für quadratischen – Matrizen – ?? Funktionen – für – quadratische – Matrizen – wie hoch eine quadratische – Matrix ähm – ein Kreuz in Matrix – ähm – was würden Sie erwarten wenn das sie für Zahlen es was würden Sie für Matrizen erwarten ✂ die einzige zu Einheitsmatrix – oder sonst was aber anders aber bei den Matrizen nicht selbst – ist die Matrix – Z Quadrat – die Zahl mal sich selbst nennen immer im Quadrat es ist die Matrix mal sich selbst ähm mal ähm – ein Quadrat das geht für quadratischen Matrizen – Z hoch drei wird die Matrix hoch drei – durch drei Fakultät und so weiter – irgendwann kommt die Matrix in der Entenpotenz – der Entenpotenz – durch Entfakultät – und so weiter ins unendliche erlaubt somit das ist die Exponentialfunktion – für Matrizen – man kann jetzt ziemlich blöde nachrechnen dass das hinhaut – dass dieser Kommentar von Sohn tatsächlich eine Lösung liefert – das ist der nächste Schritt – die auf dem – ?? Nummer vierzehn – am – wenn ich folgendes rechne – X von T soll sein – in diesem Sinne – die hoch – A mal Thema links null – mit dieser Art exponentiell Funktion aus zu buchstabieren – guck ich mir mal an ob das dann welche die Differenzialgleichungen – für eigentlich fängt man mathematisch so an das man sagt eh hoch Amalteematrix – mal die Zeit – soll eine Lösung dieses Differenzial Gleichungssystem – liefern – zum Startwert X null – Direktor der da dran steht auf der rechten Seite – endlich mal andersrum vor und sage okay angenommen das ist jetzt wirklich die Ex Mensafunktion – für quadratische Matrizen ist wirklich so aus gerechnet werden kann probier man das doch mal – ungemein ?? Amalthea – damit auszurechnen – was kriegen sie raus – wenn sie jetzt eo Amal T mit dieser Gleichung hier aus buchstabieren – Schritten – verändert sich Amalthea eine von geht auf jeden Fall mit der Einheitsmatrix ✂ los – dann kommt – A mal T – plus jetzt kommt – die Matrix A malt sie – zweimal hintereinander das es im Quadrat einmal die zweimal ineinander – das heißt – die Tees nach vorne sind ja einfache Faktoren – einfache Zahl – hier steht – ?? nach hinten ?? überlegen womit gerne – nach vorn haben Teequadrat – mal paar Quadrat – halbe – ich sollt auch hier nicht schlagen dass die nach vorne – schreiben sieht schicker aus über dem arbeite ich ?? wird das Thema von mit gleich einfacher – davon – und so geht das weiter wenn endlich einmal Tees zitiert jeder dritten Potenz die Matrix in der dritten Potenz alle plus die hoch drei – plus A hoch drei – Buch der durch drei Fakultät plus und so weiter – und X null steht er immer noch – sehen dass das durchaus sinnvoll war das X null auf die rechte Seite zu schreiben mir steht eine Matrix – eine quadratische – Matrix – des X null ist ein Spaltenvektor – auf der rechten Seite das funktioniert – eben mein erster Versuch hier bald mit auf der linken Seite das kam so gut – so – das Gemüt aus buchstabieren – Einheitsmatrix – mal X null ist X null – plus Thema A mal X null – T Quadrat – A Quadrat – halbe mal X null – groß T hoch drei – nervt das die hoch drei ?? Pünktchen in dem – die hoch drei – A drei – durch drei Fakultät mal X null plus – und so weiter – das wird jetzt mein Versuch – dass das Lösung wird – als ich probiere mal die Formel – für die Ex Mensafunktionen – über die für Zahlen hatten – die Formel – berechnen Zahlfunktion für Zahlen – auf Matrizen zu übertragen – ?? – setze das mal ein – Matrix ist gleich – A mal T – Buchstabe I raus was passiert – okay das – ist jetzt mit viel Glück eine Lösung – Komma nach ob es wirklich eine Lösung ist – ähm – pro Berechnung – ich gucke mir als einfachstes erst mal an – äh wies der mit dem Anfangswert steht X an der Stelle null – was wird passieren wenn sie hier null einsetzen – wenn sie dir gleich null einsetzen – ist nur ✂ das hier noch im Ergebnis trennen – X null – ihr steht plus null mal irgendwas plus null Quadrat mal irgendwas plus null hoch drei mal irgendwas – alles weg – das stimmt also der Anfangswert stimmt er fängt mit X null an – das über noch die Ableitung checken die Ableitung – von X – nach – Ableitung von X nach der Zeit – einige der zu Fuß – ausrechnen – was es mit dem NPD nach der Zeit ableiten – dass sein konstanter Vektor wenn ich den ableiten nach ✂ der Zeit ist das der Nullvektor – T mal einen konstanten Vektor ableiten – ist – diese Konstante Vektor des D fliegt Rausamal – X null plus – T Quadrat halbe mal einen konstanten Vektor ableiten ?? seit es die Quadrat halbe ab T Quadrat ableiten zwei T – meinen zwei T halbe – zwei kürzlich – mal – paar Quadrat X null – plus T hoch drei – und so weiter die hoch drei Attentaten wird drei T Quadrat durch drei Fakultät – A hoch drei – X null plus und so weiter – das heißt hier steht eigentlich – T Quadrat – halbe – dreimal T Quadrat durch sechs – die Quadrat halbe – guckt man sich an – das ist ja eigentlich – wenn ich Ahaus klammere – den überall steht Faktor A – null Vektor plus jetzt über ein Faktor A A mal – X null plus – T mal ein paar habe ich rausgezogen – Thema A mal X null – plus – T Quadrat halbe ein paar raus ziehen also T Quadrat halbe A zwei – X null – plus und so weiter – basiert – steht ist keine große Überraschung was da jetzt steht ist – das was sie vor eingesetzt habe X null plus Thema Reichs nur – das ist mein X – von T – die Ableitung – nach der Zeit also wirklich diese Matrix A – mal – den Vektor – was zu zeigen ?? ich habe den richtigen Anfangswert – und die Differenzialgleichungen – erfüllt – wenn ich diese Formel – diese ganz dumme Formel für den Spezialfunktion – nehmen diese hier – immer normal zahlen – die Einzel zu Einheitsmatrix – die Quadrate – Kuchen und so weiter werden einfach zu Potenzen der Matrix – dann können sie tatsächlich – aus – dieser Funktion – mit dieser Fusion eine Matrix bauen – die in – das Differentialrechnung – System löst – das ist eine schöne Sicht auf dieses Problem – ich suche eine Lösung – zu sein Differenzial Gleichungssystem – die Ableitung – meiner gesuchten – Vektor werden Funktion soll ein Vielfaches – Matrixfaches – eine Funktion sein – ich könnte jetzt von dieser Punkt von der – Matrix die Eigenwert Eigenvektoren suchen und damit Lösungsbaumes – war der erste Teil – oder – ich mache das – abstrakter und schreibe – eine Kommentarfunktion – für Matrizen – und läge damit – in sehr eleganter Form den – ?? – sodann hingeschrieben – die Lösung ist dann – eh hoch die Matrix mal die Zeit mal – der Anfangsvektor – Anmerkung am Rande in – Python Skript in matlap gibt sie natürlich auch die Funktion eh hoch eine macht es jetzt mit den Staaten – wenn sie einfach nur Text eintippen in matlap heißt das in den ?? jeden Eintrag der Matrix in die Funktion – das ist hier nicht gemeint – ?? Ex ähm ist die Gemeinde matlap – Express ?? Funktion für Matrizen das Laufrad mal klarmachen – eh hoch eine Matrix ist was anderes als jeden Eintrag – für sich in der Kommentarfunktion – zu nehmen – Armehe – hoch Voicebar normal Ehe hoch folgende Matrix – zwei null null zwei – was müsste das sein ✂ Artikel jetzt ganz dumm diese Formel anwenden was ist eh hoch eine Matrix – eins Plus diese Matrix plus – diese Matrix ins Quadrat halbe – plus diese Matrix – hoch drei – durch drei Fakultät plus und so weiter bis ins unendliche Aufsummen – an – das macht also – muss sie als Informanten angucken – zwei null null zwei ins Quadrat – sich einfach die Matrix die verdoppelt zweimal die Einheitsmatrix – das heißt das Quadrat wird sein – ähm – zwei Quadrat null null zwei Quadrat und hier hoch drei – Matrix die jeden Vektor verdoppelt – dreimal miteinander Anwenden – eines jeden Vektor acht -fach zwei hoch drei – null null zwei – drei – jetzt anfange – Eintrag für Eintrag auf zu mir auch zu summieren die Einheitsmatrix – eins null null eins – mir an was links oben steht eins und zwei – Tickets ?? den Text aber schon mir gerade dringend – Klammer zu erklären eins plus zwei – steht der zwei Quadrat halbe – steht zwei hoch drei – durch drei Fakultät – plus und so weiter – was steht hier – rechts oben ✂ rechts oben die ganze Zeit null null plus null plus null null Beistrich null links unten die ganze Zeit null null plus null plus null plus nur bei dieser Matrix – war das Sonett ein Vielfaches von der Einheitsmatrix – ist das macht das ganze simpel – entfallende Stelle – und John steht natürlich wieder eins bis zwei plus zwei Quadrat habe – wiederum eins plus zwei plus zwei – plus – zwei hoch drei – Streif auch nicht ein zwanzig zwei ?? nach – drei durch drei Fakultät plus und so weiter Klammer zu – dass wir das nachher werden – an sie für den hier auch im kurzen Ausdruck – E Quadrat steht ähm einfach – um – hier steht eh Quadrat – eins Plus X plus X Quadrat halbe plus X hoch drei durch drei Fakultät und so weiter eh hoch X die Quadrat – ihr steht weiterhin null da steht weiterhin Null darstellt – Komma die Quadrat – das sie passieren bei dessen Intervention von dieser Matrix bilden – das ist in matlap – der sich Staaten das ist in matlap die Funktion Ex ähm – ?? von den Schildmatrix – verwechselte das nicht mit der Funktion – in der – jeder Eintrag – der Matrix – exponentiell – ?? wird – eh hoch – andersrum – beschattet unter – ähm – E hoch zwei – E hoch null E hoch zwei – E hoch null natürlich eh hoch null E hoch zwei – das wäre in matlap – nicht in matlap sind immer noch in – matlap – wäre das – die Funktion – Ex – sie wenden Text auf die Matrix zwei null null zwei einen kriegen sie das raus – Jeder Eintrag für sich wird in Exponentialfunktion – gesetzt – warum sind die beiden ihr verschieden ✂ hier steht – eins – und da steht null das sind zwei verschiedene Matrizen – die sind nicht gleich – Vorsicht nicht verwirren lassen – hatte ?? Exponentialfunktion – einer Matrix heißt nicht – dass sie jeden Eintrag – in der Kommentarfunktion – nehmen – sondern das heißt tatsächlich das man Komma – äh – dass man sich überlegt was hier aus dieser – unendlich langen Summe rauskommt – oder dass man sich überlegt – wie man eine – Lösung für diese Differenz ?? Quatsch klassischen Lösung wie man eine Lösung für – diese Differenzialgleichungen – findet das Hightech Mensa Fusion von Matrizen das heißt nicht ganz billig – jeden werden die Funktion zu nehmen das geht schief – und vereinigen kann sich mit matlap gut rein reißen – weil ex so natürlich – klingt aber das ist gerade nicht gemeint Ex ähm – für diese Art der Ex Mensa Fusion für die wichtige mathematische Art