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24.4 Integration in Kugelkoordinaten, Kugelvolumen


CC-BY-NC-SA 3.0

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Integration – in Kugelkoordinaten – ?? geht also um Funktionen – die in dreidimensionalen – Leben – das heißt ich kann mir das ganze nicht so schön – als als als – Volumen – unter – einer Fläche vorstellen – ?? vortrefflich – klarmachen so ich kann mir das nicht als Volumen unter einer Fläche mehr vorstellen – ähm ich kann mir das zum Beispiel vorstellen als Gesamtmasse – die ich aus der Dichte ausrechnen – sie haben ein mehr oder minder hübschen Knoten hier – in 3D – Brocken in 3D – das ist meine Menge – ähm nicht die manische Masse im sondern für die Menge ähm – ist dieses dreifach integral – über Funktion – von X Y Z TXT Y DZ – am – anschaulich – für die – Ingenieure und die Physiker folgendes – Ichs spielte – mein Volumen in kleine Würfel auf – zerlegt – unendlich kleine Höfe zerlegt – und dann summieren sich – an mich hat das mal somit im Fall rückwärts dann summieren sich über das ganze Volumen F von X Y Z – irgend ein Punkt im jeweiligen Würfel – mal – das Volumen des Würfels delta X – delta Y – Zöller – delta Z das war die Vorstellung – registriert sich – um – Briefmarken – war die Höhe eben der Polarkoordinaten – Briefmarken ?? gehören – sondern hier geht's um – das Volumen – eines Würfels – mal ein Funktionswert – im Würfel – das kommt zum Beispiel bei den Dichte vor – ?? haben das Sandkorn – mit diesem Volumen ihr – Quadrat ein – quadratisches – ?? ein Würfel völliges Sandkorn – hat dann dieses Volumen und wenn dann noch die – Dichte des Stoffs in den Sandkorn wissen wissen sie insgesamt – was dieses Sandkorn – wiegt – bis auf summieren das Gedicht vom ganzen – Gedanke dahinter – ?? SF muss natürlich nicht ?? Gedichte sein – das kann irgendwas sein – das noch mal zur Vorstellung – vom – dreifachintegral – in pathetischen Koordinaten – und jetzt will ich das hinkriegen mit – Kugelkoordinaten – sphärisch Koordinaten ich möchte nicht über X Y Z integrieren sondern ich möchte über eher Täter und Vieh – integrieren – da kann man sich den selben Gedanken hier ?? wir dieselben Gedanken wie hier machen – es wird in drei Dimensionen bisschen – ekliger zu zeichnen – als ich muss mir überlegen – was passiert wenn ich eher Täter fiel jeweils ein bisschen – ändere – welches Volumen ich dann aufgespannt – habe und – dann kann ich hier dieses Volumen ersetzen – ?? Seite soll die Nummer – zehn – ?? X – und Y zeigt in den Tiefumsatz – At-Zeichen – oben – verstreute Sommer gerade nach oben – und ebenso – ist das gerade – einen – das SZ – jetzt habe ich irgendwo – im Raum – ein Punkt ?? gucken der Missverständnisse – weiter wechseln damit ich mir nicht erklären Komma so – irgendwo ?? Punkt – im Abstand er – mit einem Torwinkeltäter – Punkt Bullwinkel war wie weit ich es aus dem Nordpol herausgeben – und mit einem Azimutfi – Beistrich guck mir den Schatten an – auf der Grundebene – so – ungewöhnlich dass das immer klappt – so dieser Winkel hier als Index Y Ebene gemessen dieser Winkel ?? und platt auf dem Boden das wäre der – Azimut – Schatten war darunter – noch leichter – und nun ist die Frage – was passiert – wenn ich etwas an die – etwas antreten und etwas ein erwachsenes – Leben bei den Polarkoordinaten – darüber Polarkoordinaten – was passiert wenn etwas im nächsten ?? Sonntag erklärt – was passiert wenn ich etwas an Erwachsene – etwas an Vieh warte welche Fläche wird aufgespannt jetzt geht mein Volumen – welches Volumen entsteht – wenn ich jeden von denen er – Täter fiel etwas ändere – das mit dem er es noch am einfachsten – den Radius etwas ändern – geht der hier radial – ein Stück raus – ?? – was sie mir nicht sicher – wenn sie den Polwinkel – ändern – wird dass sie ein bisschen runtergekippt – das runter gekippt – wenn sie den Azimut etwas ändern dann Klapp ich das weiter nach hintenrum – mal – ähm quasi so – so läuft der Azimut – in diese Richtung Klapp ich das weiter rum – wenn sich das Vieh ändert – positiv ändern – Beistrich – so – das passiert wenn ich mit meinem Firum geht jetzt nach hinten Weg – um die Zeitachse drehen nach hinten weg – das klarer wenn ich jede Verbindung nach unten malen – in der Form – so in der Form – des Eises ganze Volumen was hier entsteht Essen ziemlich – schräge Angelegenheit – schrecklich zugesagt Semikolon Angelegenheit soll ich sagen – so eine Angelegenheit viertes – es ist – fast ein – einen einen Quader – wenn – die alle sehr klein sind diese Änderungen – dann wird das praktisch zu einem Quader – mehr und mehr – mal genau hin guckt sieht man dass die Unterkante – und die Oberkante – auseinanderweichen – man sieht dass die Vorderseite – gekrümmte Summe sieht es die Hinterseite gekrümmt ist aber eigentlich – sieht das aus wie ein – Quader – und dass es nette Linealernährung – kann ich mit einem Quader rechnen ich berechne das Volumen hier in den Jahren Ehrung – als das Volumen eines Quader – sind – diese Seitenlänge hier – ähm – diese Seitenlänge hier SDR – hat es immer das einfachste ich gehe von dem Punkt nach außen – Akkordeon war es auch das einfachste Gier nach außen um die er – diese Seiten in SDR – jetzt können wir uns angucken – diese Seitenlänge – muss also auf einen ✂ ?? auf jeden Fall ein Vielfaches – von der Täter sein – wenn ich den Täter – doppelt so groß wählen – ist diese Strecke – doppelt so groß – dass keine von den Einheiten noch nicht stimmen – Winkel ist ein herzlos – eine Länge sein schon von daher muss hier erstehen können natürlich siebenmal mehr oder achtundneunzig Mal erstehen – unsäglich – einfach eher mal die Täter seien aus dem selben Grund wie eben bei den Polarkoordinaten – das optimale – das hier ist et cetera – im Bogenmaß – dass der Winkel im Bogenmaßes – schneidig aus einem Kreis mit Radius – R – ermordet hätte Ausrufungszeichen – das Problem – aus einem Kreis mit Radius eins – schneiden sie den Winkel aus die Täter aus dem Kreis mit dem mehrfachen Radius – das er Fach – da kommt er die Täter in das ?? wieder weg weil sonst echt zu voll wird er – zur – ?? ist brauche ich noch – diese Seite hier – netterweise – finde ich die hier unten – dasselbe Wetter des ?? klarmachen das dasselbe ist – diese Seite hier uns diese Seite sind dasselbe – einfach nur – Schatten gemessen oder unangemessen diese Seite ist ja parallel zur X Y – also kann die oben oder unten messen – seit es Gutes auch im Bogen ist es eigentlich kreisförmig – genauer hin guckt – wie lang – kann ich jetzt auf diese Länge nachkommen – Wechselwinkel – ich hier ist noch mal Täter ✂ noch Mittäterwechselwinkel – parallelen geraden – wieder weg – Punkt richtig kompliziert wird das Täter dann habe ich das Verhältnis von dem Schatten – zu er – ist der Sinus von Täter das heißt dieser Schatten hier unten hat die Länge eher mal Sinus von Täter das kann schon bei der Umrechnung vor letztes Mal gerechnet um – von – tänzerischen Koordinaten der diese schon – das ist die Länge des Schattens jetzt kann ich sagen Land das hier ist das Stück und damit wie lang das Stück ist – im Abstand – er Sinus Täter – gehe ich den Winkel die Fi das hier muss also sein Abstand er mal Sinus Täter – die – Vieh – sowie das werden – so – ein bisschen ekliger als bei – den Polarkoordinaten – und damit Kreise zusammen sammeln ich kann sagen was dieses Volumen hier ist – an dem Intellekt wird eine musikalische – ganz formellen Mitte gerade dann also Text Y DZ – folgendes – das Volumen von – diesem – Gebilde – Gebiet – nämlich – ich gehe – DRM – Errichtung – dann gehe ich aber – in die Täter Richtung eine Strecke von Erde Täter – eine Strecke von Erde Täter – und in Viehrichtung – ich eine Strecke von der – Sinus Täter – de Fi also habe ich insgesamt eher noch einmal eher macht er Quadrat Sinus Täter – definieren – das ist dann insgesamt sieben Nummer – ekliger aus als bei Polarkoordinaten – das ist der Korrekturfaktor – wenn sie eine Funktion – in sphärisch Koordinaten haben – und die – in den Koordinaten auch integrieren wollen – er Täter Vieh – dann müssen Sie diesen Faktor dazuschreiben – er Quadratszinstäter – sonst brechen sie Blödsinn – Punkt – das ist eigentlich – ?? das mathematisch genauer an Punkt ?? ist das eigentlich Substitution – ich rechne nicht in den Variablen X Y Z seinen Variablen eher Täter Vieh – bei Substitution muss irgendwo die Ableitung vorkommen – dass es jetzt hier nicht die Ableitung sondern – schlimmer die Determinante – von ganz vielen Ableitungen in der Tat kann man das hier mit partiellen Ableitungen ausrechnen wenn man will – sie sezieren sich das lohnt sich nicht immer das bieten auf mal soll so klar – ist – es eher Quadrat könnte sowieso Raten wegen der Einheiten – ich brauche Kubikmeter – das Kubikmeter werden vier Täter ein herzlos – er hundert Meter muss irgendwo Quadrat stehen was anderes haben wir nicht – an das Sinus Täter – kostet etwas mehr Überwindung – sich überlegt ob – die Länge des Schattens – an wenn der Winkel sehr klein ist ?? hier oben bin – ich oben bin und ich geh den selben Winkel in Fianna – bis zum Schluss ein kleineres Volumen als wenn ich hier unten bin den Weg in viel Geber dieses Stückchen kleiner – Komma notfalls auf den Sinus kommen – aber es gibt auch einen offiziellen Weg wenn sich wundern ?? die sogenannte Jacobi Determinante – muss ich innerlich vorführen weil es – für den Alltagsgebrauch reicht aber so hat – billige Anwendung davon ist das Volumen – bei den Polarkoordinaten – hat sich die Fläche der Kreisscheibe vorgeführt – dass das einfach wird es für euch vor das man hiermit – das Kugelvolumen – ganz billig ausrechnen kann – ?? elf – ich hab es mal ganz dreist das Volumen – einer Kugel – mit Radius R – sich gerne – es reicht der Gedanke mit der Dichte – ich integriere – über – die Kugel mit Radius R und den Ursprung – kein Platz mehr für das er – geschickt so ich integriere über die – Kugel mit Radius R – und mussten persönlich über die Kugel sagen ich integriere eigentlich über die – über das ganze da – im englischen würde man sagen wollen – das Volumen der Kugel – die gefüllte Kugel zur Seite – über die Vollkugel – mit Radius R – um den Ursprung – die X – Y DZ – SE betreffe vorher mal eins mal die Funktion eins – wenn sie das als – Gesamtmasse – des integral als Gesamtmasse und die einst als Dichte verstehen – als dass jedes Sandkorn hat die Dichte ein von mir aus ein Kilogramm pro Kubikmeter – ?? wenn ich das dann zusammen summieren welche Masse insgesamt – ist bei einem eine Dichte von – ein Kilogramm pro – ein Kilogramm pro Kubikmeter – einem – Meters insgesamt zusammen sinnieren als Masse soundsoviel – Kilogramm – heißt dann aber auch Samson zu viel Kubikmeter – was ich rauskriege ist die Zahl der – Kubikmeter – also rechtlich das wieder aus – ?? – integral – über die Funktion einzelner integral der Funktion eins – um das Volumen zu haben – das wird hier wieder – fürchterlich – noch viel fürchterlicher – als bei der – Kreisscheiben – wenn sich überlegen wie das danach im Raum aussehen muss – das Innere integral X das nächst innere bis mittlere integral Y das äußere integral Z ich habe Z vorgegeben – ich habe Z vorgegeben – Z – vorgegeben – und dann guck ich welche X Y – denn dazu passender sind X Y die zu dem vorgegebenen Zelt passen – das heißt – Chassis ist Y raus ein bestimmtes Y wirklich mehr raus – könnte das die X die dazu passenden sie das durch buchstabieren von da bis da – was ist der X wird hier dem Ende was ist X wird an dem Ende gibt wieder Pythagoras – und macht das integral damit – sehr hässlich lösbar – aber – sehr hässlich – an – in – sphärisch – Koordinatenkugelkoordinaten – wird total billig – schreibe hin okay ich möcht dasselbe integrieren – über dasselbe Volumen – füllten – gefüllte Kugel die Vollkugel – ganz aus wie dasselbe Volumen – Leertaste Semikolon – ähm die Funktion ist wieder eins – ich integriere über eher über Täter Vieh aber eher Quadrat Sinus Täter kommt dazu als Korrekturfaktor – eher Quadrat Sinus Täter – der er – Täter – Vieh – das kann man jetzt Schritt für Schritt von innen nach außen – basteln das aus integral über – Fi – Fi läuft von – Fi läuft von null – Pi – bis zwei Pi einmal – sind – die von null bis zwei Pi – bei ihr die Täter – Täter läuft vom Nordpol bis zum Südpol Nordpol – Äquatorsymbol – Das heißt von null bis hundert achtzig Grad von null bis Pi läuft Täter – so – und Inhaber das Damast in den ?? ist egal er – natürlich einen anderen Kram noch eher Quadrat Sinus Täter – und das integral läuft vom Zentrum – bis zum – Radius – und das sind jetzt integral die machomäßig – lösen kann in der Mitte des integral – dafür – eine Stammfunktion ✂ der Tat ein Drittel R drei sich bei den Sinus Täter ist das Innere integral – konstant – von null bis er – macht also – groß R – hoch drei – Drittel mal den Sinus – Täter null einsetzen ?? null – ?? dazu ?? man sieht – das – ?? gedacht habe – ?? jetzt kommt das Täter integral – hierfür – eine Stammfunktion – für dieses Ding eine Stammfunktion – für Täter – Integration nach Täter – der Sinus wird zu minus Kosinus der Faktor bleibt hier steht also ✂ minus – R hoch drei – Drittel – Kosinus – Täter – in den Grenzen von null bis – Südpol Pi – des ?? doch ein bisschen Nachdenken – nicht Pi Einsätze – Kosinus von Pi – bis eins Kosinus von Pi ist minus eins – Kosinus von Pi ist minus einsichtige für die also minus R hoch drei drittem bei minus eins R hoch drei – Drittel – jetzt kommt minus – minus R drei Drittel Kosinus von Nullkurses – von null ist – eins – minus – minus verbreitete – mal eins also Schluss – R hoch drei – Drittel und dann sind wir bei zwei drittel – R hoch drei – da steht innen drin jetzt auch noch das Vieh integral – ich integriere also von null bis zwei Pi – zwei drittel – R hoch drei – de Fi – sein – Stammfunktion – Data schreiben schreiben einfach ✂ dahinter – ähm wenn sie hier ableiten – wie – er konstant nach vier Pleiten steht das drin zu haben Komma dass in den Grenzen von null bis zwei Pi – und dann sind wir beim – Resultat des immer noch von Focus rauskam – zwei drittel R hoch drei mal zwei Pi zwei drittel R drei mal zwei Pi null einsetzen Punkt raus minus null – zwei vier macht zusammen vier Drittel – Pi mal R hoch drei das übliche Resultat – lässt sich ohne geometrische Tricks – in Kriegen – im Fokus als meine Zeit mit geometrischen Tricks das man sich nun Zylinder anguckt aus dem – ein Konus ausgeschnitten ist – auf beiden Seiten – brauchen alles nicht wenn man – Google Koordinaten verstanden nannte man gute Koordinaten verstanden hat Komma diese integral hinschreiben – den eine Minute – das Google aus