[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

28.02 Varianz, Standardabweichung berechnen


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

dieseFormen hier für die Varianzist noch nicht so richtigprallman kann es etwas schlanker formulierenwird sie üblicherweiseanders ausrechnen die Varianz Sigmaquadratbeschreibt Marlene sollDSdie mittlere quadratischeAbweichung sein Erwartungswertvonder Abweichungsteht die Abweichung ins Quadrat Erwartungswertvon der Abweichung ins Quadrat das soll die Varianz seinwenn ich das jetzt ausmultiplizierenKris etwasnetterausgerechnethier in das Quadrateinfach mit vinomiistaktueller wird man der Quelle wird meine Zufallsgrößeins Quadratminus zwei mal der aktuelle Wert der Zufallsgröße mal der Erwartungswertplus den Erwartungswertins Quadratnichts dramatisches bis dahinsoll ich den Klammern um klarzumachen dass nicht dasX tradiert wird sondern der Erwartungswert wird verdächtigtalsoin drin einfach die Klammer zerlegtnun ist Erwartungswertaberden ja im Griff hatten wir schon mal ich darf Summen raus sie nicht auf Konstanten raus sinddecken sie einfachan integraledruckbare Erwartungswert der mal gebaut für die stetigen Zufallsgrößenruinierensolldawenn sie hierdie Summe von zwei Zufallsgrößenhabendas integral zerlegenanalog bei dem diskretenoder denken Sie an Durchschnittsbildungenob sie erstden Durchschnitt der ein Variable bilden und dazu den Durchschnitt der anderen addieren oderbeide addieren und dann den Durchschnitt bildenmacht keinen Unterschiedeine Rede kurzer Sinn ich darf diese Summe hier aus dem Erwartungswert raus sind diese Erwartungswert ist also der Erwartungswertvon meiner Zufallsgröße gratuliertminuszwei darf ich Ausbaus auch aussehenErwartungswertselbst ist eine feste Zahldie darf ich auch ausziehen?? ich ziehe die zwei raus ich zieh den Erwartungswert raus das muss manchmalich ziehedas Minus das Minus sich raus die zweit sich raus den Erwartungswertsich raus aus dem ErwartungswertUnterschied im Erwartungswert nur noch das Xmal den Erwartungswert von Xda kommt der heralso alles rausgezogenaus dem Erwartungswert minus zweiund E von X rausgezogen es bleibt nur noch das X die Variable selbst im Erwartungswert stehenplus Erwartungswert von dem da hintendas ist eine Konstante der Wartungswertins Quadrat ist immer noch ?? Konstantealso einfach Erwartungswertvon XinsQuadratund dann habe insgesamtErwartungswertvonX QuadratGradso was damit minuszwei mal die Erwartungswert von X verliertpluseinmalErwartungswert von X werde jetztja bei minus zwei maldas Quadrat vom ErwartungswertPlus einmal das Quadrat vom Erwartungswert macht insgesamt minusdas Quadrat vom Erwartungswertist damit die übliche Formelfür die Varianz?? man stellt sich vordie VarianzmisstdiemittlerequadratischeAbweichungdass es mir die Formel der obenund der Rechner bisschen aus und stellt fest als die der viel leichterich kann die auf Varianz bestimmenindem ichdas Mittel vom Quadratbestimmenalso tausendmal messenjeweils Quadrieren davon den Durchschnittminusdas Quadrat von Mitteltausendmal messen Durchschnitt bildenund dann Quadrierendiese Differenzmacht die Varianz ausdas ist die übliche Art die Varianz dazu berechnendas Mittel vom Quadratminus das Quadrat vermittelnaber das ist nichts anderes als das Mittel der quadratischen Abweichung einfach durchausmusizierenund Minoguenennendas will ich einmal noch zeigen für eine diskreteZufallsgrößeund einmal für einestetige Zufallsgrößewie das dann tatsächlich geht alsoder ideale Würfelvarianzdes idealen Würfelsernstesdas dieernsteidealseinenWürfelsKomma sechsder Erwartungswertvom Quadratminusder Erwartungswertins Quadratsogar nie das jetzt ausreichendErwartungswertvom Quadratwelche werden in das Quadrat an beim WürfelnXist der Würfel als solche ein zwei drei vier fünf sechs mit Wahrscheinlichkeitjeweils ein Sechstelder medialen WürfelX Quadrat soll heißen ich nehme die Zahl sich auf dem Würfel sehe und Quadrierenalso einsvierneuneins vier neunPunkt jetzt sechzehnfünfundzwanzigsechsten dreißigin die möglichen Werte für X Quadrat und alle mit der wahrscheinlich ein Sechstelwenn ich mir zwei auf dem Würfel seheist X Quadratvierstand statt ein Sechstel ?? drei auf dem Würfel sehe ist X Quadratneunbescheinigt ein Sechstel der Erwartungswert von X Quadratswertmal Wahrscheinlichkeitwird mal Wahrscheinlichkeitwird mal Wahrscheinlichkeitwird man Wahrscheinlichkeitging das ja Plus wird mal Wahrscheinlichkeitspluswird mal Wahrscheinlichkeitdas ist aber schon das ist Erwartungswert von X Quadratin steht noch der Erwartungswert von X Quadrat in Erwartungswert von X hat man schon mal dreieinhalbder Wagen wird vom Würfelaber die Zahl in der Mitte ist schon symmetrischdas Quadrierenich will's auch gar nicht vor Beistrich aber zu Hause ausgerechnet riskanterinzweizwei elf zwölftel rausstimmtalso lange Rechnungist der Bananenmarktrechneter zwar elf zwölftel kam bei mir raus als Varianz für den Würfeldas heißt die Standardabweichungbeim Würfel ist die Wurzelzweielf zwölftel?? natürlich nicht notiert von zu HausewarenzweiKloself Tourzwölfund daraus dieWurzelinversden also eins Kommasiebenirgendwaseins Komma siebenwas nicht so unplausibelist für mich auch sie können sagen okay der Würfel ist im Mittel drei Komma fünf und der Schwanz mit eins Komma siebeneine sehr grobe Beschreibung für den Würfel aber in der nur zwei Zahlen die die Verteilung beschreiben sollenso sieht das beimeiner diskretenZufallsgrößeaus?? zweites Beispiel einestetige?? Scanvarianzdes idealen Würfels und jetzt hier Varianz einerVarianz einer stetigen Verteilung nämlichVarianzeinemX ist gleichförmigzwischeneins und sechsjetztals stetige Zufallsgrößealso X kann seinähmfünf Komma drei eins Komma sieben Kiwurzelzwei all das kann X sein aber es soll mit der gleichen Wahrscheinlichkeitjede Zahl zwischen eins und sechs annehmenerst ?? wahrscheinlich herzlich daraufwie muss die aussehennatürlichenWegen gleichförmig muss es eine horizontaleseinkeine Frage dass jeder Wert gleichmäßigvorkommt mit der gleichen Wahrscheinlichkeitvorkommtambei der Höhe muss man vorsichtig sein wenn sie sich angucken die vergessene Sünde sind fünf Kästchen die Höhe muss absurderweise ein Fünftel seinnicht ein Sechstelein fünftel da ein fünftel darf fünf breitvon eins bis sechs sind fünftes fünf breit und ein Fünftel hochdas wäre diese Verteilungsoll sang diese Dichte ist null null null null beim Wert einsSie auf die Höhe ein fünftelundBeistrich sechs geht sie wiederauf die null ich mal wieder ganz dreistvertikaleTeil in den Graphen der Reise das ist die Verteilungjetzt kann ich denErwartungswertberechnen und sich irgendwie nicht Erwartungswert wird natürlich wie eben dreieinhalb seindas offensichtlichdas Rechen doch keine Leerschritte setzennoch auserdie Varianz spannender wirklich die Varianzdie Größe ins Quadratminusim Mittel minusMittel der Größeins Quadratjetzt brauche ich hier ein integral das ist eine stetigeZufallsgrößeich muss integrierenvon offensichtlich eins bis sechsunddie wahrscheinlich als Licht ist ein Fünftelmal mein Wertins Quadrat so sieht das dann aus Dichtemal Wertintegrierterinnern wie das mit den Erwartungswert gingweiche Beine Erwartungswertwarenauchda das ErwartungswertDichtemal Wert integrierenjeweils Erwartungswert der Größe X jetzt will ich aberX Quadrat haben was das Mittel von X Quadrat istja man das Mittel von X Quadrat mussten X Quadrat stehendas ist dermittlere Wert des Quadratminus das er hinten immer schonjetzt nicht haben das es dreieinhalb Quadrat natürlichwusste Erwartungswert hier muss der Schwerpunkt hier bei dreieinhalb die bei dem normalen Würfelamdies Integrallösen wie üblich mit Stammfunktionich suche Stammfunktion zu ein fünftel X Quadratdas wäre sowas wie ein fünfzehntelX hoch dreiwenn ich mich jetzt verrechnet habewenn sie probeweise ableiten Komma drei nach vorne kürzlich mit der fünfzehn Watt ein fünftel stehen ?? zur ?? zu Quadratdass wir das integral nach vorne minus dreieinhalbins Quadratmacht alsojetzt ganzeklig sechs hoch dreifünfzehntelminusein hoch dreifünfzehntelminus dreieinhalbQuadrat ist gleich und so weiterunsäglichesausrechnenich hab raus gekriegt zwei ein zwölfteldas ist weniger als vorherbei dem Würfel Leitender zwei elf zwölftelbei dieser Zufallsgrößezwei ein zwölftelund das heißt die?? wirklich aus die Standardabweichunghier wäre also Wurzel zwei ein zwölftelund das äh isteinenzwölftelWurzeleins Kommavier ungefährals etwas weniger als ebenhaben Sie eine Idee warum das weniger sein musswenn ich sowas versuchen würde wieder wahrscheinlich herzlich die für ein Würfelmüsste die ja so aussehenjeweils Kriegs die bis ins unendliche gehen unendlich schmal sind bis ins unendliche gehen jeweils die Fläche ein Sechstel habenso wäre in Anführungszeicheneine Wahrscheinlichkeitsdichtefür den Würfelund sie sehendas die weiter außen liegt die Handlung ganz außen noch peak sitzenam aber nicht bei der roten Kurvedie heute schön auf??wäre ein einer von vielen Gründen warum die grüneKurvedie in AnführungszeichenWahrscheinlichkeitsdichtefür den Würfel ist nicht gibt?? eine höhere Streuung haben soll denn das für Streuung haben sollte als sie für die rote