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09.6 inhomogene lineare DGL 2. Ordnung


CC-BY-NC-SA 3.0

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wennich nun dieselbeDifferenzialgleichungennehme aber inhomogenmachendiese Differenzialgleichungenaber jetzt addiere ich noch was dazunicht ein Vielfachesvon X oder X Punkt oder X zwei Punkt istman sich auch schön vorstellen wenn man wieder des Federpendel nimmt aber nur mit äußerer Anregungdieselbe Differenzialgleichungenund dann noch ein bisschenauf eine SeiteKomma neunzehndassman neunzehnalles auf eine Seite bringenund jetzt schreibe ich nicht gleich nulldas wäre die homogeneForm einerlinearen Differenzialgleichungenzweiter Ordnung mit konstanten Koeffizientensondern ich schreibe etwas inhomogensindda zum Beispieleinen Kosinuszwei PDFmal die Zeitalso einegroße gasförmige Schwingung mit der Frequenz Fund der gebe ich noch ?? Amplitudein ihrem aleph gut als Maximalkraftes hier steht ist ja eine Kraft Masse mal Beschleunigungsteht eine Kraftkönne man sich so vorstellen dass mananhand dieseran deman der Kugel wieder hängtnoch eine Kraft angreifen lässt neben dem Magneten stinken zum mitnehmen nimmt den dicken Elektromagnetenund Elektromagnetendannbetreiben sie mit der Sinus vermiedenSchwingungzum Beispielgucken was passiertder Praxis ?? wahrscheinlich eher die Decke bisschen backen lassen?? rauf und runternunetwas anders formulieren dann von der gleichen ?? aber der Effekt bleibt derselbeein Federpendelmit einer Anregung ich rege das von außenmit einer bestimmten Frequenz F anund dann habe icheinein Homogenitäthier hier steht nicht ein Vielfaches von X oder X Punkt X zwei Punkt kein Vielfaches von der?? abhängigen Variablenalso einen inhomogenenJahr sah Gleichungzweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten die Zahlen vormeiner Funktion und ihren Ableitungendie sind ja immer noch konstantdie Inhomogenitätendarf von der?? unabhängige VariableKommaderselbe Trickwie am Anfang erwähnteine Gleichung dieser Art ich suche eine spezielle Lösung der Inhomogenformirgend eine Funktion die genau das kanndie allgemeine Lösung der homogenen Formeben gerade gleich Null hatten wir im Garten und addiere die beiden zusammenselben Begründung Fihierfür warum das funktionieren mussdie zweiLösungen der Inhomogenformhaben die beiden voneinander abziehensetzen die einzigen sie null rausdie Differenz zweier Lösungen der inhomogenen Frau muss eine Lösung der homogenen Form sei umgekehrt wenn der Lösung der homogenen Form haben null stehtdatieren die zu einer Lösung hiervonist das wieder nur davon seinKonzept zwei stellige Verfahren bin ichnunalso ich suchenunfolgendeszwanzigäh X von Tdas für das werdeneine KonstanteMagie Hochlandereins TB vorherbestimmtals hier Null standder ?? Formelplus eineKonstante Mariolanderzwei TSamba zwei wie eben bestimmtSchlusseine spezielle LösungderinhomogenenFormbeschreibt man eine spezielle Lösung von Sternchenfordern eine spezielle Lösung hier von der inhomogenen Formso bitter seinoder mit Körnchensalz vielleicht steht da auchT mal E HochlanderTibetsnur ein Landtaghatte selbes Verfahren wie bei erster Ordnung setzen wir null ein??machen eine homogenegeniale Versager gleißend raus finden deren allgemeine Lösung deshalb nur im gerade das mussKonstante Magie hoch sind einander einst die Konstante Magiemiteinander zwei C oder C maldie beiden Anlässe gleich sind Themaund AC seinAllgemeinwissender homogenen Form und dann suche ich mir ein einziges X das das kann die gleichen siehe oben die inhomogene Form deszusammenes bleibt das Problem diese spezielle Lösung davon zu findenund errät man einfach auch wiederphysikalischden AnsatzAnsatzfür das hierdie spezielle Lösung der inhomogenenFormwenn sie über Jahrtausende an diesem wieder Bändezappeln mit einer festen Frequenz ist egal mit welcher Frequenz das wieder bindet selbst schwingen will es hat zum Schluss die Frequenz mit der sie'sanregendie eigeneSchwingung des Bündelswird der Abklingen über die Zeitund stattdessen kommt dann mehr und mehrdie Bewegung mit der istanregend ??habenalso der Einsatz den ich machen würde istnehme ein Vielfachesvom Kosinus mit der richtigen Frequenznämlich der von außen angelegtenund ein Vielfaches von Sinusmit der von außen angelegten Frequenzund das sollte man richtig einstellen können dass wir dann eine KonstanteSchwingung mit der von außen angelegten Frequenz das sollte den Zustand entsprechenddass man es vor unendlich langer Zeitangestellt hat und alleingelassenhat und nicht mehr an fastdas sollte den Sultan entsprechen das wäre ganz billige Lösung eine ganz billigespezielle Lösung wenn man denn dieses K und SLrichtig einstelltals der Job es dann nur nochdiesen Ansatz hierin dieDifferentialgleichungeinzusetzenund zu gucken was denn so konstanten Kartell sein müssen wie viel vom Kosinus wieder vom Sinusallgemeine sie gasförmige Schwingungmit der richtigen Frequenz der von außen angelegtenes sicher bilden aus Kurses und sinussinnigso hinschreibenmuss es funktionierenwürde das jetzt einsetzen soll sowie meinem großen Sohn zu vermeiden Sinusdann wird hier auch wieder großen Sinus auftauchen mit den Faktoren hier wird Kursen Sinus stehen hiermit Sinus und Kosinus stehen als ich auf derlinken Seite eine wilde Mischung von Sohn Sophie Martinus uns unsere Firma Kosinusund das muss unsere Firma Kosinus seine setz ich einfach nur noch die Koeffizienten leicht dass sie auf der linken Seite zusammen wirklichSpitzenwert der Kraftbei den Kursen steht und das auf der linken Seite null meine Sinus insgesamt stehtgibt's wieder ein Zeichensystem für KartellKomma im Seminar oder imPraktikum machen das es keine große Konstanz immer einmal das Verfahren verstanden hatist das ziemlichbillig wir startenWeichstaatenmit einerlinearenDifferentialgleichungzweiter OrdnungInhomogenkonstanteKoeffizientenimSchreiben die Lösung sofort hin das ist die Lösung derhomogenen Form allgemeinplus irgend eine Lösung von demtypischerweiseimmer physikalisch dran gehen und sich überlegen was ist die billigste Lösungsdiebehaben in dieser Situationein Federpendel wurdevor unendlich langer Zeit installiert und seit der Zeitwird von außen bewegtso wird das Aussehen mit passenden Amplitudenkartellund die bestimme ich einfach in dem ich einsetzen meine Verzagtheitdas heißt hier steht jetzt ?? Mischung aus großen Sinusund insgesamt habe ich dann ÜberlagerungeinerabklingendeSchwingungbeziehungsweiseVentil anders nicht komplex sind einfach nur Abklingendieses Abklingen oder die absolut klingende schwingungslosdieses großen Sinus mit derAnregungsfrequenzso wird das Aussehen wurde bisschen nachrechnen stellt man fest okay diese Gas und Els?? explodierenwenn diese Anregungsfrequenzdie EigenfrequenzdesWindes istund ähnliche Geschichten aber das überlasse ich dann den Physikern das malvorzuführen das relativ gradlinig zu machen