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K07 rationale Funktion, Polstellen, Asymptote, Partialbruchzerlegung


CC-BY-NC-SA 3.0

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einerationaleFunktionnämlich diese X wird abgebildetaufX hoch dreiplus drei Xplus einsdurch X Quadratplus eins mich interessiert folgendeswie stets mit Polstellenwie stets mit einer AsymptotefürX gegen plus minus unendlich als einehorizontaleAsymptotegibt es irgendeine Kurvein sichdiese Kurve dieser rationalen Funktion an ?? liegt in Richtung plus minus unendlichundwie steht'smit der Partialbruchzerlegunggute Frage angesichts dieser Funktion X sollganz klassisch eine ideelle Zahl seinPunktdiese Aufgabe ist einfacher als es scheint war das meiste sich andere Luft auflöst in dieser AufgabePol stellendamit eine kleine Polstelle sein kannmuss mindestensder Nenner null werdendas notwendigeBedingung wenn sie nicht haben dass der Nenner null wirddann diese Funktion auch nicht irgendwelchen Unsinn veranstaltenins männliche verlaufen alsokeine Polstelle dieser Nenner wird nicht null für reelle Zahlensich als halber noch mal anmerkendas ist aber nur ?? notwendigeBedingungeiner Polstelle müssen sie haben dass der Nenner null wirdsowas hiermal irgendwas mal irgendwasdas ist aber nicht hinreichendfür eine Polstelle was kann passierengenau das ist der Ärger wenn derselbe Faktor im Zähler stetsin derselbenoder in einer höheren Potenzentwickelt sich das ganze nett wegund sie haben keine Polstelledie Funktion entschwindet nicht ins unendlichewenn sie genügend oft kürzen können also Vorsicht dass der Nenner null wird ist nur notwendigdas ist aber nicht hinreichendPolstellekann sein dass auch der Zähler null wirdund dann muss man genauer guckenwenn siewenn Sie diese Situationhaben dass es definitiv keine PolstelleZähler Männer werden nur ?? und es ist keine Polstelle bei ist gleich einswenn Sie diese Situationhaben Zeller Männer werden bei den Hull dann ist es trotzdem eine Polstellebei nach dem KürzenimNenner immer noch dieser Faktor X minus eins übrig bleibt da vorsichtig sein es reicht nicht das einfach nur derNenner null wird für die Polstelleso das so Polstelle es gibt also keineBeistrich die aus den reellen ZahlenX Quadrat ist null oder mehr wenn sie als Addierenmit beim besten Willen nicht nullAsymptotemuss man tatsächlich einmal rechnenX hoch drei plus drei X plus eins durch X Vertrag plus eins PolynomdivisionX hoch dreidrei X plus einsdurchdankeHeinzwarenunbedingt mit Klammerfehlersind viele noch ohne Klammern dass es gefährlichwird es relativ Sturz aberwenn es streng nehmen steht da janicht so drei plus drei X plus eins durch X Quadrat plus eins ?? kann man weglassen das istkeine gute Idee Schreibens mit Klammernsind eigentlichamX hoch drei durch X macht Xmodifizieren zurück das gibt X hoch dreiplusXdreißigdrei XminusX sind zwei Xplus eins habe ich da oben das bleibt als Rest das kann ich weiter teilen zwei Xdurch X Quadratgeht nicht auf also lässtzwei X plus einsoder eine andere SchreibweiseEhrlichkeit gesättigt ob die raffinierte Schreibweiseist bin sofort dahinter schreiben was raus kommtdieses Polynom durch das Polynom ist Xplusden Rest zwei X plus einsdurchden Nennerdurch das weit geschickter geschrieben sogarals wenn sie Teil danndreizehnTour euchfünfS zweiplus drei fünftelanalog dazu beschriebene Schreiben zwei Rest drei sonder zweites drei fünftelder Rest durchden Nennermacht das Ganzein einem Schrittklarso jetzt kann ich die Asymptote sehennach der TeilungPatienten übrig bleibtnach der Teilung herrliche hinten etwas was gegen Null gehendenX über alle Grenzen wächstdas gesamte hinten gegen Null gehen denn der Gradvom Rest des kleiner alsder Grad von Nenner ?? oben kann nichts damit X Quadratmeter größer stehenden dann hätten sie nicht zu Ende geteiltwenn ich durch was mit X Quadratsteilekann oben nur was mit X stehenwenn ich durch X und zweiundvierzigteilen kann oben nur was mit X um einundvierzigoder kleiner stehendiese Ausdrücke hinten geht automatisch gegen null wenn X über alle Grenzen wächst bei der Grad des Zählers kleines S der Grad des Nennerdas heißt hier vorne steht die Asymptoteeinfach die gerade Y gleich Xist meine Asymptotefür X gegen plus minus unendlichundwird in der Klausur nicht ausführlich begründen dass das der Fall die Asymptote Komma das einmal verstanden hat das hierrechts durch Nenner gegen null gehtfür X gegen unendlich und X gegen minus unendlich deinesgleichen vorne steht die Asymptotedas Ergebnis der Polynomdivisionist die Asymptote für X gegen plusminusunendlichsollte sich als halber sagen es ist also nicht die einzige Asymptotezwar dieser Ansatz Asymptotewenn ich Polstellehätte der hätte natürlich weitere Asymptotenämlich in die Polstelle rein Asymptote diese natürlich nicht so richtig spannendklar an jeder Sportstätte hat man auf diese Weisevertikal Asymptotedieser Asymptote hier für X gegen plus minus unendlich viel spannendersind sie durch Polynomdivisionundwas verletze Partialbruchzerlegungdas ist ganz fiese Frage stellen?? Partialbruchzerlegungführen sie die Polynomdivisionausdann haben Sie ein nettes Polynomdas bleibt stehenund das was sie hinten übrigbleibt?? nicht meinen Partialbrüchejetzt hat der Nenner ich aber keine Nullstelleund ist quadratischdann ist das wirklich das Leben ist schonein partial Bruch Feierabenddas heißt die Partialbruchzerlegungist an dieser Stelle schon durchdas soll ich noch mal sagen weil das schienen nicht mehr ganz so bekannt zu seinalsowenn siewenn sie was habenwir hier mal X minus zweiMal X minus drei QuadratmalQuadrat plus eins wenn sie so einen Ausdruck habenPunkt können welcher gratis unten ist eins zwei drei vier fünf und die oben steht irgendwas von wegen drei zwo vier sieben zwo dreiminusacht Mios wenn sie soeine rationale Funktion habenist der Grad im Zähler schon kleiner als der Grad des Nennernach der Polynomdivisionkönnen Sie hinschreibenwas für Therme sie erwartenbei der Partialbruchzerlegungwas erwarte ich jetzt wird ?? bei der Partialbruchzerlegungzwei ist das erste was sie erwarten hier gibt's einePolstelleerster Ordnung eine einfache Polstelle für die kommt so ein Ter mit irgendeiner Konstante Awas immer nochfür denfür diese Polstelle zweiter Ordnung die doppelte Polstelle kriegen sie erst mal das was sie naiv erwarten würden die durch X minus dreiQuadrat ich brauche wieder irgendwasmit einer Polstelle die genauso schlimm ist wie diese Polstelle da alles gibt aber ärgerlicherweiseein externes?? vorgeführt man dividiert aus und sieht leider bleibt typischerweise noch ein extra Termeine Polstelle erster Ordnungdas kriegt sie für eine Polstelle Sauce Filterordnungeine Polstelle siebter Ordnung eine siebenfache Polstelle kriegen sie durchhoch sieben durch hoch sechs Durchbruch und so weiter bis Durchbruch eins diese ganze Reihe runterimmer mit derselben Polstelle alle diese Ausdrücke haben an diesem Polstelle also nicht von wegen Verzicht sie durch X plus drei das Handy eine ganz andere Polstelledas wieder vierzig Backslash minus drei verrückt spielendas hier spielt aber nicht zurück Beistrich minus drei des ganzen Seins muss alles dieselbe Polstelle haben in verschiedenen Ordnungenund Indizien der hinten nochSonderfall?? ich habe einen quadratischen Faktor hier untenohne Nullstelledas heißt sie können das nicht zerlegenund Nullstelle insbesondere dann auch ?? Polstellees gibt da die Matrix plus diedurch die Linie X Quadrat plus einssowie das ausals wenn sie dein Faktor haben derein Quadratsfaktorhaben ohneNullstelleund damit auch insgesamt dann keine weitere Polstelle haben kommt so ein Kern dazuhatte ich auch irgendwo vorgeführt??eine der diversen Regeln heute haben wir zu ungefähr alles beisammen was man in der Praxisverbrauchfür Partialbrüchein X minus drei hoch drei gestanden hättedie ganze Reihe runde Ecken des drei hoch dreiX minus drei hoch zweinoch ein X minus drei ?? einsdieses Dax Plus E kommt zustande wie man wirklich mal das ganze aus buchstabiert die Reste bildet allgemeinSolaris vorgeführtsie können sich aber überlegen dass das eh alleine nicht reichen wirddieser Freiheitsgradden sie nur mit dem EH ?? wird nicht reichen wenn nämlich sowas wie hier passiertzweimal X plus einssich auf den Kopf stellen mit dem IE alleine wird es nicht funktionierenPunkt sie brauchen noch oben das X dabeiauch diesen zweiten Freiheitsgradsie untenden Grad zwei haben haben sie oben ihr zwei Freiheitsgradefür X hoch Einzel X hoch null die brauche ich auch bei der Partialbruchzerlegungder hilft nichtsan die offizielle Begründungsiehe die alten Videos wäre wirklichdurch zudas durchzurechnen das durch zu dividieren wir dann was als Rest bleibtist vom Grad einsund das ist das allgemeine Polynom vom Grad einsgute Frage was passiert wenn sie sowas haben acht durch X hoch drei plus einsgenau das hatte Nullstelle vor sich Vorsichtähversichern Polynom mit ungeraden Gradgenau hinguckenbei minus einsmit eine Nullstelle sein minus eins hoch drei minus eins Mann minus ?? Satz muss ein ?? mit ein Nullstelle sein kann also hier X plus eins ausklammernalso vorsichtig sind sie noch nicht fertig mit der Rechnung wenn sie zu drei plus eins haben das kann nur funktionierenwenn hier was quadratischesstehtund dann auch die richtige Sorte vom quadratischen steht nicht in der X Quadrat minus eins steht an sie auch wiederNullstelleund sind fertighaben oder es kann passieren wenn der sowas steht wie X hoch vier ?? plus X Quadrat plus dreikann ich dasin zwei quadratische Ausdrücke zerlegen under versorge jeden der quadratischenAusdrücke Einzeldas immer zu schwierigDraufgift nehmen das sowas in der Klausur nicht vorkommt ?? wieder tausendmal verrechnet wird das Bild einfach nicht andie Regel geht dann noch weiter was passiert wenn die was mit X auf vier bleibtaber hier Vorsicht das es noch nicht fertigda es noch neuePolstelle versteckt