3412 3973 das 3973 4534 zerlegen 4534 4735 von 4735 7742 Vektoren 7742 8022 führt 8022 8182 zu 8182 8443 diesen 8443 8744 beiden 8744 9205 Begriffen 9205 10027 Basis 10027 10748 und 10748 11750 Dimension 11750 13915 Dimension 13915 14095 die 14095 14857 Dimension 14857 15138 eines 15138 16902 Vektorraums 16902 17082 ?? 17082 17282 schon 17282 17523 ganz 17523 18124 allgemein 18124 18325 auf 18325 18525 den 18525 19026 abstrakten 19026 19948 Niveau 19948 20109 die 20109 20710 Dimension 20710 20971 eines 20971 21632 Vektorraums 21632 22414 sagt 22414 24538 die 24538 25480 groß 25480 25961 Direktor 25961 26262 Raum 26262 26423 ist 26423 26643 aber 26643 27084 groß 27084 27244 nicht 27244 27365 im 27365 27625 Sinne 27625 29289 der 29289 29690 ?? 29690 30271 im 30271 30451 Sinne 30451 30592 von 30592 30752 so 30752 31013 soviel 31013 31373 Meter 31373 31554 es 31554 31874 in 31874 32135 jeder 32135 32456 Richtung 32456 32897 unendlich 32897 33197 groß 33197 33338 wenn 33338 33498 sie 33498 33799 gerade 33799 34139 Punkt 34139 35703 ist 35703 35883 er 35883 36044 es 36044 36284 geht 36284 36865 rum 36865 37026 wie 37026 37186 viel 37186 37527 Platz 37527 37667 da 37667 37988 drin 37988 39311 ist 39311 39551 geht's 39551 39712 nach 39712 39952 oben 39952 40153 geht 40153 40313 nach 40313 40614 unten 40614 40874 geht's 40874 41055 zur 41055 43540 Seite 43542 43762 viele 43762 44344 Richtungen 44344 44564 kann 44564 44705 ich 44705 45326 gehen 45326 45446 da 45446 45707 kommt 45707 45847 der 45847 46509 Dimension 46509 47010 Begriffe 47010 47611 Dimension 47611 48312 ist 48312 48513 eine 48513 49154 Kennzahl 49154 49375 für 49375 50116 einen 50116 51119 Vektorraum 51119 51459 Auto 51459 51780 kaufen 51780 51900 sich 51900 52141 gleich 52141 52381 nach 52381 53384 Hubraum 53384 53624 und 53624 53784 ein 53784 54346 Vektorraum 54346 54747 bestellen 54747 54887 Sie 54887 55588 nach 55588 58755 Dimension 58755 59497 am 59497 61241 Basis 61241 61501 braucht 61501 61642 man 61642 63646 zuerst 63646 64288 das 64288 64789 Basis 64789 64969 ist 64969 65190 eine 65190 65510 Menge 65510 65731 von 65731 66312 Vektoren 66312 66492 in 66492 66693 die 66693 67014 ich 67014 67294 alle 67294 67735 anderen 67735 68296 zerlegen 68296 68517 ?? 68517 68777 auf 68777 69439 eindeutige 69439 70481 Weise 70481 70682 ein 70682 71964 Beispiel 71964 72405 auf Seite 72405 72706 zehn 72706 74269 unten 74269 74490 eine 74490 74811 ganz 74811 75191 billige 75191 75833 Basis 75833 76033 wenn 76033 76274 sie 76274 76474 im 76474 76995 R drei 76995 77557 sind 77557 77757 den 77757 77917 hier 77917 79200 haben 79200 79401 es 79401 79842 komplette 79842 80443 fünf 80443 81024 Komponente 81024 81766 Zettel 81766 82207 sechs 82207 83850 und 83850 84091 Z 84091 84632 Komponente 84632 87017 drei 87019 87219 können 87219 87360 Sie 87360 88162 den 88162 88382 in 88382 88663 drei 88663 89003 billige 89003 89464 Vektoren 89464 90026 zerlegen 90026 90246 das 90246 90447 haben 90447 91429 Sie 91429 91649 denn 91649 91890 schon 91890 92090 alles 92090 92471 sechsmal 92471 93173 gesehen 93173 93854 fünfmal 93854 94054 den 94054 94997 Einheitsvektor 94997 96039 in 96039 96279 X 96279 96901 Richtung 96901 97181 plus 97181 97662 sechsmal 97662 97823 den 97823 98504 Einheitsvektor 98504 99186 in 99186 99747 Richtung 99747 100008 Plus 100008 100428 dreimal 100428 100609 den 100609 101491 Einheitsvektor 101491 103315 in 103315 103615 Z 103615 106762 Richtung 106762 107083 rechnen 107083 107183 Sie 107183 108386 einfach 108386 108626 diese 108626 108807 hier 108807 109007 mal 109007 109428 fünf 109428 109589 ist 109589 109889 fünf 109889 110070 null 110070 110390 null 110390 110671 dieser 110671 110831 hier 110831 110992 mal 110992 111252 sechs 111252 111453 ist 111453 111633 null 111633 111934 sechs 111934 112395 null 112395 112635 dieser 112635 112916 Himmel 112916 113297 dreist 113297 113457 null 113457 113657 null 113657 114098 drei 114098 114259 wenn 114259 114359 sie 114359 114539 dann 114539 114840 addieren 114840 115041 haben 115041 115141 sie 115141 115341 den 115341 116123 wieder 116123 116424 oder 116424 116704 stellen 116704 116804 Sie 116804 116985 sich 116985 118809 vor 118809 119931 war 119931 121014 X 121014 123399 selbst 124484 125045 Y 125045 125406 stellen 125406 125727 sich 125727 127270 vor 127270 127831 fünfmal 127831 128112 sehen 128112 128413 also 128413 128733 fünf 128733 129254 Einheiten 129254 129475 nach 129475 130638 da 130638 131018 sechs 131018 131479 Einheiten 131479 131640 nach 131640 133544 hinten 133544 133764 der 133764 135027 hier 135027 135268 und 135268 135488 drei 135488 135909 Einheiten 135909 136110 nach 136110 136711 oben 136711 137613 stehen 137613 138735 und 138735 139317 zeichnerisch 139317 141020 ungeschickt 141020 141181 ich 141181 141321 war 141321 141541 heute 141541 141982 Klammer zu 141982 144167 anders 144167 147535 Punkt 147535 149850 so 154200 154340 ?? 154340 154581 und 154581 155142 der 155142 155443 Rektor 155443 155543 der 155543 156044 rauskommt 156044 156184 wenn 156184 156285 sie 156285 156365 die 156365 156585 drei 156585 156986 addieren 156986 157187 ist 157187 158930 dann 158930 159091 der 159091 161817 hier 161817 162037 quer 162037 162218 durch 162218 162378 den 162378 164663 Raum 164663 164843 ?? 164843 165024 ein 165024 165405 Vektor 165405 165525 in 165525 166287 drei 166287 167008 Vektoren 167008 168872 zerlegt 168872 169213 diese 169213 169534 drei 169534 169774 hier 169774 170175 heißen 170175 170396 gern 170396 170556 auch 170556 170676 die 170676 171899 Standardbasis 171899 172059 das 172059 172220 sind 172220 172320 die 172320 172741 dümmsten 172741 173222 Vektoren 173222 173402 mit 173402 173683 denen 173683 174284 das 174284 175667 funktioniert 175667 175827 im 175827 177952 R drei 177952 178273 Arm 178273 178674 manchmal 178674 178894 sehen 178894 179035 Sie 179035 179335 auch 179335 179957 hierfür 179957 180237 die 180237 181179 X 181179 181420 gern 181420 181580 auch 181580 181700 mit 181700 182482 Hut 182482 183023 für 183023 183244 einen 183244 183524 Wechsel 183524 183625 der 183625 183865 Länge 183865 184246 eins 184246 184567 hierfür 184567 184787 sind 184787 185529 sie 185529 185990 Y 185990 186170 mit 186170 186852 UTC 186852 187032 mit 187032 187914 Hut 187914 188375 am 188375 188616 wenn 188616 188736 sie 188736 189077 altes 189077 189397 Buch 189397 191201 aufschlagen 191201 191542 finden 191542 191702 Sie 191702 192304 hierfür 192304 193647 auch 193647 193807 den 193807 195190 Namen 195190 197255 I 197255 197455 und 197455 197675 hier 197675 197836 für 197836 197956 den 197956 198337 Namen 198337 198698 Yorks 198698 198878 und 198878 199038 den 199038 199399 Namen 199399 201504 Kail 201504 201704 hört 201704 201845 sich 201845 201965 so 201965 202125 nach 202125 202586 komplexen 202586 203027 Zahlen 203027 203268 an 203268 203468 aus 203468 203769 guten 203769 205192 Grund 205192 205453 J 205453 205693 und 205693 207357 K 207357 207617 sind 207617 208138 weitere 208138 208339 von 208339 208780 derselben 208780 209461 Sorte 209461 209702 Kat 209702 209902 ähm 209902 210684 Ionen 210684 211005 waren 211005 212728 mal 212728 212889 in 212889 213430 Mode 213430 213671 vor 213671 213971 langen 213971 214933 Jahren 214933 215074 da 215074 215374 kommen 215374 215555 die 215555 216797 her 216797 217238 Beistrich 217238 217399 in 217399 217459 die 217459 217980 mathematische 217980 218281 Geschichte 218281 218641 dahinter 218641 219483 ersparen 219483 220425 an 220425 221889 naht 221889 222390 komplexer 222390 222851 komplexer 222851 225296 Zahlen 225298 225639 da 225639 225859 kommt 225859 226020 diese 226020 226461 Bezeichnung 226461 226661 ?? 226661 227583 JK 227583 227763 wenn 227763 227864 sie 227864 227984 die 227984 228124 noch 228124 228445 irgendwo 228445 229688 sehen 229688 232033 in 232749 233451 Großmutters 233451 234393 Großvaters 234393 236517 Mathebuch 236517 236798 dort 236798 237058 heißen 237058 237159 die 237159 237980 meist 237980 238141 E 238141 238482 X 238482 238963 Y 238963 240506 Z 240506 240827 das 240827 241047 nennt 241047 241167 sich 241167 241288 die 241288 242290 Standardbasis 242290 242430 die 242430 243873 einfachste 243873 244214 Menge 244214 244415 an 244415 244976 Vektoren 244976 245377 einfachste 245377 245697 Satz 245697 245838 an 245838 246399 Vektoren 246399 246539 im 246539 247421 R drei 247421 247602 in 247602 247762 diesem 247762 249065 Fall 249065 249305 aus 249305 249526 dem 249526 249927 sie 249927 250187 alle 250187 250488 anderen 250488 250889 Vektoren 250889 251230 bauen 251230 253505 können 253748 254089 so 254089 254309 eine 254309 256334 Basis 256334 256474 wie 256474 256875 gesagt 256875 257035 ist 257035 257155 ein 257155 257356 Satz 257356 257456 an 257456 257917 Vektoren 257917 258078 aus 258078 258258 den 258258 258398 ich 258398 258539 alle 258539 258839 anderen 258839 259942 Vektoren 259942 260383 bauen 260383 261144 kann 261144 261465 dieses 261465 262187 Vektorraums 262187 262648 zwar 262648 263289 eindeutig 263289 263650 bauen 263650 265394 kann 265394 265714 denen 265714 265895 sich 265895 266416 hier 266416 266656 nicht 266656 266737 die 266737 267017 Zahl 267017 267318 drei 267318 267679 stehen 267679 268039 haben 268039 268280 sondern 268280 268380 die 268380 268681 Zahl 268681 269623 vier 269623 269823 ist 269823 269984 das 269984 270385 Ergebnis 270385 270585 was 270585 271527 anderes 271527 271667 auf 271667 271788 den 271788 271988 Kopf 271988 272269 stellen 272269 272389 das 272389 272930 Ergebnis 272930 273451 muss 273451 273872 anders 273872 274734 werden 274734 277079 ähm 277258 277499 ich 277499 277679 kann 277679 277819 auch 277819 278040 nicht 278040 278260 hier 278260 278461 statt 278461 278541 der 278541 278841 sechs 278841 279002 mit 279002 279102 dem 279102 279202 es 279202 279443 anders 279443 279824 schreiben 279824 279984 da 279984 280204 statt 280204 280305 der 280305 280505 drei 280505 280686 was 280686 280926 anders 280926 281267 schreiben 281267 281387 und 281387 281668 hoffen 281668 282008 denselben 282008 282189 Weg 282189 282449 dazu 282449 282790 kriegen 282790 282910 es 282910 283111 gibt 283111 283351 für 283351 283632 diesen 283632 283993 einen 283993 284193 Weg 284193 284374 durch 284374 284514 in 284514 284835 Rot 284835 286097 nur 286097 286699 fünfmal 286699 286839 den 286839 287180 ersten 287180 287420 sechs 287420 287661 meinen 287661 288042 zweiten 288042 288463 dreimal 288463 288904 den 288904 289425 dritten 289425 289705 keine 289705 290046 andere 290046 290708 Möglichkeit 290708 290868 als 290868 290968 die 290968 291329 Zahlen 291329 291650 davor 291650 291830 sind 291830 292491 eindeutig 292491 292672 diese 292672 293193 Zerlegung 293193 293373 ist 293373 295117 eindeutig 295117 295358 und 295358 295678 jeder 295678 296019 Vektor 296019 296721 kann 296721 296941 auch 296941 297082 so 297082 297502 gebaut 297502 297903 werden 297903 298004 sie 298004 298344 können 298344 298605 kein 298605 298966 Vektor 298966 299066 in 299066 299367 drei 299367 299767 R drei 299767 300389 finden 300389 300549 der 300549 300730 sich 300730 301090 nicht 301090 301251 aus 301251 301431 den 301431 301792 Reihen 301792 302113 bilden 302113 302413 lässt 302413 304337 offensichtlich 304337 305199 soundsoviel 305199 305380 nach 305380 305680 rechts 305680 305781 so 305781 306101 sicher 306101 306482 hinten 306482 306703 und 306703 307484 vorne 307484 308126 links 308126 308286 nach 308286 308527 oben 308527 308667 nach 308667 309148 unten 309148 309328 sie 309328 309589 müssen 309589 309809 jeden 309809 310090 Vektor 310090 310371 bilden 310371 310631 können 310631 311473 damit 311473 311774 sowas 311774 311934 nennt 311934 312094 sich 312094 314440 Basis 314440 314720 eines 314720 314921 jeden 314921 315181 Vektor 315181 315662 zerlegen 315662 317306 kann 317306 317506 in 317506 317687 diese 317687 318108 Vektoren 318108 318228 der 318228 319571 Basis 319571 319731 und 319731 319952 das 319952 320112 auf 320112 320633 eindeutige 320633 322958 Weise 323218 323699 diese 323699 323920 hier 323920 324180 stehen 324180 324361 alle 324361 324822 senkrecht 324822 326866 aufeinander 326866 327147 ?? 327147 327367 ?? 327367 327507 die 327507 327768 Länge 327768 328209 eins 328209 328429 das 328429 328830 natürlich 328830 329231 extrem 329231 330033 komfortabel 330033 330294 das 330294 330514 muss 330514 330734 nicht 330734 331055 sein 331055 331196 bei 331196 331396 einer 331396 333581 Basis 333581 333761 das 333761 333942 geht 333942 334102 auch 334102 336477 ohne 337250 337450 ein 337450 337911 paar 337911 338312 Sachen 338312 338413 im 338413 339294 März 339294 340377 an 340377 342602 neunundzwanzig 342602 344466 Vasen 344466 346089 des 346089 346430 Herz 346430 348575 zwei 348575 348835 was 348835 349136 wären 349136 349497 andere 349497 353466 Mengen 353466 354007 Beistrich 354007 354287 falsch 354287 355310 angefangen 355310 355490 das 355490 355731 noch 355731 355911 mal 355911 356773 anders 356773 359228 zu 359855 361218 ähm 361218 361438 ich 361438 361699 mache 361699 361879 das 361879 362140 mal 362140 362240 in 362240 362521 Rot 362521 362681 und 362681 363242 Grün 363242 363503 oder 363503 363804 ?? 363804 363984 das 363984 364144 mal 364144 364245 in 364245 364485 Rot 364485 364666 und 364666 364946 Grün 364946 365187 was 365187 365367 ist 365367 365648 eine 365648 367512 Basis 367512 367772 des 367772 367953 R 367953 368674 zwei 368674 368895 und 368895 369075 was 369075 369276 ist 369276 369757 keine 369757 372603 Basis 373915 377523 des 377523 377944 Herz 377944 378766 zwei 378766 380610 ?? 380610 380850 wenn 380850 383065 ich 384703 384984 mal 384984 385104 ein 385104 385244 paar 385244 385785 Möglichkeiten 385785 385986 auf 385986 386948 so 386948 387108 in 387108 387249 der 387249 387649 Ebene 387649 387870 paar 387870 388531 Möglichkeiten 388531 388912 Vektoren 388912 389053 zu 389053 391468 finden 392153 392975 Nullvektor 392975 393195 und 393195 393536 ein 393536 394598 Vektor 394598 394839 ein 394839 395560 Vektor 395560 395901 und 395901 397264 einen 397264 398106 parallelen 398106 398627 Vektor 398627 398948 drei 398948 401754 Vektoren 401754 402235 verfasst 402235 402636 haben 402636 402756 ich 402756 402997 denke 402997 404079 das 404079 404620 so 404620 404881 oder 404881 405081 noch 405081 405302 ein 405302 405723 einzelner 405723 405843 ?? 405843 406605 so 406605 406865 das 406865 407046 soll 407046 407226 jetzt 407226 407487 alles 407487 407827 Mengen 407827 410253 von 411905 412607 Vektoren 412607 413669 sein 413669 413869 ?? 413869 414110 kurz 414110 414551 an 414551 414932 welche 414932 415212 dieser 415212 416295 Mengen 416295 416776 tatsächlich 416776 417217 Basen 417217 419572 sind 419729 420390 zigmal 420390 420591 mal 420591 420731 ein 420731 421032 Vektor 421032 421814 Einweg 421814 421914 ich 421914 422174 den 422174 422716 zerlegen 422716 423938 will 423938 424199 könnte 424199 424279 ich 424279 424439 doch 424439 424600 hier 424600 424820 seine 424820 427326 Art 427326 427466 ?? 427466 427827 hat 427827 428047 eine 428047 428328 Hälfte 428328 428508 eines 428508 429330 Parallelogramm 429330 431234 bauen 431234 431535 diese 431535 431775 sei 431775 431956 die 431956 432136 es 432136 432617 parallel 432617 432778 zu 432778 432978 dem 432978 433439 Vektor 433439 433619 und 433619 433880 jene 433880 434441 anderen 434441 434882 verlängert 434882 434922 ?? 434922 436366 einfach 436366 436586 sie 436586 436827 sehen 436827 437127 ja 437127 437388 das 437388 437729 Halter 437729 437969 noch 437969 438270 wohl 438270 439713 in 439713 441517 ähm 441517 441797 das 441797 442118 hier 442118 442659 ist 442659 442880 das 442880 443060 so 443060 443461 Ziffer 443461 443942 vielfach 443942 444223 auf 444223 444423 das 444423 444684 eins 444684 445265 Komma 445265 445626 eins 445626 445886 fünf 445886 446227 fache 446227 446508 von 446508 447029 dem 447029 447430 ?? 447430 447771 und 447771 448131 dieses 448131 448512 hier 448512 448933 ist 448933 449234 gleich 449234 449474 das 449474 449735 eins 449735 450777 Komma 450777 451018 null 451018 451298 fünf 451298 451559 fache 451559 451759 von 451759 452300 dem 452300 452661 Visum 452661 452842 von 452842 453162 beiden 453162 453283 ist 453283 453363 der 453363 454706 rote 454706 454986 also 454986 455147 habe 455147 455227 ich 455227 455508 den 455508 455808 roten 455808 456430 zerlegt 456430 456630 in 456630 456770 der 456770 457031 Tat 457031 457251 das 457251 457532 ist 457532 457773 eine 457773 460078 Basis 460078 460378 jeder 460378 460719 Vektor 460719 460939 MR 460939 463385 zwei 467446 467967 lässt 467967 468969 sich 468969 469110 die 469110 469671 weibliche 469671 470012 auf 470012 470372 gemalt 470372 472798 habe 474605 477331 zerlegen 477334 477755 also 477755 477935 das 477935 478076 ist 478076 478577 offensichtlich 478577 478958 ebenfalls 478958 479158 eine 479158 480040 Basis 480040 480301 der 480301 480541 hier 480541 480701 der 480701 481463 Nullvektor 481463 481824 und 481824 482145 ein 482145 484810 Vektor 484810 485011 wenn 485011 485191 das 485191 485392 eine 485392 485813 Basis 485813 486494 wäre 486494 486855 müsste 486855 487055 ich 487055 487436 jeden 487436 487797 Vektor 487797 488017 aus 488017 488158 den 488158 488478 beiden 488478 488799 bilden 488799 489721 können 489721 489882 der 489882 490363 Ebenen 490363 490543 aus 490543 490663 den 490663 490924 beiden 490924 491184 bilden 491184 491425 können 491425 491525 und 491525 491706 dass 491706 493169 eindeutig 493169 493449 seien 493449 493530 sie 493530 493730 von 493730 493910 dem 493910 495875 Vektorinfo 495875 496055 nicht 496055 496235 gut 496235 496897 funktionieren 496897 497037 was 497037 497238 sie 497238 497879 rauskriegen 497879 498080 soll 498080 498200 zu 498200 498340 viel 498340 498581 Mathe 498581 499122 Nullvektor 499122 499463 Person 499463 499583 zu 499583 499883 Firma 499883 500104 den 500104 500806 Vektor 500806 501046 kann 501046 501287 immer 501287 502349 nur 502349 502569 was 502569 502970 parallel 502970 503111 zu 503111 503311 dem 503311 503632 Vektor 503632 504373 sein 504373 504734 also 504734 504894 ist 504894 505055 das 505055 505315 keine 505315 505796 Basis 505796 506017 weil 506017 506177 es 506177 506458 nicht 506458 506719 jeden 506719 507480 Vektor 507480 507661 als 507661 507741 in 507741 508021 jeden 508021 508302 Vektor 508302 508863 ausbilden 508863 509164 können 509164 509404 das 509404 509585 ist 509585 509926 keine 509926 512170 Basis 512170 514546 an 514843 515284 zwei 515284 515785 parallele 515785 516627 Vektoren 516627 516948 äußern 516948 517048 sie 517048 517709 davon 517709 519613 und 519613 519834 aus 519834 520295 demselben 520295 520616 Grunde 520616 520856 kann 520856 521057 das 521057 521317 keine 521317 521778 Basis 521778 522620 sein 522620 522901 lassen 522901 523081 zwar 523081 523302 zwei 523302 523803 Vektoren 523803 524003 aber 524003 524123 sie 524123 525085 kriegen 525085 525326 den 525326 525406 ?? 525406 525607 nicht 525607 526128 gebildet 526128 526368 quer 526368 527511 dazu 527511 527771 ein 527771 528293 einzelner 528293 528733 Vektor 528733 528954 kann 528954 529114 auch 529114 529255 nicht 529255 529916 funktionieren 529916 530137 weil 530137 530517 sie 530517 530678 den 530678 530898 nicht 530898 531179 bilden 531179 533724 können 533724 534065 diese 534065 534466 beiden 534466 535729 hier 535729 535909 ist 535909 536250 natürlich 536250 536330 im 536330 536691 Endeffekt 536691 536911 keinen 536911 537372 großartigen 537372 537773 Unterschied 537773 537914 zu 537914 538274 denen 538274 538455 ja 538455 538856 natürlich 538856 539337 funktioniert 539337 540078 das 540078 540640 solange 540640 540820 der 540820 541181 Winkel 541181 541361 hier 541361 541542 nicht 541542 541902 komplett 541902 542544 aufgeklappt 542544 542764 ist 542764 542965 noch 542965 543145 nicht 543145 543546 verloren 543546 543666 wenn 543666 543867 das 543867 544067 hundert 544067 544328 achtzig 544328 544628 Grad 544628 544789 sind 544789 544929 ?? 544929 545230 dadurch 545230 545791 verloren 545791 546031 sich 546031 546252 kein 546252 546553 Vektor 546553 547034 gebildete 547034 547274 quer 547274 547555 dazu 547555 549239 zeigt 549239 550100 aber 550100 550281 in 550281 550461 dieser 550461 551123 Situation 551123 551604 hier 551604 552265 dass 552265 552486 das 552486 552606 hier 552606 552866 kein 552866 553087 hundert 553087 553388 achtzig 553388 553688 Grad 553688 554851 sind 554851 555051 ein 555051 556454 Problem 556454 556575 der 556575 556915 letzte 556915 557076 ihr 557076 557356 drei 557356 559882 Vektoren 559932 560413 also 560413 560593 hier 560593 560874 können 560874 561054 Sie 561054 561515 sicherlich 561515 561816 jeden 561816 562277 bilden 562277 562417 denn 562417 562518 es 562518 562798 reicht 562798 562919 ja 562919 563099 schon 563099 563480 zwei 563480 563680 wenn 563680 563821 die 563821 564181 beiden 564181 565224 reichen 565224 565444 um 565444 565705 jeden 565705 566065 Vektor 566065 566166 der 566166 566466 Ebene 566466 566667 zu 566667 567328 bilden 567328 567549 das 567549 568290 klappt 568290 568551 aber 568551 568631 die 568631 569012 zweite 569012 569573 Bedingung 569573 570916 ist 570916 571097 das 571097 571177 so 571177 571377 eine 571377 571858 Basis 571858 572059 das 572059 572459 auch 572459 573141 eindeutig 573141 573843 können 573843 574183 muss 574183 574304 es 574304 574564 darf 574564 574825 keine 574825 575165 zweite 575165 575907 Möglichkeit 575907 576248 geben 576248 576308 die 576308 576729 Basis 576729 576969 darf 576969 577591 nicht 577591 577771 zu 577771 578132 klein 578132 578693 sein 578693 578874 es 578874 579295 muss 579295 579615 alles 579615 580036 gebildet 580036 580357 werden 580357 580918 können 580918 581018 die 581018 581339 Basis 581339 581559 davon 581559 581720 auch 581720 581880 nicht 581880 582041 zu 582041 582602 groß 582602 583283 sein 583283 583444 es 583444 583604 muss 583604 584366 eindeutig 584366 584827 gebildet 584827 585187 werden 585187 585448 können 585448 585548 und 585548 585809 hier 585809 586029 können 586029 586150 Sie 586150 586430 jeden 586430 587432 Vektor 587432 587673 auf 587673 588174 mehrere 588174 588575 Arten 588575 589337 bilden 589337 589858 Und-Zeichen 589858 590038 ?? 590038 590499 ?? 590499 590720 das 590720 590820 ist 590820 590980 auf 590980 591201 jeden 591201 591421 Fall 591421 592584 keinen 592584 594889 Basis 594889 596853 einzuzeichnen 596853 599078 Rot 599162 599563 wir 599563 599864 nehmen 599864 602259 wir 603532 604013 ihn 604013 606138 mir 606138 606438 diesen 606438 607501 Vektor 607501 607721 den 607721 607942 können 607942 608102 Sie 608102 608423 einmal 608423 609224 gelten 609224 609445 als 609445 609686 Summe 609686 609986 von 609986 610728 dem 610728 611830 ?? 611830 612031 und 612031 612612 dem 612612 612792 als 612792 612893 die 612893 613233 beiden 613233 613614 oberen 613614 614075 addieren 614075 614296 haben 614296 614416 sie 614416 614636 diesen 614636 615238 Vektor 615238 615518 eine 615518 616059 Möglichkeit 616059 616220 den 616220 616380 zu 616380 616721 bilden 616721 617022 einmal 617022 617162 den 617162 617743 ersten 617743 618004 Komma 618004 618124 den 618124 618605 zweiten 618605 619387 ?? 619387 619748 andere 619748 620369 Möglichkeit 620369 620569 den 620569 620730 zu 620730 621131 bilden 621131 621652 ist 621652 621993 nehmen 621993 622113 Sie 622113 622273 den 622273 624518 ersten 624518 624698 und 624698 624939 den 624939 626623 dritten 626623 626903 unten 626903 628206 den 628206 628387 den 628387 628807 ersten 628807 629609 Vektormal 629609 629850 statt 629850 630090 eins 630090 630351 Komma 630351 631293 acht 631293 631854 dieses 631854 632035 den 632035 632315 erst 632315 632496 mal 632496 632696 eins 632696 632977 Komma 632977 633357 acht 633357 633618 und 633618 633758 den 633758 634019 hier 634019 634500 unten 634500 634801 mal 634801 635001 null 635001 635282 Komma 635282 636364 sieben 636364 636504 und 636504 636605 es 636605 636805 kommt 636805 636985 noch 636985 637186 meine 637186 637507 selber 637507 637847 raus 637847 638048 alles 638048 638208 gibt 638208 638549 zwei 638549 638890 Arten 638890 639290 denselben 639290 639431 Weg 639431 639731 dazu 639731 640092 bilden 640092 640413 das 640413 640894 kann 640894 641335 mindestens 641335 641596 zwei 641596 642518 Arten 642518 643019 sagen 643019 643480 mindestens 643480 644041 wartenden 644041 644342 Vektor 644342 644542 zu 644542 645143 bilden 645143 645624 deshalb 645624 645905 darf 645905 646105 das 646105 646366 keine 646366 646767 Basis 646767 647388 sein 647388 647549 es 647549 647769 lässt 647769 647929 sich 647929 648150 jeder 648150 648571 bilden 648571 648791 aber 648791 649032 nicht 649032 649673 eindeutig 649673 651818 im 651818 652379 ?? 652379 652560 was 652560 652700 sie 652700 653001 jetzt 653001 653181 schon 653181 653662 ansehen 653662 656749 ist 656749 656929 wenn 656929 657029 sie 657029 657370 zwei 657370 657691 Weg 657691 657911 nur 657911 658072 wenn 658072 658172 sie 658172 658493 zwei 658493 658994 Vektoren 658994 659395 nehmen 659395 659615 gibt 659615 659735 es 659735 659896 eine 659896 660277 Chance 660277 660477 eine 660477 660858 Basis 660858 661038 zu 661038 661279 haben 661279 661439 mit 661439 661860 einem 661860 662441 Vektor 662441 662662 kriegen 662662 662802 sie 662802 663083 keine 663083 663584 Basis 663584 665067 hin 665067 665308 weil 665308 665408 sie 665408 665608 nicht 665608 665789 alle 665789 666190 Vektoren 666190 666510 bilden 666510 667112 können 667112 667392 MR 667392 667833 zwei 667833 668034 mit 668034 668314 drei 668314 669577 Vektoren 669577 669777 können 669777 669878 Sie 669878 670178 zwar 670178 670218 ?? 670218 670659 Vektoren 670659 671100 bilden 671100 671281 aber 671281 671501 nicht 671501 672223 eindeutig 672223 672403 das 672403 673005 ist 673005 673325 einer 673325 673506 zu 673506 674207 viel 674207 674668 ?? 674668 674849 es 674849 675730 müssen 675730 676091 genau 676091 676372 zwei 676372 676893 Vektoren 676893 677214 seien 677214 677314 in 677314 677454 der 677454 678016 bastel 678016 678156 habe 678156 678256 ich 678256 678477 keine 678477 679178 Chance 679178 679639 andererseits 679639 679920 reicht 679920 680100 das 680100 680260 nicht 680260 680521 sehr 680521 680862 sensible 680862 681223 Basis 681223 681343 mit 681343 681824 zwei 681824 682505 Partnermenge 682505 682646 mit 682646 682886 zwei 682886 684911 Vektoren 684911 685211 keine 685211 685672 Basis 685672 685793 hier 685793 686053 sind 686053 686254 auch 686254 686414 eine 686414 686675 Menge 686675 686795 mit 686795 686995 zwei 686995 687456 Vektoren 687456 687777 keine 687777 689180 Basis 689180 690523 also 690523 690663 für 690663 690804 den 690804 690924 er 690924 691365 zwei 691365 692507 ist 692507 694592 notwendig 694592 694772 dass 694772 694933 eine 694933 695213 Menge 695213 695374 von 695374 695815 Vektoren 695815 695955 eine 695955 696456 Basis 696456 696857 ist 696857 697117 dafür 697117 697238 das 697238 697939 eine 697939 698420 Basis 698420 698641 dafür 698641 698841 ist 698841 700004 notwendig 700004 700224 dass 700224 700324 sie 700324 701527 zwei 701527 702008 Vektoren 702008 702650 enthält 702650 702830 sie 702830 703311 darf 703311 703993 nicht 703993 704413 null 704413 704654 oder 704654 705095 drei 705095 705576 oder 705576 706197 achtundneunzig 706197 706598 Vektoren 706598 707661 enthalten 707661 707881 ist 707881 708102 nicht 708102 709104 hinreichend 709104 709565 ?? 709565 710026 war 710026 710166 es 710166 710647 reichlich 710647 710908 einfach 710908 711148 zwei 711148 711529 Vektoren 711529 711669 zu 711669 712110 nehmen 712110 712431 sich 712431 712972 automatisch 712972 713153 eine 713153 713794 Basis 713794 714015 aber 714015 714476 jede 714476 715458 Basis 715458 715658 des 715658 715778 R 715778 716259 zweiter 716259 716580 zwei 716580 717222 Vektoren 717222 717522 und 717522 717743 das 717743 717903 ist 717903 718023 der 718023 719026 Dimensionsbegriff 719026 719166 in 719166 720168 der 720168 722814 Mathematik 722998 725223 an 725223 725483 alle 725483 725924 Basen 725924 726145 eines 726145 727087 Vektorraums 727087 727267 steht 727267 727368 im 727368 728049 Text 728049 728270 alle 728270 728711 Basen 728711 728951 eines 728951 730835 Vektorraums 730835 731096 haben 731096 731577 dieselbe 731577 731837 zur 731837 732359 Anzahl 732359 732599 an 732599 736067 Elementen 736067 736387 oder 736387 736828 unendlich 736828 738211 viele 738211 738592 eines 738592 742080 Vektorraums 745922 749991 haben 749991 750111 die 750111 750452 gleiche 750452 750873 Chance 750873 751274 Komma 751274 751474 die 751474 751975 gleiche 751975 753759 Zahl 753759 754140 an 754140 756836 Elementen 756838 757119 wenn 757119 757219 sie 757219 757439 eine 757439 757960 Basis 757960 758141 für 758141 758301 den 758301 758421 er 758421 758782 zwei 758782 759223 suchen 759223 759464 geht 759464 759664 das 759664 759825 nur 759825 759965 mit 759965 760205 zwei 760205 761047 Elementen 761047 761348 nicht 761348 761608 jede 761608 761909 Menge 761909 762069 an 762069 762470 zwei 762470 763773 Vektoren 763773 764856 ist 764856 765176 schon 765176 765377 eine 765377 765978 Basis 765978 766239 aber 766239 766419 eine 766419 767040 Basis 767040 767281 kann 767281 767541 nur 767541 767922 zwei 767922 768383 Elemente 768383 768664 haben 768664 768844 im 768844 769125 März 769125 771009 zwei 771009 771250 haben 771250 771310 die 771310 771671 gleiche 771671 771931 Anzahl 771931 772051 an 772051 772552 Elementen 772552 773034 oder 773034 773454 unendlich 773454 773835 viele 773835 774236 völlig 774236 774577 andere 774577 774918 dazu 774918 777353 schreiben 778979 779560 oder 779560 780061 unendlich 780061 782266 viele 782268 782709 alle 782709 783130 unendlich 783130 783551 viele 783551 783751 so 783751 783932 das 783932 784272 ?? 784272 784453 so 784453 784773 richtig 784773 785034 schreiben 785034 785275 oder 785275 785776 alle 785776 786136 unendlich 786136 788271 viel 788273 788514 es 788514 788794 eine 788794 789175 Basis 789175 789436 gibt 789436 790819 die 790819 791039 drei 791039 791340 neunzig 791340 791741 Elemente 791741 791941 hat 791941 792362 ?? 792362 792603 alle 792603 793264 dreiundneunzig 793264 793805 Elemente 793805 793945 wenn 793945 794086 es 794086 794346 eine 794346 794727 Basis 794727 795449 gibt 795449 795629 die 795629 796010 unendlich 796010 796571 viele 796571 796992 Elemente 796992 797994 hat 797994 799077 seit 799077 799257 sie 799257 799518 können 799518 799798 nicht 799798 799959 alle 799959 800400 Vektoren 800400 800500 nur 800500 800660 mit 800660 800941 endlich 800941 801201 vielen 801201 801582 Vektoren 801582 802665 bauen 802665 803767 ähm 803767 803927 wenn 803927 804088 es 804088 804308 eine 804308 804709 Basis 804709 804930 gibt 804930 805130 über 805130 805230 die 805230 805471 viele 805471 805952 Elemente 805952 806373 müssen 806373 806613 alle 806613 807034 Basen 807034 807255 endlich 807255 807876 viele 807876 808337 Elemente 808337 809399 haben 809399 809880 am 809880 810161 hoffe 810161 810321 das 810321 810462 das 810462 811043 anschaulich 811043 811364 klar 811364 811644 ist 811644 811805 das 811805 811965 kann 811965 813448 man 813448 813569 auch 813569 813749 zwei 813749 813989 Stunden 813989 814170 auf 814170 814651 Anwenders 814651 814811 zu 814811 815312 beweisen 815312 815493 will 815493 816375 ich 816375 816675 Ihnen 816675 816816 und 816816 816976 mir 816976 817517 nicht 817517 819041 antun 819041 819421 diese 819421 822037 Zahl 822393 823034 heißt 823034 823054 die 823054 823656 Dimension 823656 823676 des 823676 826382 Vektorraums 830958 831359 also 831359 831619 nicht 831619 832221 wie 832221 832361 in 832361 832461 der 832461 833023 Esoterik 833023 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Meter 856254 856975 ist 856975 857176 so 857176 858418 einen 858418 859380 Volumenbegriff 859380 860483 wirklich 860483 860703 was 860703 860984 rein 860984 861265 passt 861265 861385 in 861385 861465 den 861465 861966 Vektorraum 861966 862086 so 862086 862207 ist 862207 862387 das 862387 862808 gemeint 862808 862948 es 862948 863149 gibt 863149 863690 erstmalig 863690 863810 die 863810 864031 Idee 864031 864251 von 864251 864632 ersten 864632 865013 zweiten 865013 865674 dritten 865674 865975 vierten 865975 866296 fünften 866296 867097 Dimension 867097 867238 in 867238 867358 der 867358 867759 Physik 867759 867939 ist 867939 868120 dann 868120 868561 vielleicht 868561 868741 mal 868741 868881 das 868881 869062 ?? 869062 869282 sowie 869282 869362 die 869362 869623 ersten 869623 869823 drei 869823 870425 Dimensionen 870425 870645 sind 870645 870785 der 870785 871126 normale 871126 871487 Raum 871487 871607 und 871607 871707 die 871707 871928 vierte 871928 872429 Dimension 872429 872589 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positiv 1084166 1084326 aber 1084326 1084447 die 1084447 1084868 erste 1084868 1085930 null 1085930 1086090 und 1086090 1086170 die 1086170 1086611 zweite 1086611 1087834 null 1087834 1087974 um 1087974 1088135 diese 1088135 1088776 Kombination 1088776 1089357 hinzukriegen 1089357 1089758 bräuchte 1089758 1089879 ich 1089879 1090239 drei 1090239 1091121 Grundfunktionen 1091121 1091362 klappt 1091362 1091642 keine 1091642 1091903 andere 1091903 1092564 Chance 1092564 1092845 also 1092845 1092985 um 1092985 1093346 diese 1093346 1093607 drei 1093607 1094068 Funktion 1094068 1094248 zu 1094248 1095571 bilden 1095571 1095812 auch 1095812 1096152 drei 1096152 1097796 Grundfunktionen 1097796 1097976 wie 1097976 1098217 viele 1098217 1098718 Funktionen 1098718 1098979 brauche 1098979 1099079 ich 1099079 1099500 also 1099500 1099780 alle 1099780 1100342 Funktionen 1100342 1100542 dieser 1100542 1100702 Art 1100702 1100863 zu 1100863 1103549 bilden 1103549 1103749 um 1103749 1103990 diese 1103990 1104230 drei 1104230 1104691 Funktionen 1104691 1104831 zu 1104831 1105092 bilden 1105092 1105312 und 1105312 1105773 mindestens 1105773 1106555 drei 1106555 1107577 Grundfunktionen 1107577 1107778 jetzt 1107778 1107958 nehmen 1107958 1108058 sie 1108058 1108259 einer 1108259 1108479 Nonne 1108479 1108860 vierte 1108860 1109361 dazu 1109361 1109562 die 1109562 1109802 den 1109802 1110063 Hügel 1110063 1110404 dahinten 1110404 1111947 hat 1111947 1112208 dafür 1112208 1112588 bräuchten 1112588 1112709 sie 1112709 1113130 vier 1113130 1114212 Grundfunktionen 1114212 1114372 in 1114372 1114733 ?? 1114733 1115134 fünfte 1115134 1115515 dazu 1115515 1115635 sie 1115635 1116016 bräuchten 1116016 1116297 fünf 1116297 1117700 Grundfunktionen 1117700 1118381 und so weiter 1118381 1118962 und so weiter 1118962 1119183 was 1119183 1119443 musste 1119443 1120005 Dimension 1120005 1122310 sein 1122913 1123274 sehen 1123274 1123434 dass 1123434 1123615 sie 1123615 1123915 ihren 1123915 1124056 dass 1124056 1124156 sie 1124156 1125278 mindestens 1125278 1125659 vier 1125659 1126842 Grundfunktionen 1126842 1127663 brauchen 1127663 1127984 um 1127984 1128305 alle 1128305 1128746 stetigen 1128746 1129267 Funktionen 1129267 1129387 der 1129387 1130369 Art 1130369 1130590 zu 1130590 1132274 bauen 1132274 1132454 und 1132454 1132614 dann 1132614 1132875 kommt 1132875 1133196 jemand 1133196 1133396 her 1133396 1133536 und 1133536 1133917 sagt 1133917 1134078 ?? 1134078 1134318 aber 1134318 1134478 jetzt 1134478 1134719 möchte 1134719 1134839 ich 1134839 1135120 gerne 1135120 1135360 auch 1135360 1135601 noch 1135601 1137305 obendrein 1137305 1137625 diese 1137625 1138106 Funktion 1138106 1138467 haben 1138467 1138587 die 1138587 1138908 noch 1138908 1139089 ein 1139089 1141514 zweiter 1141514 1141694 den 1141694 1142015 Berg 1142015 1142616 hat 1142616 1142716 an 1142716 1142897 den 1142897 1142997 sie 1142997 1143799 außerordentlich 1143799 1144440 fünf 1144440 1144701 und 1144701 1144801 dann 1144801 1145022 kommt 1145022 1145322 jemand 1145322 1145462 und 1145462 1145703 setzt 1145703 1146104 den 1146104 1146364 Berg 1146364 1146545 noch 1146545 1146745 eines 1146745 1147146 weiteren 1147146 1147327 sind 1147327 1147407 sie 1147407 1147707 brauchen 1147707 1148048 eigentlich 1148048 1148649 sechs 1148649 1148950 Wochen 1148950 1149271 sieben 1149271 1149371 und 1149371 1149471 sie 1149471 1149832 brauchen 1149832 1150073 acht 1150073 1150894 und so weiter 1150894 1150995 die 1150995 1151416 Dimension 1151416 1151616 von 1151616 1151796 dem 1151796 1152017 Ding 1152017 1152338 muss 1152338 1152859 unendlich 1152859 1153099 sein 1153099 1153260 man 1153260 1153520 kann 1153520 1153761 nicht 1153761 1153901 mit 1153901 1154021 den 1154021 1154683 endlich 1154683 1154983 endlich 1154983 1155184 vielen 1155184 1155625 Funktionen 1155625 1156487 auskommen 1156487 1157749 Punkt 1157749 1157890 es 1157890 1158090 kann 1158090 1158311 keine 1158311 1158611 endliche 1158611 1159453 Anzahl 1159453 1160616 geben 1160616 1160776 denn 1160776 1160856 in 1160856 1160936 der 1160936 1161257 endlichen 1161257 1161618 Anzahl 1161618 1161838 können 1161838 1161919 Sie 1161919 1162159 schon 1162159 1162500 diese 1162500 1162680 hier 1162680 1163402 alle 1163402 1163602 nicht 1163602 1163923 bilden 1163923 1164083 wenn 1164083 1164444 sie 1164444 1164705 ?? 1164705 1164845 den 1164845 1165086 Buckel 1165086 1165587 nehmen 1165587 1165867 links 1165867 1166028 noch 1166028 1166288 rechts 1166288 1166829 nur 1166829 1167050 zur 1167050 1167290 diese 1167290 1167852 Funktion 1167852 1168092 können 1168092 1168253 Sie 1168253 1168493 alle 1168493 1168673 nicht 1168673 1168994 bilden 1168994 1169134 mit 1169134 1169335 einer 1169335 1169776 endlichen 1169776 1170097 Anzahl 1170097 1170197 an 1170197 1171419 Grundfunktionen 1171419 1171720 erst 1171720 1172081 recht 1172081 1172321 nicht 1172321 1172462 wenn 1172462 1172562 sie 1172562 1172762 nach 1172762 1173143 Sinus 1173143 1173264 und 1173264 1174366 Kosinus 1174366 1174566 und 1174566 1174687 der 1174687 1175769 Kommentarfunktion 1175769 1175909 und 1175909 1176390 Quadrat 1176390 1176511 und 1176511 1176691 alle 1176691 1177292 Polynom 1177292 1179507 zu 1180078 1180359 als 1180359 1180519 das 1180519 1180840 würde 1180840 1181100 auch 1181100 1181401 nicht 1181401 1181702 gehen 1181702 1181842 wenn 1181842 1181962 ich 1181962 1182163 das 1182163 1182964 betrachtet 1182964 1183085 die 1183085 1183766 Funktion 1183766 1184207 stetig 1184207 1184367 vom 1184367 1184788 Intervall 1184788 1185029 null 1185029 1185309 eins 1185309 1185490 nach 1185490 1185650 dem 1185650 1186011 Intervall 1186011 1186232 null 1186232 1187895 eins 1187895 1188236 diese 1188236 1188517 Menge 1188517 1188757 hier 1188757 1188937 wenn 1188937 1189078 ich 1189078 1189218 mir 1189218 1189398 die 1189398 1191122 angucke 1191122 1191423 auch 1191423 1191804 damit 1191804 1192044 wird 1192044 1192225 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1216605 1217106 Funktionen 1217106 1217226 und 1217226 1217326 die 1217326 1217667 kriegen 1217667 1217807 die 1217807 1218148 nicht 1218148 1218669 ordentlich 1218669 1219090 gebildet 1219090 1219250 aus 1219250 1220573 Grundfunktionen 1220573 1220814 schon 1220814 1221114 das 1221114 1221315 hier 1221315 1221555 muss 1221555 1221976 unendlich 1221976 1223259 sein 1223259 1223480 also 1223480 1223780 selbst 1223780 1223901 wenn 1223901 1224021 sie 1224021 1224161 nur 1224161 1224261 die 1224261 1224682 stetigen 1224682 1225223 Funktionen 1225223 1225464 von 1225464 1226125 einem 1226125 1226747 abgeschlossenen 1226747 1227108 Intervall 1227108 1227248 nach 1227248 1227328 ?? 1227328 1227749 abgeschlossen 1227749 1228070 dabei 1228070 1229373 betrachten 1229373 1229613 ist 1229613 1229773 das 1229773 1229874 ein 1229874 1230515 hundert 1230515 1230996 dimensional 1230996 1231698 Rektorat 1231698 1232078 das 1232078 1232299 macht 1232299 1232459 das 1232459 1232820 ganze 1232820 1233021 dann 1233021 1233141 an 1233141 1233421 einigen 1233421 1233742 Stellen 1233742 1233983 etwas 1233983 1234764 ungemütlich 1234764 1235045 dieses 1235045 1235666 zerlegen 1235666 1236729 wird 1236729 1237089 etwas 1237089 1237550 länglich 1237550 1239054 werden 1239054 1239254 aber 1239254 1240176 trotzdem 1240176 1240577 gelten 1240577 1240717 die 1240717 1240958 ganz 1240958 1241319 üblichen 1241319 1242401 Rechengesetze 1242401 1242602 für 1242602 1243904 Vektoren 1243904 1244446 auch 1244446 1245147 für 1245147 1245408 diese 1245408 1247132 Anführungszeichenvektoren 1247132 1247392 etwas 1247392 1249878 reduzierter