1285 2768 der 2768 3229 Begriff 3229 5875 Vektorraum 5900 6321 das 6321 8285 ist 8285 8586 zum 8586 9047 ersten 9047 9287 Mal 9287 9849 vielleicht 9849 9989 das 9989 10109 es 10109 10871 wirklich 10871 11372 abstrakt 11372 11633 wird 11633 11753 in 11753 11853 der 11853 14359 Mathematik 14359 14519 das 14519 15421 man 15421 16363 abstrahiert 16363 16603 von 16603 16944 etwas 16944 17125 was 17125 17285 man 17285 17626 vorher 17626 17866 schon 17866 19530 kannte 19530 19790 von 19790 19931 den 19931 20572 Pfeilen 20572 20793 zu 20793 20933 den 20933 21254 Mengen 21254 21454 von 21454 21975 freien 21975 23298 zu 23298 23960 irgendwelchen 23960 24381 Sachen 24381 24541 die 24541 24801 man 24801 25263 addieren 25263 25543 kann 25543 25703 und 25703 25784 wie 25784 26084 man 26084 26525 Zahlen 26525 27287 modifizieren 27287 28510 kann 28510 28850 solche 28850 29853 Gebilde 29853 30153 nennt 30153 30294 sich 30294 30735 dann 30735 31697 Vektorräume 31697 31897 den 31897 32579 Jahresfestes 32579 32699 im 32699 33300 englischen 33300 33761 seltener 33761 34503 Vektorspaces 34503 34864 meist 34864 35986 Mediaspaces 35986 36186 den 36186 36487 Jahre 36487 39073 Räumen 39073 39353 werden 39353 39514 das 39514 39674 bei 39674 40235 den 40235 40736 Pfeilen 40736 41258 gesehen 41258 43903 Pfeile 43905 45368 oder 45368 45689 Mengen 45689 45909 von 45909 46310 parallel 46310 46811 verschobenen 46811 47272 Feinde 47272 47453 man 47453 47653 jetzt 47653 47834 ganz 47834 48094 streng 48094 48435 sein 48435 49036 wird 49036 49237 kann 49237 50880 man 50880 51923 addieren 51923 52404 miteinander 52404 54208 hängen 54208 54508 Punkt 54508 54649 es 54649 54929 gibt 54929 54969 ?? 54969 55871 summe 55871 56032 ich 56032 56212 kann 56212 56613 Pfeile 56613 57415 multiplizieren 57415 57695 den 57695 57936 mal 57936 60060 drei 60060 60822 er 60822 61063 wird 61063 61443 weiter 61443 63949 werden 63949 64129 und 64129 64350 dabei 64350 64791 gelten 64791 64951 die 64951 65352 üblichen 65352 66154 Rechengesetze 66154 66374 das 66374 66956 ganze 66956 67797 ist 67797 68659 zum Beispiel 68659 69762 Kommutativgesetz 69762 70163 Ideen 70163 70624 addieren 70624 70764 und 70764 71025 dann 71025 71445 den 71445 72327 Urlaubsideen 72327 72488 und 72488 72828 den 72828 73310 addieren 73310 74171 andersrum 74171 75895 dasselbe 75895 76056 man 76056 76316 kann 76316 78822 ausmultiplizieren 78822 79162 Skript 79162 79583 auf Seite 79583 81327 zehn 81327 82670 sie 82670 83271 zum Beispiel 83271 83612 haben 83612 84033 drei 84033 84674 plus 84674 85176 vier 85176 85617 mal 85617 85957 den 85957 86699 Vektor 86699 87180 fünf 87180 89716 sechs 90200 90521 drei 90521 90741 plus 90741 91022 vier 91022 91242 mal 91242 91363 den 91363 91623 Vektor 91623 91844 fünf 91844 92184 sechs 92184 92425 ?? 92425 92565 so 92565 92746 ein 92746 93207 Vektor 93207 93347 der 93347 93888 siebenfachen 93888 94169 Länge 94169 94329 in 94329 94429 die 94429 94790 gleiche 94790 95852 Richtung 95852 96133 eines 96133 96233 ist 96233 96594 natürlich 96594 96815 nicht 96815 97135 anders 97135 97296 als 97296 97476 wenn 97476 97616 sie 97616 98097 nehmen 98097 99280 Vektor 99280 99420 der 99420 100222 dreifachen 100222 100442 Länge 100442 100523 in 100523 100623 die 100623 100964 gleiche 100964 101324 Richtung 101324 101585 plus 101585 101946 Anblick 101946 102126 der 102126 102707 vierfachen 102707 103609 Menge 103609 103730 in 103730 103810 die 103810 104151 gleiche 104151 104531 Richtung 104531 104852 einfach 104852 104972 die 104972 105634 beiden 105634 106977 miteinandergehängt 106977 107097 ?? 107097 107358 drei 107358 107438 und 107438 107618 vier 107618 108119 sollte 108119 109021 mal 109021 109162 das 109162 109663 dreifache 109663 109783 und 109783 109923 das 109923 110384 vierfache 110384 110885 miteinander 110885 111246 gehängt 111246 111387 dann 111387 111587 haben 111587 111727 sie 111727 112068 das 112068 113431 siebenfache 113431 113551 ich 113551 113792 darf 113792 114834 also 114834 114994 wenn 114994 115095 ich 115095 115375 vorne 115375 115556 eine 115556 115916 Summe 115916 117801 habe 117801 119484 ausmultiplizieren 119484 119645 das 119645 119945 gleiche 119945 120146 gilt 120146 120306 auch 120306 120847 umgekehrt 120847 121008 wenn 121008 121148 sie 121148 121549 haben 121549 122892 siebenmal 122892 123032 die 123032 123333 Summe 123333 123694 zweier 123694 125698 Vektoren 125698 126359 haben 126359 126760 immer 126760 126961 das 126961 127622 war 127622 127983 zwei 127983 128384 plus 128384 129226 drei 129226 129546 eins 129546 129827 plus 129827 131731 fünf 131731 131912 bin 131912 132092 ich 132092 132393 hier 132393 132733 eine 132733 133034 Summe 133034 134497 habe 134497 134638 dann 134638 134898 steht 134898 135079 er 135079 135439 eigentlich 135439 136101 siebenmal 136101 136221 die 136221 136522 Summe 136522 136882 zweier 136882 139508 Vektoren 139508 139749 was 139749 139909 wird 139909 140090 das 140090 141252 sein 141252 141493 nicht 141493 141773 gerade 141773 142314 überraschend 142314 142495 ist 142495 142655 das 142655 142996 sieben 142996 143497 Eilers 143497 143838 Vektor 143838 144038 plus 144038 144479 siebenmal 144479 145782 der 145782 146163 zweite 146163 146925 Rektor 146925 147245 hatte 147245 147386 ?? 147386 147566 auf 147566 147947 zwei 147947 149189 Weisen 149189 150993 ausmultiplizieren 150993 152397 Summe 152397 152617 im 152617 153258 Faktor 153258 153479 vor 153479 153599 dem 153599 153980 Vektor 153980 154200 kann 154200 154341 ich 154341 155443 ausmultiplizieren 155443 155664 eine 155664 155964 Summe 155964 156185 von 156185 156886 Vektoren 156886 157267 besteht 157267 157408 ja 157408 157929 eigentlich 157929 158049 der 158049 158530 Rektor 158530 159131 zwei 159131 159632 eins 159632 160514 plus 160514 160795 drei 160795 161557 fünf 161557 161777 eine 161777 162038 Summe 162038 162138 an 162138 162639 Vektor 162639 163461 eine 163461 165776 sehr 165778 166199 ganz 166199 166500 ähnliche 166500 167201 Rechenregeln 167201 169646 offensichtlich 169646 169847 man 169847 170128 packt 170128 170368 all 170368 170669 das 170669 173274 zusammen 173274 173996 angenommen 173996 174136 ich 174136 176502 habe 176502 176742 eine 176742 177083 Menge 177083 177303 von 177303 177744 Dingen 177744 178085 egal 178085 178386 was 178386 179448 Pfeile 179448 179689 oder 179689 180049 schlimmere 180049 181192 Sachen 181192 181452 die 181452 181773 ich 181773 182294 addieren 182294 182635 kann 182635 182795 mit 182795 182876 den 182876 183196 üblichen 183196 183918 Rechenregeln 183918 184078 die 184078 184198 ich 184198 184379 mit 184379 184840 Zahlen 184840 186243 modifizieren 186243 186824 kann 186824 187085 ?? 187085 187245 mit 187245 187345 den 187345 187686 üblichen 187686 190272 Rechenregeln 190272 191655 die 191655 192036 sowas 192036 192697 wie 192697 193719 ausmultiplizieren 193719 194080 Klammern 194080 194621 auflösen 194621 195724 können 195724 196245 muss 196245 197047 Nullvektor 197047 197307 gibt 197307 197427 und 197427 197768 ähnliche 197768 198189 Geschichten 198189 198510 ganze 198510 198951 Liste 198951 199933 an 199933 200514 Eigenschaften 200514 200815 wirklich 200815 202158 aufhören 202158 202318 kann 202318 202418 sie 202418 202539 nur 202539 202779 was 202779 203340 nachgucken 203340 203561 was 203561 203741 ist 203741 204002 an 204002 204383 üblichen 204383 204924 Eigenschaften 204924 205104 was 205104 205245 man 205245 205365 so 205365 205766 verlangen 205766 206046 würde 206046 206267 von 206267 206487 einer 206487 207049 Addition 207049 207189 und 207189 207389 einer 207389 208091 Modifikation 208091 208933 gezahlt 208933 209273 wenn 209273 209554 das 209554 209995 erfüllt 209995 210236 ist 210236 210576 für 210576 210997 welche 210997 211238 Menge 211238 211338 an 211338 211779 Objekten 211779 211939 auch 211939 212180 immer 212180 212460 nennt 212460 212661 man 212661 213242 das 213242 213924 Vektorraum 213924 214124 oder 214124 214826 den 214826 217461 Linersbase 218282 220086 ein 220086 222932 Beispiel 222932 223413 Skript 223413 224035 auf Seite 224035 226260 neun 226260 226620 der 226620 230148 C zwei 230148 230288 die 230288 230649 Fragen 230649 230870 wozu 230870 231050 soll 231050 231250 das 231250 231511 bloß 231511 231732 gut 231732 233295 sein 233295 233475 der 233475 233696 kommt 233696 234397 zum Beispiel 234397 234498 in 234498 234618 der 234618 235400 Quantenmechanik 235400 235800 vor 235800 236001 mein 236001 236362 Physik 236362 236542 auf 236542 237464 bisschen 237464 238025 heftigeren 238025 238366 Niveau 238366 238707 macht 238707 239549 Elementarteilchen 239549 240010 beschreiben 240010 240551 will 240551 240892 noch 240892 241092 ?? 241092 244740 Designvektorraum 244740 245061 wenig 245061 245903 überraschenderweise 245903 246063 der 246063 246283 er 246283 246744 zwei 246744 247065 waren 247065 247426 alle 247426 247827 Haare 247827 248047 aus 248047 248468 reellen 248468 248989 Zahlen 248989 249150 der 249150 250653 C zwei 250653 250934 sind 250934 251094 alle 251094 251455 Paare 251455 251876 aus 251876 252517 Gartenbaus 252517 252958 konvexen 252958 254261 Fall 254261 254421 am 254421 254662 Rande 254662 255724 erwähnen 255724 256085 müssen 256085 256145 ?? 256145 256265 mit 256265 257308 Schreiben 257308 257468 als 257468 257689 ihr 257689 258089 Sturz 258089 258350 steht 258350 258731 sowas 258731 259092 drinnen 259092 260234 wie 260234 260515 ?? 260515 261196 nun 261196 261637 zwei 261637 262078 plus 262078 263080 je 263080 263722 und 263722 263842 die 263842 264283 minus 264283 264884 Wurzel 264884 265265 zwei 265265 265967 die 265967 266167 das 266167 266448 während 266448 266929 Vertreter 266929 267049 der 267049 267731 Nullvektor 267731 267871 ist 267871 268272 natürlich 268272 268572 auch 268572 270116 drinnen 270116 270717 waren 270717 270837 die 270837 271218 üblichen 271218 272441 Kandidaten 272441 273102 dreizehn 273102 273383 minus 273383 274325 zweiundvierzig 274325 274566 sind 274566 276510 drinnen 276510 276790 aber 276790 277131 eben 277131 277692 komplexe 277692 278414 Zahlen 278414 279196 oben 279196 279376 und 279376 280418 unten 280418 280599 das 280599 280839 wäre 280839 280980 der 280980 283325 C zwei 283325 283625 diese 283625 283926 Dinger 283926 284147 kann 284147 284507 ich 284507 285149 offensichtlich 285149 285630 addieren 285630 285830 diese 285830 286171 normalen 286171 286672 Vektoren 286672 287534 addieren 287534 287875 passiert 287875 288075 nichts 288075 289057 schlimmes 289057 290100 komponentenweise 290100 290480 addieren 290480 290581 sie 290581 290781 können 290781 290861 Sie 290861 291022 mit 291022 291403 Zahlen 291403 293467 modifizieren 293467 293627 ob 293627 293728 es 293728 294048 lustig 294048 294209 ist 294209 294289 die 294289 294529 Karte 294529 294750 sogar 294750 294890 mit 294890 295311 komplexen 295311 295612 Zahlen 295612 296273 modifizieren 296273 296434 wenn 296434 296554 sie 296554 296794 den 296794 296955 hier 296955 297115 mit 297115 297215 der 297215 297596 Zeit 297596 297676 ?? 297676 298618 multiplizieren 298618 298759 sie 298759 299981 wieder 299981 300583 ein 300583 300903 Ding 300903 301184 sage 301184 301425 jetzt 301425 301605 mal 301605 301725 ein 301725 302326 geordnetes 302326 302848 Paar 302848 303429 derselben 303429 304171 ?? 304171 304431 um 304431 304612 eine 304612 305012 konvexe 305012 305273 Zeit 305273 305634 unten 305634 305814 eine 305814 306295 komplexe 306295 306636 Zahl 306636 306897 dies 306897 307057 ist 307057 307177 ein 307177 309863 Vektorraum 309863 310043 ?? 310043 310404 nicht 310404 310625 nur 310625 310845 über 310845 311006 den 311006 311487 reellen 311487 312028 Zahlen 312028 312128 sie 312128 312369 können 312369 312709 jedes 312709 312930 Ding 312930 313250 davon 313250 313371 mit 313371 313772 reellen 313772 314112 Zahlen 314112 314874 modifizieren 314874 315115 sondern 315115 315335 sogar 315335 315495 mit 315495 316037 komplexen 316037 316878 Zahlenvektorraum 316878 317099 über 317099 317239 den 317239 317740 komplexen 317740 320015 Zahlen 322400 322741 über 322741 323823 zehn 323823 325547 hundertster 325547 325807 also 325807 325988 hier 325988 326128 habe 326128 326228 ich 326228 326389 eine 326389 326689 Menge 326689 326850 an 326850 328353 Zahlen 328353 328574 das 328574 328794 wäre 328794 328954 in 328954 329215 diesem 329215 329876 Fall 329876 330478 wird 330478 330578 in 330578 330818 diesem 330818 331039 Fall 331039 331159 die 331159 331400 Menge 331400 331720 der 331720 332402 komplexen 332402 333845 Zahlen 333845 334206 eine 334206 334507 Menge 334507 335208 an 335208 336351 Anführungszeichen unten 336351 337112 Vektoren 337112 337213 Sie 337213 337493 sind 337493 337593 die 337593 337754 hier 337754 337934 als 337934 338275 Feile 338275 339938 darzustellen 339938 340139 wird 340139 340359 eher 340359 341061 schwierig 341061 341201 sie 341201 341402 haben 341402 341562 mir 341562 341722 schon 341722 341963 zwei 341963 342544 Dimensionen 342544 342825 drin 342825 342945 und 342945 343306 da 343306 343587 Komma 343587 343847 zwei 343847 344388 Dimensionen 344388 345310 drin 345310 346814 an 346814 347054 das 347054 347275 gibt 347275 347415 nicht 347415 347696 wirklich 347696 347896 gut 347896 348076 als 348076 348357 Fall 348357 349099 darzustellen 349099 349540 trotzdem 349540 349760 nennt 349760 349920 man 349920 350101 das 350101 351243 dann 351243 351965 Vektoren 351965 352165 eine 352165 352446 Menge 352446 352626 von 352626 353147 Vektoren 353147 354009 weil 354009 354250 das 354250 354551 ganze 354551 354751 ein 354751 355372 Vektorraum 355372 355733 bildet 355733 355833 in 355833 356014 diesem 356014 356595 abstrakten 356595 357497 Sinne 357497 357738 sie 357738 358519 können 358519 358820 diese 358820 359301 Objekte 359301 360103 hier 360103 361225 addieren 361225 361566 üblichen 361566 361827 Recht 361827 362348 illegal 362348 362508 ist 362508 363029 es 363029 363190 die 363190 363771 Reihenfolge 363771 363971 ist 363971 364432 egal 364432 364573 man 364573 364773 kann 364773 366016 ausklammern 366016 366236 sie 366236 366477 können 366477 366717 diese 366717 366898 hier 366898 367078 mit 367078 367218 den 367218 367860 Zahlen 367860 367940 in 367940 368140 diesem 368140 368381 Spiel 368381 368601 das 368601 368802 seine 368802 369283 komplexen 369283 369644 Zahlen 369644 369804 mit 369804 370305 Zahlen 370305 371588 multiplizieren 371588 371889 dabei 371889 372209 gelten 372209 372290 die 372290 372590 üblichen 372590 373212 Rechenregeln 373212 373372 wie 373372 373492 ihr 373492 374474 das 374474 375096 ausklammern 375096 376378 insbesondere 376378 376559 wenn 376559 376639 sie 376639 376779 mit 376779 376980 null 376980 377822 multiplizieren 377822 378082 kommt 378082 378283 null 378283 379465 raus 379465 379586 wenn 379586 379666 sie 379666 379846 mit 379846 380127 minus 380127 380347 eins 380347 380868 modifizieren 380868 381129 kommt 381129 382532 das 382532 382953 additiv 382953 383374 inverse 383374 384697 raus 384697 384817 der 384817 385118 Vektor 385118 386761 der 386761 387302 umgekehrten 387302 387683 Richtung 387683 387924 wobei 387924 388124 die 388124 388445 Frage 388445 389267 ist 389267 389447 was 389447 389648 heißt 389648 389768 sie 389768 390048 einig 390048 390189 auch 390189 392574 Richtung 392576 393037 ?? 393037 393217 ich 393217 393378 kann 393378 395021 ausmultiplizieren 395021 395462 Produkte 395462 395683 und 395683 395943 somit 395943 397707 ausmultiplizieren 397707 398128 ganze 398128 398469 Liste 398469 398589 an 398589 398890 Sachen 398890 398990 die 398990 399892 gelten 399892 400654 festgelegter 400654 400874 Sachen 400874 401155 nicht 401155 401375 auf 401375 402257 ?? 402257 402498 sehr 402498 402879 hässlich 402879 403039 ist 403039 403320 diese 403320 403761 Leertaste 403761 404001 Liste 404001 404703 aufzuschreiben 404703 405043 das 405043 405164 was 405164 405324 man 405324 405965 üblicherweise 405965 406887 erwartet 406887 407148 steht 407148 407248 da 407248 408471 drin 408471 408932 deshalb 408932 409152 heißt 409152 409293 das 409293 410114 Vektorraum 410114 410195 in 410195 410375 diesem 410375 410896 abstrakten 410896 411177 Sinne 411177 411718 ein 411718 412079 Bild 412079 412199 ein 412199 412881 mathematisches 412881 413562 Gebilde 413562 413742 das 413742 413863 sich 413863 413983 so 413983 414965 verhält 414965 415125 wie 415125 415466 File 415466 415627 und 415627 418493 zahlen 418493 418713 das 418713 418934 wäre 418934 419275 einer 419275 421139 davon 421139 421680 Fans 421680 423163 um 423163 423744 Kodierung 423744 425528 geht's 425528 427232 wahrscheinlich 427232 427473 werden 427473 427573 sie 427573 427793 das 427793 428034 nicht 428034 428334 so 428334 428615 doll 428615 429036 erleben 429036 429156 im 429156 429798 Studium 429798 429978 bei 429978 430880 Überweisungstechnik 430880 430980 und 430980 431141 dass 431141 431341 er 431341 431802 dann 431802 432684 vor 432684 432844 die 432844 433406 übertragenen 433406 433807 Daten 433807 434147 sicher 434147 434448 oder 434448 434568 wie 434568 435029 übertrage 435029 435109 ich 435109 435430 Daten 435430 435731 sodass 435731 435891 kein 435891 436172 anderer 436172 436693 mitlesen 436693 436933 kann 436933 437154 hat 437154 437294 man 437294 437455 noch 437455 437555 ein 437555 437695 paar 437695 437936 andere 437936 439198 Vektorräume 439198 439619 werden 439619 440261 insbesondere 440261 442365 Vektorräume 442365 442566 die 442566 442826 nicht 442826 443047 mehr 443047 443488 unendlich 443488 443768 groß 443768 446033 sind 446185 446345 das 446345 446446 ist 446446 446566 dann 446566 446806 ganz 446806 449011 schräg 449011 451296 an 451296 451557 ein 451557 451978 Vektor 451978 452218 oder 452218 452419 was 452419 452639 ein 452639 452860 eine 452860 453200 Sorte 453200 453341 an 453341 454303 Vektorräumen 454303 454543 immer 454543 454724 noch 454724 455044 sehen 455044 456207 werden 456207 456347 die 456347 456628 vielleicht 456628 456808 noch 456808 457249 schräger 457249 457911 ist 457911 458612 ?? 458612 458933 von 458933 461118 Funktionen 461118 461298 kann 461298 461799 Funktion 461799 462280 addieren 462280 462401 sich 462401 462541 dann 462541 462962 Fusion 462962 463082 mit 463082 463383 Zahlen 463383 464044 modifizieren 464044 464144 es 464144 464425 gelten 464425 464485 die 464485 464786 üblichen 464786 465948 Rechengesetze 465948 466971 deshalb 466971 467432 bieten 467432 467953 die 467953 468534 einen 468534 469717 Vektorraum 469717 469877 so 469877 470238 schräg 470238 470358 wie 470358 470538 das 470538 470719 ist 470719 470839 man 470839 472302 darf 472302 472483 dann 472483 472703 nicht 472703 473084 versuchen 473084 473224 sich 473224 473385 das 473385 473886 als 473886 474026 man 474026 474307 sollte 474307 474487 nicht 474487 474868 versuchen 474868 475068 das 475068 475229 als 475229 475489 Feile 475489 476091 vorzustellen 476091 476271 bald 476271 476632 gelingt 476632 476772 es 476772 477313 ihnen 477313 477634 den 477634 477975 Gesichte 477975 478536 recht 478536 478716 wenn 478716 478877 das 478877 479097 feine 479097 479779 vorzustellen 479779 480079 das 480079 480200 hier 480200 480400 ist 480400 480480 ja 480480 480641 schon 480641 480821 als 480821 482164 File 482164 482405 nur 482405 482625 sehr 482625 482886 schwer 482886 485090 vorzustellen 485090 485652 Vektorräume 485652 485852 von 485852 487576 Funktionen 487576 490763 lernen 492187 492608 was 492608 492828 soll 492828 493189 sein 493189 493911 dreimal 493911 494031 die 494031 495174 Exponentialfunktion 495174 495314 so 495314 495534 muss 495534 495715 das 495715 496737 ergehen 496737 496917 der 496917 497900 Spezialfunktion 497900 498160 ist 498160 498401 eine 498401 499523 Funktion 499523 499643 wenn 499643 499744 ich 499744 500064 sage 500064 501207 die 501207 501928 Funktionen 501928 502309 bilden 502309 502690 ein 502690 503873 Vektorraum 503873 504093 weil 504093 504253 es 504253 504394 über 504394 504514 den 504514 504995 reellen 504995 505596 Zahlen 505596 505757 muss 505757 505857 ich 505857 506178 sagen 506178 506398 können 506398 506599 was 506599 506779 denn 506779 506939 eine 506939 507320 ideelle 507320 507661 Zahl 507661 507922 mal 507922 508102 eine 508102 508583 Funktion 508583 508723 ist 508723 508884 das 508884 509104 an 509104 509204 der 509204 509786 grundlegenden 509786 510347 Operation 510347 510567 zwei 510567 510768 und 510768 512171 Innovationsvektoren 512171 512552 addieren 512552 512933 Vektoren 512933 513033 mit 513033 513353 Zahlen 513353 513995 modifizieren 513995 514275 ?? 514275 514556 was 514556 514696 ist 514696 514897 eine 514897 515258 Zahl 515258 515638 mal 515638 516420 Anführungszeichen unten 516420 516801 Vektor 516801 516961 muss 516961 517082 ich 517082 517202 dann 517202 518144 sagen 518144 518364 eine 518364 519587 Funktion 519587 519888 ähm 519888 520108 der 520108 521331 Spezialfunktion 521331 521612 eben 521612 523836 hoch 524167 524488 geht 524488 524648 von 524648 525089 ideellen 525089 525791 Zahlen 525791 525891 in 525891 526031 den 526031 526352 reellen 526352 528035 Zahlen 528035 528797 ?? 528797 529258 solange 529258 529459 nach 529459 529619 dem 529619 529920 Willen 529920 531082 Zahlen 531082 532004 ähm 532004 532425 dabei 532425 532585 das 532585 532706 so 532706 533006 lassen 533006 533107 und 533107 533427 einfach 533427 533788 sagen 533788 534049 diese 534049 534550 Funktion 534550 534710 hier 534710 535151 dreimal 535151 535251 die 535251 536474 Exponentialfunktion 536474 536614 ist 536614 536715 die 536715 537216 Funktion 537216 537356 die 537356 537516 für 537516 537837 jedes 537837 539080 X 539080 539461 welches 539461 539881 Ergebnis 539881 542146 hat 542430 542771 also 542771 542951 eine 542951 543152 nicht 543152 544294 ganz 544294 544515 eine 544515 544775 nicht 544775 545677 ganz 545677 546339 entfernte 546339 546840 Idee 546840 547381 wäre 547381 547621 das 547621 547782 man 547782 548203 sagt 548203 548463 E 548463 549425 hoch 549425 549706 E 549706 550107 hoch 550107 550307 E 550307 550568 hoch 550568 551149 X 551149 551450 das 551450 551730 ist 551730 552452 aber 552452 552733 eher 552733 552973 was 552973 553154 was 553154 553354 man 553354 553554 als 553554 553795 dritte 553795 554296 Potenz 554296 554877 verkauft 554877 555078 nicht 555078 555218 als 555218 555378 das 555378 556000 dreifache 556000 556320 ?? 556320 556581 dritte 556581 557543 Potenz 557543 558144 am 558144 558445 Sinne 558445 558585 bei 558585 558706 den 558706 559227 Funktionen 559227 559387 nicht 559387 559708 sowas 559708 560049 bilde 560049 560249 eine 560249 560870 Funktion 560870 561111 einer 561111 561692 Funktion 561692 561933 einer 561933 562574 Funktion 562574 562795 einer 562795 563336 Funktion 563336 563596 von 563596 564318 X 564318 564539 nenn 564539 564659 ich 564659 564879 das 564879 566443 gerne 566443 566643 die 566643 567084 vierte 567084 567585 Potenz 567585 567726 der 567726 568307 Funktion 568307 568908 angewendet 568908 569109 auf 569109 570552 X 570552 570772 eine 570772 571333 Potenz 571333 571554 kein 571554 572476 Vielfaches 572476 572777 aus 572777 573097 dem 573097 574961 Grund 574961 575202 wenn 575202 576485 ich 576485 576926 wieder 576926 577307 sowas 577307 577808 miteinander 577808 578309 verketten 578309 578509 wenn 578509 578629 ich 578629 578850 F 578850 579131 hoch 579131 579812 vier 579812 580574 verkehrte 580574 580935 mit 580935 581255 F 581255 582478 hoch 582478 582999 zwei 582999 583280 von 583280 583520 mir 583520 584763 aus 584763 585064 ist 585064 585264 das 585264 585565 dann 585565 586687 definiert 586687 586908 die 586908 587629 vierfache 587629 588210 Anwendung 588210 588391 der 588391 589714 Funktion 589714 590455 angewendet 590455 590736 auf 590736 590896 die 590896 592480 zweifache 592480 593061 Anwendung 593061 593242 der 593242 594224 Funktionsweise 594224 594544 ?? 594544 595727 Klammer auf 595727 595907 ?? 595907 596148 sechs 596148 596609 Klammer zu 596609 596930 eins 596930 597190 zwei 597190 597491 drei 597491 597812 vier 597812 598072 fünf 598072 598333 sechs 598333 599275 Klammer zu 599275 599455 die 599455 599936 vierfache 599936 600357 Anwendung 600357 600477 der 600477 600878 Fusion 600878 601019 auf 601019 601099 die 601099 601600 zweifache 601600 601860 ?? 601860 602141 davon 602141 602301 zu 602301 602522 ?? 602522 602803 ist 602803 603444 die 603444 604025 sechsfache 604025 604506 Anwendung 604506 604667 der 604667 605829 Funktion 605829 606090 das 606090 606511 Passwort 606511 606671 zur 606671 608315 Potenzrechnung 608315 608515 mich 608515 608655 das 608655 608796 so 608796 609177 schreibe 609177 609397 vier 609397 609638 plus 609638 609898 zwei 609898 610179 macht 610179 610900 sechs 610900 611241 deshalb 611241 611421 würde 611421 611542 ich 611542 611622 die 611622 612043 mehrfache 612043 612624 Anwendung 612624 612965 lieber 612965 614147 als 614147 614528 Potenz 614528 615591 verstehen 615591 615791 das 615791 616332 wir 616332 616533 das 616533 616653 hat 616653 616793 sich 616793 616893 so 616893 617495 eingebürgert 617495 617675 weil 617675 617836 das 617836 618717 so 618717 619178 genial 619178 620521 passt 620521 621283 haben 621283 621463 als 621463 621664 das 621664 621925 würde 621925 622927 man 622927 623147 als 623147 623648 Potenz 623648 624370 nehmen 624370 624570 E 624570 624851 hoch 624851 624991 E 624991 625552 hoch 625552 625753 E 625753 625973 hoch 625973 626996 X 626996 627216 als 627216 627336 die 627336 627978 dritte 627978 629000 Potenz 629000 629140 der 629140 629261 E 629261 629722 Funktion 629722 629902 auf 629902 630042 sehr 630042 630463 abstrakte 630463 631085 Weise 631085 631425 ist 631425 631726 viel 631726 632588 billiger 632588 633330 dreimal 633330 633530 hoch 633530 633851 X 633851 634151 einfach 634151 634332 das 634332 635073 dreifache 635073 635194 an 635194 635534 jeder 635534 635835 Stelle 635835 636156 liefert 636156 636216 die 636216 636617 Fusion 636617 636777 das 636777 638000 dreifache 638000 638220 wenn 638220 638421 ihre 638421 639603 Augen 639603 639663 ?? 639663 639744 in 639744 639924 ihrer 639924 640946 Originalfunktion 640946 641287 DE 641287 641868 Funktion 641868 644354 ist 644354 644654 besser 644654 645196 mal 645196 647040 nimmt 647040 647180 in 647180 647320 ihrer 647320 648202 Originalfunktion 648202 648322 die 648322 649124 Ehefunktion 649124 650748 ist 650748 651048 wäre 651048 651309 das 651309 652732 dreifache 652732 652913 ?? 652913 653193 ganz 653193 654676 dumm 654676 654817 an 654817 655278 jeder 655278 657202 Stelle 657202 657382 an 657382 657803 jeder 657803 659307 Stelle 659307 659487 das 659487 659988 dreifache 659988 662594 genommen 662594 662754 wie 662754 663837 bei 663837 663997 den 663997 665681 klassischen 665681 665901 ?? 665901 666021 der 666021 666462 siehe oben 666462 666583 in 666583 667304 Troja 667304 667444 wie 667444 667605 bei 667605 667725 den 667725 668326 klassischen 668326 669649 Vektoren 669649 669870 sie 669870 670231 nehmen 670231 671453 Erstkomponente 671453 671634 das 671634 672916 dreifache 672916 673137 und 673137 673257 in 673257 673678 der 673678 674159 zweiten 674159 674720 Komponente 674720 674901 das 674901 676564 dreifache 676564 676725 und 676725 677627 hier 677627 677867 nehme 677867 677968 ich 677968 678088 an 678088 678348 jeder 678348 678749 Stelle 678749 678930 für 678930 679230 jedes 679230 680032 X 680032 680212 das 680212 680714 dreifache 680714 680894 das 680894 681074 wäre 681074 681215 das 681215 681696 dreifache 681696 681956 einer 681956 682718 Funktion 682718 682979 das 682979 683159 geht 683159 683279 mit 683279 683379 den 683379 683700 üblichen 683700 684342 Rechengesetzen 684342 684662 durch 684662 684803 wenn 684803 684883 sie 684883 685063 das 685063 685284 drei 685284 685464 plus 685464 685705 vier 685705 685925 fache 685925 686125 einer 686125 686566 Funktion 686566 688491 bilden 688491 688691 können 688691 688771 Sie 688771 689733 hoffentlich 689733 690435 ausklammern 690435 690675 ohne 690675 690876 das 690876 690996 was 690996 691337 schlimmes 691337 693722 passiert 693722 693862 bei 693862 693963 dem 693963 694343 nächsten 694343 694524 was 694524 694684 ist 694684 695366 die 695366 696628 Addition 696628 696789 in 696789 697009 diesem 697009 698012 Spiel 698012 698893 ich 698893 699194 gucke 699194 699455 mal 699455 699615 ob 699615 699715 ich 699715 700417 Funktionen 700417 700577 zu 700577 701138 Vektoren 701138 701419 machen 701419 702401 kann 702401 702582 also 702582 702922 möglichst 702922 703063 nicht 703063 703163 an 703163 703544 feine 703544 703965 Denken 703965 704085 an 704085 704225 der 704225 704566 Stelle 704566 704887 sondern 704887 705047 das 705047 705508 abstrakte 705508 707112 Konzept 707112 707673 addieren 707673 708334 geht 708334 708956 modifizieren 708956 709076 mit 709076 709437 Zahlen 709437 710579 geht 710579 710760 und 710760 710900 die 710900 711281 üblichen 711281 711802 Rechengesetze 711802 711942 sind 711942 712323 erfüllt 712323 712944 ?? 712944 713105 ich 713105 713285 kann 713285 713465 also 713465 713626 was 713626 714287 veranstalten 714287 714728 Sinus 714728 715029 plus 715029 715650 Kosinus 715650 716151 wies 716151 716372 die 716372 716773 sonst 716773 716853 so 716853 717073 was 717073 717374 habe 717374 717655 aus 717655 717955 diesen 717955 718216 hier 718216 718496 bloß 718496 718717 den 718717 719318 hier 719318 719559 möchte 719559 719679 ich 719679 720260 addieren 720260 720461 den 720461 721283 hier 721283 721744 problemlos 721744 722024 sowas 722024 722185 mal 722185 722485 Sinus 722485 722706 Bus 722706 723006 groß 723006 723287 musste 723287 723467 sich 723467 723608 auf 723608 723808 eine 723808 724109 Plasma 724109 724670 fürchterlich 724670 724931 aus 724931 725051 die 725051 725311 Summe 725311 725652 zweier 725652 728418 Funktionen 728498 729641 ja 729641 730041 beide 730041 731845 leben 731845 732086 auf 732086 732246 den 732246 732607 reellen 732607 733108 Zahlen 733108 733208 der 733208 733429 wird 733429 733609 sich 733609 733950 hoffentlich 733950 734150 nicht 734150 734311 viel 734311 734511 dran 734511 736916 ändern 737411 737672 und 737672 737872 was 737872 738032 wird 738032 738273 jetzt 738273 738393 für 738393 738794 jedes 738794 739175 X 739175 739856 rauskommen 739856 739977 ich 739977 740257 suche 740257 740538 eine 740538 740899 neue 740899 743124 Funktion 743124 743264 die 743264 743605 sowas 743605 743905 sein 743905 744146 soll 744146 744366 wie 744366 744767 Sinus 744767 745008 plus 745008 745629 Kosinus 745629 745850 was 745850 745990 wir 745990 746190 diese 746190 746451 neue 746451 747854 Funktion 747854 748074 an 748074 748636 einer 748636 748936 jeden 748936 749197 Stelle 749197 749417 X 749417 752424 machen 752424 752584 ?? 752584 753125 dass 753125 753306 sie 753306 753486 das 753486 753587 nur 753587 753727 so 753727 754368 haarsträubend 754368 755090 Ausrufezeichen 755090 755190 die 755190 755491 einfach 755491 755651 dann 755651 756032 sein 756032 756172 wenn 756172 756272 ich 756272 756593 dreizehn 756593 756874 Grad 756874 757475 habe 757475 757655 so 757655 758177 rauskommt 758177 758457 Sinus 758457 758598 von 758598 758998 dreizehn 758998 759259 ?? 759259 760121 plus 760121 760522 Kosinus 760522 760662 von 760662 761303 dreizehn 761303 761604 einfach 761604 761785 diese 761785 762065 beiden 762065 762546 Funktionen 762546 762887 Punkt 762887 764170 weise 764170 764290 ich 764290 764490 Punkt 764490 764851 beide 764851 764992 an 764992 765392 jedem 765392 766014 X 766014 766555 zusammen 766555 767898 addieren 767898 768018 die 768018 768700 beiden 768700 769141 übereinander 769141 770624 stapeln 770624 770784 das 770784 770925 soll 770925 771025 die 771025 771265 Summe 771265 771566 zweier 771566 772167 Funktionen 772167 773410 sein 773410 773510 und 773510 774232 natürlich 774232 774633 gelten 774633 774973 dabei 774973 775094 die 775094 775495 üblichen 775495 776256 Rechengesetze 776256 776417 wenn 776417 776517 sie 776517 776838 jetzt 776838 777178 sowas 777178 777599 bauen 777599 778822 wie 778822 779343 er 779343 780205 dreimal 780205 780526 den 780526 781167 Sinus 781167 781448 plus 781448 781628 den 781628 782510 Kosinus 782510 782690 ist 782690 782831 das 782831 782971 an 782971 783412 jeder 783412 785757 Stelle 785757 786198 Sinus 786198 786479 X 786479 786679 plus 786679 787361 großes X 787361 787441 und 787441 787561 das 787561 787842 ganze 787842 788102 mal 788102 788623 drei 788623 788844 es 788844 789265 natürlich 789265 789505 nichts 789505 789946 anderes 789946 790127 als 790127 790267 wenn 790267 790387 sie 790387 790808 dreimal 790808 790969 den 790969 791349 Sinus 791349 791750 genommen 791750 792853 hätten 792853 793454 und 793454 793855 dreimal 793855 793995 den 793995 794436 Kursus 794436 794677 dazu 794677 796721 gezählt 796721 796862 es 796862 797182 gelten 797182 797262 die 797262 797583 üblichen 797583 798325 Rechengesetze 798325 798485 das 798485 798926 ist 798926 799387 völlig 799387 800610 banal 800610 801752 ähm 801752 802273 aber 802273 802714 trotzdem 802714 803376 genial 803376 803536 war 803536 803917 man 803917 804318 die 804318 804639 äh 804639 804899 die 804899 805120 das 805120 805380 ganze 805380 805561 was 805561 805701 man 805701 805841 über 805841 806342 Vektoren 806342 807886 lernt 807886 808928 Spezialfunktionen 808928 809469 übertragen 809469 810131 kann 810131 810331 wo 810331 810892 ich 810892 812155 sonst 812155 812356 bei 812356 812857 Vektoren 812857 813298 zum Beispiel 813298 813959 zerlegen 813959 814841 Bestandteile 814841 815021 kann 815021 815122 ich 815122 815282 nun 815282 815683 anfangen 815683 816204 Funktionen 816204 816384 zu 816384 816966 zerlegen 816966 817908 bestand 817908 818128 das 818128 818268 sehen 818268 818389 wir 818389 818529 dann 818529 819231 insbesondere 819231 819411 bei 819411 820072 der 820072 820413 Fourier 820413 821295 Transformation 821295 822618 Wurfsignale 822618 823139 zerlegt 823139 823500 werden 823500 823801 Sinus 823801 824242 vermittelt 824242 825324 Signale 825324 825544 so 825544 825645 wie 825645 825805 sie 825805 826186 sonst 826186 826426 einen 826426 826867 Vektor 826867 829092 nehmen 829092 829293 und 829293 829473 den 829473 830054 vielleicht 830054 830836 in 830836 831016 ein 831016 831718 Vektorraum 831718 831858 und 831858 832039 den 832039 832420 dann 832420 832740 in 832740 832981 X 832981 833642 Komponente 833642 833783 und 833783 834123 Y 834123 834685 Komponenten 834685 834905 Z 834905 835486 Komponente 835486 837511 zerlegen 837511 837932 zerlegen 837932 838072 sie 838072 838252 dann 838252 838433 ein 838433 839214 Signal 839214 840297 in 840297 840858 irgendwelche 840858 841139 Silos 841139 841499 vermieden 841499 843744 werden 844265 844566 als 844566 844806 eine 844806 846370 sehr 846370 846630 eine 846630 847031 Ähnlichkeit 847031 847151 auf 847151 847272 sehr 847272 847793 abstrakten 847793 848595 Niveau 848595 848795 was 848795 848975 man 848975 849456 rechnet 849456 849897 dabei 849897 850138 ist 850138 852102 Banalgesetzes 852102 852423 noch 852423 853104 achtundzwanzig 853104 853565 den 853565 854407 Nullvektor 854407 854628 bei 854628 854748 den 854748 856131 Funktionen 856131 856271 der 856271 856792 Nullvektor 856792 856973 bei 856973 857093 den 857093 857715 Funktionen 857715 857895 muss 857895 858236 natürlich 858236 858476 wieder 858476 858677 eine 858677 859238 Funktion 859238 863808 sein 863808 863968 ich 863968 864469 brauche 864469 864710 eine 864710 865311 Funktion 865311 865411 die 865411 865572 bei 865572 865692 der 865692 866253 Addition 866253 866634 nichts 866634 867977 tut 867977 868278 welche 868278 868879 Funktion 868879 869140 tut 869140 869320 bei 869320 869400 der 869400 869881 Addition 869881 872908 nichts 872908 873148 Na 873148 873309 wenn 873309 873429 ich 873429 873569 eine 873569 874211 Funktion 874211 874692 suche 874692 874832 die 874832 874992 bei 874992 875093 der 875093 876656 Addition 876656 876836 zu 876836 877017 einer 877017 877298 anderen 877298 877718 Funktion 877718 878059 nichts 878059 878380 tut 878380 878640 heißt 878640 878781 es 878781 879001 hier 879001 879302 muss 879302 879643 immer 879643 879983 Null 879983 880384 dazu 880384 881427 kommen 881427 881587 die 881587 882188 Funktion 882188 882609 überall 882609 882930 null 882930 883471 sein 883471 883571 an 883571 883872 jeder 883872 884694 Stelle 884694 884914 das 884914 885055 ist 885055 885335 der 885335 886057 ein Viertel Zeichen 886057 886738 Nullvektor 886738 886818 in 886818 886999 diesem 886999 887340 Spiel 887340 887440 die 887440 888001 Funktion 888001 888422 überall 888422 888642 null 888642 890697 ist 892849 893490 ?? 893490 893671 zum 893671 893971 zehnten 893971 894132 Mal 894132 894272 zu 894272 895114 sagen 895114 895795 dann 895795 895956 wenn 895956 896156 von 896156 896858 Vektorräumen 896858 897078 von 897078 897780 Funktionen 897780 897880 die 897880 898221 Rede 898221 898702 ist 898702 899223 sowieso 899223 899524 von 899524 899784 etwas 899784 900386 abstrakteren 900386 901688 Vektorräumen 901688 902049 denken 902049 902190 Sie 902190 903112 vielleicht 903112 903452 nicht 903452 903613 so 903613 903893 doll 903893 904054 an 904054 905777 Feile 905777 905978 eine 905978 906579 Funktion 906579 906800 als 906800 908143 File 908143 908423 finde 908423 908563 ich 908563 908764 eher 908764 911730 Irritierendmann 911730 912071 denkt 912071 912352 er 912352 912512 da 912512 912853 dran 912853 913053 ?? 913053 913194 ich 913194 913374 kann 913374 913855 das 913855 914917 addieren 914917 915278 Richter 915278 915819 habe 915819 916040 zu 916040 916381 anderen 916381 916701 solchen 916701 917343 Objekten 917343 917603 und 917603 917704 ich 917704 917864 kann 917864 917964 es 917964 918104 mit 918104 918585 Zahlen 918585 920089 modifizieren 920089 920229 und 920229 920530 kriege 920530 920750 wieder 920750 920911 so 920911 921031 ein 921031 921732 Objekt 921732 921953 und 921953 922053 es 922053 922374 gelten 922374 922454 die 922454 922775 üblichen 922775 923376 Rechengesetze 923376 923516 die 923516 923657 ich 923657 923817 jetzt 923817 923977 gar 923977 924118 nicht 924118 924759 aufgeschrieben 924759 925040 habe 925040 925260 weil 925260 925380 sie 925380 925521 so 925521 925942 banal 925942 926683 sind 926683 927365 besichtigen 927365 927585 können 927585 927766 was 927766 930121 passiert 931205 931506 und 931506 931706 das 931706 931987 nette 931987 932327 ist 932327 932628 das 932628 934753 man 934753 935013 dann 935013 935374 große 935374 935735 Strecken 935735 936056 neunzig 936056 936436 Prozent 936436 936877 der 936877 937359 linearen 937359 937840 Algebra 937840 938461 sofort 938461 938942 verwenden 938942 939162 kann 939162 939303 um 939303 939884 Funktion 939884 940064 zu 940064 941327 einer 941327 941708 Person 941708 941828 zu 941828 942750 veranstalten 942750 943071 werden 943071 943231 auch 943231 943692 noch 943692 944534 Skalarprodukt 944534 944875 sehen 944875 945095 für 945095 947300 Funktionen 947300 947882 insbesondere 947882 948022 und 948022 948202 eine 948202 948563 Länge 948563 948804 für 948804 949425 Funktion 949425 949625 die 949625 949826 auch 949826 949966 so 949966 950547 funktionieren 950547 950628 wie 950628 950788 man 950788 950908 sich 950908 951069 das 951069 951550 vorstellt 951550 951650 und 951650 951750 die 951750 951910 sie 951910 953253 auch 953253 953895 durch 953895 954175 fünf 954175 954496 Minuten 954496 955138 Dachdecker 955138 955338 so 955338 955899 hinschreiben 955899 956681 können 956681 956881 kann 956881 957062 gar 957062 957202 nicht 957202 957503 anders 957503 959718 sein