239 3185 eine 3185 3727 Folge 3727 4188 soll 4188 4508 eine 4508 5310 Auflistung 5310 5931 sein 5931 6152 an 6152 6813 Objekten 6813 7455 mathematischen 7455 8818 Objekten 8818 9780 waren 9780 11504 typischerweise 11504 12025 spricht 12025 12285 man 12285 12486 von 12486 12907 Folgen 12907 13087 und 13087 13508 meint 13508 14290 eigentlich 14290 14450 die 14450 15172 unendlichen 15172 17547 Folgen 17604 17985 eine 17985 18446 unendliche 18446 18807 Folge 18807 19007 soll 19007 19408 sein 19408 19809 eine 19809 20330 unendlich 20330 21212 lange 21212 22435 Auflistung 22435 22655 von 22655 23276 mathematischen 23276 24299 Objekten 24299 24559 das 24559 24720 auf 24720 24820 die 24820 25381 interessante 25381 26524 Artenauflistung 26524 27065 endliche 27065 28388 Folge 28388 28528 mit 28528 29230 achtundneunzig 29230 29851 Elementen 29851 30011 oder 30011 30713 mit 30713 31033 tausend 31033 31314 hundert 31314 31454 in 31454 31795 zwanzig 31795 32196 Elementen 32196 32316 oder 32316 32537 was 32537 32657 auch 32657 32837 immer 32837 33038 nennt 33038 33178 die 33178 33820 Vorgeschichte 33820 34902 gespannt 34902 35163 Komma 35163 35363 nicht 35363 35844 mathematisch 35844 36004 als 36004 36165 viel 36165 36806 Neues 36806 37307 erwarten 37307 37448 eine 37448 38189 unendliche 38189 39332 Folge 39332 39512 es 39512 39893 wesentlich 39893 42358 spannender 42358 42539 der 42539 43020 Gedanke 43020 43260 ist 43260 43381 mit 43381 43581 diesem 43581 43982 Begriff 43982 44443 unendliche 44443 45345 Folge 45345 45545 die 45545 46247 Annäherung 46247 46527 an 46527 46828 einen 46828 48051 Wert 48051 48933 darzustellen 48933 49213 mache 49213 49414 den 49414 49975 Grenzwert 49975 50757 einzuführen 50757 51017 was 51017 52661 heißt 52661 52942 das 52942 53162 eine 53162 53523 Folge 53523 53743 von 53743 54164 Zahlen 54164 54806 zum Beispiel 54806 55006 sich 55006 55126 im 55126 56509 unendlichen 56509 56690 wie 56690 56870 die 56870 57311 WICHTIG 57311 57492 dann 57492 57752 einen 57752 58033 Wert 58033 59416 mehr 59416 59757 als 59757 60498 spannend 60498 60739 und 60739 61099 endlich 61099 61320 viel 61320 61500 zu 61500 61881 haben 61881 62102 ?? 62102 62483 endlich 62483 62723 wieder 62723 63625 haben 63625 63986 folgende 63986 64527 Elemente 64527 64928 folgende 64928 66171 Bilder 66171 66351 dann 66351 66551 können 66551 66632 Sie 66632 66812 sich 66812 67012 ja 67012 67614 nichts 67614 67814 kann 67814 67934 sie 67934 68115 sich 68115 69017 nicht 69017 69458 beliebig 69458 69678 nah 69678 69859 an 69859 70681 irgendetwas 70681 71783 annähern 71783 72124 Punkt 72124 72605 unendlich 72605 73366 viele 73366 73607 unseren 73607 73928 Effekt 73928 74028 zu 74028 75591 haben 75591 75772 der 75772 76453 Annäherung 76453 76634 im 76634 78438 unendlichen 78438 78758 deshalb 78758 78879 bin 78879 78999 ich 78999 79360 jetzt 79360 79560 was 79560 79720 von 79720 80121 Folgen 80121 80562 erzähle 80562 80803 mein 80803 80923 ich 80923 81264 eigentlich 81264 81564 streng 81564 81985 genommen 81985 82486 immer 82486 83128 unendliche 83128 83789 Folgen 83789 83910 des 83910 84050 mit 84050 84170 den 84170 84791 langweiligen 84791 85132 müssen 85132 85413 endlich 85413 85734 davor 85734 85914 zu 85914 88079 sagen 88677 88897 im 88897 89439 Prinzip 89439 89960 betrachtet 89960 90641 man 90641 92846 beliebige 92846 93447 mathematische 93447 93888 Objekte 93888 93989 die 93989 94149 dann 94149 94229 in 94229 94329 der 94329 94650 Folge 94650 95011 stehen 95011 96354 können 96354 96574 wann 96574 96695 es 96695 96835 war 96835 98799 vorsichtig 98799 98960 mit 98960 99621 Beispielen 99621 100463 an 100463 100683 für 100683 101425 Zahlen 101425 101565 ist 101565 101686 es 101686 101866 auch 101866 102026 das 102026 103550 allgemeine 103550 104071 Zahlen 104071 104231 hat 104231 104412 sind 104412 104792 einander 104792 105213 unendlich 105213 105454 viele 105454 106015 Zahlen 106015 106857 aufgelistet 106857 107278 ?? 107278 107739 eine 107739 108601 unendliche 108601 108962 Folge 108962 109182 von 109182 110625 Zahlen 110625 111547 an 111547 111928 gerne 111928 112790 dann 112790 113030 mit 113030 113251 N 113251 114053 bezeichnete 114053 114233 man 114233 114434 in 114434 114614 hin 114614 114975 schreibt 114975 115055 in 115055 115235 diesem 115235 115536 Spiel 115536 115817 als 115817 115997 das 115997 116859 typischerweise 116859 117019 man 117019 117220 nimmt 117220 117320 die 117320 117801 Folge 117801 117941 der 117941 118502 natürlichen 118502 118984 Zahlen 118984 120006 eins 120006 120527 zwei 120527 120968 drei 120968 121349 vier 121349 123433 und so weiter 123433 123934 fand 123934 124095 dann 124095 124395 gleich 124395 125959 so 125959 126159 nur 126159 126500 in 126500 126861 schreibe 126861 127322 mal 127322 127963 typischerweise 127963 128184 diese 128184 128545 Folge 128545 130609 ein 130609 131972 miteinander 131972 132213 eine 132213 132593 andere 132593 133175 Folge 133175 133596 A 133596 134257 Index 134257 136021 ähm 136021 136241 können 136241 136803 zum Beispiel 136803 137464 sein 137464 138005 fünf 138005 138747 sieben 138747 139869 neun 139869 140110 ?? 140110 141172 elf 141172 143056 und so weiter 143056 143237 mit 143237 143397 dem 143397 143578 ?? 143578 143778 der 143778 144580 Tennisgemeinde 144580 145101 erste 145101 145462 heißt 145462 146243 A eins 146243 146404 der 146404 146925 zweite 146925 147326 heißt 147326 148087 A zwei 148087 148208 der 148208 149410 dritter 149410 149931 A drei 149931 151254 eigentlich 151254 151735 einen 151735 152397 für 152397 152597 das 152597 153219 allgemeine 153219 155123 Folgenelement 155123 155383 oder 155383 155744 irgend 155744 156366 einen 156366 156726 EN 156726 157147 genannt 157147 157468 habe 157468 157789 nehmen 157789 157949 Sie 157949 159072 einfach 159072 159172 die 159172 160414 Kehrwerte 160414 160655 ein 160655 161377 Einzel 161377 161637 ein 161637 162559 halb 162559 162760 ein 162760 163842 Drittel 163842 164624 entfällt 164624 165105 weiter 165105 165345 das 165345 165566 wäre 165566 165806 eine 165806 166187 unendlich 166187 166388 lange 166388 167149 Folge 167149 167490 endliche 167490 168432 Folge 168432 168753 oder 168753 168993 noch 168993 170477 eine 170477 172100 ähm 172100 172521 Info 172521 172661 sie 172661 173082 nehmen 173082 173283 immer 173283 173483 mehr 173483 174245 dezimal 174245 174766 stellen 174766 175007 von 175007 175147 der 175147 176369 Ziffer 176369 176790 von 176790 177933 Dezimalsstellen 177933 178073 der 178073 178815 Zahl 178815 179476 die 179476 179917 Krankheit 179917 180078 mit 180078 180458 Nullen 180458 180839 an 180839 181300 drei 181300 181501 und 181501 181842 Nummer 181842 182102 drei 182102 182443 Komma 182443 182904 eins 182904 183024 und 183024 183164 dann 183164 183385 drei 183385 183726 Komma 183726 184026 eins 184026 185049 vier 185049 185289 drei 185289 186432 Komma 186432 186792 eins 186792 187033 vier 187033 187454 eins 187454 188035 und so weiter 188035 188376 jedes 188376 188576 Mal 188576 188817 kommt 188817 189077 eine 189077 189779 Zigarette 189779 190581 zu 190581 191042 rauchen 191042 193267 folgen 193558 193698 das 193698 193799 sie 193799 193939 zu 193939 194039 den 194039 195101 typischen 195101 195683 Folgen 195683 195843 mit 195843 195943 der 195943 196104 man 196104 196224 sich 196224 196845 beschäftigt 196845 197747 nachher 197747 198549 nun 198549 198709 aber 198709 198870 es 198870 199291 können 199291 199712 auch 199712 200132 finstere 200132 200654 Geschichten 200654 200934 seien 200934 201515 insbesondere 201515 201896 Folgen 201896 202097 von 202097 202919 Funktionen 202919 203239 sind 203239 203480 beim 203480 203861 zweiten 203861 204422 Semester 204422 204803 kommen 204803 205705 vor 205705 205865 wo 205865 206045 sie 206045 206266 als 206266 206807 mathematische 206807 207308 Objekte 207308 207749 nicht 207749 208371 zahlen 208371 209092 aufgelistet 209092 209573 sind 209573 210475 sondern 210475 211237 Funktionen 211237 212019 aufgelistet 212019 214243 sind 215000 216744 Beispiel 216744 217285 letztes 217285 217526 Mal 217526 219350 beim 219350 220432 Sinus 220432 220692 eine 220692 221174 Folge 221174 221354 an 221354 223138 Funktionen 223138 223418 schon 223418 223539 mal 223539 223759 wieder 223759 224240 ändert 224240 225343 so 225343 225583 den 225583 226265 Index 226265 227026 eins 227026 228169 zwei 228169 228590 drei 228590 231135 und so weiter 231135 231416 und 231416 231596 eine 231596 231937 Folge 231937 232057 an 232057 233601 Funktionen 233601 233781 in 233781 233922 die 233922 234242 vielleicht 234242 234663 einfach 234663 236648 DIN 236648 236868 eine 236868 237289 Vorgang 237289 237690 Funktion 237690 237810 ich 237810 238071 fange 238071 238211 an 238211 238351 mit 238351 238472 der 238472 238973 Funktion 238973 239093 die 239093 239654 X 239654 240175 abbildet 240175 240416 auf 240416 242490 X 242492 242873 dann 242873 243093 mache 243093 243173 ich 243173 243494 weiter 243494 243655 mit 243655 243795 der 243795 244276 Funktion 244276 244416 die 244416 244697 X 244697 245278 abbildet 245278 246300 auf 246300 246721 X 246721 247122 minus 247122 247403 X 247403 248746 hoch drei 248746 250490 sechste 250490 250790 dann 250790 250971 mach 250971 251091 ich 251091 251191 mit 251191 251291 der 251291 251712 Funktion 251712 252073 weiter 252073 252193 die 252193 252474 X 252474 252975 abbildet 252975 253155 auf 253155 253516 X 253516 253997 minus 253997 254218 X 254218 255140 hoch drei 255140 255741 sechste 255741 256362 kleines X 256362 256623 zwo 256623 256904 ?? 256904 257605 fünf 257605 258066 Commonsense 258066 258988 rechnen 258988 260091 ?? 260091 260371 hundert 260371 262035 zwanzigste 262035 264300 und so weiter 264300 264540 das 264540 264721 wäre 264721 264921 eine 264921 265302 Folge 265302 265503 von 265503 267487 Funktionen 267487 267727 hier 267727 268068 Folgen 268068 268249 von 268249 268710 Zahlen 268710 268890 sieht 268890 269291 es 269291 269511 jeder 269511 270313 Eintrag 270313 270433 in 270433 270634 diese 270634 271015 unendlich 271015 271255 lange 271255 272478 Liste 272478 273981 ist 273981 274262 eine 274262 275565 Zahl 275565 275805 und 275805 276206 hier 276206 276467 ist 276467 276707 jeder 276707 277409 Eintrag 277409 277709 endlich 277709 277890 ?? 277890 278130 ist 278130 278311 eine 278311 278892 Funktion 278892 278992 die 278992 279413 Funktion 279413 279754 dieser 279754 280034 ?? 280034 280255 X 280255 280696 abbildet 280696 281057 X 281057 281277 X 281277 281818 mindestens 281818 282179 sechs 282179 283021 und so weiter 283021 284344 und so weiter 284344 286809 an 290402 290823 haben 290823 290963 Sie 290963 291184 eine 291184 293268 Idee 293268 293629 was 293629 295373 hier 295373 295593 am 295593 295974 Ende 295974 296175 bei 296175 296576 raus 296576 296836 kommt 296836 297017 im 297017 297858 unendlichen 297858 298059 wenn 298059 298359 ich 298359 298640 diese 298640 299141 Folge 299141 299442 bis 299442 299622 ins 299622 300023 unendliche 300023 300965 weitertreiben 300965 301186 was 301186 301526 steht 301526 301667 da 301667 304262 eigentlich 305143 305584 das 305584 305704 wir 305704 305784 die 305784 306265 männlichen 306265 306406 der 306406 306827 Sinus 306827 309112 werden 309114 309675 sowie 309675 310697 sich 310697 311058 diese 311058 311479 Folge 311479 312221 jederzeit 312221 312602 Pia 312602 313043 nähert 313043 313243 immer 313243 313423 mehr 313423 313884 der 313884 314285 Therapie 314285 314786 ernährt 314786 314967 oder 314967 315207 diese 315207 315749 Folge 315749 315949 immer 315949 316109 mehr 316109 316210 der 316210 316470 Zahl 316470 316751 null 316751 317753 annähert 317753 317993 wird 317993 318134 sich 318134 318354 diese 318354 318795 Folge 318795 318956 eine 318956 320258 Folgefunktionen 320258 320559 immer 320559 321461 mehr 321461 321902 dem 321902 323004 Sinus 323004 323325 näher 323325 324187 an 324187 324508 Exit 324508 325029 Abbild 325029 325189 auf 325189 325350 den 325350 325670 Sinus 325670 325851 von 325851 326392 extended 326392 326552 hatte 326552 326632 ich 326632 326773 ihn 326773 326973 schon 326973 328136 erzählt 328136 328316 wie 328316 329399 man 329399 329639 den 329639 330000 Sinus 330000 330621 umschreiben 330621 330942 kann 330942 331363 mithilfe 331363 331543 der 331543 331884 Eulersche 331884 332766 Identität 332766 333067 man 333067 333427 weiß 333427 333608 man 333608 333828 die 333828 334289 Funktion 334289 335171 schreiben 335171 335472 Komma 335472 335732 genau 335732 335913 diese 335913 337136 Terme 337136 337556 X 337556 337857 minus 337857 338699 sechsunddreißigste 338699 339060 Besitzer 339060 339260 fünf 339260 339441 hundert 339441 339741 ?? 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455157 455417 müssen 455417 455678 drei 455678 456119 dazu 456119 456600 zweimal 456600 456760 in 456760 457001 ist 457001 457381 vier 457381 457642 drei 457642 458143 dazu 458143 458624 zweimal 458624 458805 in 458805 459346 sechs 459346 459606 drei 459606 460047 dazu 460047 460428 zweimal 460428 460749 in 460749 461250 und so weiter 461250 461410 das 461410 461631 scheint 461631 461811 gut 461811 461931 zu 461931 462212 sein 462212 462553 drei 462553 462773 plus 462773 463254 zweimal 463254 466622 in 466622 467544 Treibstoffs 467544 468025 zweimal 468025 468325 in 468325 468506 oder 468506 469047 zwei 469047 469328 drei 469328 469488 oder 469488 469608 wie 469608 469729 auch 469729 470350 immer 470350 470651 das 470651 470971 wäre 470971 471172 ein 471172 471994 explizites 471994 473918 Bildungsgesetz 473918 474158 für 474158 474359 diese 474359 476644 Folge 476644 476964 damit 476964 477185 können 477185 477265 Sie 477265 477606 jetzt 477606 477786 ein 477786 478247 beliebiges 478247 478648 Element 478648 480031 ausrechnen 480031 480452 eigentlich 480452 480693 streng 480693 481013 genommen 481013 481234 reicht 481234 481394 es 481394 481555 auch 481555 481675 nicht 481675 481775 wenn 481775 481875 ich 481875 481995 die 481995 482416 ersten 482416 482657 vier 482657 482817 hin 482817 483238 schreibe 483238 483338 ich 483338 483459 die 483459 483739 ersten 483739 483960 vier 483960 484080 in 484080 484902 schreibe 484902 485062 wer 485062 485403 sagt 485403 485523 mir 485523 485784 das 485784 485924 bei 485924 486205 Nummer 486205 487628 fünf 487628 487929 nicht 487929 488770 mit 488770 489592 Öl 489592 489873 keine 489873 490173 Ahnung 490173 490634 minus 490634 490955 sieben 490955 491256 Busse 491256 491577 zwei 491577 491717 oder 491717 491917 was 491917 493501 weitergeht 493501 493902 meines 493902 494784 angegebenen 494784 495204 Adresse 495204 495385 dann 495385 495826 eigentlich 495826 496046 nicht 496046 496127 nur 496127 496207 die 496207 496467 ersten 496467 496728 vier 496728 496808 in 496808 497229 schreibe 497229 497389 das 497389 497630 diesen 497630 498913 Intelligenztest 498913 499113 wie 499113 499293 die 499293 499554 diese 499554 499915 Folge 499915 500656 sinnvollerweise 500656 502561 weiter 502561 502701 nur 502701 502801 die 502801 503062 ersten 503062 503302 zehn 503302 503443 zu 503443 503783 schreiben 503783 503944 ist 503944 504284 eigentlich 504284 504505 nicht 504505 504866 korrekt 504866 505046 ich 505046 505848 müsstest 505848 505968 du 505968 506128 ein 506128 506830 Bildungsgesetz 506830 506970 in 506970 507391 schreibe 507391 507652 das 507652 508213 offensichtlich 508213 508353 das 508353 508734 Benutzen 508734 508915 des 508915 509356 Streites 509356 509817 zweimal 509817 510318 Ent 510318 510618 und 510618 510759 das 510759 511160 folgende 511160 511340 Lied 511340 511621 Nummer 511621 511841 ein 511841 512001 zu 512001 512362 kriegen 512362 512663 rechne 512663 512903 das 512903 513966 aus 513966 516191 Platzmangel 516191 516531 ein 516531 517574 explizites 517574 518255 ausdrückliches 518255 519738 Bildungsgesetz 519738 520921 an 520921 523146 BN 523146 523286 wie 523286 523507 geht 523507 523707 das 523707 523928 hier 523928 524048 wie 524048 524308 kriegen 524308 524429 Sie 524429 524549 den 524549 525050 BN 525050 525371 raus 525371 525591 aus 525591 525731 der 525731 526193 Einzel 526193 526453 ein 526453 526814 Einzel 526814 527796 werden 527796 527976 aus 527976 528097 der 528097 528417 zwei 528417 528598 soll 528598 528738 ein 528738 528999 halb 528999 529339 werden 529339 529480 aus 529480 529600 der 529600 529841 drei 529841 530021 soll 530021 530121 ein 530121 530422 Drittel 530422 533509 werden 533509 533869 dazu 533869 535052 einfach 535052 535373 eins 535373 535573 durch 535573 538359 menschliche 538537 538938 das 538938 539499 explizit 539499 539559 die 539559 540882 Bildungsgesetze 540882 541504 am 541504 541784 ?? 541784 542045 hat 542045 542205 man 542205 542546 leider 542546 542826 nicht 542826 544009 immer 544009 544270 lassen 544270 544390 die 544390 545272 Schulbuchfälle 545272 545412 der 545412 545592 man 545592 545693 die 545693 545933 hat 545933 546174 dann 546174 546274 ist 546274 547136 das 547136 547457 recht 547457 548158 einfach 548158 548278 in 548278 549080 Sonderformen 549080 549702 umzugehen 549702 549862 und 549862 550002 sich 550002 550102 zu 550102 550523 überlegen 550523 550704 was 550704 551786 diese 551786 552227 Formen 552227 552367 im 552367 552748 endlichen 552748 553029 machen 553029 555254 wird 555927 556809 praktischerseits 556809 556949 hat 556949 557130 man 557130 557490 gerne 557490 557891 aber 557891 558172 etwas 558172 558332 was 558332 558493 ich 558493 559355 Rekursion 559355 561479 nennt 561479 561860 das 561860 562241 eine 562241 562662 Folgen 562662 563043 Glied 563043 563343 wird 563343 563905 mithilfe 563905 564105 des 564105 565388 vorhergehenden 565388 566410 definiert 566410 566951 sagen 566951 567212 was 567212 567673 A drei 567673 567953 ist 567953 568354 mithilfe 568354 568575 von 568575 569156 A zwei 569156 569537 seinem 569537 569777 Wasser 569777 570098 zwei 570098 570279 ist 570279 570699 mithilfe 570699 570960 von 570960 572343 A eins 572343 572664 muss 572664 573004 man 573004 573445 eines 573445 573746 gerade 573746 574287 mal 574287 574909 angucken 574909 575650 Gänsefüßchen oben 575650 575891 wäre 575891 579819 explizit 579819 579980 und 579980 580180 nun 580180 584209 rekursiv 584209 584389 so 584389 584570 hat 584570 584710 man 584710 584891 es 584891 585131 ja 585131 586414 mal 586414 586554 ich 586554 587015 sage 587015 587236 was 587236 587496 das 587496 588378 nächste 588378 588859 AN 588859 589260 ist 589260 589581 ein 589581 589861 plus 589861 591365 eins 591365 591625 ganz 591625 592207 klarmachen 592207 592347 das 592347 592587 bloß 592587 592748 ein 592748 593109 steter 593109 593489 unten 593489 593610 im 593610 594131 Index 594131 594512 A 594512 594692 N 594692 594933 plus 594933 596676 eins 596676 596937 noch 596937 597298 klarer 597298 598059 so 598059 598480 A 598480 598661 N 598661 598901 plus 598901 599222 eins 599222 599583 gemeint 599583 599904 das 599904 600906 nächste 600906 603371 Folgenglied 603446 603867 aber 603867 604047 eben 604047 604228 schon 604228 604629 gesehen 604629 604789 bei 604789 604949 dieser 604949 605310 Folge 605310 606613 AN 606613 606753 die 606753 607094 Zellen 607094 607395 einfach 607395 607755 zwei 607755 607936 zum 607936 608698 Vorgänger 608698 609058 benannte 609058 609239 das 609239 609780 nächste 609780 609920 wie 609920 610181 kriegen 610181 610301 Sie 610301 610421 die 610421 611083 sieben 611083 611444 zwei 611444 611564 auf 611564 611684 die 611684 612325 fünf 612325 612466 wie 612466 612746 kriegen 612746 612907 Sie 612907 613047 die 613047 613849 neun 613849 614250 zwei 614250 614450 auf 614450 614550 die 614550 616855 sieben 616891 617412 also 617412 617552 ist 617552 617713 das 617713 618214 einfach 618214 618615 ein 618615 618875 plus 618875 619256 zwei 619256 619477 das 619477 619657 ein 619657 619878 ganz 619878 620298 billiges 620298 621922 rekursives 621922 623526 Gesetz 623526 623846 steht 623846 623926 er 623926 624127 nicht 624127 624768 ausdrücklich 624768 625009 was 625009 625510 AN 625510 625791 ist 625791 626011 als 626011 626532 Formel 626532 626913 sondern 626913 627314 steht 627314 627855 da 627855 629238 implizit 629238 629479 unter 629479 630120 Bezugnahme 630120 630300 des 630300 630461 auf 630461 630641 das 630641 630802 das 630802 631303 vorherige 631303 631704 Element 631704 631844 oder 631844 632605 stationäre 632605 633107 vorherige 633107 633989 Elemente 633989 634209 wie 634209 634429 ich 634429 634570 es 634570 634790 das 634790 635211 nächste 635211 635853 bekommen 635853 636294 das heißt 636294 637596 rekursiv 637596 637737 mit 637737 639120 Rekursion 639120 639541 ?? 639541 639902 läuft 639902 642187 zurück 642890 644133 an 644133 644333 das 644333 644714 reicht 644714 644854 noch 644854 645055 nicht 645055 645496 ganz 645496 645636 um 645636 645796 diese 645796 646137 Folge 646137 648322 festzulegen 648322 648522 was 648522 648803 fehlte 648803 649124 eigentlich 649124 649284 noch 649284 649404 wenn 649404 649525 ich 649525 649685 nur 649685 649885 diese 649885 650306 gleich 650306 650868 hinschreiben 650868 651048 was 651048 651288 fehlt 651288 651389 mir 651389 651529 dann 651529 651850 eigentlich 651850 654004 noch 654147 654528 wenn 654528 654668 ich 654668 655129 A drei 655129 655470 habe 655470 655650 kann 655650 655791 ich 655791 656171 A vier 656171 656713 bestimmen 656713 656893 wenn 656893 657013 ich 657013 657434 A zwei 657434 657715 habe 657715 657915 kann 657915 658036 ich 658036 658396 A drei 658396 658938 bestimmen 658938 659098 wenn 659098 659258 ich 659258 659699 A eins 659699 659960 habe 659960 660180 kann 660180 661403 ich 661403 661563 in 661563 661684 der 661684 661984 eins 661984 662225 habe 662225 662405 kann 662405 662525 ich 662525 662886 A zwei 662886 663868 bestimmen 663868 664069 ?? 664069 664389 ziemlich 664389 664830 A eins 664830 664951 sie 664951 665191 steht 665191 665332 nicht 665332 665432 wie 665432 665572 ich 665572 665953 eins 665953 666234 kriege 666234 666374 das 666374 666695 brauche 666695 666835 noch 666835 667015 ein 667015 667677 Startwert 667677 668037 A eins 668037 668779 ist 668779 671094 zwar 676217 676919 Startwert 676919 677179 war 677179 681549 fünf 681549 681749 den 681749 681990 sollte 681990 682130 man 682130 682290 auch 682290 682491 noch 682491 682671 an 682671 682872 das 682872 682972 es 682972 683172 ganz 683172 684515 typisch 684515 684736 für 684736 687321 Rekursion 687323 687724 das 687724 687844 ist 687844 688004 das 688004 688165 was 688165 688265 man 688265 688345 in 688345 688445 der 688445 688846 Praxis 688846 689027 er 689027 689207 hat 689207 689728 rekursiv 689728 690249 definierte 690249 692554 folgen 692554 692755 und 692755 692955 dann 692955 693316 frage 693316 693436 ich 693436 693657 mich 693657 693817 ob 693817 693978 was 693978 694318 passiert 694318 694439 in 694439 694539 den 694539 695301 unendlichen 695301 695461 wenn 695461 695581 ich 695581 695741 eine 695741 696383 explizit 696383 696924 definierte 696924 697646 Vorgabe 697646 697986 Geistes 697986 698668 typischerweise 698668 698928 fort 698928 699430 ablesen 699430 699630 was 699630 700111 männlichen 700111 701514 passiert 701514 701695 was 701695 701935 ist 701935 702216 wirklich 702216 704481 spannend 704483 705225 warum 705225 705245 die 705245 705846 rekursiv 705846 706347 definierten 706347 706608 Folgen 706608 706808 warum 706808 706928 sind 706928 706948 die 706948 707510 spannend 707510 707530 wir 707530 707790 hatten 707790 707971 schon 707971 708251 eine 708251 709233 Gelegenheit 709233 709554 das 709554 711619 Verfahren 711619 711639 da 711639 711659 kam 711659 711679 eine 711679 712260 rekursiv 712260 712741 definierte 712741 714806 Folge 714808 715630 zum Beispiel 715630 715670 beim 715670 715991 Newton 715991 720120 Verfahren 722862 725528 war 725528 725668 da 725668 726550 Gegenstrom 726550 726851 einen 726851 727572 Nullstelle 727572 727753 zu 727753 728134 finden 728134 728314 ob 728314 728655 Salat 728655 728895 eine 728895 729497 Nullstelle 729497 729717 einer 729717 730178 Funktion 730178 730318 zu 730318 732714 finden 733037 733177 ?? 733177 733478 das 733478 733718 ganze 733718 733939 viele 733939 734340 Nullstellen 734340 735001 schon 735001 735142 nicht 735142 735322 ganz 735322 735482 ?? 735482 736164 Nullstelle 736164 736444 möchte 736444 736625 einen 736625 737026 Nullstelle 737026 737226 einer 737226 737707 Funktion 737707 738770 finden 738770 738910 der 738910 739150 Trick 739150 739351 ist 739351 740233 nicht 740233 740413 ich 740413 740934 rate 740934 741155 ein 741155 741455 X 741455 741916 null 741916 742177 das 742177 742578 dicht 742578 743059 dabei 743059 744382 ist 744382 744562 dann 744562 744863 wirklich 744863 745685 die 745685 746186 Tangente 746186 746306 an 746306 746587 meine 746587 747549 Funktion 747549 747789 gucke 747789 747950 wo 747950 748270 die 748270 748611 die 748611 749192 x-Achse 749192 749754 schneidet 749754 750034 nenne 750034 750375 das 750375 753392 X eins 754048 754389 stimme 754389 754569 da 754569 754850 meine 754850 755431 Funktion 755431 755611 eine 755611 756153 Tangente 756153 756293 an 756293 756413 die 756413 757135 Funktion 757135 757375 den 757375 757856 Schnitt 757856 758157 von 758157 758418 der 758418 758919 Tangente 758919 759099 mit 759099 759199 der 759199 759720 exakten 759720 760121 MX 760121 760402 zwei 760402 760943 und so weiter 760943 761063 und 761063 762607 sofort 762607 762727 da 762727 763268 stecken 763268 763910 Rekursion 763910 764671 drin 764671 764932 von 764932 765273 einem 765273 765513 zum 765513 766014 nächsten 766014 766275 Zimmer 766275 766616 dieselbe 766616 767016 Formel 767016 767197 von 767197 767437 X 767437 767678 null 767678 768019 sechs 768019 768700 eins 768700 769001 stimmte 769001 769362 Formel 769362 769542 von 769542 770083 X eins 770083 770244 zu 770244 770444 X 770444 770965 zweimal 770965 771326 dieselbe 771326 771727 Formel 771727 771767 ?? 771767 771947 hat 771947 772088 mir 772088 772809 schon 772809 773090 X 773090 773230 ein 773230 773531 plus 773531 773872 eins 773872 774914 ist gleich 774914 775214 X 775214 775936 N 775936 776497 minus 776497 776658 das 776658 777159 Verhältnis 777159 777339 von 777339 778201 Funktionswert 778201 779805 zu 779805 782230 Ableitung 782230 782390 das 782390 782611 hatten 782611 782731 wir 782731 783012 schon 783012 783212 für 783212 784876 die 784876 785076 für 785076 785236 das 785236 787972 Newtonverfahren 788478 788678 noch 788678 790382 was 790382 790923 an 790923 791124 da 791124 791344 das 791344 791625 immer 791625 791885 noch 791885 792026 den 792026 794812 Startwert 796150 796932 irgendjemand 796932 797092 muss 797092 797232 mir 797232 797393 zu 797393 797894 flüstern 797894 798074 was 798074 798194 denn 798194 798315 ein 798315 798696 sinnvoller 798696 799277 Startwert 799277 799598 wäre 799598 799878 Beistrich 799878 800059 guck 800059 800159 ich 800159 800299 mir 800299 800640 die 800640 800981 Kurve 800981 801281 grob 801281 802424 an 802424 803366 und 803366 803626 mache 803626 803847 dann 803847 804148 einen 804148 804749 rassistischen 804749 806012 Etiketteges 806012 806232 was 806232 806453 den 806453 806833 sinnvoller 806833 808237 Startwert 808237 808497 auch 808497 808738 das 808738 808958 ist 808958 809740 rekursiv 809740 809960 sie 809960 810983 sehen 810983 811183 das 811183 811383 ?? 811383 811584 Komma 811584 811784 mit 811784 812025 null 812025 812766 an 812766 812947 aber 812947 813147 statt 813147 813308 das 813308 813448 mit 813448 813588 null 813588 814009 angefangen 814009 814190 hätte 814190 814430 könnte 814430 814711 auch 814711 814991 genau 814991 815292 sein 815292 815472 ?? 815472 816094 X eins 816094 816294 ist 816294 816735 gegeben 816735 816855 und 816855 816996 aus 816996 817136 dem 817136 817657 X eins 817657 818058 berechnet 818058 818178 sich 818178 818379 das 818379 818539 X 818539 818880 zwei 818880 819060 aus 819060 819201 dem 819201 819581 extra 819581 819822 das 819822 821806 insoweit 821806 821987 als 821987 822127 ob 822127 822548 ich 822548 822728 eine 822728 823109 Folgen 823109 823330 mit 823330 823590 Null 823590 824031 anfangen 824031 824252 oder 824252 824412 mit 824412 824733 eins 824733 825114 Anfang 825114 825334 ist 825334 825795 relativ 825795 826116 kurz 826116 826336 hier 826336 826637 würde 826637 826918 man 826918 827539 typischer 827539 827860 Weise 827860 828120 X 828120 828361 null 828361 828782 sagen 828782 828842 ?? 828842 828982 des 828982 829162 X 829162 829664 null 829664 830064 besondere 830064 830566 Bedeutung 830566 831468 hat 831468 832149 am 832149 832289 es 832289 832410 ist 832410 832630 nämlich 832630 832770 von 832770 833071 außen 833071 835917 vorgegeben 835917 836198 hier 836198 836438 habe 836438 836699 ich 836699 836879 immer 836879 837040 mit 837040 837360 eins 837360 838042 angefangen 838042 838222 aber 838222 838603 genauso 838603 838864 können 838864 838984 Sie 838984 839345 sagen 839345 840247 auch 840247 841670 einen 841670 841971 vom 841971 842171 soll 842171 842392 ich 842392 843213 sagen 843213 843374 das 843374 843574 ist 843574 844035 null 844035 844416 eins 844416 844777 zwei 844777 845258 drei 845258 845398 dann 845398 845558 ist 845558 845659 der 845659 845979 erste 845979 846601 A null 846601 846781 und 846781 847122 bin 847122 847803 und so weiter 847803 847944 das 847944 848725 macht 848725 848986 keinen 848986 850068 Unterschied 850068 850349 wieder 850349 850529 das 850529 850890 übliche 850890 853476 Phänomen 853476 853716 ganz 853716 853997 echten 853997 854678 Mathematiker 854678 855300 sagen 855300 855601 unsere 855601 855941 Zahlen 855941 856182 fangen 856182 856322 bei 856322 856643 eins 856643 857244 an 857244 857425 und 857425 857845 die 857845 858166 Leute 858166 858347 die 858347 858487 so 858487 859048 informativ 859048 859750 angehauchten 859750 860110 sagen 860110 860371 unserer 860371 860712 Zahlen 860712 860932 fangen 860932 861052 bei 861052 861333 null 861333 862456 an 862456 862756 wovon 862756 862876 ich 862876 863077 hier 863077 863237 zu 863237 863598 sehen 863598 863999 Vereins 863999 864159 oder 864159 864320 bei 864320 864941 Null 864941 865402 Mittelweg 865402 865883 sowieso 865883 866184 egal 866184 866605 Punkt 866605 866845 mich 866845 867326 interessiert 867326 867467 bei 867467 867587 den 867587 867928 männlichen 867928 868208 Folgen 868208 868429 was 868429 868569 die 868569 868769 im 868769 869351 unendlichen 869351 870052 machen 870052 870193 und 870193 870714 ich 870714 870974 bin 870974 871275 seit 871275 872498 Anfang