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15B.1 Taylor-Näherung und Fehler für Sinusfunktion


CC-BY-NC-SA 3.0

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wie – gerade gesagt – solche Täler Polynomen – sind das was man benutzt um dann fiese Funktionen ausrechnen – was im Computer den Taschenrechner eingebaut es sowieso ist wie Sinus und Tangens und Rhythmus und so weiter mit solchen Polynom gehen – an dessen natürlich immer zu Fuß – verwendet oft für eine Funktion verwenden die jetzt eben noch nicht eingebaut sind – oder Funktionen die man gemessen hat – man – aber damit sie nie die kriegen – ?? Innovation an die eingebaut ist die Masse typischerweise nicht händisch so verarbeiten würde – Komma so kann man noch mal ?? bessere Idee kriegen was denn da – tatsächlich passiert – nämlich wenig mit dem Sinus anfangen – und – Minus zwischen null und die halbe angucke – was – den möchte ich jetzt mit einem Tellerpolynom – näher – und stellen sich vor süßen neuen Taschenrechner bauen oder neuen Chip erfinden – auf dem dann – die – die Sinus Funktion – implementiert – ist – und ihr Job ist eine Sinus Funktion so zu implementieren – dass sie bestimmte Genauigkeit – hat zwischen – null – und die halte – ich – das mal so rum anfangen – an den Sinus – Besteller Polynom fünften Grades auf die Ernährung fünfter Ordnung – einen – an der Stelle X glücklich null – natürlich das es am einfachsten – das – könnte man immer ausprobieren ?? man's programmiert wir probieren mal dieses Tellerpolynom – umzusetzen – und – die Frage ist wie groß ist der Fehler maximal – geben Sie dafür eine Schranke – konservativ – das heißt – die Schranke darf ruhig zu groß sein eben eine Schranke nicht genau ?? wird – das Oliver Kind schreit nicht jeder maximal – soll eine Fehlerschranke – als ich möchte mein Polynom bilden an der Stelle X null gleich null das ist Stützstelle – da die Ableitungen – und so weiter ausbrechen – sie bisher schon wieder stelle Polynom aussieht wenn Sinus an dieser Stelle hoffentlich – und die Frage ist okay wie groß ist denn der Fehler wenn ich jetzt auf diesen ganzen Bereiche gucke – was aus dem Tellerpolynom – auskommt und das vergleichen mit dem echten Sinus – kann ich sagen dass der Fehler garantiert – kleiner ist als – soundsoviel – was können Sie der angegebene Fehler ist garantiert kleiner gleich oder sogar kleiner als soundsoviel – was können Sie auf diesem Bereich null bis Pi halber angeben ✂ so meine Funktion – ist der – ?? umso mehr Platz – äh – ist der Sinus – Ableitung – Kosinus – denken Sie Dransteigung – eins diese Skizze gänzlich ganz Steigung eins – der Kursus fängt mit eins – die zweite Ableitung – ist dann der minus Sinus – der Kursus startet da oben und fällt die Ableitung muss negativ sein – die dritte Ableitung – kein Platz mehr da ist egal – die dritte Ableitung – Punkt – wird dann minus Kosinus seien – die vierte Ableitung wird der – Sinus werden – und dann ist die fünf – T – Ableitung – wieder der – Kosinus – irgendwann schreibt ?? Beistrich einfach Klammer auf – fünf Klammer zu weil's zu eklig wird – das Spannende ist was passiert – an X gleich – null das ist ja meine Stützstelle hier – der Sinus wird – null werden – der Kosinus – wird eins werdende Siemens wird null werden Diskurses minus eins der Sinus ist null der Kosinus ist eins – Punkt – das heißt mein Polynom hat gar nicht so viele – schlimme Therme dran – dieses Tellerpolynom – wie gesagt es gibt keine offizielle kurz Schreibweise dafür ist sechsmal so das Teller Polynom was ich bilde ist also – Währung – null Verordnung – null – schreibt zwar ausdrücklich jedes bisschen nervig aber schon ausdrücklichen Null los – jetzt kommt die Nehrung erster Ordnung – steigend ist einen Mal – beschreibt ausführlich in X müssen keine Schein so – das ist die Tangentenwahl – eine gerade mit siebzehn Achsenabschnitt – null – und Steigung eins das ist die Tangenten gerade an dieser Stelle toll – das es keine tiefe – Erkenntnis – es kommt nicht mit dem X Quadrat hier Schluss nur schreibe ich mal und dann kommt dann minus – null hoch eins hoch zwei – jetzt kommt hoch drei – und der Faktor davor ist eins – das wäre die kubische – Spiegel Parabel an den Sinus – das – Sonderfall noch mal angucken zum ?? mal angucken also die kubische – Wiegeparabel wäre null plus – X – minus – X hoch drei – sechs – X minus X hoch drei sechste – wie verläuft so eine kubische Parabel – genau sie geht von links oben nach rechts ✂ unten minus – X hoch drei sechs ist der Term der männlichen gewinnt – der geht – so – minus X hoch drei sechste – dieses X sorgt für eine Umkehr in der Mitte – so sieht das aus diese kubische Parabel – der skizzenhaft – aber sie sehen – leider toll wenn mir jetzt – diese kurzsichtig sind ist das gar nicht mal so unsinnig – symbolische Parabel für den Sinus – in der Umgebung der Stelle ist gleich null – das wäre die Nehrung – dritter Ordnung – das Tellerpolynom – dritten Grades aber das ist noch nicht fertig es soll so weitergehen – vierten Grades wieder kein Beitrag – besteht null Punkt fünften Grades dahinten um das ein Tellerpolynom fünften Platz zu machen also los – einmal – X minus null hoch – fünf – durch fünf Fakultät – drei Fakultäten sechs – vier vergoldet sind vierundzwanzig fünf Fakultät sind hundert zwanzig – das heißt ich habe zum Schluss der steht X – minus – X hoch drei – sechstel – plus – X hoch fünf – hundert zwanzigste – und dass es was aus ?? mit dem billigsten – Computer tatsächlich in Gang Sinus ist diese Geschichte Sommer den ausrechnen – gesehen hier – Zahlen miteinander multiplizieren – X fünfmal ineinander schreiben und um mit sich modifizieren dann ?? hundert zwanzig ?? – das geht sogar mit dem billigsten Taschenrechner den sie geschenkt kriegen – so kann man tatsächlichen Sinus vernünftig dann ausgerechnet – mit Grundrechenarten – plusminus mal geteilt – damit das Tellerpolynom fünften Grades – meine Frage war okay aber wie groß ist jetzt der Fehler – das ist eine Schätzung – wenn ich einen – Sinus – von einem Winkel haben will der dicht bei null ist in Bogenmaß übrig sind die Ableitung allem Bogen massiert – X – ist im Bogenmaß – ist nicht bei Null – dann kann ich den Sinus auf diese Weise schätzen – wenn ich ganz grob schätzen will – kann es sogar so schätzen – männlichen Bogenmaß null Komma eins habe möchten Sinus wissen dann sag ich einfach bei der Sinus ist ungefähr null Komma eins – diese Schätzung ist etwas besser – ich möchte es aber wissen wie gut sie ist – das kennen sie aus der Physik wenn sie einfach nur den Mittelwert von X ?? Firmen haben das ist schön aber – das sagt ein wirklich nichts man möchte auch noch wissen wie weit diese Messungen streuen das möchte ich hier wissen – was ist der Fehler wie schlimm kann es werden wie gut ist meine Nähe Punkt – dafür gab's eine Methode – um zu sagen wie schlimm – das wir werden kann – ?? ja der Gedanke ist ein Schritt weiter zu gehen – netterweise – das Kammergericht dann merken – man geht einen Schritt weiter und guckt sich an wie schlimm denn der nächste Term würde – aber – nicht an der Stützstelle sondern – durch das ganze Gebiet auf dem man das betrachtet – ich hatte Komma allgemein ein – zusammen kriegen – also das Tellerpolynom – das Tellerpolynom – Grades – an eine Funktion – F – an einer Stützstelle – X – null – sieht also so aus – ich nehme meine Funktion – an dieser Schnittstelle das ist die Nehrung – gerade ist doch einfach nur dieses irgendwie konstant – plus dann guck ich mir an was ist die Ableitung an dieser Stelle mal wie weit gehe ich weg zur Seite das hier ist die Tangenten gerade – Nehrung erster Ordnung stelle polynomersten – ?? des – plus – zweite Ableitung – mal X minus X null Quadrat – halbe – plus und so weiter – plus – ich höre auf mit der Entenableitung – Klammer auf ein ich in Striche – klammerenden – mit der Entenableitung – mal X minus X null hoch hindurch – in Fakultät – das ist das Tellerpolynom – an – die Sache übrigens immer – ganze zeitenden Grades das ist ein bisschen Gepflogenheit – streng mathematisch – ist das bisschen geflogen ?? das ist nicht immer Endensgrades – was kann passieren ✂ also streng mathematisch – kann es ja passieren das hier der das hier die letzten Therme einfach weg fallen – sie null steht null mal X minus X null hoch endlich in Fakultät – ins ausreichende sie sowas haben wie – drei – plus – vier mal X minus X null plus fünf mal X minus X null Quadrat halbe plus – neun null mal X minus X null – hoch drei – sechste – das ist natürlich kein Polynom dritten Grades mathematischer seit zwei X hoch drei ja nicht wirklich vorkommt – formal sieht es aus im Polynom dritten Grades aber streng ist es keines insofern – polynomenden Rades mit Körnchen Salzen im – ähm – besser zu sagen die Nehrung Enter Ordnung – ich hier – bis zur Entenordnung – aber es kann dann einfach sein dass davor die Zahl null steht das tatsächlich nicht die Entepotenz vorkommt – ?? dabei auf – ?? wo ich dabei bin bei den Fußnoten – modifizieren sie dass sie nicht aus X minus X null Quadrat modifizieren sie das nicht aus das ist doch wunderschön Komma dass in dieser Form ihr zwanzigsten hoch drei – auch was nach Rundungsfehler – was ähnliches angeht man wird das hier nicht Ausrufezeichen – Strafarbeit – und schriftlich viel – so das wäre also die Formel für das Tellerpolynom – ?? kann ich obendrein noch sagen wie weit ich – weg lege – mit so einer Nehrung – von meiner Originalfunktion – der Fehler – am besten den Betrag – was ist meine Originalfunktion – minus – diese Näherung hier jetzt – tellerpolynomenden – Grades – wie schlimm wird das im Betrag – ich ignoriere das Vorzeichen – dafür gibt's dann – eine nette Abschätzung – das ist auf jeden Fall kleiner gleich – als – das Maximum – es kommt hier die nächste Ableitung – plus eins – diversen Stellen im Betrag – noch mehr dazu an welchen Stellen den – ich mir das an – mal – hier die nächsten – also X – X null hoch ähm plus eins – durch plus eins – Fakultät – dieses X eins läuft jetzt von unserer Stützstelle – X null – bis zu unserem X – angenommen dass es nichts größeres als X nur das müssen sie unten – anders schreiben – als an allen Stellen zwischen – dem X null und dem X – guck ich mir an – was denn die nächste Ableitung im Betrag macht wie schlimm wird die nächste Ableitung im Betrag – davon das Maximum – als das hier – mal diesen Ausdruck – die nächste Potenz so schlimm kann der Fehler allenfalls – werden typischerweise wird er nicht so schlimm werden – hier lediglich auf der sicheren Seite wenn ich annehme dass er so groß wird – die nächste Ableitung bei uns – minus Sinus – die das Maximum sich ganz aufwendig ausrechnen – Betrag Sinus – egal wo ich gucke ist immer – kleiner gleich eins – hier kann ich eins hinschreiben – Clique auf der sicheren Seite – mal – X minus X null – plus eins durch endlos eins – Fakultät – ähm war – fünf – steht hier X minus X null – sechs – X null drei null unsere – Stelle an der entwickelt wird hier unten steht und auch sechs Fakultät – X minus null hoch sechs also einfach – X auch sechs – hoch sechs wie schlimm wird X ?? sechs – ich gehe ja von null bis Pi halber das war – die Ausgangssituation – ich möchte den Sinus schätzen – Sinus schätzen von null bis Pi halber – hier schlimmstenfalls – die halbe – hoch sechs – durch sechs Fakultät – mich das wirklich ganz auf Nummer sicher gegangen – ich habe immer größer immer größer – geschätzt – der Fehler ist ganz sicher kleiner gleich den hier kann nicht größer werden weil ich meine Schätzung immer größer gemacht habe – weil ich keinen Taschenrechner auskam will Pi halber – eins Komma fünf noch was es auf jeden Fall kleiner als zwei – also das ist garantiert kleiner als zwei hoch sechs durch sechs Fakultät – zwei ?? sechsten vierundsechzig – sechs Fakultät sind sieben hundert und zwanzig – das sich in der Größenordnung – von einem Zehntel – der warte also dass eine Stelle hinter dem Komma – schon stimmt – hiermit will jetzt wirklich mal den Sinus und die halbe ausrechnen – müssen was rauskommt – eins muss rauskommen – mit exakt wäre – ich nie mit Komma die Nehrungsformen – was wird das werden – Pi halber merke ich mir meinen Speicher – zu – speichern – ?? einen Store – davon will ich abziehen – wie hoch – die halbe hoch drei – sechste – aus dem Speicher raus – Punkt drei durch sechs – und dazu addieren – fünf durch hundert und zwanzig – aus dem Speicher raus – fünf – zwanzig – das ist sogar deutlich besser als – nur eine Stelle hinter dem Komma bestimmt schon zwei Stellen hinter dem Komma – meine Schätzung war ja auch – deutlich zu konservativ – den Fehler immer größer immer größer gemacht bei der Schätzung