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01C.3 Vektor im R³ in zwei zueinander senkrechte Anteile zerlegen


CC-BY-NC-SA 3.0

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so – Komma was ebenerdigeres – zum Skalarprodukt – wirklich geometrisch – Komma was zum Skalarprodukt – ist ein Vektor im Raum haben – Komma dass sein Vektor im Raum Fragezeichen welche Zahlen an – was soll das sein – ?? Vektorraum – zwei – drei eins – schön harmlos aus das ?? Vektorraum sein zwei nach rechts drei nach hinten als nach oben wenn des Kölner System so legen – ein anderer Lektor im Raum – Komma da ?? bisschen – kürzer war – und leichter zu rechnen eins – null – zwei – auf diese – Weise liegt jetzt mal in dem sie die wirklich symbolisch ich weiß jetzt – nicht wie die Fliegen im Raum – ?? Herausforderung – einfach nur diese – drei Zahlen jeweils naja die werden es irgendwie liegen im Raum nehmen die beiden feindliche angemalt habe als symbolisch – was ich nun suche ist folgendes – ich möchte diesen einen Weg durch diesen Einzel zweite möchte ich zerlegen – zwei Anteile – in einen Anteil – senkrecht – zu den zwei drei eins Vektor und einen Anteil parallel – zu den zwei drei eins sechs das hier sein rechter Winkel sein fundiertes bisschen Perspektive anzudeuten – der Winkel – rechter Winkel – nach schöner rechter Winkel – Punkt – die sollen sich alle Rechtecke geben das wirklich so quer im Raum liegt – Komma setzt wirklich im Raum liegt daraufhin verwirrt es irgendwie im Raum liegen – und – sie soll sich jetzt mal überlegen wie kriege ich das hin diesen Vektor eins null zwei möchte ich zerlegen – in einen Anteil – ?? parallel – zu den zwei drei eins – und in einen Anteil – ?? senkrecht – zu den zwei drei ?? sowas kommt ?? häufiger in der Physik vor – möchte eine Kraft zerlegen – in einen Anteil – senkrecht – zum Beispiel hier zu einer Fläche rein – und ein Anteil parallel – dazu – durchaus etwas was tatsächlich dann mal vorkommt – probieren Sie das mal – diesen Vektor Einzel zwei zerlegen – Anteil parallel zu zwei drei einzelnen Anteils senkrecht dazu – ?? das Recht auf eine Vespa so nicht hingeschrieben hat Punkt sie müssen irgendwas an Bedingungen hinschreiben ich nenne den ?? namentlich nennen hier mal B versuchen Sie mal mithilfe von Skalarprodukt – und so weiter Bedingungen zu schreiben Beistrich zu schreiben – und dann erst diese Gleichung zu lösen – wie können Sie mit dem Skalarprodukt – irgendwelche Gleichungen schreiben und mit anderen Geschichten von Fans Komma vielfachen von Vektor ✂ weiter zum Procedere Baum jetzt Gleichungen ich möchte ersten Vergleichungen aufstellen – klar – ist gleich – und so weiter und so weiter – und dann diese Gleichungen lösen ich kann nicht sofort das Ergebnis hinschreiben – es sei denn ich hab mir schon mal überlegt wie das geht mit – Zerlegung in senkrechte Vektoren – an aber ich ?? nicht sofort hinschreiben können B ist gleich irgendwas ich brauche erst mal Gleichungen – lösen kann als der Job hier ist Geometrie zu übersetzen Gleichungen das es ganz üblich – dann Komma mit Vektoren rechnet – wie kriege ich Geometriegleichungen – übersetzt – oder weitere Ungleichung habe ich erst mal Gleichungen – das aller erste – dieser Vektor eins null zwei den möchte ich zerlegen – in einen Vektor A – und ein Vektor B zerlegen ein Vektor zerlegen das heißt er soll die Summe werden eins null zwei – soll sein die Summe aus A und B das heißt zerlegen ist zerlegt in A und B – so Punkt davor Nummer eins – wenn Sie so wollen könnte sagen dass in ?? die drei Gleichungen – steht ja eins ist gleich die Summe der Exkomponenten – null ist die Summe der Komponenten zwei ist die Summe der Z Komponenten sind eigentlich drei Gleichungen kann man ganz ganz streng zählt – dann – soll dieser Vektor war – in die Richtung von zwei drei eins zeigen – das heißt es ein Vielfaches – A ist ein Vielfaches – und das heißen zum Spielball anderer ein Vielfaches – von zwei – drei eins – können von mir aus auch X – oder er oder ?? oder was immer schreiben – ein Vielfaches von zwei drei eins – ?? könnte das habe ich gerade eben gesehen – Punkt man könnte auch sowas versuchen das man sagt – er – zwei drei eins ist ein Vielfaches von A – das was umgekehrt schreibt das man dieses Lander sozusagen auf die andere Seite nimmt als Kehrwert davon – würde man in der Praxis nicht machen ist bisschen gefährlich – wenn sich herausstellt dass dieser Weg der A der Nullvektor ist – würde das nicht funktionieren wird sie durch null teilen müssen das ist die sichere Variante – A ist garantiert ein Vielfaches von zwei drei eins – das sind noch mal wenn Sie so wollen noch mal drei Gleichungen – zwei drei eins allerdings kenne ich Lander nicht ?? sind Nummer drei Gleichungen Vektorvektor – aber eine weitere Unbekannte – ungeschickt – uns – letzte Geschichte – B soll senkrecht auf A stehen – es ungeschickt wenn ich das mit B und A hinschreiben ist es eleganter das mit B und zwei drei eins hinzu schreiben das in der wenige Unbekannte drin – B soll senkrecht auf zwei drei eins stehen was es mit dem Skalarprodukt – dazu machen's – drei drei eins Skalarprodukt – B – soll Null sein – wie vergleichen Sie dass sie unten eigentlich wenn sie streng zählen – das vergesse Fangfrage eine einzige Gleichung hier unten besteht jetzt zweimal die komplexe Komponente von B plus – drei mal ?? Komponente von B plus die Z Komponente von B gleich Null als wenn sie streng sehen bleibt das reine einzige Gleichnis ist fies – das siehe oben sind drei Gleichungen mit – so wollen drei plus drei Unbekannten – das hier ist sind drei Gleichungen mit drei Plus einer unbekannten und die an sie eine einzige kleine Komma vorsichtig zählen – wenn ich mir jetzt dieses ganze Sammelsurium – angucke – dann habe ich hier oben drei Gleichungen – hier drei Gleichungen lauten eine Gleichung – drei – drei eins wenn ich jetzt zählenden unbekannte ich habe – A drei Komponenten PR drei Komponenten das Lander kenne ich auch nicht diesen drei plus drei – unglaublich – unbekanntes – und tatsächlicherer – sowie die gleichen wie unbekannt ich würde erwarten dass es genau eine Lösung gibt – wird dich immerhin kommen – wird aber – in neunundneunzig Komma neun neun neun Prozent der Fälle sozusagen hin Komma – später mehr dazu wie man wirklich rauskriegt ob es genau eine Lösung gibt – oder Schmiere gibt oder gar keine gibt aber das sieht gut aus so viele Gleichungen wie unbekannte – und das versuchen sie es mal zu lösen – besitzen allgemeine Trick nicht nur in der linearen Algebra sondern auch in der Mathematik wieder ich hab eine konkrete Feier hat es konkrete Situation – übersetzt sich in Gleichungen – und ?? interessiert jetzt gar nicht mehr wo diese Gleichungen herkommen – war das jetzt irgendwie eine – Analyse eines Unternehmens – oder habe ich versucht eine optimale Kurve zu finden oder habe ich was geometrisches versuche ?? egal irgendwo sind diese Gleichungen hergekommen – und jetzt kann sie diese Gleichungen lösen versuchen Sie diese Gleichungen zu lösen – auch vielleicht wieder möglichst – elegant oder effizient – meist ist es hilfreich – nicht sofort auf einzelne Komponenten runter zu gehen sondern erst mal zu versuchen – diese Gleichungen auf Vektorbasis weiter zu verraten – ?? solange sie mit Vektorenarbeiten – handelt ist drei Sachen gleichzeitig – das ist – augenscheinlich – effizienter als wenn sie eine Sache – bearbeiten drei Sachen gleichzeitig bearbeiten – also versuchen Sie das mal – intelligent umzuformen und aufzulösen ✂ ?? ich ?? wird normal durch die Gleichungen damit etwas – einfacher wird erste zweite – dritte – so die Versuchung ist groß dass sie die letzte Gleichung nach B auflösen – keine Chance ?? John steht nicht dreizehn X ist gleich null oder sowas denn wissen Sie sofort X ist gleich notwendigste Zahl ist sie können diese Gleichung und nicht nach B auflösen – es gibt unendlich viele Vektoren B die senkrecht auf zwei drei eins stehen in das zwei drei eins ist mit den und den – und – den Hirse nach hinten wie auch immer es gibt unendlich viele Vektoren B auch in viele Richtungen – senkrecht auf zwei drei eins stehen sie können die letzte Gleichung nicht nach B auflösen – ?? Vorsicht – die Versuchung ist groß aber es geht nicht – Skalarprodukt – ist manchmal eben doch nicht wie das übliche Produkt wenn natürliches Produkt stünde – dreizehn Meilenzahl X ist gleich null bis sechs ist gleich null aber hier steht kein übliches Produkt sondern ein Skalarprodukt – es ist doch eben nicht – ganz dasselbe das übliche Produkt – okay soweit schadet die letzte Komma nicht AB auflösen – aber – der große Kunstgriff – ist – sie können die letzte Gleichung benutzen um aus der ersten Gleichung B loszuwerden – wenn sie der ersten Gleichung links und rechts das selbe ANTUN – aus der ersten Gleichung folgt folgendes – sie tun ?? erst ?? folgendes an sie modifizieren – links und rechts mit zwei drei eins zwei – drei eins – mal – eins null zwei – links mit zwei drei eins multipliziert muss dasselbe sein als wenn ich rechts mit zwei drei eins multiplizieren – so die erste Gleichung – auf beiden Seiten mit zwei drei eins multipliziert – muss immer noch stimmen – wenn der gleich dem ist – dann muss auch der Skalarprodukt mit zwei drei eins – ?? ihn gleich Skalarprodukt – zwei eins mein Leben sein – kann ich auf der rechten Seite ausrechnen dass es zwei drei eins – Klammer zu – mal A – plus zwei drei eins mal B – sofort ist der Skalarprodukt – ja – Skalarprodukt – mal eine Summe von Vektoren ist die Summe der einzelnen Skalarprodukt – ?? – und jetzt kommt die gleichen drei – sind Linie Komma loswerden wegen gleichen drei – da steht nur – das ist ein allgemeiner Trick – wenn ich weiß das er Skalarprodukt – B mal zwei dreizehn ?? sind hier steht der Vektor B irgendwo drin – oder waren's beide Seiten also mit – dem Vektor multipliziere – ist die draußen – zwei drei eins mal eins null zwei ?? muss sein zweiter eins mal A – plus weitere als mal B aber zwei drei zwei bis null das kann ich rausschmeißen – aber ?? mal in die Richtung weiter ✂ steht – jetzt also diese Skalarprodukt – ist leider Skalarprodukt zwei drei eins mal Art Beistrich mit denen gerade mal aus weil ich da hin und wieder jedoch noch etwas – komische Sachen gesehen habe Skalarprodukt – Vektor mal weg kommen muss ein skalar sein sie kriegen bitte kein Vektor heraus sondern ein skalar – zwei mal eins – plus – drei mal null – Plus einmal zwei – das ist der Skalarprodukt – bitte kein Vektor daraus kriegen ?? la muss es werden das heißt wenn sie auf der linken Seite steht es zwei – plus zwei macht vier – diese Skalarprodukt ist hier kein Vektor sondern die Zahl vier – zwei drei eins mal A muss die Zahl vier sein aber ich weiß noch mehr A ist ja – zurück denke A ist ein Vielfaches von zwei drei eins sehr schön – da sie sich jetzt ein das war ein Vielfaches – ?? vergleichen zwei von zwei drei eins ist hier steht also zwei drei eins Skalarprodukt – ein Vielfaches – von – zwei – drei eins – können wir ausrechnen – das fifa wird sich davor – und dann steht der Skalarprodukt von zwei drei eins mit zwei drei eins zwei mal zwei sind vier plus drei mal drei – plus neun Plus einmal eins vier plus neun plus eins sind vierzehn Lander Mai vierzehn – vier ist gleich Lander mal vier Zimmer wunderbar also ist diese Zahllander – gleich – vier durch vierzehn – sagen zwei durch sieben Lander ist zwei siebtel – ich weiß jetzt also – das tatsächlich – dieser Vektorart – zwei siebtel sie sehen die Zeichnung ist wirklich ein ?? Prinzip ?? AS zwei siebtel von diesem Vektor zwei drei eins – damit habe ich A – Vektor A das ganze einsetzen als gleich zwei siebte zweiter eins – hin – also weiß ich jetzt A – ist gleich das war die gleichen zwei – Eis gleich zwei siebtel – von zwei drei eins – was sie das zusammen – mit Wasser sollte selber zusammen zweimal zwar siehe oben steht vier siebtel – zwei mal drei sechs siebtel und unten steht zwei siebtel – und jetzt kriege ich B – BBB – wegen der Zerlegung – B ist gleich eins null zwei – minus A – B ist gleich – eins null zwei – minus – A – okay – eins minus vier siebtel sind drei siebtel – null – minus sechs siebtel sind minus sechs siebtel – zwei – O – zwei sind vierzehn siebtel vierzehn siebtel minus zwei siebtel sind zwölf siebtel – und gerade schneller Malprobe rechnen – wenn's die beiden addieren – ?? vier siebtel drei siebtel gibt ein Siebtel – Jahr – Sexappeal minus sechs siebtel gibt nur Haut hin zwei siebtel – plus zwölf siebtel sind vierzehn siebtel zwei hatten also die Summe ist wirklich eins null zwei – und die beiden sind auch senkrecht aufeinander – ?? mal Test – kleiner Test – ob das auch hinhaut – ich möchte wissen ob – vier siebtel – sechs siebtel – zwei siebtel – mal – drei siebtel – minus sechs siebtel – zwölf siebtel – gleich null es sind die beiden jetzt wirklich senkrecht zueinander – mit siebzehn wenn ich wissen will ob das gleich null ist Fragezeichen – kann ich einfach – mal sieben mal sieben nehmen ist da viel simpler – wenn das gleich null ist – dann ?? es auch hin und jetzt sehen Sie hier vier mal drei sind zwölf – sechs mal minus sechsten sechsunddreißig – zweimal zwölf sind vierundzwanzig – also – hier haben wir als zwölf – minus sechsunddreißig – plus vierundzwanzig – in der Tat das ist gleich null – als die beiden Vektor sind tatsächlich senkrecht aufeinander – und man könnte es auch ganz gucken schnell gucken – ?? ist natürlich – in die Richtung von zwei drei eins offensichtlich diese Verhältnisse sind zwei drei eins – Aufgabe gelöst – ?? könnte sich das jetzt als Rezept mehr Komma kann das sogar in einer kurzen Formel hinschreiben – aber das lohnt sich wirklich nicht – für sie verstanden wieder Skalarprodukt – funktioniert – können Sie das in zwei Minuten herleiten ohne sich irgend eine Formel ausfindig – gemacht zu haben