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04E.5 Reaktionsgleichung mit linearem Gleichungssystem ausbalancieren


CC-BY-NC-SA 3.0

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maleine etwas ungewöhnliche Anwendung von linearen Gleichungssystemreaktionsgleichungenaus zu balancierenman hatWasserstoffaus Elektrolysevon Windenergieund möchte gerne diesen Wasserstoff umwandelnin Methandann kann man nämlich in großen Mengen ins Erdgasnetz einspeisen Wasserstoff künstlichen groß Menge Erdgasnetz einspeisen Methan können Sie einspeisenwie kommen Sie von Wasserstoffzu Methansie nehmen Kohlendioxidzum Beispielvon einer Biogasanlagebiologisch dynamisches Kohlendioxidund sorgen dafür dass das Kohlendioxidmit realisiert wird wieder so schön hast ?? Prozesse heißt mit ArisierungKohlendioxid wird digitalisiert das Methan kann sie dann einspeisenins Erdgasnetz und Vanessa Wasser übersich das angucken stellte fest das wird hierzu nicht hinhauenwie vielMoleküleKohlendioxydwie für MoleküleWasserstoffgaswie vielMolekülemit ZahnPunkt wie viele Moleküle Wasser bräuchten wireineReaktionsgleichungausbalancierenmithilfesieben hundert neunzehn schreibt eines linearen Gleichungssystemsschreiben Sie mal das Lineal gleichen Systemen für X Y Z und Wkonnten sich die Koeffizientenmatrixan Punkt das Gleichungssysteman was ist daran auffälligankohlenstoffarmeLinks X Atomeund rechts haben wir Z KohlenstoffatomeanSauerstoffhaben wir linkszwei X AtomeO und rechts haben wir WW Atomeund einen Wasserstoffhaben wir links zwei Y Atomeund rechts haben wirvierZ und zwei W das wird viel ?? vier Z und zwei Wdrei Gleichungenfür unbekanntewas ich gerade gesehen habeistschon eine raffinierte Art das zu schreibendas jetzt sofort mitMatrix geschriebenraffinierte Alters zu schreiben ist dass sie sichdas hier wie einenwie den R drei vorstellenCO H?? soundsoviel Atome C so zu viel Atome pro Sohn zu viel at Omahadann könnte es im Prinzipmit Vektoren aus dem Erdreich schreiben das ?? lustige Idee dass sie schreiben ihr steht eigentlich X mal der Vektorein Kohlenstoffzwei Sauerstoffkein WasserstoffplusY mal der Vektorkein Kohlenstoffkein Sauerstoffzwei Wasserstoffist gleichsechsmalder Vektor ein Kohlenstoffkein Sauerstoffvier Wasserstoffgroß W mal der Vektor kein KohlenstoffWeibo mich unten zwei Wasserstoff ein Sauerstoffeigentlich können Sie das als Vektorgleichung lesen ist es eine sehr ungewöhnliche Alter schon chemische Gleichungen zu lesen sag ich dir einfach meine Elemente durchdann habe ich ebenvielleicht eher länglichen Vektor aber in der organischen Chemie wird es ja nicht so schlimm werdenund die obere Zeile steht von mir aus immer für den Kohlenstoffund die nächste Zeile steht vom Jus immer für den Sauerstoffund die nächste für den Wasserstoff?? zu haben StickstoffSchwefelkeine Ahnungkann das direkt als Vektorgleichung hinschreiben X meine Vektor zwei null mich ein Kohlenstoffatomzwei Sauerstoffatomekein Wasserstoff Atommuss auch den müssen ablesenX mal eins Plus Y A null ist gleich Z Palastes wie man uns diese Gleichung hier X gleich Z X mal zwei plus Y und Z man groß W mal eins bis diese Gleichung hier zwei X ist gleich W und die letzte Gleichung ist die untere Zeile X man NullmatrixY mal zweiist gleich Z mal vier groß B mal zweialsoeine ganz raffinierte Art derselbigen zu schreibenichwürde das jetzt mal mit einem oder meint das Schreiben sie schreiben Sie das malauf eine dritte Artmit einer Koeffizientenmatrixwie übliches Gleichungssystemsostreng formal hinschreiben mit einer Koeffizientenmatrixund einer rechten Seiteden Homogenität??man könnte jetzt die Matrix direkt aus diesen Vektoren hier ablesen oder scheinbar bisschen gewagt zu sein Komma folgendes sich niemand hier diesesind in Gleichungen schreibt die mal in einer Formdie bisschen mehr an die Matrix erinnert sich Sager ein X plus null Ybis Z rüber bringen minus eins Zplus null Wist gleich null des Weges monströse Art diese erste Gleichung zu schreibensoundsoviel X und Y soundsoviel Z soundsoviel W ist gleichzusammen addiert soundsovieldie nächste Gleichung der wenn ich zwei X habenund das weben sie über zwei X minus W gleich nullalso null Ynull Zminus ein Wist gleich nur die zweite Gleichungvon ferne vormachenund die dritte Gleichung hätte ich gerne zwei Yvierzehn nicht rüber also minus vier Zzwei B bringt Grüber also minus zwei P undX habe ich gar?? null Xkönnte man das jetzt streng formal übersetzen?? komplettesGleichungssystemwirklich überall Koeffizienten davor steht eine steht einerX minus Z ist gleich nullX ist gleich Zzwei Xminus W ist gleich null ?? ist gleich und so weiterJetzt können Sie die Koeffizientenmatrixlesen eins null minus eins null zwei neun und so weiter gestellt jetzt deutlich die Koeffizientenmatrixder Schreibweisehätte man auch hier ablesen können zwei null eins zwei null null null zwei null null zwei die Berichte über einzelne vier ?? gebracht minus eins null minus viernull eins zwei rüber gebracht null minus eins minus zweialso mit anderen Wortenman Gleichungssystemsieht also so ausdie Koeffizientenmatrixist eins null minus eins nullzweinull null einseins null zwei minus vier minus zweizweiund dann kommt Komma noch unbekanntenX YZWund auf der rechten Seite steht interessanterweisenull null nullAutonullenversüßen Sonderfalllauter Nullenein homogenes Jahrestagsystemdie Inhomogenitätender rechten Seite steht die in Homogenität ist nur ein homogenesin der sein System soll weiterhin schreibt der Begriff kommt bei den Differenzialgleichungenwiederbrachten sie die von der Matrixdrei Zeilen vier Spalten wir haben drei Gleichungenkurzer flüssiger Sauerstoff muss hingenommenWasserstoff Unsinn Komma das sind drei Gleichungen für vier unbekanntedeshalb die vier Spalten ausgedehnt und beziehen einmal X Plus nun mal Y minus Arbeitsethos Nummer W ist gleich nullund entsprechend die anderen beiden so wir haben eine Koeffizientenmatrixals das erste was einem auffälltauf ein kann es das es ein homogenes Leerzeichen System ist ?? null null null auf der rechten Seite nicht dreizehn von zwanzig zweit wird sich wie sonstundvielleicht noch eine Besonderheitwir suchen ja nicht beliebige Lösungen was für Lösungen suchen wir jetzt eigentlich in der Chemiezubesuchen X Y Z so klein wie möglich aber ganz sachlich und positivin der Chemiewir wollen nicht Pi mal ein Molekül habenes geht in der Mathematikaber nicht so wirklich gut in der Chemiebeschreibbar dazu Besonderheitwir suchen?? X YZ B aus der Mengeder natürlichen Zahlen ab eins aufwärts eins zwei dreiund so weiterkeine Grundzahlen doch keine negativen Zahlen das ?? bisschen komisch wenn sie auf einer Seite anAtom subtrahieren müssen oder Molekül subtrahieren müssenerstens das und zweitens Kleinst möglichaus dieser MengePunktso klein wie möglichdas es so von ?? eine etwas ungewöhnliche Randbedingung ?? unddie übliche Mathematik die wir jetzt hatten bisher garantiert uns nicht dass es eine ganzseitige Lösung gibtaber wenn es keine ganzseitige Lösung gibt als er sie haben in der Chemie irgendwasverbrauchenso in ihre Chemie stimmt großes N ganzseitige Lösung gebendie Wärme dann auch mit den üblichen Methoden finden kannokayjetzt ?? in der Mathematik wir haben eine Koeffizientenmatrixvorne steht dieKoeffizientenmatrixüber die kann man jetzt Aussagen treffenmal ganz zu Beginn drüber nachdenkenwas ist mit derEindeutigkeitvon Lösungen wenn Sie eine Lösung findenwas wissen Sie über deren Eindeutigkeitund das jetzt etwas gerechnet habensollist ein System mit also niemals eindeutig lösbar sein wenn es lösbar ist Beistrich durch beisammen chemisches Problem wenn es lösbar istdann ist es niemals eindeutig lösbares ist unter bestimmt sie haben drei Gleichungenvier unbekanntenach ?? das erste Mal in stenografischerForm unter bestimmtwenn lösbar dann nie eindeutiges wird wenn es eine Lösung gibt immer eine davon verschiedene andere Lösung geben und dann automatisch Wassers in Jahres unendlich viele gebeneinem anden Kennzahlen anguckendefekt insbesonderewenn lösbar dann nicht einenDeutdichlösbarund das von der Chemie auch klar wenn sie hier zur Übersetzung gefunden haben ?? das Doppelte nehmen und das dreifache nehmen des vierfachen ?? das tausendfache nehmenwird funktionieren müssenjetzt gucken wir uns maldie Kennzahlenan von dieser Matrixmüssen wir schon bisschen wasbei ?? steht dasalles sehen ich muss Matrix Kommaschreibt immer noch mal hin A ist gleicheins nulleinsnull zwei null nulleins nullnull zweivier zweimich interessieren jetzt die üblichen Kennzahlenwas istder RangassistentEffektist jetzt noch mit der Determinantevon dieser Matrixsomit dem geht nicht für das keine quadratische Matrix istdie Determinante sagt ja was zum Beispiel Wenzel dreimal drei Matrix haben darüber wie sich das Volumenverändert und wie sich die Regierung veränderte Vorzeichenvolumenauf Volume einer zweimal zweimal welcher Flächedas können Sie vergleichenaber hier gehen Sie mit vierKomponenten reinkomme drei raus der übliche Begriff der Determinanteergibt das keinen Sinn können Sie mitmachenaber krank und defektwie stets mit Dragondefektbei dieser Matrixdas ganzehinkriegensoneben Rechnungman könnte jetzt anfangen Leitsysteme zu lösen zum Beispiel für den Effektsie gucken welche Vektoren X Y Z W werden der zu Null gemachtesinteressanterweise auf das Original bleibt es dem was wir hattenund erzählte die die Mentalität davon das könnte man machen mit dem Rankwenn ich das raffinierternoch mal zur Wiederholungnicht gerade elegant für diese Aufgabe abernoch malinteressant zu Wiederholungbei dem rangrechtlicherwissenwas ist die Dimension des Spaltenraumssie nehmen die Spalten dieser Matrixbilden davon alle möglichen in ihrer Kombinationund gucken okayist das ein Punkt ist das eine Gerade ist das eine Ebene ist das ein traditioneller Raum oder noch mehr Sinnes ist höchstens der A dreider Rang ist höchstens drei maximal drei weil die Vektoren die sie herausbekomme sind als Vektoren im R dreiwenn sie die vier Spalten mischen kriegen sie immer nur Vektoren im R drei sind ja alle mehr drei das was sie raus bringt also auch höchstens ein Volumenalso ist der ranghöchstensdrei die Frage ist nicht diemische hier die vier Spalten ist es auch wirklich ein Volumen ist es nur eine geben es könnte sein dass diese vier Spaltenganz fieserweise so liegen schwer zumalim Raum das die alle in einer Ebene liegen im Raumdann bilden sie aus den eben nur ein zweidimensionalGebilde wahrscheinlich leichter zu malen was passiert wenn die alle auf einer geraden liegen wenn das meine vier Vektoren werdenDirektorenund sie bilden den Akkumulationbleiben Theme auf dieser geraden der Bank wäre einsdie sehen dass sie nicht alle parallel zueinander sind also der Fall tritt nicht ein Rang ist definitiv größer als eins weil die nicht alle parallel zu einander sind das nicht alles Vielfache voneinanderwas könnte sein Restaurant gleich zwei ist sie perfekt auch mit etwas Übungaber um das noch mal genauer zu machen Punktdie Frage ist gerade kann manausden Vektoreneins zwei nullnull null zweiminus eins null minus vier aus den Spalten dieser Matrixundnulleinsdrei neun minus zweikann man aus diesen Vektorenden R drei bilden Schreibweisen bisschengruseligder Witz istwenn ich zeigen kanndas sich aus dreien davon den R drei bilden kann?? diese Frage der oben beantwortetkann man ausimmer die ersten drei eins zwei nullnull null zweiminus eins null minus vier letzten dass ich weg den R drei bildenalle Vektoren des R drei Beckmann nicht immer aus diesen dreienschon den R drei bilden kannwenn sie drei Vektoren den drei aufspannen dann die vier erst recht nicht immer nur bei den vierten haben gewonnen diese Frage können wir aber mit den Mechanismenbeantworten lieber schon kennenspannendiese drei Vektoren den kompletten R drei auf oder nichtkann man die Frage beantwortensollteDeterminante bestimmen wird diese drei Vektorenspanneneinen Parallelitätaufzu ein einspartauf DeutschHerrn Sohn verallgemeinertesParallelogrammversagen die räumlichedie räumliche Varianteeines Parallelogrammes könnte schräger seinso ein Objekt kann die auf wenn das Volumen von diesem Objekt nicht nur lässt liegen die drei nicht einer ?? in einer Ebene sondern spannen den ganzen Raum ?? ich bilde die Determinantedas Volumenmit Vorzeichenvon dem Spar zu bestimmen also das rechtlich ausein zwei nullnull zweiminus eins null minus viereigentlichwissen was bei den fauler Mensch bin ob ich den letzten Vektor mit plus oder minus nehmees auch egal kann ich bisbitte ich einfach um wenn der in der anderen Richtung reicht dann reichte auch in der umgedrehten Richtung und ich bin ihm Minuszeichen los das nervt ja nur diese Determinante rechtlich aus??nach Serviceam einfachstenKomma gerade einmal Nummer vier ist null null mal null mal null ist nulleinmal zwei mal zweisind wirjetzt andere Richtung null mal null mal eins minus null zwei mal null mal einsPunkt null vier mal zwei mal null minus null ?? es kommt also vier raus aus der Determinantewas nach allgemeinen Erkenntnissen ungleich null istdas heißtdiese drei Vektoren hier schließen tatsächlich ein Volumen ein den spart das parallele Gebet daraus bauenschließen die drei an Volumenhaienaus dieser vier folgere ich ja man kann aus den dreienden gesamten R dreibilden die spannenden R drei aufund ich weise Sie aus den dreienden R drei bilden kann dann weiß ich das ich aus diesen vieren einer mir es rechtden R drei bilden kanndas wäre jetzt einenicht sauber in die geschriebene aber von der Idee her saubere Antwort auf die Frage wie groß ist der Rangich kann tatsächlich den gesamten R drei bildenmehr als das kann's nicht werdender Rang ist also tatsächlich dreiwenn der Rang drei Svier Dimensionen gehen rein drei kommen aus der Liste defekteinsdas mit dem Defekt eins heißt tatsächlichwir haben das Wasser von der Chemie erwartenes gibt eine Lösung und alle vielfachen davon eine gerade eine Ursprungsgeradealle vielfachen einer Lösung sie können nicht noch quer dazu arbeitende Defektes nicht zweiWessis sowie seines chemischundjetzt nach langen Umwegenmache das was eine zu Beginn angesagt ?? lösen Sie mal dieses Gleichungssystemdabei streng das Wasserfallwiederholenalso nicht Hände werden böse sondern streng lösen mit welchem Verfahren können Sie dieses gleichen System streng bösennasaBeistrich Chemiker haben wir ein Verfahrenich bin jetzt natürlich in der Mathematik zugangewenn ich ihm ignorieren wir sie nur dieses Gleichungssystemihrdannwerde ich das mal ausprobierenKramer werde ich nicht benutzen weil das nichtso viele Gleichungen sind die Unbekannte sindes Kammer sofort am EndeGaucksPerson sie dieses hier mal streng mit auszulösenweit anders als es aus der Chemie kennenmeine bisschen MathematikDurchfahrtmal rausmäßigeseinfach die Zahlen hin einsnull minus eins null nullzwei nullnull minus eins nullnull zwei minus vier minus zwei nullwenn man es ganz raffiniert istder faule Mathematiker?? ganz raffinierte sieht man hierin der zweiten Spaltedas man ganzeinfach die dritte Gleichung nach oben nehmen kann die zweite Spalte nach vorne nehmen kanndann wäre manschon praktisch fertigist bis jetzt nicht so machen das es wahrscheinlich bisher sehr Hände während?? bisschen mehr nach Schema Fnach Schema F wäre hier vornebillig null null haben ich benutze die erste Zeile um ihr vorne in der zweiten Zeile null zu erzeugen ?? Leerzeichen fertig gegartihr die zwei billig weg haben das heißt ich nehme dasminus zwei fache der ersten Zeile auf die zweite Zeile drauf oder sie subtrahieren von der zweiten Zeile das Doppelte der erstenwie auch immerschon das jetzige mal minus zwei die erste Zeile mal minus zwei auf die zweite Zeile drauf die erste Zeile Beistrich sie wardie dritte Zeile bleibt wie sie war null zweivier zwei nullaus der zweiten Zeile wirdzwei und davonzwei als Absinth macht nur das wollte ich janull und davon zwei hundert zehnter nullnullund davonzweimal minus eins abziehen sind zweieinsminus eins davon etwas Magazin Buttons als in der Tonne null stehen da sind wir jetztohne wenn sie jetztstreng mit Gauß weitermachen wollen habensie ein Problemso unser Problem ist diese nur hierstreng würde ich jetzt Jahrdie zweiteZeile so auf die dritte Zeile addieren ein Vielfaches davon auf die dritte Zeile dir das hier unten eine Null steht entsprechend mit allen Zeilen darunter ?? persönlich machen weil deine null steht das sie zum überraschenden nurdie nervtaber das schöne istich tausche einfach die zweite Zeile die dritte Zeile aus der einfach Gleichungenin welcher Reihenfolge die Gleichungen aneinander stehen ist Beistrichdass diese beiden Zeilen aus dann bin ich fertig steht Daun tatsächlich einen und bin jetzt bei folgendem die erste Zeile bleibt für sie wardie beiden anderen Taufhauseskommt als die frühere dritte Zeileeine frühere dritte Zeilejetzt kommt die frühere zweite Zeile null null zwei mindestenszweieins nullund da stehennun wie sich das gehörtjetzt kann man rückwärts arbeitenund sich wieder vorstellt was der Gleichung sächsisch gestanden hat?? selber wieder hin was stand denn der eigentliche steht eigentlichX ein XminusZ ist gleich null X minus Z ist gleich nullin der nächsten Zeile stehtzwei ?? Yminus viersechsminus zwei Bist gleich nullund in der letzten Zeile steht?? zwei Zminus W istZgroß Wist gleich null und das kann ich ja einfach von unten nach obenlösen wobeinaja das es jetzt nicht so simpel zu lösenBeistrich LeerzeichenW ist gleichdreiundzwanzig?? besteht zwei Z minus W ist gleich nullwas machen Sie darausso sie dürfen eine Variable freiwillig nehme Zimmer damit sie das bisschen Schema F mäßig wird nämlich aber die letzte Variable das WEwerde wie freibeliebigirgend ein W wählendannkritisch Z raussetzt sich aus W raus Z ist dann nämlich W halberjetzt habe ich Weg gewähltZ aus W bestimmtjährlich Z da ich weder mit kann nicht wirksam ausrechnenY ist also die Hälfte?? Weiher Beistrich Z und W auf die andere Seitedie Hälfte von vier Zplus zwei WZOB rüber gebracht und dann durch zwei geteiltKomma noch zusammenfassen?? ich das richtig sehe das ist ein halbmalvier ZZ ist W halber als ihr steht zwei Feenvierzehn plus zwei Bsind vier wie halbe sind also zwei wiedas Blatt X aus der ersten Gleichung X ist gleichZversus nurist wie Halbedamit kann ich jetzt meineLösungsmengeschreibendie Lösungsmengedas es ?? ist eine gerade ?? ausgeprägtder Kernist eindimensionalder Defektes einst die Lösungsmenge ist eine geradewie können Sie eine Geradengleichungangeben für die LösungsmengeXY Z W so rauskommenund das soll jetzt sein einenOrtsvektorHans auf Punkt der Stützvektorplusein beliebiges Vielfacheseines Richtungssektorsman nicht Landerkommt er gleich noch was hinwie können Sie das jetzt basteln X ist gleich W halbeY ist gleich zwei WZist gleich wie Halbeprobieren Sie das alle Mal aus können Sie hier sinnvollerweise reinschreiben das gartengleichenKriegen umgenau das zu reproduzierensie mächtig siebzehndieser Richtungswechsel hier hintenich kann ja WE frei wählen habe ich eben gesagt ich werde wie frei das schreit danach das hier entweder vorsteht wie das Landersonsthier sollte ein Feder vorstehendW ist frei wählbarokayes ist selbst die Hälfte von wem hier steht also ein halb auf dem dritten PlatzY soll das Doppelte von Visa in der steht also hundert zweiden zweiten Platz und X soll die Hälfte sein ein halb von W und J muss dann eins stehenJochen steht jetzt Waber den Z steht ein halb Whinterhabe und so weiter und so weiterso muss das hinkommen und wies beliebig wählbar und hier vorne sind schon klar muss null null null null stehennull plus einmal W ist gleich W null plus ein halb mal W ist gleich Zwie Halbeist gleich Z und so weiterwir wissen auch dass diese gerade durch den Ursprung gehtsie von allen Elementen Molekül das null fache nehmen dann wird die Gleichunggelöst sein allerdings null Molekülevon allem Atome von allen rechts genausonull ?? sowieso funktioniertdas wäre die Lösungsmenge diese geradewieschreibt ?? die Lösungsmenge auf jährlich das ist nicht die offizielle Schreibweisewenn dies korrekt haben Wortwitzso reichensteht die Lösungsmenge es folgte geradewenn es korrekt haben wollen könnte zum Beispiel schreiben das ist die Menge aller X YZ Waus den R viermit der Eigenschaftdas Urteil des ganz streng ja mich herausgefordertes gibt einen Salamanderaus den reellen Zahlenmit der Eigenschaftdas X Y Z Wgleich lang da mal ein halb zwei ein halbeins ist schwarz Klammer zudas wäre auf jeden Fall richtigsieht aber völlig monströs auswenn der stetige Lösungsmenge ist folgende gerade nämlich die mit dieser geraden Gleichungoder etwas kürzer aber vielleicht auch fürMathematiker irritierendjede reelle Zahlmal den Vektor ein halb zwei ein halb eins das wäre auch eine korrekte Schreibweise wenn auch eine etwas ungewöhnlicheSchreibweisevielfach sozusagender reellen Zahlenalso schreibt man immer die Bildmengenehme alle reellen Zahlen setzen die alle ein und gucke was dann insgesamtals Bildmenge rauskommtdas wären korrekte Schreibweisendes siehe oben die gerademit dem Richtung Vektor ist noch die Ursprungsgradein Richtung Vektor ein halb zwei ein halb einsin Worten hingeschrieben finde ich super?? sie Wasser nicht mehr verstanden als wenn sie so aufschreibenjetzt zur Chemie zurück zur Chemiedie Wahl in der Chemie ja nur eine einzige Lösung habenwelche nehmen sie in der ChemiederChemie will ich die kleinstmöglicheLösung in natürlichen Zahlenab eins aufwärts mit aufwärtsdann sehen Sie müssen W gleich zwei wählenkönnen mit dem W Steuern sozusagen wie groß ihr Resultat wird ich möchte W möglichst klein wählen und das kleinste WE für das hierganze Zahlen rauskommen positive ganze Zahlen rauskommen ist W gleich zwei entsteht da einsviereins zweigleich zwei damitkleinstmöglichenatürliche ZahlenKomma ?? aus Ausrufezeichen zurück ??überhauptKohlendioxidWasserstoffmolekülin der Reihenfolge stand Astaalsozweimal ein halbeinmaldas Kohlendioxidzweimalzweivier maldas Wasserstoffmolekülund dann kamMethanCH vierzweimalein halb also einmal das Metalltuchvon mir ganz anders nutzen können sound dann kam noch Wasserzwei mal einszwei WassermoleküleZimmermann nochmals jetzt aber checken links ein Kohlenstoff rechts ein KohlenstofflinkszweiSauerstoffrechts zwei SauerstofflinksachtWasserstoffund hier sind's vier und das ist doch mal vierfür diese Reaktionsgleichungwird man das so nicht machen ?? bestätigte Schlimmeres vor mit Zucker und Festen und was auch immerdabei ?? mal anfangen ?? so zu rechnenist ?? eigentlich ein Aufhänger für mich das sie noch mal sehen tatsächlich auch diese Situationkann man mit diesen Techniken arbeitenich weiß die Lösung ist nicht eindeutigaus tatsächlich der Kern ist eine geradeund so weiter und so weiter