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17G.2 DFT und FFT

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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diskrete – Fourier Transformation DFT – diskret – ist nicht der Gegensatz zu Indiskretionen – der Gegensatz zu kontinuierlich – ich zur Erinnerung noch mal – wir jetzt an zu haben und fouriertransformationen – wir haben einmal die Fourier Reihe – dann haben wir die kontinuierliche – in nicht diskrete Gegensatz zu diskret die kontinuierliche – Fouriertransformation – schreibt sich aus für je Transformation – dann hat doch auch nur Fourier Transformation ohne dass wir heute kontinuierlich davor – dann jetzt noch die – die diskrete – Fourier Transformation – kümmert sich die Foyer in Reihe welche – Art von Funktionen ist – Adam Funktionen bei denen sie die Fourierreihe – verwenden ✂ die Fourierreihe periodische Funktion – nicht versuch mal irgendein periodische Funktion zu skizzieren – für periodische Funktion schaut sich jetzt aber daneben – kontinuierliche – und – die hat alles gefressen – schlecht sich das dann im Ergebnis Nidda – bei der Fourierreihe und bei der kontinuierlichen Fouriertransformation – die zerlegen ja in sinusförmige – Schwingungen – bei – Jodel Funktionen – oder bei der kontinuierlichen free Transformation alles praktisch – alles aus Ingenieur Sicht was mathematischer Sicht nicht ganz praktisch alles aber sehr viel zerlegen – sie in – sinusförmige – Schwingungen und – wie fern gibt es jetzt aber dann Unterschied beim Ergebnis bei der Fourierreihe und bei der kontinuierlichen Fourier – Transformation bei den Sinusschwingung die sich rauskriegen bei der – Analyse ✂ bei der – der periodischen – Schwingung durch eine Fourierreihe deshalb dann auch eine Reihe summieren sie ja über Gleichspannung – Oberwellen – haben sie nur ganz bestimmte Möglichkeiten ein – Vielfaches der – Grundfrequenz kann dann nur drinnen stecken – bei der kontinuierlichen Fouriertransformation – kann jede Frequenz drinstecken egal was – steckt Hand typischerweise auch jede Frequenz drin – nur mal zur diskreten Fouriertransformation – das – ist das was man eigentlich da die der Praxis hat mit realen Messwerten mit – real Messwerten habe ich ja nicht eine durchgezogene Kurve ich habe nicht kontinuierlich viele jetzt – besondere unendlich viele Messwerte hintereinander was ich mit realen Messwerten habe ist dass ich – gemessen habe und dann habe ich noch mal gemessen und dann habe ich noch mal gemessen und dann habe ich noch mal gemessen typischerweise in gleichen Zeitabständen – auch nicht mehr unbedingt aber – typischerweise in gleichen Zeitabständen darum – kümmert sich die diskrete – Fouriertransformation was – ist – sie so ein Signal haben – das auch erstmal periodisch ich versuche das jetzt mal Periode zu machen – auf das soll Periode scheint aber sind einzelne samples – abgetastetes Signal – gleichmäßigen – Zeitabständen – abgetastetes Signal – und – das will man dann sofort auch erweitern für nicht periodische Signale Fensterung – damit anderen Video vor will ich es nicht machen – wir gehen aus von abgetasteten signals gibt nur noch einzelne Messwerte Land – vermisst werden typischerweise 1024 – oder vielleicht auch 8192 – Zweierpotenz – 215 11 12 13 irgendwelche – Zweierpotenzen – an Messwerten einzelne – Messwerte keine kontinuierlichen – Kurven einzelne Messwerte das ist das was man dann in der Messtechnik hat – dann – man die DFT die diskrete – Fouriertransformation die – kümmert sich um solche diskreten – Signale – diskret gemachten Signale nicht und kontinuierliche – gucken uns jetzt noch mal an da gab es zwar schon alte Videos dazu aber um das ganze mit E hoch ist sie – mal – festigen gucken was noch mal die DFT an und kommen dann zum Schluss – noch zur fast Fourier Transformation man die schnell ausrechnet die DFD was macht der Rechner wirklich – ich habe so ein Signal ich brauche mal einfach einen Fall nämlich dass die Periode gleich 8 ist angenommen – haben – ein diskretes Signal – von dieser Art einzelne Messwerte – ich nach – Roseanne schreibe ich mal 8 – also einzeln Abtastungen – ein Tempel ist ein Abtastwert – in der Praxis macht man 1024 – oder – und so – weiter sollte ich mir mit ihm gleich 8 ist es leichter die Leiter zu verstehen was da passiert – wäre die Frage okay das wollen wir in sinusförmige – Schwingungen – zerlegen – was wäre sinnvoll – ein Signal dass ich acht Schritten 8 Samples wiederholt – könnte der drinnen stecken an sinusförmigen – mal einmal gerade eins auf schön sich vor Sie haben die 8 Schritte – ist – liquid die Zeitachse sondern die – der Schritte 0 – 12345678 – oder X ändern ist etwas klarer – vielleicht was kommt jetzt raus – 10 11 12 – können Sie an sinusförmige Schwingungen – erwarten gerade – 23 ein sinusförmige – Schwingungen die sich da drin verstecken können ein Signal dass – ich nach acht Messwerten wiederholt was – könnte sich drin verstecken an sinusförmige Schwingung ich – jetzt aber vorab – sind natürlich jetzt einzelne Punkte sie – haben einzelne Messwerte keine durchgezogen und Kurven – seien sie mal 2-3 ein was kann da drin stecken – sinusförmige Schwingungen oder ✂ ihr erstmal nach dem Sinus selbst wenn sie jetzt hier und sie muss versuchen aber – eben nicht kontinuierlich – ich habe es nur die einzelnen Messwerte wie könnte ein Sinus aus wenn der Sinus mit der Grundfrequenz dann wäre da in – gleich null das Tempel mit der Nummer 0 ist 0 das Hempel mit der Nummer 8 = 0 der soll sich ja wiederholen 818 – Pilsner wenn – es ein Sinus ist mit – der Grundfrequenz wird er dann dann 1237 – mit der Nummer vier – wieder nur sein – müsst dann maximal sein da müsste minimal sein und hier – eben 0,7 – so könnte das z.b. aussehen und – das geht natürlich dann so weiter – bisschen zu nennt dich hier das könnte z.b. drinnen sein – der – schreibe ich mal dazu – heißt natürlich dass sie die Phase und die Frequenz und die Amplitude noch wählen können wir – können auch noch den Cosinus – Grundfrequenz nehmen – sie ja beim Note sample die eins rauskriegen und – weiter und so weiter hier liegen die beiden übereinander – haben Sie - – 14 – legen Sie da unten hier liegen die beiden wieder übereinander ihr – kommt nur raus liegen – über 0,7 – kriegen wir 1 raus da liegen die beiden übereinander – kommt wieder Nudelhaus – der cursus ganz auch seine wenn Sie die beiden Mission kannst natürlich beliebige Phasen einstellen das – wären solche Beispiel die sollten vorkommen also wenn ich jetzt beliebiges – Signal mit der Periode von 8 wenn ich das – will sollten – die beiden auf jeden Fall vorkommen können – wäre noch ganz banal was vorkommen müsste in der Zerlegung oder vorkommen könnte normalerweise vorkommen wird die Zerlegung was wäre ganz banal ✂ Gleichspannung – Signal – englischen ist es denn gerne DC ist Gleichstrom – konstantes – Signal zum Beispiel konstant gleich 1 überall konstant gleich 1 das wäre natürlich auf jeden Fall periodisch mit der Periode 8 es wäre auch bei jodisch mit der Periode 42 – aber – auch – periodisch mit der Periode 8 der sollte vorkommen können – überlegen wir uns gerade noch nämlich – der Sinus – vierfachen – Grundfrequenz – Zeichen sie gerade mal selber ein – wie sieht der Sinus der vierfachen Grundfrequenz aus ✂ ist also etwas überraschen – ich die Kurve einzeichnen würde sehr die so aus – mal durch – der Periode von 84 mal durch und was haben wir festgestellt es kommt immer 0 raus ich möchte ja nicht die Kurve – Ganzes sondern ich kriege nur die Abtastungen – die Abtastungen sind absoluter Weise alle 0 – heißt mit dem Sinus der vierfachen Grundfrequenz kann ich überhaupt nichts anfangen – kann sie vergessen – ist die ganze Zeit nur dass – wenn sie wahrscheinlich schon mitgekriegt haben halbe – Abtastrate wenn sie an die halbe Abtastrate kommen wir vorher Grundfrequenz periodisches 8N – sie an der halbe Abtastrate kommen geht – was schief dass – sie sie daran z.b. dass sie mit – der vierfachen Grundfrequenz nicht mehr vernünftig abgetastet kriegen sie kriegen ganze Zeit nur noch aus – Cosinus kriegen wir noch lustigerweise den Kurs und aus der vierfachen Grundfrequenz schaffen – wir noch zeichnen Sie den mal ein den Cosinus – vierfachen – Frequenz ✂ der geht gerade noch ich zeichne jetzt noch mal Kurve an wenn wir die Kurve hätten da – wenn Sie diese Kurve Abtasten gehen Sie mal 1 - 11 - 21 Uhr weiter also das haut gerade noch hin – das sieht der nicht wirklich mehr wie ein Cosinus aus – Sie – haben mir einfach – hin und her 1 -1 1 -1 1 – -1 und – so weiter Details Zeit nicht ist kann ja aber – es geht also – messtechnisch noch gerade die Sinus führen sie nicht mehr mitkriegen devotional und den großen Krieg sie noch mit es hängt doppelt sich von der Phasenlage Abbiegung – was sie noch messen kann – merken sie auch. – wird Heike – mal vorab was für Messtechnik – überlegt man sich okay welche brauche ich denn jetzt wirklich ich möchte ein – periodisches – abgetastetes – Signal der – Peru länge 8 damit es einfach wird möchte – ich zerlegen in sinusförmige Schwingungen – und – natürlich – e hoch i – irgendwas – damit das mathematisch elegant ist – in – welche Funktionen möchte ich zerlegen – von dieser Art aber – jetzt mit e hoch i mal irgendwas geschrieben also ich habe die Nummer des Tempels die wird abgebildet auf die hoch – und da muss ein Ölvorkommen – irgendwas – in solchen Funktion möchte ich zerlegen ich schicke dir wieder großes Bussi Sinus trennen hat könnte es auch mit großes und Sinus machen das macht aber nicht ein Business keiner alle rechnen hier bei der diskrete Fouriertransformation mit i hoch i mal irgendwas es gibt noch eine große Transformation das – wird jetzt zu weit führen – schreiben Sie jetzt im Exponenten dazu was sind unsere Basisfunktionen – muss ich oben Exponenten alles erscheinen ✂ eine achten muss 24 rauskommen – also schreibe – ich ihr zwei PI – n durch – wenn n um 8 Uhr wächst wächst der Exponent um 2 PI – weiter eine Periode weite das sieht gut aus aber das wäre jetzt erst die Grundschwingung – kreisförmige – komplexe – Schwingung – was wäre – Störung mit reifer Grundfrequenz – fürs Schreiben sie dann hin die – simple Nummer n machen Sie zu hoch was ✂ dreimal so schnell durch ist muss das Dreifache von innen drin stehen also 2 PI x – 3 m – 8 – könnten die aussehen jetzt muss man sich natürlich überlegen auch wie viele brauche ich davon sie – sehen hier schon bei der FIFA Grundschule kleinste Sinus der macht schon Ärger – passiert insgesamt bei der achtfache Grundfrequenz – stellen sich vor sie würden die Schwingung mit der achtfachen Grundfrequenz nehmen was passiert da ✂ also die acht Wochen und rekersbrink nicht dann steht da 8 / 82 PIN die machen n Umdrehungen – dann komplexe Zahl der Länge 1 die Macht in Umdrehung kriegen wir wieder eins raus mit der 8 Wochen Grundfrequenz brauchen gar nicht anzufangen die – neuen fache ist ja wieder die Grundschwingung und so weiter und so weiter nach – 5 Minuten nachdenken – will ich jetzt nicht im Einzelnen – nach 5 Minuten nachdenken stellt man fest man nimmt die von – fachen bis zum 7 Uhr fahren 8 Funktionen von 0 fachen bis zum siebenfachen – nehmen – was soll ich dir schreiben z.b. das sind Beispiele für solche Basisfunktion – als – nimmt man typischerweise diese Funktionen – sample Nummer wird abgebildet auf e hoch 2 – Vielfaches – von der sample Nummer durch 8 ISK ist jetzt sowas wie die Frequenz – die von 0 – fachen bis zum siebenfachen – für K = – 1 2 – und so weiter bis 78 – Zimpel sie gehen bis 7 Sie anbei 1024 – samples gehen Sie hier bis 1023 – das – nimmt man als Basis – Sie hier acht Einsätzen kriegt – ihr dasselbe raus als wenn sie nur einsetzen wenn – vier Einsätzen sehen sie hören das ist schon bisschen Fischi das geht doch gerade wenn Sie 5 Einsätzen haben sie was gespiegeltes – der Basis z.b. ist folgendes drin – wird abgebildet auf e hoch 2 PI mal – 5ten – fünffache Grundfrequenz – der fünffachen Grundfrequenz – Sie was anderes stricken wir hatten ja bei der Fourierreihe hat – mir negative Frequenzen – Sie das mal um in eine negative Frequenz – machen sie aus der positiven Frequenz 5 eine negative Frequenz haben sich mal hin Evo mit einer negativen ✂ muss mich erstmal gerade an was passiert wenn ich das n wegstreichen – einer Umdrehung – den Uhrzeigersinn – vorstellen 58 – einer und Drehung gegen – den Uhrzeigersinn na dann können Sie auch 38 – Drehung mit – dem Uhrzeigersinn machen – also juckt - 2 PI mal drei Achtel – und – das geht allgemein für jedes n – ich nicht überlegen will ich jetzt nicht vorführen – komplett sich die negativen Frequenzen rein die hatten über der Fourierreihe der braucht man die negativen Frequenzen um – auf was werdet rauskriegen zu können – dass es sich jetzt eingebaut also wenn sie zu der Frequenz 5 scheinbar – fünf gehen haben Sie eigentlich die negative Frequenz – zu 6 gehen haben sie negative Frequenz 2 – wenn sie zu 7 gehen haben sie die negative Frequenz 1 – Superstars – mit dem bisherigen zusammen – ist die übliche Basis man möchte in diese Funktionen – zerlegen die sind bisschen komisch sind Sie hier das überraschend dass die weinrot Frequenzen eigentlich – negative Frequenzen bekommen – Basis möchte man zerlegen die Formel ist – die scheiß für als das was man erwarten würde der Fourierreihe heraus erwarten würde – dann sieht man dass das wirklich eine Basis ist – nachrechnen – kommt nämlich die DFT die diskrete Fouriertransformation – ein neues Signal aus ein neues diskretes Signal das nenne ich y.k. – nehme das alte Signal was ich habe xn – über eine Periode n = 0 – 7 – e hoch – und so weiter was erwarten sie jetzt aus dem Fourierreihe was – soll die hier stehen in Exponenten und da steht dann da auch was erwarten Sie für den Exponenten ✂ das Komplex konjugierte der Basisfunktion – hier hoch -2 – PIKE – durch – 8 – das – steht da – ich – will ja wenn hier hinten e hoch 2 PI km – durch 8 steht so eine Basis function dann – möchte ich dass ich eins – rauskriege – e hoch minus bla Mario + bla dann kriege ich immer hübsch 1 raus ich um ihre von 0 bis 78 – zu machen sind 1 und Kriege acht raus dann – hätte ich schon – muss ich noch durch 8 Teilen das hat man ja bei der Fourierreihe auch da stand einst durch die das Integral nur bis tebler ich – muss durch die Periodenlänge man – macht es nicht hier absoluter Weise sondern dann macht es bei der Rücktransformation – ein – Achtel die Summe wie kriegen sie xn wieder raus – kommt jetzt plötzlich ein Achtel standardmäßig – hätte noch anders machen können aber standardmäßig – schreibt dann bei der diskreten Fouriertransformation – die ist ein Achtel oder 1 durch Periode länger – der – hin dass hier oben ist die analyse das heute mal dazu schreiben das ist die andere Düse sie – haben ein Signal gegeben richtig gemessen und wollen Komponenten haben was ist von den verschiedenen sinusförmige Schwingungen drin das ist die Analyse und – Synthese – setzen das Signal wieder zusammen – der diskrete Fouriertransformation schreibt – man das – / – der Synthese dazu DIY dir zuzusagen zu groß und dann über – das bei der Synthese wieder raus – ist die – DFT was hier steht inverse – DFT oder idfc – DFT kommen sie wieder zurück – ihrem Signal bestimmen sie was von den verschiedenen Frequenzen drinnen ist und – auch wieder zurück von den y.k. – kommen sie wieder zurück zu ihrem Signal die Synthese – ist die inverse – Fourier Transformation – jetzt summieren Sie sinnvollerweise über ka4ka – das nur das sollte ich vielleicht mal die kapieren dass das nicht verloren geht – hier so mir ich über NN – ihr summiert über KK – was – haben sie da jetzt hin ✂ dich auf die Basisfunktion zusammen mixen nicht das Komplex konjugierte ein Vielfaches von der Waage Funktion e hoch 2 PI km – durch 8 – ist die diskrete Fourier Transformation – rechnen wir nach dass das stimmt – ist deutlich einfacher als bei der Fourierreihe und deutlich einfacher als bei – der kontinuierlichen Fouriertransformation – nach zu rechnen dass das stimmt – sie so eine – die Schwingung zerlegen können und dann aus der Zerlegung auch wieder zurück kommen ohne Verlust – nicht normal nach – wirklich – raus mein original Signal – Das rechnen wir es mal aus also ein Achtel die – Summe von K = 0 bis 7 a hoch 2 PI KN – durch 8 – yk – möchte wissen ob ihr wieder das richtige rauskommt – ich die ys von – nehme – ist die Frage kommt hier tatsächlich aus der Synthese dann wieder das richtige raus ich bestimme meine y aus – dem Signal X – jetzt sich in die Synthese ein – okay kommt jetzt wieder X raus oder nicht wir – können Sie das jetzt nachrechnen ✂ kommt mit dem y Stichproben ausgerechnet habe hier jetzt Asics wieder raus – vorsichtig – wird jetzt was falsch machen – sie es nicht falsch machen müssen ich auch zwei PKM – durch 8 – Honig von der oben Dienst Summe n – = 0 bis 7 hoch -2 – pkn – / 8 – ist jetzt mindestens gefährlich – was ich ihm geschrieben habe eigentlich sogar falsch sehen Sie – jetzt das Problem ist, – ist das – richtig ✂ haben – mit zwei verschiedenen Rollen hier vorne das n – dich zu mir das – ist hier in der Summe fest das – ist dasselbe eben das ist fest jetzt gibt aber noch einen und – das wird plötzlich zu mir hinten das geht schief sie – müssen II n umbenennen aber ich mal pennen draus ähm – möchte summieren – von 0 bis 7 und so weiter und so weiter aber jetzt – mit einer anderen Laufvariable – die nenne ich mir Andy nämlich ebenfalls sonst – Störung gibt dem N – besteht weiterhin dann – Summe – die Summe hat eine eigene Laufvariable wir – haben zu wenig mitsummen gemacht – nennt man dann nach 3 Stunden Arbeit mit zumindest mein hin und wieder die laufvariablen ändern muss damit sie keinen Stress gibt – Sachen durcheinander geraten – dieses innenaussen ist – über das wird nicht zu mir es – läuft dann später von nur bis 7 Uhr wenn – ich mir die verschiedenen Nixe angucke und hier – hinten das M jetzt über dass wir zu mir – habe ich eine Summe einer – Summe – kann hier schreiben das ist gleich 0 bis 7 die Summe und – Summe m = 0 – 7 Uhr diese – kann ich nach vorne holen – dann steht hier e hoch 2 PI km – durch 8 mal e hoch -2 PKM – 8 – durch 8 in M – ziehe das Summenzeichen nach vorne das ist im Endeffekt musikalisch – überlegt dass ich im Endeffekt – Klammer aufzulösen als ob sie haben armer – B – + C zum – Zeichen hinten und – sie machen a mal B + C zu A mal B + A mal CS ist das unten eine Summe von Produkten – haben a – B + C es ist hier oben Faktor – mal Summe Faktor mal Summe und – machen – Musizieren – draus – Summe von Produkten HbA1c – Lied mit dem Summenzeichen so harmlos aus mit schieben das Summenzeichen nach vorne – können Sie zusammenfassen wie können Sie das Zusammenfassen ✂ beiden hier fassen sie zusammen als die hoch – PI km – durch 8 - – 2 PKM – durch ✂ ist jetzt also e hoch Kamera – aus zwei PGK – übrig bleibt im Minus steht jetzt alles im Exponent nicht wenn man das großes Gehege hoch so da – steht alles im Exponenten – ich das noch mal hintereinander ein – ändere – noch was ich tausche die Reihenfolge dieser beiden suchen ob – sie erst über alle Ems zoom.in oder erst über alle Cars solieren – Isomere – mal was sind die warum – außen über alle Ems also später über alle Ems und ihnen also früher über – alle Cars andersrum – weiß sehen Sie warum das hilfreiche – jetzt drinnen ehoch2 – pik8 – man – - – Sie was ich noch vereinfachen kann ✂ das exam kann ich aus der inneren Summe ziehen das exam hängt nicht von dem K ab – dann kann ich ja wieder – lustigerweise als ob die sowas haben via – + CX1 – und so weiter so sieht das hier aus am Alex Eishockey bei Kalixa – dann – kannst du dieses X – ausklammern – mache ich jetzt Asics ziehe – ich fuhr die Summe über – KAS kannst nicht aus der äußeren Summer über die MC das hängt ja von dem MA – also nächste Schritt ist hier ein paar Summe – über n = 0 bis 7 – und – jetzt kommt die Sonne über K = 0 bis 7 Error 2 PPK – 8mm – mich diese Szene – ist jetzt – nicht mehr die Rede von X das – kriegen sie aus dem Bauch hin das könnte man sich jetzt vor mit technisch überlegen lustigerweise wieder mit der geometrischen Reihe aber – das kriege ich aus dem Bauch auch kennt was kommt da hinten raus aus dieser Summe wir – gehen im Kreis mit dem Radius 1 – dann haben wir sozusagen die Frequenz n minus m – abhängig von irgendeiner Grundfrequenz – aus dem Bauch heraus was kommt aus dieser Summe hinten raus ✂ ohne das was jetzt ausgerechnet haben wir gesagt das kriegt man raus mit Hilfe der geometrischen Reihe unbedingt – will aber eigentlich – klar ist kommt 8 raus oder – isolieren – e hoch 0 also einzig summieren 1 von 0 bis 7 Nachbarn sie kriegen 8 raus – es kommt nur raus wenn n nicht das gleiche ist wie MR – laufen Sie hier um den Einheitskreis rum – na – ja was kommt im Mittel raus – 8 und soweit das bleibt nur – dass das ausgerechnet haben ok – jetzt steht hier vorne ich habe die Summe von 0 bis 7 exam mal – entweder 8 wird in gleiche Mist oder 0 in in mm = – m ist – Sie wie – das jetzt weitergeht die – Summe von 0 bis 7 m läuft von Robbie 7xm mal entweder 8 oder – 0 – kommt raus ✂ überlebt also nur der eine so man Tier dem m = n ist aber das Buchstabe ich noch mal raus falls das bisher noch nie gesehen haben – für – was – machen n = 3 was passiert hier für – n = 3 da steht ein Achtel – und jetzt – diese Summe X nur – mal – 0 – DM = nicht 3 + – X120 – denn – ist nicht 3 + – X – 2 x 0 + X – dreimal – mß3 – und – das = MX – 3 x 8 – X4 – m – = 4 was ist aber nicht ähm da kommt hinten aus der Summe 0 raus X 4 x 0 und so geht das weiter X5 – x 0 + X – x 0 + X – 7 x 0 Klammer – zu – und das macht ✂ sie sehen x0 ist nicht wichtig x1 x2 die Fliegen ja alle raus X3 – x 8 durch 8 macht X3 also wenn and gleich 3 ist kriegen – sie genau – dieses eine X3 wieder rausgepickt die Summe hier hinten dick teen genau das eine X3 wieder raus und das geht natürlich allgemein – nur für n = 3 sondern für alle ähm – kriegen sie xn raus was – zu zeigen war – dahinter – Rede kurzer Sinn also – die diskrete – Fourier Transformation und – die inverse diskrete Fourier Transformation – man Nachrichten Verdi schnell Nachrichten wir – wirklich zusammen – können jetzt – hier an Ansicht nach der – Periode von 8 samplen können Sie so zerlegen in ihre – schreibt man in Winterthur großes X aber das ist mir zu schwer zu lesen habe ich schon geschrieben – es geht aber auch zurück und – es klappt auch zurück von den Gips sonst kommen sie eindeutig wieder zurück – okay das ist die diskrete – und – Sie sehen dass es eigentlich – simpler keine Ryan keine integrale – nur Summen mit dem ungewöhnlichen am Anfang ungewöhnlichen Funktion mit E hoch und so weiter aber – nur – oder minder banales um komplexe – Multiplikation komplexer – addition – also man sieht jetzt dass die diskrete Fouriertransformation das – hält was sie zu tun verspricht – ich – zerlege deine – abgetastetes Signal – wenn man so will und – kann auch rückwärts wieder von den Koeffizienten mit – sinusförmige Schwingungen – zu meinem Signal es geht nicht angelogen – nichts an Information – wann dieser Formel ist dass sie so rechnen ausfindig ist – sie – raushaben wollen jetzt nicht nur 8 Uhr sondern eben allgemeinhin – raushaben wollen und sie starten mit n – haben Sie denn von diesen Summe zu – bilden – von – diesen Summen zu bilden wir wollen n verschiedene rausgekommen – bei uns jetzt 8 rausbekommen waren – eben hier 1024 – 8092n – diese Summe bilden – diese Summe ist selbst – auch – der Ordnung in Rechenoperationen – ich habe hier jetzt – Sachen zu addieren das heißt eine Summe zu bilden und machst Sachen zu agieren ich habe acht Mal ein – Produkt zu bilden e hoch bla und so weiter mal – Hochblatt kann man vorab berechnen die – Rechnung Zeit muss man nicht einrechnen aber dieses Produkt müsste ich jeweils bilden – Produkte – jeweils zu eine Summe zu bestimmt das ist dann noch mal Faktor n im allgemeinen – im Quadrat des gemeindeinformatik – noch mal ausführlicher wovon – m-quadrat Rechenoperationen – schreibt man dann – so schreibt man das dann in der Informatik – in Quadrat Rechenoperation – wenn – sie nicht 18 bezahlen sondern 16 samples wenn sie n verdoppeln haben – sie – Endeffekt – mal Daumen die vierfache zahlen Rechenoperation – wächst und – ist mal gemein zu langsam das wird man so nicht rechnen – apiman ist rechnet ist die FFT – Fourier – kriegen das selbe Ergebnis – aber auf raffinierte Art was – ist einfach nur an Rechentrick – wie man diese Summe ausrechnet aber nicht so viel Rechner Operation – Fourier – braucht nicht offen in Quadrat schritte die braucht o von N – gesagt nur seine – ist deutlich schneller das ist was man dann in der Praxis wirklich benutzt damit man auch in vernünftiger Zeit fertig wird auf dem kleinen Microcontroller fertig wird mit Seuchen Rechnungen – Ergebnis wie DFT aber – schneller – ist der Gedanke – mathematisch eigentlich kein Unterschied ist es andere – noch mal die DFT hin Isomere über meine samples – Beispiels halbe Periode 8 gibt's Sonntag und raus – Trick ist teile und herrsche diese Summe zerlege ich in – geraden – 10246 – selber – Summand plus die ungeraden – 11357 – Serbe – Formel für den Summanden ich – nach Zuwanderern jetzt vorne vier Summanden und – hinten vier Summanden – das schreibt man jetzt etwas – n – = 02464 – können Sie das hübscher – schreiben mit einem – das von 0 bis 3 läuft – kriegen sie das hin was schreiben sie als Formel hin – dem Ausdruck die – summieren zu haben ✂ steht auch wieder e hoch irgendwas X – in – soll sein 02464 – ist aber in 0123 – in der sollte nämlich zwei Hennen wenn – sich jetzt zwei Händen schreiben geht der x0x – 2x – 4x 6 mm = 0 1 2 3 ist diese Beträge im Exponenten e hoch -2 PUK – x 2 m / – 82 – and a plus – mit der zweiten Summe die – ungeraden – Ernst ich möchte trotzdem wieder – schreiben in gleich 0 bis 3 – g – hoch irgendwas X – indexa schreibe jetzt in den and x-comics – damit sie aus 0123 – 1357 – mache nix soll 1357 – werden im Index ✂ also kriegen sie doch an werde ich die üblichen Tricks mit bei den sunnseit zweiten los 1N – läuft nur über 01239 – läuft über 01237 – sind 2 m + 1 dann haben sie zweimal nur + 1 = 12 x 1 + 1 = 3 257 – genau das was man haben will wenn – Exponenten mache ich das auch eh hoch ist ein bisschen mehr Platz zu hoch -2 – TK – 2n – + 1 – Musik sollte etwas deutlicher unten stehen – eine schöne Zerlegung – Summe mit nur noch vier Summanden noch – eine Summe mit nur noch vier Summanden – guckt man sich die erste superscharf – erkennen Sie da was wieder ✂ erste Song ist wieder eine Fourier-Transformation – vorne stetig – Fouriertransformation – Periode – n durch 80 kürzen – hope II KN – durch 4 analog zu dem hier vorne – habe ich eine diskrete Fouriertransformation mit der halben Periodenlänge geht – machen wir auch noch eine draus – erste hier ist jemand sieht diskrete Fourier Transformation von – denen geraden samples 02464 – Stück nur noch – zweiten kriegt man auch was hin um – sie mal gerade scharf was – sie da wie um basteln können kürzen können auch danach diskrete Fouriertransformation wiederzusehen ✂ wir versuchen mal hier das eh hoch und so weiter auseinander zu nehmen da – kann ich das mal nur – diesem Termin hier den – versuchen wir auseinanderzunehmen Evo - 2P k2n – durch 8 mal – e hoch -2 – PK1 – schreibe nicht durch 8 das passiert – wenn Sie den auseinandernehmen – die – bösen die Klammer auf 2n – mal – den Rest + einmal den Rest 2 animals plus einmal den Rest wird ein Produkt von Exponentialfunktionen – können Sie jetzt machen ✂ Schritt kürzen – hier zwei durch – 8 durch 4 und dann stellen sie fest dass das – sind der Sommer die Sonne geht über alle n er kommt nur einen Tag vor sie können das vor die Summe davor ziehen dann haben wir insgesamt – hoch – -2 – pik8 – mal – die Summe n = 0 – hoch -2 – durch 4 und da steht – Sample mit der Nummer 2 in plus eins – ist jetzt wieder – diskrete Fouriertransformation – der Hälfte des Tempels jetzt die Ungarn samples – ein Faktor davor – wir machen die eine große hat – die große mit entleich 8 – Fouriertransformation die – eine große machen wir zu zwei kleinen – mich vieren und noch mal mit vieren und noch ein Faktor davor – kann gerade schon die richtige Frage und – es bringt das denn jetzt – habe ich zwei halbe dann ist der Rechenaufwand doch derselbe bieten davor der Witz ist nein der ist ja kleiner wenn – Sie die Foyer Tanzformation zerschlagen – wird der Rechenaufwand ja – kleiner das ging ja wie ein Quadrat deswegen – gleich wie es genau getan läuft aber es lohnt sich das richtig zwei halbe draus zu machen – Rechenaufwand willst du nicht wieder ein ganzes – jetzt sollen wir also die große – in – Blaichach Transformation – zerlegt in eine kleine und – eine andere kleine und – jetzt ist es ganz hilfreich dass einmal aufzuzeichnen dann – große diskrete Fouriertransformation sage – ich mal so DFT wenn sich das Holz schaltungs – Blog vorstellen mit – 8 Eingängen 12345678 – und 8 Ausgänge 5678 – ist – oberste X7 – ist der unterste – und Y 0 ist der oberste Ausgang y7 – ist der unterste Ausgang zu könnte man sich das dann Schaltungstechnik – vorstellen es gibt jetzt kein Baustein der wirklich so funktioniert aber in der ein oder anderen Software sieht es dann – wirklich so aus 8 Eingänge 8 Ausgänge die 8 Eingängen sieht die Samples die ich von meinem Signal und die 8 Ausgänge – was die diskrete Fouriertransformation – ich habe mal noch mal also davor – jetzt müssen wir nämlich wird das anders schreiben können Sie – können das anders schreiben wir können sagen ok ich komme hiermit meine Nacht – mit den 18 pelzrain x0 – bis – komme mit meinen 8 Samples daran und – zum Schluss komme ich mit meinen 8y – werden – raus – können wir hin zeichnen – wir gerade ausgerechnet haben – glaube das ist als das Informel stehenzulassen haben gerade ausgerechnet – wir da tun dafür – da ausgerechnet haben war nämlich – yk Feld schreibe ich das noch mal hin dann haben wir alles auf einem Schirm – kam yk raus – müssen jetzt über diesen Kasten hier anders formulieren können was können Sie jetzt reinzeichnen – statt des einen großen Kastens ✂ haben also zwei kleine – Kästen – kleine Kästen die FTD FT – schließen Sie jetzt an den Ohren Kasten an was schließen Sie an den unteren Kasten an ✂ an den ersten schießen Sie die geraden an – und 4 und 64 – verarbeiten wir ja die geraden die Mitte – Garten Index soll ich sagen 0246 – und – bei der zweiten kleinen – DFD verarbeiten wie die ungeraden – also 135 – und 7 – ist die Eingabe Seite dann – kommt jetzt hier noch zur Schaltung DFD ok – hier – auch das sind die beiden Summen diese – beiden Blöcke – jetzt ist die Frage was machen wir mit dem Ausgangssignal – hier da kommen Ausgangssignale – raus jeweils vier Stück die – sind nicht eins zu eins die Signale die man hinten haben will – können – Sie erkennen so ein paar können Sie relativ schnell erkennen beim paar andere muss man genauer hingucken ✂ die U-Bahn Ausgänge hier die können Sie das hier nicht durch verbinden wenn hier – K – = 0 ist ja – die FCK gleich – nur ipse nur den – brauchen wir auf jeden Fall das – kommt noch gleich was dazu nette Person zuviel + Sohn zu viel aber ein – Anteil ist auf jeden Fall DAK – gleich 1 auch der geht durch – so weiter – so weiter – mit der Summer y0 – bis Y3 das – ist ja nicht nur der erste Teil die müssen noch von der zweiten DFT was dazu addieren – was wäre jetzt nötig es muss von dem zweiten Block hier muss es noch – geben mal gucken wie ich das jedenfalls zeichne das ist gleich wie es übersichtlich wird's wird etwas länger – dem oberen Ausgang hier der – unteren DFT – man sie mit dem wo muss der landen wie viel davon muss wo landen ✂ das ist schon Schritt – ich hoffe wenn der Kreis der Schritt dann auch der Rest in den – muss ich zu – dem oben hier addieren die beiden addieren Sie – habe bloß daneben – beiden addieren Sie – K = 0 haben wir den ersten hier aus der 4a – Transformation raus mit K = nur und das ist der obere hier okay – + – K – = 0 190 – E hoch – 0 ist 1 mal die Summe hier – mit K = 0 das ist der obere Ausgang der unteren – TFT die werden einfach addiert – und plus mit – Farben machen also – sie hat dir dann den zu dem oberen – da was passiert jetzt bei dem nächsten was – ist etwas raffinierter – Sie den haben der wird natürlich hier landen müssen sinnvollerweise – müssen Sie dem antun das – wird nicht einfach addiert das ist mich einfach bloß plus – was passiert da ✂ wir müssen also noch multiplizieren wir haben hier unseren Vorfaktor – K – = 1.17.1 – y – 1k = 1 gekriegt also e hoch -2 PI 18 – das alles so unübersichtlich wird – man folgendes – schreibst du ihn hier als – hoch – ist also wie hoch -2 – PI – 8 – Tassen das K weg dann haben sie das Omega und können das hier schreiben als Omega Hochkar oder w Hochkar ja die muss ich gucken wie hoch K oder Omega hoch kann – ist es etwas freundlicher zu schreiben – das heißt ihr modifiziere – ich also mit – ich hoffe mal dir mal – II – mal Omega – zweiten da oben den mit der Nummer eins addieren – hier auch + + + + sie – an was da drunter passiert was passiert jetzt bei dem Klecks und bei dem Klecks ✂ steht dann Hause mal – mal Omega – ich so undeutlich geschrieben hast was nicht mehr mehr weiß ich beim Opel Omega ins – Quadrat und x Omega hoch – steht dann ja einfach gar gleich zwei Y2K – gleich zwei Omega eins Quadrat – und bei dem nächsten y3k – gleich 3,3 – wir – die ersten vier – es ist nicht damit getan dass ich nur die zwei diskrete Fouriertransformation halber – Größe mache ich muss vorher noch – und – muss nachher noch multiplizieren – und addieren – es ist – offensichtlich lohnenswert das – so zu zerlegen jetzt fehlen noch die unteren hier – brauchen Sie für Y4 – das hier wäre – brauchen Sie für Y4 – alles ✂ wollen jetzt hier Y4 – haben K = 4 man guckt sich das an wenn Sie hier car gleich vier Einsätzen -2 pi4 – mal n durch vier – difieren - 2 PIN EU – hoch -2 – pi mal eine ganze Zahl ist eins die summieren die fixe – mit Graben indexierten – kam einfach gleich Null setzen können das wiederholt sich netterweise die – anderen genauso – für Y4 – ich – der oberen – normal den wert wie er da steht – wird addiert und geht bei den anderen so weiter – 5y – 6y – 7 – die – werden einfach da drauf hat Hirt plus plus plus – ist in K periodisch – lustigerweise also K ist – ja eigentlich die Nummer der Oberwelle aber das ist dann auch wieder periodisch wenn sie mit K Ohm – weitergehen – sie kürzen und sie haben dasselbe da stehen wir vorher – ist der erste Teil der zweite Teil was passiert beim zweiten Teil die – hinten sehen sie auch das ist auch wieder periodisch – wunderschön – werden das also eins – zu eins hier verwenden können – im zweiten Teil würde Faktor davor was passiert mit dem Faktor ✂ das wird also ein Minuszeichen – schon mal hier an - da drunter die – setzen K = 4 1 4 – 8 einhalb eine – halbe Umdrehung – dem Uhrzeigersinn oder Zahlenebene – halbe Umdrehung mit dem Uhrzeigersinn die – sind bei -1 Omega hoch 4 – habe das mal dazu beachte – Omega hoch 4 bin in gleich 8 ist so einige hoch 4 = -1 das benutzen wir und – bei den anderen Ich will dich jetzt nicht weiter ausdiskutieren Hausaufgabe – das auch dann steht der über minus Zeichen – und das war's dann – hat man die große – diskrete Fouriertransformation – Bild zerlegt in zwei kleine – so – ist das dann miteinander zu verrechnen also sie verstopfte – die Eingänge – sie die geraden – oben haben und die ungeraden Nummern unten haben – dann müssen sie danach noch über Kreuz – verzieren addieren bzw subtrahieren – Struktur hat das heute fällt mal gerade sagen – ganz charakteristische – Struktur dieses hier – sich Butterfly Schmetterling – auch andere vor – schmetterlingsdiagramm – wie eine große ich – den zwei kleinen – was man jetzt machen wird ✂ das so gut funktioniert macht – man das – mal – beiden Blöcke zerlegt man noch mal also – das ist das gleiche als wenn ich folgendes tue ich habe die 8 – x0 – bis X7 – jetzt habe ich nicht diese beiden DFDS – sondern ich habe vier – die jeweils zwei Eingänge 2 Ausgänge haben – ich nicht dass ich jedes rein – dem umsortieren wir das ja spannend ich Zeit nicht erst mal hin was wir da hatten 12345678 – sortiere ja die gerade nach oben – und – die ungeraden nach unten eins kommt dahin drei – kommt dahin 57 – so das war diese – Unordnung hier – muss ich jetzt noch machen ✂ der Trick war immer gerade ungerade zu zahlen also ich nehme jetzt die geraden das ist jetzt hier die neue Nummer 0 und – den oberen – neue Nummer 2 – den oberen die neue Nummer eins – den unteren von den beiden und die neue Nummer drei in unseren von den beiden so sieht das aus aber wir sehen das Muster dann – jetzt auch direkt anzeichnen – wird da ungeordnet – dann werde ich ihr dann natürlich danach – wieder the butterfly Struktur haben müssen passend – zu den zweien – um diese Vierer DFDS – aus zu buchstabieren – ich dir dann wieder Butterfly Struktur haben – und – die am Ende die habe ich natürlich weiterhin – so über vier jetzt Obstsalat – mehrere – bar – sieht das aus und raus kommen Epsilon 0 bis – 7 – Ebern – zweiten ändert sich nichts es könnte man beim ersten Mal gerade über die Faktoren nachdenken – Darm sind ja modifizieren der – untere Block DFD – jeweils bei dem wird multipliziert – schreiben Sie hier an – die Kleckse für Faktoren dran ✂ hier oben steht natürlich wieder an Ohren jeweils gar nichts dran x 1 x 1 – nächste – mal Omega aber jetzt habe ich ein anderes Omega es ist ja Ersetzung von der gleichen Art x – Omega dabei – ein anderes Omega nämlich da wo durch vier steht von – 8 auf 4 habe ich das Omega in dem Exponenten – durch 8 steht 4 auf 2 habe – ich ein neues Omega Vomex von hinten durch vier – steht – ich möchte jetzt kein neues Omega einführen wie kriege ich das durch 4 durch quadrieren sie schreiben hier mal – Quadrat dran oben – und unten mal Omega Quadrat dann haben sie dasselbe Omega wie vorher – und jetzt ist man auf 4 – DFDS – viel verdienen auch noch hin – letzte Schritt von diesem ersetzen – fangen also an mit – sample – werden x0 sx7 – mir – nehmen die – nach oben die – Garten Indizes nach oben und die ungeraden – Indizes – unten – tauschen wir noch mal auf kleinerer Basis so – jetzt will ich DFDS jahr weiter zerlegen – ergibt keinen Sinn die – möchte ich aus buchstabieren – sie – die ausbuchstabieren stellen sie fest okay da – wird jetzt nicht mehr vertauscht gerade ungerade – ist – gerade ungerade da können sie nichts mehr machen sie – kriegen einfach nur dieses Butterfly Schema – sie das machen – nicht DFT mit zwei Eingängen und zwei Ausgängen macht nur einmal dieses Butterfly Schema – kriegen sie hier dann so – aus – Butterfly Schema und – der Rest bleibt wie er war also diese – beiden und – diese beiden – beiden und diese beiden mit den Seitenzahlen dran – diese vier die wir ganz am Anfang hatten – über 4 – und der und der und der – rauskommen epsendorf – ist – netterweise müssen sie auch gar nicht modifizieren dass ich hier muss man oben – hatte ich auch Multiplikationen – dran da modifizieren dir das zeitlich weit noch mal dran nachdem oder nicht – wie hat habe als die Punkte die sind jetzt überall Multiplikationen – 30 – Multiplikation – hier bei den zwei mal zwei – sie auch gar nicht mehr modifizieren ist jetzt nur der untere mit minus und anderen bloß so sieht das aus das ist die – = – soll ich an der Stelle mal gerade sagen das genauer – gesagt die – 2 – das – ist mit Halbierung gemacht das können Sie sinnvollerweise auch mit Drittelung und mit 17 und so weiter machen das macht im wahren Leben praktisch niemand aber – streng genommen gibt es verschiedene Arten an fast Fourier transform das ist die die man normalerweise nimmt – immer 90,9% – der Fälle – ist das jetzt aus buchstabiert als – diskrete Fouriertransformation aus – der Mathematik aus – buchstabiert als Saalplan man – falsch – auf raffinierte Art – dann trägt man über Kreuz Summen Differenzen hin – und wieder auch mal ein Produkt – jetzt sieht man auf Wand ist von der Ordnung in – n das ist dann die offizielle Schreibweise auch da – sehen Sie das n = 80 sehen Sie denn wo sehen Sie Login warum hat der Rechenaufwand was mit acht – Logarithmus uns gar nicht angeben welcher Logarithmus z.b. – der zwei Logarithmus mit acht zweierlogarithmus 8 zu tun warum hat er Recht auf eine Zahl zu tun ✂ wird uns was 83 wo steckt die drei hier steckt die drei 123 – wir haben drei Mal halbiert – da kommt der Logarithmus her hin mal jetzt muss man die Rechenoperation zählen – wie mal Daumen zählen hier – wird addiert da wird subtrahiert addiert – subtrahiert addiert – subtrahieren addiert subtrahiert 8 – Rechnung Ration – heute haben sie noch mal 8 und 2 Modifikationen – sie – noch mal 8 und 3 Multiplikation da – da muss einfach nur bisschen genauer hingucken aber das scheint auch von der kennen zu sign in Login – das was man dann – angibt für die Zahl der Rechenoperationen das ist deutlich freundlicher als in Quadrat – in Quadrat vervierfacht – sich wenn sie and verdoppeln n Log n – verdoppelt sich und wird um 1 Uhr größer ist deutlich freundlicher als – im Quadrat das – ist das übliche Verfahren – die DFT auszurechnen – hier vorne – hat auch ein System der wahnsinn hat methode wenn man es einmal gesehen hat – Trick ist die Nummern binär hinzuschreiben 0000 – 0101 – 0011 – 01110111 – und – ihr auch bin ja sich jetzt – Trick was passiert hier vorne eigentlich wenn man genau hinguckt ✂ das ist – 011 – wird – an 110 und 101 – gespiegelt – was haben wir noch 110 – gespiegelt wird zu 011 – das ist der Trick das nennt sich bitte riversa – das ist eigentlich kein Wunder wenn sich das überlegt – eben die Garden das sind die mit der Null am Ende die mit null am Ende alle – nach oben – dann habe ich alle die mit Null am Ende sind oben – stehen die fangen also mit einer Null an und alle – mit einer 1 m Ende das sind die ungeraden die nämlich nach unten stehen – die also unten – ist das hinterste wird nach vorne geholt und das mache ich jetzt mehrfach hintereinander – ich jedes Bild von hinten nach vorne so entsteht dieser – Hilfe ausfüllen – programmiert man gern tfft also noch macht diesen bitte was und dann sortiert rum – dann kommen – Zahl des Tempels an solchen butterflies – das ist die FFT die übliche FFT