[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

09.5 homogene lineare DGL 2. Ordnung


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

ichhatte eben schon gesagtdieses Verfahren hier das gilt auch für höhere Ordnungenin hier Y zwei Strich steht wenn ?? Y zwei vierzig Strich stehtegal ich keine spezielle Lösung eine spezielle Lösung der inhomogenen Form die Missbrauch bestimmenund die allgemeine Rente homogen von dazu addieren hat die allgemeine Lösung derinhomogenenForm widerstehtdas mal verifiziertfürzweiter Ordnung das ist das was in der klassischen MechanikvorkommenDifferenzialgleichungenzweiter Ordnung haben wir schon gesehendass weder Bendelwieder das übliche BeispielMasse mal Beschleunigung??ist gleichReuters die FederkonstanteDähmminus die Kraft aus der Federminus Federkonstante mal Auslenkungminusdie Reibungskraftproportional zur Geschwindigkeitder Formbegleichen und dergleichen fürsFederpendelist eine Differentialgleichungzweiter Ordnung es wird zweimal abgeleitetmaximalsie ist lineargeht nicht X Quadrat hier steht nicht der Sinus von X Punktwarenund sie sogar Lineal mit konstanten Koeffizientenvor denenwarnenvor meiner unbekannten Funktion stehen nur konstante Zahlund sie ist sogar homogen warum ist das eigentlich homogensowas hier eine Leerzeichen System X plus dreiYist gleich siebenX minus vier Yist gleich acht das wäre inhomogensieben acht wäre die in Homogenitätund wenn der null steht ist es homogenwenner nicht noch eine nackte Zahl der stetig ein Vielfachesvon meinen unbekannten?? haben fifa von den Unbekanntenund dann obendrein vielleichtnocheine reine Zahl die kein Vielfaches von den Unbekannten ist das wäre dann die Inhomogenitätenund wenn die null ist das nicht gibt's dann ist das Dinghomogennun bei demder Fonds bei den linearen Differenzialgleichungenhat ganze Arbeit in den Jahren Differentialgleichungunddasselbedies hier istin homogen?? steht soundsoviel mal meine gesuchte Fusion abgeleitetsonst ?? man war meine Funktion die gesuchte ist und hier steht was ohne meine gesuchte Funktiondas hier ist die in Homogenitätin der Nullstelle Stadt X Quadrates homogenhätte ich nur vielfachemeiner Fusion oder meiner Ableitungdies Ding hier ist alsohomogenhier steht nichts wieplus Sinus von T das wäre inhomogenwenn das dann noch Beistrich wenn hier stünde Sinus von Thema X dritte ableitungsplanmäßigerhomogenweil ich dann nur vielfachemeiner gesuchten Funktionund deren Ableitungund so bisher steht es auch homogenals Muster nicht zwangsläufig gleich Null stehen sie ganz natürlich umformen dass die Dis die beiden übernehmen das der gleich null stehter nichtsdestotrotzist das nur homogene lineare Differenzialgleichungenes gibt keinenabsoluten TerKomma vorsichtig klarmachenwas sie die Rolle der Variablen ist X ist nun die gesuchte Funktionund Teeist dieunabhängige Variable hier ist X die abhängige gesuchteVariabledieKomma die gesuchte FunktionX ist die gesuchte Funktionerstelleund Teeist die unabhängigeVariableeben war das andersverwirrenderweisewie war dasbei der Differenzialgleichungen?? Vorsicht an der Stelle hier wardas X die unabhängige Variableund das Ywar die gesuchte Funktionkann ich Ihnen leider nicht ersparen das krasseste Durcheinander gehtanden Mathematikersind häufiger mit X und Y unterwegsund die Physikerdenken gerne inOrtund Zeit das Gitter leider durcheinander also gucken sie wonach abgeleitet wirdPunkt durch den offensichtlichenPunkt drüber stehen haben sie dieSituation der Physikers wird nach der Zeit abgeleitet?? ja durch die Situationenist in der Mathematik häufiger ist es wieder X abgeleitetokayLadens lehrterletztes Mal schon was eine Anfangsbedingungist Anfangsbedingungeinenwas muss ich angebenummit dieser Differenzialgleichungenweiter rechnen zu könnenwelche Größen muss ich kennen am Startdes Vorgangsgenaudas müsste ich wissen Ortvon irgendeiner Anfangszeitdie null sag ich mal und die Geschwindigkeitvon meiner Anfangszeitdie null das wissen als Anfangsbedingungwenn ich die beiden weistdreißig bisins unendliche weitergehtfür alle Zeitenhierbeiso neu Differenzialgleichungenerster Ordnung müsste ich eine Angabe habenzu einem Xein Yund das könnt ihr sofort die Ableitung bestimmen?? Y hier brauche ich obendrein noch die Ableitung meiner gesuchten Funktionim Staat PunktimNetz kann manaus dem Bauch heraus hoffentlich auch sofort schon hinschreiben was denn ein sinnvoller Ansatzein Federpendelwas wäre ein sinnvoller Ansatz für X von T was würden sie erwarten was kommt da rein?? allein aus der Anschauung müsse man es schon im Feminismus wasSinusvon der Zeit vorkommensinnvollerweisedas ich Oszillationendrin habeund es solltewas mit Abklingen vorkommenwie hoch minusirgendwas mit der Zeitsowas würde ich erwartenaus dem BaucheineSinus völlige Schwingungund die wird moduliertmit einer abklingendenExponentialfunktiondas würde ich erwarten sie danach ?? man genauer Punkt es gibt Fälle in denen es nicht stimmtaber so Pi mal Daumen würde das erst malhinschreibennetterweise kann man esetwas allgemeiner hinschreiben sodass es dannauch wirklich funktioniertnunjeweils ?? Division Faktor davor sich geradebei der ich mit einigen ?? oder ein Staat männliche Zeit null einsetzen wenn sie einmalden SinusWind update oder ein Staat zu ?? ?? ein Staatenvornetterweise kann ich das viel knapper schreibenviel eleganterdem ichkonvexe Zahlen denkewie kann ichall dasin eine einzige Formelklatschenalso vorher bei derhomogenenlinearen diverser gleichermaßen Produzentenerste Ordnung war schon der Ansatzein Vielfachesvon ihm hoch minus ein Vielfaches von Xeine Spezialfunktiondas fusionierte netterweiseauchein Vielfachesmal ihre versetzt eine Landermal die Zeitwenn sich vielleicht fragen ja aberhallo des Sinuswo ist jetztder Sinusistin Lander eine komplexe Zahl stellt sich vor ihr steht die hoch zweiplus drei niemal die Zeitdann habe ich jadie hoch zwei mal die Zeitmal wie hochdrei Klima die Zeit die hoch drei ihm mal die Zeit ist EulerKosinus von drei Cplus Animal Sinus von drei T aha ?? ist der Sinneswandel der großes A noch sogar dabeimit dieser Formel habe ichall das erschlagenzu einem gewissen Preis der Preis ist dass ich plötzlich imaginäreZahlen mit darunter gemischt ?? das stört ein wenig den Preis bezahlt man gernals in dem ich erlaube das dieses Lander komplex ist und dann dieses A die Amplitudejetzige nur die Amplitude ist auch noch komplex wirdhabe ichplötzlich auch noch den Dienst aberdas wird wesentlich elegantermusste natürlich nachher wegdiskutierendass dieses Ding einen imaginären Anteil hatte ich möchte natürlich keine Schwingung die ins imaginäregeht dieser keine Auslenkung vondrei Komma neunMeter mal mehr haben das ?? nach ?? wegdiskutierenaber ein mathematischer Satz von ich so an mit diesem Ansatzweil ich damit auch die hoch irgendwas Sinusdrin habenund dannwird die Sache ziemlich einfache Sätze einfach eindiesen Ansatz in meiner was das in meine Differentialgleichungwas wird aus ähm X zwei Punkt bei diesem AnsatzX Punkt ?? Punkt Bilderzweimal nach der Zeit ableitenkommt immer die innere Ableitung lang davon vordas heißt hier bei X Punkt Punkt steht einfach AmallanderquadratI Hochland Athenbei X Punkt steht Amallanderin der AbleitungslanderEU klammertemit anderen Worten ?? ableiten hast Mallander Quadratund einmal ableiten heißt Mallanderdas ist total billigalso aus dieser Gleichung hiereinfach mal aus dieser Gleichungwird folgende Gleichungnachdem sie der Sitzung gemacht habeähmihr stehtLander KünstlerlanderQuadratmal meineFunktionda bleibt es X stehen und hier steht langsam mal mein Funktionnunnatürlich möchte ich dass diese Zahl eine nicht null ist wenn die null wäre wäre die Lösung müssen billiglernenwenn A nicht null ist ist das X aber nirgends von nulldann kann ich dich X teilenwarzwölf überhauptsetzen das ja einfinden das und teilen durch XBeistrich dass X darausund ich habe eine quadratische Gleichungslanderquadratsgucken?? das auf eine Seiteplus denie den ?? erstseinFluss eher durch die Masse Mallanderäh plus dieMasse ist gleichnullist es plötzlich eine quadratische Gleichung gewordenaus meinermehr oder minder fiesen Differenzialgleichungenwird mit diesem Ansatzeine quadratische Gleichung einfach bei bei jedem Mal ableiteneinander nach vorne kommtund ich dann dieses Ahmadi und Lander T das Xwegdiskutierenkanneine quadratische Gleichung für Lander der dem allgemeinen zwei Lösungenunsüberraschenderweisegern auch mal zwei komplexe Lösungen was dann zu Sinus und Kosinuswieder passtnunkann also hinschreiben welche Landes möglich sind einfache PQ Formel?? also Lander ist gleich minus er durch zwei im Obst ?? minus er durch zweiähm plus minus die Wurzelden Quartieren eher Quadrat durchvier im Quadratminus in der hinten minusähmoder stehenund jetzt kann manaber vorsichtig wieder einsetzen und sehen was passiertdannnämlichwenn dieses Lander einen imaginärenAnteil hatwenn das Lander ?? also wenn der Imaginärteilvon Landergleich zweimal gemein wenn derungleich null istdann weiß icheben schon vorgezogenweiß ich Aha das Ticket mit Euler zerlegenich muss eine Oszillationendrin haben es geht gar nicht anders ein SchwingungsschachspielBeistriches muss eine Schwingung sein wenn Landerein Imaginäranteilhateine Sinus völlige Schwingung soll ich besser mal sagenmüssen Sie allgemeiner Begriff Sinus völlige Schwingungist dabeiSinusSchwingung enthaltenund enthaltennebenbeikann man sogar jetzt sagen wann denn so eine Sinus völlige Schwingung enthalten sein wirdkönnte das Ablesender Teile muss immer mal erklärenden anderen Leichenim Imaginärteilvon anderen gleich nullwenn hier bei dem Lander sowas steht wie hocheins plus zwei I wenn das Lander wirklich echt komplexeswenn das imaginären Anteil hatdannkommt Euler ins Spiel und sacht das ist die hoch zehn maldie hoch zwei Idee ist der Kosinuszwei Tplus die SinuszweiteMedienimaginäre Zahl dabei stehtbei dem Landerdann verglichen mit EulerkursenSinus genau dann ansonsten ist es nur nicht von den Zahlfunktionenganz schlichtwas dieses Kriteriumwenn das Land einen ?? Anteil hat Fenster was anmit Kosinus und Sinuszu schwingenund jetzt kann ich hierablesenwann denndas Eintrittserster von der Formel herwann wird das hier komplex werden echt komplex werden wenn unter der Wurzel eine negative Zahl stehtkriege ich hier plus minus soundsoviel mal diealso gerade die Wurzel ihr Bild genau das Fasten anfing zu schwingen die Wurzel wird nach was mit der Frequenz zu tun haben mit der der Schwenkunter der Wurzel eine negative Zahl stetswird Lander echt komplex werden der Imaginärteilist ungleich nullund jetzt kann ich mir angucken was unter der Wurzel steht wann wir das negativkeine große Überraschungwenn die Reibungklein istist das hier dicht bei null dass es erstmals in positiver Thermen die Reibung groß istsie dieser Kern das ins Positiveverhindert also die Schwingungdie Reibung muss klein seinokayaber die Federkonstantesie sehen mir die Federkonstante groß W zieht es ins Negative wunderbar die Federkonstantemuss groß sein ?? kleine Reibunggroße Federkonstantedann fängt er an zu schwingenmit Sinus und Kosinusumgekehrt sieht mandenn die FederkonstanteLion ist die Feder nicht sehr stramm istund wählen die Reibung groß ist das Ganze in ähm Wasser oder in den Honig durchführtdann ist da auch nichts mit schwingenweit unter der Wurzel eine positive Zahl oder zumindest null stehtdamit dann kein Sinus kein Kosinus auftauchenwenn ich I Hochland Athen zerlegenals es ist nicht immereine Sinus völlige Schwingung enthalten es ist dies nur dann enthalten wenn hierder Termunter der Wurzel negativzuwenig Reibungvielviel Feder ähstammen gespannte Federdann fängt das Ding anzu schwingenPunkt das ist der Teil kann man sich angucken was denn mit dem Realteilistnunin der Realteil von Lander negativist Beistrichwenn das Schreiben so vierzehn wenn der Realteilvon Landernegativist was kann ich dann sagenüberdas Verhalten von diesem Ausdruckgehen auch wenn der Realteil für Lander negatives steht dir sowas beispielsweiseWE hoch minus drei plus die mal die Zeit also wie hoch minus dreizehnmalirgendwas mit KosinusSinusgroßes I geschieht es nicht um die Ohrenaus wird immer schön zwischender Minusseite plus eins jeweilsaber die Seo minus drei T werden effiziente Abfallin der Realteilvon dem Lander negativ ist habe ichein exponentiellab Fallauf jeden Fall wahrscheinlich moduliertmit was mit Sinus und Kosinus auf jeden Fall ein exponentiellabfallen exponentiell abklingendas auf jeden Fall ein exponentiellabklingenwarenund wenn der Realteil von dem Landergrößer wäre als nullist dagenau das Gegenteil ?? E hoch dreiTmal eine Schwingung zum Beispielein explizites Wachstumwahrscheinlich moduliert mit Sinus und Kosinuswäre schon ausreichend was Lander ist was halten Sie von diesem Lander exponentiellWachstum oder Expensionistenabklingenerklärtwerden sichnicht ganz so einfachglauben magdiese erste Therme ist negativ?? ist reell und es negativReibungskonstanteist positives wird nur gebremstes nicht beschleunigtwenn ich durch die Luft fliege das Wetter sehr lustig ?? sehr hilfreich Ausrufungszeichen es sei denn es wird gebremst ?? liturgischen hatteerimmer positivihr vorne steht eine negative ?? eine Zahlso weit so gutaberwenn wir unter der Wurzelkeine negative Zahl stehtist die Wurzel auch aktuelle Zahlenund ich müsste mir überlegen ob die Wurzel das nicht kaputtmachen kann dass er vorn ist in der Tat negativauf ?? hieretwas größer gleich null steht ist die Wurzel auch eine reelle Zahl bis könnte mir passieren plus die Wurzeldass die Summedann wieder eine positive reelle Zahl könnte mir passieren theoretisch wird mir nicht passieren weil man noch was verstehtman was dastehtsieht man unter der Wurzel steht der erste Terminsquadrataber etwas wenigerdie Wurzel wird niemals so groß werden wie er durch zwei ähm ?? das Quadrat davon steht minus etwas Positivesdie Prozess im Betragselbst wenn siepositiv ist immerkleiner als er durch zwei nass heißes plus minus die Wurzel macht es nicht Punkt das ist immer der Fallfür das Federpendelhaben wirimmer diesen Fallkann nur abklingenallerdings nicht ganz offensichtlichenMannes auf eine glauben Marke müsse sich auch noch die Wurzel anguckenimmer beim Federpendeles sei denn sie schaffen es entweder Panel zu bauen das ohne Reibung arbeitetdann haben Sievielleicht die Chance ?? auf der Kante zu legenund nur den Sinus Kosinus zu habenund hier eh hoch nullmal die Zeitaus dem Theater zuokayhat also man hat also zwei Lösungenauf jeden Falles sei denn je unter Wurzel steht zufälligerweisenuller müsse natürlich extremfein einstellendass sie schaffen es die Federkonstanteund die Masse und die fertige Reibung und die was und die Federkonstante so zusammen spielen das hier null steht unter der Wurzelwarendamit ein bisschen heikelmüssen bis ?? mehr nachdenkenabertypischerweise will ich das nicht hinkriegen dass sie genau null steht unter der Wurzeldas heißt ich habe entwederzwei Lösungen die beide reell sind und ich habe zwei Lösungen beidekomplex sindaber niemals genau eine Lösung in der Praxisund beide werden hier funktionieren leider nicht einsetzenwollen wir Sagenlander Einslander zwei ich kann beide Lander einzelner zwei EinsätzenwichtigeLösungen für meineDifferenzialgleichungenzwei Lösungen irgendwie möchte ich eineallgemeine Lösung habender Trick ist folgende ich nehme mir die eine Lösungmiteinem beliebigen vielfachenKomplexe Zahlunddie andere Lösungin einem beliebigen vielfachenkomplette Zahlunter die allgemeine Lösung das ist dieallgemeine Lösung für dieselinearehomogenehomogene lineareDifferenzialgleichungengucke miran was sich was passiert wenn ich diesen Ansatz mache eh Hochlander mal T sind SA braucht man eigentlich gar nicht mache diesen Ansatz Seo flammender Materiefinde eine quadratische Gleichung die hataußer wenn ich die Stecknadel im Heuhaufen erwischt habe hat diese quadratische Gleichung zwei Lösungen zwei Duelle oder zwei komplexe Lösungendie beiden komplex sindwie Sinus und Kosinus reinansonsten habe ich Nuss und exponentiellabklingenund ich kann diese beiden Lösungen schlicht und ergreifend Essenwie das jetzt einsetzen in die originaleDifferenzialgleichungkönnte sehr zerlegenmöchte das soundsoviel mal die zweite Ableitung der sonst immer die erste Rate plus uns über die Funktion null ergibtbestimmt dafürbestimmt dafürbestimmt auch nicht zusammen addierenund damit habe ich zwei Integrationskonstantenwas gutes Zeichen istsein?? mit dem Bogen schließen zudemanfangszu der Anfangsbedingungahaich möchte eine Lösung bauen typischerweise die genau bei einer bestimmtenHöhemit einer bestimmten Geschwindigkeitzu einer vorgegebenen Zeit startetdas Gericht nun hin dreißig hauptsächlich die allgemeine Lösung gefunden??ich verlange einfach dass das mal funktioniert Punkt muss das an Essen soll also die Höhezurzeit T null stimmenund es solldie Geschwindigkeitzur Zeit die null StimmenKomma einfach einsetzennunalso die eine IntegrationskonstanteMario Lander eins Martin null plus die andere IntegrationskonstanteKomma die Lander zweitenullfür die Höheund nun für die GeschwindigkeitBeistrichfür die Geschwindigkeitfür die Geschwindigkeit muss ja überlegen was passiert wenn ich nach der Zeit ableite mit Lichtgeschwindigkeitich leite diese Lösung nach der Zeit ab einer eins kommt bei dem einen davorLander zwei kommt bei dem anderen erfuhrA eins Lander eins Seo flammender eins T nullplus A zweihundert zweiKlammer zuT nullindieser Artan Bedingungwas ist das eigentlichmit den Begriffen über schon hattenin der Mathematik hängt alles mit allem zusammendas ist ein lineares Gleichungssystemdieses Ding hier ist ein lineares Gleichungssystemfür A eins und A zweium sie an was da steht jemand gibt vor ?? soll zum Startzeitpunktbeizehn Zentimetern sein mit einer Geschwindigkeitvon ein Meter pro Sekunde die beiden sind gegebenLander einsaber ausgerechnet Ausmaßejeder Konstante undähmbittet nochmals die Federkonstanteund Reibung aber Lander eins ausgerechnet Lander zwei ausgerechnetT null ist der Startzeitpunktgibt mir jemand vor zum Zeitpunkt fünfzig und möchte diese erhöhte Geschwindigkeitist also bekannt des bekannt Lander ein das es bekannt dass es mit ?? gesucht ist wie ich dennmeinerichtige Lösung zusammen mischen kann aus eh Hochlander mal soundsoviel dass es gesucht diese AnteileA eins A zweikomplexe Amplitudenwollendie sind gefragtund damit lineares Gleichungssystemfür die beideneine Zahl ist gleich man eine unbekannte mal eine Zeit muss man an anderen bekannt mal eine Zahlung des ?? nochmalslineares Gleichungssystemmit zwei gleichen und zwei Unbekannten für diese A eins A zweinunwann gibt dasgenau eine Lösung fand finde ich genau eineneine Kombinationan A eins A zweidas Wissen kannsich damit ganz dreiste Determinante von dieser Matratze angucken Seo flammender eins T null Theoreme zweite nur die eine Sachen die Determinante von diesen vieren kann ich mir anguckendieses gleichen System hat genau dann eine eindeutige Lösung wenn die Determinanteaus diesen vier Eingriffen in Sachen hier ungleich null istweiß ich jetzt die Determinante Ankunft ihrer mehr als zehn null Lander zweimal ihrenund den und denen sehen Sie dies genau dann nicht null wenn Lander eins nicht Lander zwei isteindeutige Lösungmit eindeutiger LösungeindeutigeLösungunserer zusammenFanlandereins Ungleichlanderzwei istin den üblichen Fall hat dieses Ding auch eine eindeutige Lösung das heißtes reicht mirmit diesen beiden Lösungen die ich da gefunden habedie reichen mir tatsächlich jede Lösungzu Bau nicht sich jeden Anfangswertdamit hinwenn denndie beidenLander Dis gefunden habe tatsächlich verschieden sindletzte Anmerkung an der Stellewenn jemand die Stecknadel im Heuhaufen erwischt und unter der Wurzel tatsächlich null stehen soll siemuss dann jemandmit der Mikrometer Schraube alles eingestellt habenwir mit der Nano Zentimeter Schraube alles eingestellt haben Beistrich natürlich in Wirklichkeit nicht auf null aberpraktisch nurdann habe das Problem das sich hierzwei gleiche Landes rauskriegeund das ganzeauf diese Weise nicht wirklich gut funktioniert?? es gibt einen Trickfür den Fallalso wenner Lander eins Gleichlander zwei sein solltezufälligjemand zur Aufgabe gestellt hat oder weiß jemand es geschafft hat alle Größen so exakt einzustellen dass das stimmtähm dann gibt es einen Trick wie man die allgemeine Lösungstattdessennimmtimmer als allgemeine Lösung folgendesschon Mallander einzelner zwei GleichlanderlanderAlertder nämlich folgendes als allgemeine Lösungäh ein Vielfaches ?? im Haar genannte ein Vielfaches von ihm Hochlanderidder eine werde nicht gefunden habeplusein Vielfaches vonCMario Lander maltehier steht dasselbe Lander das eine Lander was ich gefunden habe und in diesem einen Ausnahmefallficht man in der Weise noch ?? Lösung in dem einfachen Faktor T dazu schreibtman sie nachrechnen macht nicht viel Spaß dannist auch in AusnahmefallBeistrich dein System eigentlich nicht so eingestelltin der Wirklichkeit hängt man entwederbei zwei komplexen Lander oder bei zwei D Ellen lang das aber dass man genau einander hatähm zugenommen Beistrich Wirklichkeit nicht eingestellt kriegenaber wenn man ungefähr in der Ecke ist Komma der trotzdemmit dieser Gleichung gerechnetfür diesen einen Ausnahmefallals allgemeine Lösung wie hoch den Eigenwert die man gefunden hat meine kostenlosan konstantem ITdie unabhängige Variable malt jedoch den Eigenwert bei Tiedemann gefunden hat als Trickhausaufgabewenn sie nach dass das gehtkein Dramaähm damit hat man die allgemeinelineareDifferenzialgleichungenzweiterOrdnung mit konstanten Koeffizientendie homogen ist was den Monster Ausdruckerledigt muss einfach für die Masse und die Federkonstanteund die Reibungskonstantedie richtigen Werte wählendann ist das Thema durchschreiten sehr sogar negative Zahlen wählen es geht mit derselben Rechnungim Endeffekt hält man im Hinterkopf stellt man im Hinterkopf die Hochlander Martyist der Ansatz dafürin Jahr homogenenKonstante Koeffizientenerster Ordnung ebenso zweite Ordnung ich setze einfachSpezialfunktionenund gucken was passiert