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Drei Überraschungen beim Satz von Bernoulli


CC-BY-NC-SA 3.0

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länger man sich mit dem Satz von Bernoulli der Gleichung von Bernoulli beschäftigtstellt man fest dass manihn sie noch nicht ganz verstanden hatihr drei Überraschungen beimSatz vondieerste Überraschungkönnte es auch auf der Rückseite einesObjekts gebenhatte sich als aber sagen wenn ich den Folgen von Druck Rede meine ich immer denDruck den üblichen physikalischenDruckdendas ist verwirrendgucken uns ein Objekt an z.b. einen Zylinderzur Zeichenebenesoll von einem Fluidwerdenkönnen z.b. so Stromschienenaussehen man zeichnet immer gerne eine hierHindas ist natürlich schwierig weil irgendwann wird es dazu voll werden mitTrachten gleich eigentlich eine Stromlinie die dannda drüber abbiegt oder knapp da drunter abbiegtdichtFluid kommt mit einer bestimmten Geschwindigkeit anauf dem Weg zum vordersten.Des Zylinderses gebremst auf Null gebremst hier ist die Geschwindigkeit Nulloderjadie warenBahn anguckenfastNulldie Geschwindigkeit reduziert wird auf Null musses eine Kraft geben von rechts nach linksKraft die eine negative Beschleunigung verursachtbrauchen so eine Krafteinzige Adam Kraft die hier wirken könnte istdie druckgradientkraftGeschwindigkeit wird auf Nullreduzierteine negative Beschleunigung dienegative Beschleunigung kommt durch die Druckgradienten Kraftkann nicht woanders herkommendas ist die KraftFriedhohen Druck zum tiefen Druck treibtwirhaben zwangsläufighier vorunsere Objekt hohen Druck denn nur so kann diesedruckgradientkraft entstehenDruck hier vor dem Objekt muss höher sein als der Druck weitim Vorfeld nurdann habe ich diese druckgradientkraft vom hohen Druck zu niedriger Druck das hierder hohe Druck ihr das ist der übliche Staudruckgucken wir unsFluid oberhalb und genauso dann unterhalb von dem Objekt anmuss über einen kleineren Querschnitt dieselbeMenge proZeit transportiert werdendasheißt das Zuid muss an dieser Stelle schneller seinja habe ich eine höhere Geschwindigkeitalsim Vorfeldhaben wir es umgekehrte Phänomen die Geschwindigkeit wird nicht mehr auf Null reduziert die Geschwindigkeit wird erhöhtich brauche eine Kraft mit der Geschwindigkeit nichtgegen die Geschwindigkeitdie Kraft muss also so wie er kanndas ist natürlich auch wieder eine druckgradientkraftvomhohen Druck zumniedrigerenDruckanderen Worten oberhalbund genauso unterhalb von diesem Objekt muss niedrigererDruck seinFluid wird beschleunigt hin zu dem niedrigeren Druck direktvor dem Objekt wird es gebremstdurchden hohen Druck nachoben nach unten wird es durch die niedrigen Druck beschleunigtdas passt nicht nur mit der Beschleunigung zusammendas passt auch damitdas Fluidabbiegen musseineZentripetalkraftKraft wo ist das street indie Rechtskurve zwingen unddie Kraftauch aus dem Druckgradientenoberhalbunterhalboberhalbvon diesem Objekt haben wir normalen Drucknormale Druckdas Fluid hin zu dem niedrigeren Druck bewegen daspasst also gut zusammen damit dass sich die Stromlinie nach rechts kommtund unterhalb vondem Objekt haben wir also niedrigeren Druck als normaljetzt gucken wir zurück Seite an wiegesagt Überraschungauch auf der Rückseite könntees Staudruckgebendas ganze hier sich hübsch symmetrischwürde wenn die Rückseite so aussehe wie die Vorderseitewürde sich hier hinten irgendwannwieder die Ausgangsgeschwindigkeiteinstellenhinter dem Objekt ruhtdas Fluidheißt ich habe hier in der Nähe Stromlinienbei dem das Fluid von fast Null wieder auf die normale Geschwindigkeitwirdbrauche eine Kraft diediese Beschleunigung vor sagt auch wiederDruckgradienten Kraftgeht vom Hören zum niedrigen Druck vom Hören zu niedrigeren Druck sie muss auch hier vom führen zu niedriger untergehenheißt hierich hohen DruckObjekt Staudruckdergar nicht durch Stau sozusagen entsteht sondern quasidurch dasentsteht sehr komischhinter dem Objektwissen wir aber alle dass das nicht geht dasist offensichtlich unsinnigzumindest im Alltag unsinnig dennVerlauf der Stromschienen ist rein theoretischsieht so nur ausdas Fluid überhauptnicht C ist eine Viskosität von 0 hatsieht der Verlauf hinter dem Objekt nämlichauswahren Leben ist die Viskosität nichtnulldann gibt es war vor dem Objekt Staudruckdem Objekt bildensichausunskann man den Satz von Bernoulli nicht mehr anwendenhaben zwar Staudruck vor dem Objektund unterhalb niedrigerenDruck aber dahinter auchDruckkeinen StaudruckSatz von Bernoulli hat nämlich so ein paar Voraussetzungenman gerne mal ignoriertich es muss ich um eine stationäreStrömunghandelnBewegungsmusterdarf sich nicht zeitlich ändernvergleiche Punkte entlang einer Stromliniedarf nicht kompressibel sein es muss inkompressibelseines darf keine Viskosität habenmal sieht in diesem Fall dasmit stationär mitden Wirbeln hinter dem Objekt gehtschon mal schiefeiner Stromlinie auchdas geht schiefwir schalten Viskosität an das habe ich eigentlich auch der letzte Punkt nicht erfüllt also Vorsichtdasist das was man im wahren Leben sieht aber hinter dem ObjektdannSatz von Bernoulli nicht mehrkann so eine strömungsform hinbekommen oder fast so eine strömungsform hinbekommen wenn man die Viskosität extremer Rauch drehtein sehr CS Fluid hatlangsame StrömungKlein Abmessungen hat zeig mir ein Allstar zusammenSituation kann man z.b. bei Bakterienhabensieht die Strömung fastsymmetrisch aus abersie wirddurch diese Fähigkeitdie Stromlinien sind nicht symmetrischsindHindernisweildas Fluid ja langsamer istwas nun fehlschlägt ist die Geschichte mit der ViskositätimLeben im Alltag scheitert es anden Wirbeln deshalbkann ich dann Bernoulli nicht hinter dem Objekt anwenden undin dieser Situation habeich eine extrem hohe Viskosität unddann ist der letzte Punkt nicht erfüllt und ich kann den Bernoulli schon wieder nicht an werden aber aber im Prinzip könnteman tatsächlich Staudruckhinter einem Objekt habenzweite Überraschung beim Satz von Bernoulli ist wasdie physikalische Wirkungund was die physikalische Ursacheist es geht um einen Druckunterschiedein Geschwindigkeitsunterschiedguckt sich ja gerne eine sich verengende Rohrleitung ander Wasser fließt hierkommt es jetzt von linkseiner bestimmten Geschwindigkeit undmuss nach rechtsdefekteLeitung dann muss nach rechts durch das verengte Stückwerdendann ist die übliche Anwendung von Bernoulli dass man sagt okayder niedrigen Geschwindigkeit habe ich einen hohen Druck bei der Geschwindigkeit habe ich einen niedrigen Druck Druckauf der linken Seite und auf der rechten Seite ein niedriger Druckwird Bernoulli typischerweise angewendetdas ist natürlich irritierend weil wiesosoll dieGeschwindigkeitsänderungjetzt zu einer Druckänderung führen diePhysik ist genau andersrumDruckunterschieddie physikalische Ursacheder Geschwindigkeitsunterschiedist die physikalische WirkungDruckunterschied führtzu einer Kraftich mal wiederdruckgradientkraftvom hoch zum tiefKraft fürzu einer BeschleunigungWasser auf der linken Seitedieser Kraft und wird dadurch schneller unddie Beschleunigungführt zum Geschwindigkeitsunterschiedsogibt es physikalisch einen Sinnman wendet Bernoulli normalerweisefalsch herum an Mann geht von der physikalischen Wirkungaus dem Geschwindigkeitsunterschiedschließt damit auf die Ursache den Druckunterschiedbleibt natürlich jetzt noch eine Frage offen woher kommt der Druckunterschied esist leicht zu begründen dass die Geschwindigkeithier in dem noch in Ruhe höher sein muss als die Geschwindigkeit indem dickeren Ruhe ichmuss sagen scheinbar leicht zu begründen gleich mehr dazuwie soll ich jetzt nicht der Physik Folge begründendass der Druck in den dickeren hoher größer istdünnen Rohrist die Ursache diephysikalischeUrsache für den Druckunterschiedkommt aus einem dynamischen Gleichgewichtmal unsereRohrleitung die sich verengtWasser kommt von links anWasser gehtdas innere Ruhe nachrechts wegwir haben nicht ganz die richtigen WerteDruckder Verengung einen tiefen Druck nach der Verengung aber ein etwas zu kleinenDruckder Verengungich jetztüberlegen will ist sie so hohe Druck ansteigenmuss automatischansteigen muss sozusagenrichtigen Werte er zu groß ist muss er sinken auf dem richtigen Werte aber jetztals Beispiel was passiert wenn der Druck auf derlinken Seite zu niedrig istganze System wird sich dannsozusagen richtigenWert wieder hin bewegen dasgucken was an alsoangenommen der Druck ist zu niedrigderSeiteist der Druckgradientdie DruckgradientenKraft zu kleinDifferenz zwischen denDruck links und rechts wird kleiner wenn der Druck links zu niedrig istder Druck zu niedrig ist auf der linken Seite verursacht das alsozu kleinenDruckgradientender Drucker die sind aber zu klein ist heißt das dass die Kraft die auf mein Wasser wirkt kleiner wird das Wasser wird weniger beschleunigtder Druckgradient zu klein istalsozu kleine Geschwindigkeitsänderungdes Wassersaber das Wasser was durch den engeren Teil des Rohres fließt zulangsam istich einen Staugibt es einen Stauverursacht die zu kleine GeschwindigkeitsänderungeinenStauder Stau sorgt dafür dass das Wasser komprimiertwird es wird stärker zusammengedrücktman kann eskomprimierenman versucht es zu komprimierender Druck unddas ist jetzt der Witz AH derDruck auf der linken Seite steigtweil wir versuchen das Wasser zu komprimierenden Stauder Stauverursachthöheren Druckdamit wächst der Druck in die richtige Richtung stelltsich automatisch dierichtige Druckdifferenz einwäre dann eine physikalische Begründung warumsich diese Druckdifferenz einstelltgibtin dieses System ein Trend zum richtigen in Anführungszeichen richtigen Wert des Drucks den Wertin derGleichung stehtich schreib das mal Trends und Anführungszeichen wichtigemdes Drucksdiese Druckwellefreie dann fällt der Druck insgesamtab aber diese Druckdifferenzdiesedie Druckdifferenz von links nach rechts bleibt erhalten schreibdass ich jetzt aber noch dazu sobaldBewegungAusgang,der aussehen mag erreichtder Druck insgesamtDifferenz von Fulda für junge hinter der Fälschung bleibtdabei abernur diese Differenz ist ja spannend für den Druckgradientenund damit für die Geschwindigkeitsänderungund so weiterfunktioniert der Satz von Bernoulli also eigentlichDruckdifferenz ergibtsich aus einem dynamischen Gleichgewichtdie Druckdifferenz istdann dieUrsachefür die druckagentenKraft und die DruckgradientenKraft ist die Ursache fürdie Beschleunigung unddamit für den Geschwindigkeitsunterschieddritte Überraschung beim Satz von Bernoulli istdass ich die konstante Dichte von Wasser z.b. die fast konstante Dichte gleich sehender Bewegung ergibtist nicht vorgegeben sie resultiert aus der Bewegungsoll dir schon mal notieren die fast konstante Dichtegibt es in der Warenwelt keine Flüssigkeit mit exakt konstanter Dichte sondernnur fastkonstanter Dichte wiez.b. Wassermal die übliche Situation mit der sich verjüngen und RohrleitungWasser kommt von links anmuss ich schnell weiter fließen durch den engeren Teilhatte ich mir angeguckt wieso sich die richtige Druckdifferenz einstellt über diese Verjüngunggucken wir uns an warum sich die richtige Geschwindigkeit einstelltund zwar eine solche Geschwindigkeitdassdie Dichte praktisch konstant bleibtdas entsteht wieder dynamischangenommendas Beispiel ich hätteder linken Seite etwas zuviel Zuflusssich auf der rechten Seite an Abfluss habeSohn so viel Liter pro Minute an rechts gehen Sohn zu viel Liter pro Minute Wegmehr alsrechts weggehen was heißt UPS das wird nicht gut funktionierenes wird knirschengibt natürlich einen StauStau bedeutetdie Dichtevon Wasser anwachsenmusszumindestist schwer komprimierbardieser Stau wird zwangsläufig dazu dass die Dichte anwachsen mussetwas höhere DichteWasser beides schwer komprimierbarist wirdsich aber gegen diese minimal höhere Dichte durch einen deutlich höheren Druckwächst der Druck anbekomme ich jetzt aber einen Größe und Druckgradientenwenn der Druck anwächstwir mal die DruckgradientenKraftWasser wirdhoch zum tief beschleunigtHöhe Druckhöhere druckgradientkraftdamit habe ich eine höhere Beschleunigung aufdas Wasser undes wird schnellerabfließenhöhere druckgradientkraftverursachteinenschnellen Abschlussdas heißt unsereWerte passen wieder besser zur Formelautomatischesden Trends zu dem hin was der Satz von Bernoulli sagtich jetzt hier dann auf die Dauer einstelltdass der Druck höher istund die Dichtehöher ist reicht eine minimal höhere Dichte damitder Druck deutlich größer ist weil Wasser soschlecht kompressibelistbin ein Gleichgewichtmithöhere DichteWasser auf beiden Seiten die gleiche Dichte zu habender Tat hat es links eine winzighöhere Dichte geradegenauso viel um diese Druckdifferenz zu erzeugen es reicht ein winziger Dichteunterschiedbeieinerdie so schwer kompressibel ist wie Wasser reichtDichteunterschiedum diesen Druckunterschieddem man dann kannist die konstante Dichte eineFolge aus der Bewegung die ist nicht von aus gegeben ergibtsich und eigentlich ist es auch keine konstante Dichte sondern dichtet sich ein wenig ändert unmerklich