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04A.1 Rang, Spaltenraum, Defekt, Kern einer Matrix, lineares Gleichungssystem

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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die – Matrizen haben ja einerseits diese geometrische – Bedeutung – gerade vorgeführt – und zum anderen die Matrizen vor wenn man sich mit den Jahren gleichen System beschäftigt – da gab's ja dann plötzlich ganz eigenwillige Begriffe – wie – Musterbeispiel – an diese Matrix – eins null eins null – drei null drei null – Punkt null eins eins zwei – diese Matrix – eine drei mal vier Matrix drei Zeilen vier Spalten – von der möchte ich gerne wissen was der Rand ist – was der – sogenannte Spaltenraum – ist – in den eigentlichen Mobil zusieht und feinsinnigen Unterschied zwischen Bild und Spaltenraum gar – das was aus der Matrix rauskommt – ist das – was ist der Defekt – und was ist der Kern – dieser Matrix – Begriffe die dann auftauchen – wenn man sich mit den Jahren gleichen System – erfasst – als oder andere Art – Matrizen anzugucken sie können über – Drehungen – und Skalierung – und Scheren und was immer Nachdenken geometrischer seits – und bei den Jahren gleichen System interessierte sich dann sowas – was die Matrizen angeht ✂ der Spaltenraum – oder nicht ganz genau gesagt das Bild sind alle Vektoren die sich rauskriegen – wenn sie diese Matrix – mit irgendeinem – beliebigen Vektor – modifizieren – was für ?? Sorte Mustervektor sein mit dem sie diese Matrix multiplizieren ✂ irgendwann – was das sogar mit dem Meinungsbild – vier Stück damit ich Zeile mal Spalte rechnen kann ich muss ja ?? Seile mal Spaltezeile – Malspalte – Zeile und Spalte oder wenn es andersrum – überlegen diese Matrix hat drei Zeilen und vier Spalten dieser Vektor hat vier Zeilen und eine Spalte das funktioniert – die vier die vier – also Vierervektoren – damit modifizieren ?? – alten Raum sagt – was ist die Menge aller Vektoren – die bei – dieser Rechenoperation – rauskommen – können – und der Trick ist in sich angucken wahrscheinlich passiert wenn diese ein beliebiger Vektor A B C D steht heißt das eigentlich – sie nehmen arm mal die erste Spalte – B mal die zweite Spalte C mal die dritte Spalte und die mal die vierte Spalte und addieren das zusammen – was für Arten an Vektoren – kriegen sie raus wenn sie das machen ein Vielfaches der ersten Spalte – plus ein Vielfaches der zweiten das Archiv aus der dritten plus ein Vielfaches der vierten was kann passieren was kann nicht passieren ✂ also sind in jedem Falle durch Vektoren im R drei weil sie – drei Zeilen miteinander haben die rauskommen – mal anders gefragt kann bei dieser Operation – folgender Vektor rauskommen – vier – fünf – sechs ✂ diese Matrix richtig diese Matrix richtig – dumm gewählt dass man es möglichst gut sehen kann die zweite Zeile ist hier das dreifache – der ersten Zeile – mit den ersten Vektor mit irgendwas modifizieren – und dann den zweiten dazu addieren mal irgendwas und den Dritten dazu ?? dir mal irgendwas und den vierten mal irgendwas – wird weiterhin – die erste Zeile mal drei – die zweite Zeile sein müssen dieser Vektor kann niemals rauskommen – Punkt allenfalls könnte der herauskommen vier zwölf – Komma vier fünf kann niemals rauskommen weil die zweite Zahl nicht das dreifache der ersten – Direktor ?? bisschen finsterer wären – besonders gut verbergen das Beispiel einer die Summe von zwei anderen ist hier was ganz billig dann die zweite Zeile ist die – ist das dreifache der ersten Zeile als es kann nicht jeder Vektor rauskommen – welche können den rauskommen – wissen jetzt schon geben müssen die Bedingung erfüllen das – die ?? ?? muss das dreifache von der X Koordinate sein – Komma sonst an Bedingungen können sonst alle Vektoren rauskommen oder Widersachers an Bedingungen ✂ der richtigen Ecke unten kann stehen was will Version zweite vierzig stehen sollen – im Sie einfach hier die zwoundvierzig – als B – dann steht auch die Zeit wird sich dafür sorgen dass die beiden sich gegenseitig weggeben – dann – aber in dem ich diesen Vektor hier mit dem richtigen Demo Spezial ganze unten erzwingen – was ich erzwingen will unten steht eine beliebige Zahl – muss einfach nur das bi richtig einstellen weil ich mit diesem Vektor hier in der Lage bin nur allein die untere Komponente einzustellen – also damit habe jetzt ?? Idee was das Bild ist das Bild besteht aus – allen Vektoren des R drei – Lösung kennt das sind alle Vektoren – X Y Z aus dem R drei – mit der Eigenschaft – das – Y – drei X ist – das für das Bild sein oder der Spalten auch – alle die können aus der Matrix rauskommen – und sonst keine ?? zu müssen entweder ?? hergeleitet gewesen Punkt typischerweise wird man in Software wie matlap anschmeißen bei dem Matrix sowieso tausendmal tausend großes N – oder Millionen ?? Vision groß ist – an das gar nicht zu Fuß rechnen – aber hier mal – entweder zu Fuß gemacht – das wird es Bild sein oder – streng bezeichnet der Spaltenraum – dieser Matrix was kann aus der Matrix herauskommen – das – sind alle Kombinationen – in der Kombination – ist der Profibegriff – fallen ja Kombinationen – der Spalten wie können Sie diese vier Vektoren – miteinander – wussten sonst immer den ersten sonst wie meine zweitens Komma drittens und vierten zusammen addiert – das ist das was ich rauskriegen kann genau das nicht mehr und nicht weniger – was ist also der Rang – dieser Matrix ✂ also mein – Schuh mehr sicher der Rang für was mit mit der Zahl der linear unabhängige Spalten zu tun aber der Kunde mathematisch nicht hier das hat – eigentlich was sie mit der Größe des Spaltenraums – zu tun wie viele Dimensionen – diese Freiheitsgrade – habe ich in den Spaltenraum – oder Bild – das hier ist eine zweidimensionale – Menge – deshalb sagt man heran S zwei – dass das hieraus kommt es eine zweidimensionale – Menge – an genau gesagt sogar zwei dimensionale – Vektorraum – eine Ebene keine gerade – am ?? könnte für immer die suchen bisschen zu skizzieren – ist ein klarer dass das nur – Ebene sein muss – X Y – Z – so – gelungen – X – Y Z – Fett ist beliebig – und Y muss das dreifache von X sein – Zettel ist beliebt – und Y – muss das dreifache von X an das heißt wenn X gleich eins ist groß Y gleich drei sein – wenn X gleich – ?? Isthmus Y gleich – sechs sein wenn X gleich minus eins ist das Y gleich minus drei sein sehen das ist eine gerade erst mal – aber jetzt ist RZ beliebig – was heißt das für meine Zeichnung hier ✂ Z ist beliebt das heißt auf beliebiger Höhe jeder dieser Punkte aber auf beliebiger Höhe – können beliebig – aus dieser geraden nach oben und nach unten gehen nach oben gehen und nach – unten gehen nach oben gehen und nach unten geht jeder Stelle – auf dieser geraden – das ist die Ebene – nicht ergibt – also die Ebene geht durch die Zeitachse tatsächlich durch – und daneben quer hier so durch die X Y eine Ebene des ?? zweidimensional – könnten jetzt auch noch der Technikebenengleichung – hinschreiben müssen dieser Stelle nicht tun – am – da kommt der Rang zwei her deshalb sagt man der Rang ist zwei wie viele Freiheitsgrade – habe ich in dem – Bild im Spaltenraum – wie groß ist das Ergebnis was rauskommen kann wenn die Matrix – eben – alles zu null macht das der Rang gleich null das Bild ist null dimensional – und so weiter dem ist die Größe des Bilds der Rang – zu mäßig geht man anders an schulmäßig sagt man dann abends gemäß eines ausgerechnet – an – wir gucken uns einfach die – Spalten – an – aus den Spalten ist ja alles zusammengesetzt – was aus der Matrix rauskommt und jetzt zählen wir einfach wie viel ihr unabhängige Spalten wir finden – die erste nehmen – und die zweite dazu diesen auf jeden Fallinger unabhängig kann ich die eine mit der anderen bilden – ein Vielfaches von null null eins bilden was gleich eins drei null ist und umgekehrt die beiden Rausch mindestens – in den Ideen dazu nehmen was für den dann auf ✂ der hier ist ja die Summe vom ersten und dem zweiten – also ?? genau und der letzte – ist das Doppelte von dem zweiten – auch abhängig das heißt die letzten Banken vergessen – die maximale Anzahl an Inger unabhängige Spalten ist zwei – bekommt man auf denselben Wert – dasselbe was man damit Mist wie viele Vektoren brauche ich mindestens – um alle Vektoren zu bilden die rauskommen – nebenbei aber jetzt wo ich gerade gesagt habe Beistrich zeigen ihm bei ?? jetzt auch sofort – die Zutaten für die Ebenengleichung – sehen Sie die Zutaten für die Ebenengleichung ✂ ?? brauchen wir einen auf Punkt sinnvollerweise – auf den Ursprung des Lebens durch den Ursprung in die null null null null null ist das dreifache von null toll – dann – dann langsam mal Einrichtungsvektor – der über einen eins drei null – sehen – sonst dreifache von – X automatisch und minimal einen anderen ?? null null eins – ?? wenn sie so vorgehen könnte der Teddy sofort Beistrich sofern es sich aus das ist leichter Ebene – sind immer noch hässlich aus aber sie wissen was ich meine das es gleich dieser Ebene – alle vielfachen von eins drei null – plus alle vielfachen von null null eins – da sieht man auch noch mal dessen zwei dimensionales – Gebilde sogar zwei dimensionale – Unterraum das macht dann gleich zwei – die – Dimension des Spaltenraums – die Dimension des Bilds immer wieder zu streng bezeichnet – und – gleichzeitig – die Zahl – die maximale Zahlinger unabhängige Spalten sie finden – so – bis zu hundert ✂ den Defekt finde ich am einfachsten so zu erklären wie für defekt sagt – wie viele Dimensionen – in der Matrix verloren gehen wenn sich diese Matrix angucken – dann gehe ich mit vier Dimensionen rein – den gehe ich in meiner Matrix rein – vier – bei drei Zeilen vier Spalten – ich weiß jetzt schon ich gehe mit zwei Dimensionen wieder raus – das was rauskommt an Menge an Vektoren hat zwei Dimensionen – Beistrich zwei Dimensionen – gehen ins Bild – zwei Dimension – zwei Dimensionen – Bild das ist der Rang – sollte schreiben vier Dimensionen – wegen – der ?? vier Spalten für Dimensionen wegen vier Spalten – gehen mit Vektoren aus dem er vier rein muss sicher Vektoren aus vier dahinter setzen – dass die Anzahl der Dimensionen der ich starte – zwei Dimensionen – überleben – und die übrigen beiden Dimensionen – verliere ich das ist der Defekt – ist gleich – vier minus zwei – der Mist und sie wollen wie viele Dimensionen verloren gehen das – defekt – wie viele Spalten habe ich minus ?? für Dimensionen kommt raus das ist eigentlich nicht die ursprüngliche Definition von Defekt – sondern ebenso hochgelobtes – mathematisches – Theorem dass das so zusammenhängt – ich bin so leichter – zu verstehen so messbar leichter zu verstehen ist ?? defekt sagt ?? Dimension – flöten gehen – bei dieser Matrix das müssen – zwei sein – bei zwei Bild landen von den vieren mit den Starteffektes – gleich – zwei – offizieller Maßen ist der Defekt etwas anderes wieder eine Dimensionsangabe – nämlich die Dimension vom Kern – sowie der Rang die Dimension von Schreiber mit dem Seite Bild es ist der defekte Dimension die Größe – des Kerns – Kern – sind alle Vektoren die zu null gemacht werden – gucke mir an – welche Arbeitsidee – kann ich ?? dran modifizieren und ich kriege Null raus die sammle ich alle zusammen – vorgemerkt – dann Vektoren aus dem FIA Vektoren sich einsetzen kann die sammle ich alle zusammen – das gibt den Kern – vielleicht einmal selber machen ja das sind immerhin – dann – löst es tatsächlich mal selbst welche sind das alle A B C D – die diese Matrix zu null machen – die bilden den Kern – versucht das ?? im gleichen System aufzulösen – welche das sind – und wie viele das sind sozusagen welche Dimension hat dieses Gebilde – wir wissen jetzt schon zwei Dimension haben Zimmer Komma – auf andere Art ✂ aller CD finden – das zu null machen – das gibt mir – drei Gleichungen mit vier Unbekannten – das – A plus C ist gleich null – ist gleich null macht drei A plus drei C ist gleich null – plus dreizehn ist gleich null sind die zweite Gleichung ist schon – überflüssig die erste Gleichung sei dasselbe Ding streichen – und es sagt – B plus C plus zwei D – B plus C plus zwei D ist gleich – null – und ich weiß jetzt schon – das nächste Ebene werden – ich werde das nicht komplett lösen können es müssen zwei Unbekannte übrig bleiben – an – unserem radiozugucken – sie sehen wenn sie Ahr frei wählen können Sie daraus C bestimmen – Komma wer mal sage Komma C ist gleich minus A – frei gewählt dann weiß ich C – und hier unten – wenn sie wenn sie aber gewählt haben – und immer noch ein Freiheitsgrad – schön ich weltweit obendrein noch B Beistrich nämlich D – ist gleich – oder sogar gebracht – Komma dass ich am – späten Nachmittag bereits in Einzelschritten – deinem – zwei D – ist gleich – minus B minus C – die beiden rüber gebracht – minus C ist gleich A das ist also abends B – D ist also – A minus B – halte – das netterweise sogar auch weiterhin äquivalent – an das natürlich jetzt wieder sehr Hände willen gelöst – nächste Woche gucken uns mal ordentlich verfahrenen Onlinesystemen – zu lösen – jetzt erstmals auf diese – halbseidene Tour – ich kann A und B vorgeben – frei wählen und dann folgt daraus was sie ist und was die jetzt – damit kann ich jetzt netterweise sogar eine Ebenengleichung – hinschreiben – zu wenn ?? zufrieden ich kann dieses Gleichungssystem – lösen – zwar nicht eindeutig aber ich kanns lösen – gibt unendlich viele Lösungen – es kann aber auch tatsächlich hinschreiben was diese ABC Ideen – im Sinne einer Ebenengleichung – sein sollen – sie das vielleicht mal selber – die können sich hieraus jetzt – so komisch ist scheinen mag eine Ebenengleichung – basteln A B C D ist gleich ein Vielfaches – im Alexander geschrieben – ich nenne das mal vom Wetter unersetzlichen – anzubringen Vielfaches von einem Vektor – plus ein Vielfaches von anderen Vektor – kommen Sie mal von hier – hier hin zu Richtungsvektoren – was werden sinnvolle Richtung Vektoren wieder heraus folgen – der See muss ich noch ein Ticket ?? ich habe gleich dazugeschrieben – das Ding natürlich wieder durch den Ursprung offensichtlich – wenn sich ?? null null null null einsetzen konnten und aus – den habe ich gar nicht dazu geschrieben das wird wieder eine Ursprungsebene – sein und ich muss doch noch einen Tipp geben – ?? statt Alpha und Beta nimmt er A und B – welchen Weg dann nehmen Sie mal an – welchem AB und kriegen dann das raus – mit diesen Zusammenhängen – auf erstes Lorelei – am – ?? – damit hier oben wieder Art stets – rechnen sie einmal eins – Plus B mal null – damit – an der zweiten Stelle wieder B steht Rechen sie Amal null und B mal eins – bis dahin – soll noch hinhauen so eine dritten Stelle soll minus A stehen – also rechnen Sie einmal minus eins und minimal null damit der minus A steht – und in der vierten Stelle D soll – A halbe – minus B halb stehen – so sieht das aus – Komma sie können direkt von – zwei Gleichungen mit vier Unbekannten – schließen – wie denn die Ebene aussieht – die dadurch beschrieben wird der diese Richtungsvektoren – angeben wenn sie noch Konstanten dahinterstehen – plus dreizehn oder sowas wird sie jetzt noch ein – Extravektor – geben für den auf Punkt aber diese Ebene geht der durch den Ursprung – damit damit zwei Richtungsvektoren – die offensichtlich auch keine vielfachen voneinander sind sie sehen hier steht nach eins da steht null versteht ?? null der steht nach eins das können keine vielfachen voneinander sein – was da rauskommt ist also tatsächlich zweidimensional – die Menge aller dieser Vektoren – ist eine Ebene durch den Ursprung ein zwei dimensionale Unterraum – und das ist eben der Kern der Kern ist zweidimensional – das ist die offizielle Definition – für den Defekt – der Defekt ist die – Dimension des Kerns – dann tatsächlich sogar den Kern ausgerechnet – das war auch eine sachlich haben wollte – okay Kern der siehe unten – ausgerechnet – am – ?? sollte noch dazu sagen – die mit dem Rang – bei dem Rank kann man erzählen – wie viele – linearunabhängige – Spalten man – maximal – findet zwei bei dieser Matrix – kann absurderweise – auch andersrum zählen wie viele linearunabhängige – Zeilen man findet zum Beispiel die erste – und die dritte – Sie finden maximal zwei linearunabhängige – Zeilen zu mäßigen Resten gerne Zeilen drang Wasser blödsinnig ist es ist der Rang – die Zahlen sind dieselben die Zahl der Erinnerungen – Spalten ist gleich der Zahl der Dinge unbedingt zeigen – ähm wollte ?? noch zeigen aber das ist mir zu kurz in fünf Minuten kann auf ziemlich billige Art Nachrichten ist es dasselbe sein muss – Punkt – egal wie rum sie rechnen es gibt nur einen Begriff vom Rang diese Unterscheidung auf alten Rang und sein Landes plötzlich – noch eine ?? kommt eigentlich hierher – die Dimension des Bild – ?? Vorderrad noch – abschließend – mal diskutieren was heißt denn das was wir jetzt rausgekriegt haben – für so ein Gleichungssystem – wieder so ein Gleichungssystem – steht – einmal – A plus einmal C ist gleich X – X – gegen ein fester Wert – dreimal Abschluss dreimal C ist gleich – Y – einmal Babys einmal C plus zweimal D ist gleich Z – so ein Gleichungssystem – steht – ich suche A B C D – ist ungeschickt bezeichnet jetzt ich suche A B C D das wenn man Unbekannten X Y Z wäre der fest – in die feste Zeit steht was sagt Ihnen dieses jetzt über das lineare Gleichungssystem – genau Gibson leicht drei X – das sagt der Spaltenraum – das hier ist nur möglich wenn der Vektor hier auf der rechten Seite auch aus der Matrix rauskommen kann wenn sie so ein gleichen System haben das sie sind meine Unbekannten das sie sind feste Zahl – und das soll lösbar sein müssen diese Zahlen hier so gewählt sein das sie aus der Matrix rauskommen können direkt aus der Matrix rauskommen kann dies X Y Z muss in dieser Menge liegen – sonst geht es nicht – wenn es in dieser Menge Licht angeht des gleichen Systems genau dann lösbar wenn dieser Vektor rechts im Spaltenrahmen – bildet – und weil das – zweite personale Menge ist heißt das ich kann hier nicht jeden Vektor hinschreiben wenn es dreidimensional – wäre dann können Sie weiterhin schreiben ist aber nur zweidimensional – Das heißt – typischerweise – wenn sie das in Würfeln – ist es Gleichungssystem – nicht lösbar – das lernen wir aus dem Rang und dem Spaltenraum – typischerweise nicht lösbar – es sei denn ist X Y Z nicht zufällig – auf dieser Ebene – mit dem Defekt ?? dem Kern der Hamas über die Eindeutigkeit – der Lösung – wenn Sie eine Lösung gefunden haben in Swap eine gibt ?? schon gelernt typischerweise hat es den gar keine Lösung – wenn es eine Lösung gibt weil der Rektor hier – gerade zufällig richtig gewählt ist wenn es eine Lösung gibt können Sie einen beliebigen Vektor aus den Kern dazu addieren – dann kommt er diese Matrix mal diesen Vektor gleich null dasselbe wieder raus – wenn es eine Lösung handelt aus dem Kern dazu addieren haben sie eine weitere Lösung – der Defekt sagt Ihnen jetzt zu jeder Lösung die sie haben wenn sie dort eine haben – können Sie mit zwei Freiheitsgraden – zur Seite gehen und haben weiterhin Lösungen sozusagen – endlich mal unendlich viele Lösungen – für jede Lösung die sie haben wenn sie eine haben das sagt der Defekt – wie eindeutig – ist die Nuss ist die Lösung in der Defekt null ist gibt es maximal – eine einzige Lösung wenn der Defekt eins ist sie Lösungsmenge – eindimensional – zwei Lösungsmenge – zweidimensional – wenn es überhaupt eine Lösung gibt