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01B.5 Abstand einer Gerade vom Ursprung, senkrechte Vektoren, Skalarprodukt


CC-BY-NC-SA 3.0

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sodas wardie einfache Vektorrechnunghier die Addieren Vektorenund wir modifizieren Vektoren bezahlenFile ineinander hängen sie sich in Aktion die beiden grünen Teile miteinander hängenSummevon Abziehenan gerade ebenzumindest rechnerischund Pfeile mit Zahlen modifizieren Vektor mit Zahlen multiplizierenparallel oder antiparallelund das unzufriedene Längensowie Fach ?? der Längeähm jetzt wollte ichzum Längenbegriffals solchen dieselbe Situationhiernoch einmal dieselbe geradeund ich suche den Abstand dieser geraden vom Ursprungauf das noch mal neu?? null eins drei zweiIonsind größerPunkt??null eins da so durchgehen?? Trialsbei??als Grademuss die Frage was ist der Abstand dieser geradenblau vomZiel Wasser haben mirganz ?? Lösung des hundert Papier auf den Bildschirm nimmt und dann erkannteWertpapierlandsiehtsound ich möcht jetzt den Abstand wissen den Abstand dieser geradenvom Ursprungdiese Streckedas heißt wenn sie die gerade so ganz gelungen wenn sie gerade senkrecht mit dem Ursprung verbinden sobesserdie gerade senkrecht mit dem Ursprung verbindenwie lang ist denn dieses Stückchendas kostet schon deutlich mehr Gehirnsschmalzaber ich sehe dass sie mit den geraden Gleichungen richtig vierzehntemWagenauswahlan diese Stufeschreibt ?? Thomas noch die Aufgabe dazu die Frage ist wasist der Abstand dieser geradenvom Ursprunghatte den ersten Schritt ich kann mir für diese blaue gerade eine Geradengleichungangeben alle Punktealle Ortsvektorender Punkte auf dieser geraden kriege ich als?? null eins plus Lambda maldrei eins das hat mich ähm schonerster Schrittbestimmen Sie diese gerade hiereine Gleichung für diese geradedie gerade auf diese Art auf der dieser Abstand abgetragenisteine Gerade durch den Ursprungsenkrecht zu unserer Original geradenbestimmen den Schnittpunkt der beiden geradenbestimmenden Abstände Schnittpunkt zum Ursprung?? was geht nach Hermanns weist noch viel einfacher aberes lieber das jetzt mit Victor mal ausführlich durchs exerzierendas im selben dass ich ?? mal selbst durchführen an eine Geradengleichungfür diese grüne geradeauf der der Abstand dann abgetragen wird eine gerade durch den Ursprungsenkrecht zu unserer na geradeSkalarproduktkommt dabei vor?? muss über das Skalarprodukt nachdenkenvon der Grünen gerade das alles ja schonvon der Grünen geradekann ich ein Punktganz blöd den Ursprung die grüne gerade geht durch den Ursprungder Richtungsvektor kann ich nicht von der Grünen geradeder muss senkrecht auf dem ihr den drei eins stehenPunkt selbst wenn ich nicht zur Skalarproduktweiß ich das hin?? drei eins drei nach rechts eins nach obenich suche ein Vektor der ?? dazu senkrecht istmich daräumlich in die Ecke manövriert??ein Wetter dazu senkrechtdenke ich doch einfach drei nach obenund einfach linkssie drehen diese ganze Figur um neunzig Graddrei nach oben einfach links also minus eins in der Exkomponentediese Figur neunzig Grad drehennach rechts wird nach obennach oben wird nach linksalso was gehen würde wäre minus eins dreides Richtung Sekten in der steht garantiert senkrechtauf drei einsaus dieser geometrischen Überlegung herausan damit gleich die geraden Gleichung hinschreibenjetzttotal penibel wäreauf den Gedanken null null weil das Jammern auf Punkt Plusmüdedenn im Jackson anderen Buchstabendenndie Zahl hier dieses Militärs allgemein was anders sein als das Lander daähmund das hat mich hier minus eins drei minus eins drei?? das können Sie hinschreiben ohne dass sie eine Idee haben wieder Skalarproduktfunktioniert?? die meisten hatten schon eine IdeeSkalarprodukt funktioniert kann mir auch in den Videos vorähmdas Skalarproduktsagt einem zum Beispielauf die Schnelle ab zwei Vektoren senkrecht sinddiese beiden je organisierten Skalarprodukt schnell nachrechnendrei eins mal minus eins dreiSkalarproduktgibt dreimalminus einsPluseinmal dreialso nullund damit Sack wieder Skalarprodukt die beiden stehen senkrecht aufeinander?? Vektoren sind danngenau dann dann und nur dann senkrecht zueinander wieder Skalarprodukt null ister in der Mathematik ist man dafaul und sachte Nullvektor steht auf allen senkrecht nicht mit ihr drei eins mal null null rechenkriegen sie auch nur raus also sagen wirum das Recht zu machen der Nullvektor steht auf allen senkrecht ?? auch keine Richtung hat zu lange jedoch ein senkrechtdazu ein Parallelrennensehr faul die ganze Angelegenheitals Skalarprodukt intensives Kriterium festzustellen als Vektor senkrecht ist wenn das Skalarprodukt verlässt das ?? die Beine konsequentan das wenn man es auch benutzen um es rückwärts zu bauenich suche ein Vektor senkrechtzu drei einswas schreibe ich hier rein damit da nur rauskommt?? ja dann tauschen Sie einfach die beiden Komponentenaus und machen einen negativoder virtuell an das Vorzeichen von einer solch sagtbeide austauschendas Vorzeichen von einer ändernunter null rausdas ist billiger als die man dann SenkrechtvektorBeistrich aber es geht auch komplett und ohne Skalarproduktnunbekannt Komma dasszum Skalarproduktdie Mathematiker finden das total tolle Skalarprodukt zu benutzen um fest zu stellen ?? zur Vektoren senkrecht zueinander sindamdass wenn sie es in der Physik nicht so häufig sehen einenvielleicht ja eine Flickr liefert auf diese Weise feststellen ob die Kraft senkrechtzur möglichen Bewegungsrichtungist das heißtdie Kraft bewegt nichtsam ?? im allgemeinenwerden sie dann in der Physik der Skalarprodukt anders sehennicht mit Spezialfallhier das ?? gleich null ist das wir für die Physiker eher langweiligwird sowas stehen die Kraft mal Weg in Skalarproduktist typische Skizze an der schrägen Ebeneander Körper hat erfährt irgendwie eine Gewichtskraftamin den BodenKomma dass Fund dann beweg ich ihn ein StückchenKomma was alsowirklich in ein Stückchen und dann sagt mir das Skalarproduktwas über die arbeite ich reinstecken muss ?? Arbeit gewinnen kann am mit den Vorzeichen ist das ganze als bisschen heikel wann ist die Arbeit positiver ist die Arbeit negativ und rein stecke wenn ich sie gewinnean was ist das Vorzeichen von der Kraft der Grenzen in der technischen Mechanik irgendwelche Regelnandas was ich lieber den Kolleginnen und Kollegen bevor ich in der Entente Unsinn erzählen was in der Physik sehen werden es auf jeden Fall in Kraft Vektor mal einen Wegvektordas ist die Anwendung für das Skalarproduktin der Physikwas rauskommt ist was mit Arbeit und Energiediese mit gleich nullist zum Spiel bei den Mathematikernwas spannend ist wie stell ich fest ?? zweiVektoren senkrechtaufeinanderstehen so damit habe ich diese grüne geradeweil viele das sogar schon zu Ende gerechnet haben?? insgesamt vormich interessiert der Schnitt Punkt hierdamit ich dann den Abstände Schnittpunktvom Ursprung bestimmen kannalso Schnittpunktbesuchein Punkt aus beiden Gleichungen rauskommen kannPunktwelche Punkt aus beiden Gleichungen rauskommen also muss sein minimal minus eins drei jedes null null persönlichen Schreibenüber minus eins drei soll sein?? Ausrufezeichenklarzumachen was ich da meine soll sein null eins Pluslanderdrei einsdas gibt mirzwei Gleichungenminus Mühemuss Dreilander seinund drei minus eins PlusLander sein das wäre ein Atem auslösen kannam?? dessen schöne Sachen sie selber machen könnennachdem was ich ihm erzählt habe passt das ganz gutdas wäre jafür Warmdu schaffst diese Gleichung hier Vektor gleich mit zwei Gleichungen zu zerlegen und dann Mühe und Lander zu bestimmendas Ding inzwischen anders sindwas können Sie beiden Seiten ANTUN beiden Seiten dieser Gleichung an tundamit diese Gleichung schön einfach wirddann sicher weiter ohnegleichen bleiben beiden Seiten irgendwas antun und die gleichen damit vereinfachenkonkretere Fragetun sie diesen beiden und die beiden Seiten der Gleichung etwas anderes sie mühelos werden das auf der linken Seite null stehtdie Lösung steht da schon mal den Vektor drei eins beide Seiten mal den Vektor drei eins Schrott das also malin Vektor drei einsdennein Vielfachesvon minus eins drei Mal den Weg für drei eins ?? St. Marienein Vielfaches vonminus eins dreimalden Vektor??drei einzusehen für Skalarprodukt ?? ausgeglichen Punktdievergangenen es auch gerne dort Productso das man sich auf der linken Seitewas da steht mal drei eins das muss ich dann aber auf der rechten Seite machemachenähm null eins Plus Lander mal drei einsmaldrei einsdabei kann nichts kaputtgegangensein ich habe beiden Seiten dasselbe angetan ich habe beide Seitenmit drei als modifiziertwenn das vorher gleich war es ist danach auch gleichich weiß nicht ob es rückwärts geht wahrscheinlich nicht aus auch relativ egal an der Stelle ich weiß das dass sie unten war sein mussokay das ist ?? Klammer zu heftig an dem sie das wirklich Reinalgebraist das kann man geometrisch deuten damit sich jetzt aber auch fünf Minuten nachdenken was das geometrisch heißtdann das schöne an derVektorrechnungist das man das so total unanschaulich machen kannich habe eine Gleichungder Stunde X hundert und neun ist gleich zweiundvierzigich habe eine Gleichung der Job ist diese Gleichung zu lösenich weiß überhaupt schon es gibteine Lösung von Goethes Gleis gibt eine Lösungslander mit und nur eine Lösung keine Fragemöchte Lander bestimmen oder ich möchte mir bestimmenin dieser unsäglichen GleichungKomma einfachvergessen was an Geometrie dahinter steckt oft eine gute Idee aber hierist es mal tatsächliche sinnvolle Idee vergessen was an Geometrie dahintersteckt und etwas was blöde Gleichungund wissenmanch beiden Seiten dasselbe antue habe ich wieder eine korrekte Gleichungalso was mache ich drei einsund beziehen auf beiden Seiten ?? auf der linken Seiteein Vielfaches von minus eins drei mal drei einsauf der linken Seite steht nullweil diese beiden Vektoren senkrecht auf einander stehen oder sie rächen es aus über minus eins mal drei Pluseinmal drei mal einszusammen null keine große Überraschungdasaß ich bin mir los gewordene steht nur noch Lander darein als Rechentrickdas ?? quadratische Gleichung mit Ergänzung auflösen und das ähnlicheshattensie noch erzählen was sie eigentlich im Detail passiert es dem Rat bei der Frage klarminimalminus eins drei eigentlich muss ich das erst mal ausrechnendas ist minus Müheund drei Mühlender Vektor minus eins drei mal die Zahl Mühe die vor der Stunde vier viermal minus eins drei hätten sie oben minus vierund rund zwölf minus vier zwölfdas ist das innere Ergebnis hier minimal eins drei und jetzt nehme ich dieses Produkt hierminus Mühe mal dreiProzentminus minimal dreiplus drei Meter mal eins Plus drei minimal einses ganz ausführlich rechne es mir mal drei Plus drei mal einsA wunderbargibt null wusste vorher schon alleingeometrischkeine Frage dass es tausend andere regelrechtekönnen die Gleichung hier einzelne Lesenhatte gleichen System mit zwei Unbekanntenähm das dürfen Sie von mir aus mit irgendwelchen Matrizengeschichtenbeliebig viele Möglichkeiten das hinzukriegendann jeweils schon normalPunkt von eben aufgreifenweil es dazwischen passteich beiden Seiten der gleichen dasselbe antue dann habe ich wieder eine Gleichungdas es jener Mann Aktion sind mit dem Skalarproduktalso linksfällt deshalb alles weg müssen draußenund rechtsdannkann ich das ausmultiplizierender Skalarproduktist netterweisedie Mathematiker sagen linearin hier eine Summe stehtkönnte die Summe auseinandernehmender erste Vektor mal den Kloß der zweite Vektor mal sehenwas ist null eins maldrei eins PlusLander mal drei einsmal drei einsauch schon ganz dreist hierkeine Klammern mehrLander mal drei eins sich eigentlich erst ausrechnenSkalarprodukt die so großzügig das muss ich nicht ich kann erst jeder Skalarprodukt ausreichend einmal Landerer mit dem Skalarprodukt können Sie weitgehend so rechnen wie mit dem normalen Produktsie können nicht teilenaber ansonsten kann sie weitgehend Minuten Normalprodukt rechnenan eben gab's eine Frage des ?? erklären Skalarprodukt in Zahlen??wenn sie sowas habenSkalarproduktes kommt eine einzige Zahl raus es kommt kein Weg HerausdetailsSkalarproduktweil eine ZahlKomma sagen die Physikerskalaauf einer Skala ablesbarin skalarmehr hintenkommt raus aus dem Skalarprodukteine einzige Zahl und diverse Fall einmal drei plus zwei mal viereine einzige Zahl nicht weit seinalso mit links eine Zahl stimmt einfach nur der Nullvektor sondern eine einzige Zahl ist null und rechts umneueähmwas wir das erste Skalarprodukt?? Nummer drei Plus einmal eins das macht eins ich muss mich durchringen deutsche Einsen zu schreiben Punktwahrscheinlich will ich auf dem SPD Zimmer Punkt im dezimal Kommawasverunstalten so die hinten drei eins zwei drei eins was gibt das Skalarproduktzehn einmal drei neun Plus Einmaleins also zehner Sammler seine total billige Gleichung jetzt auch wieder äquivalentmehr zu diesem Zeichennächstes mal in den nächsten Videosamwas weiß ich null ist gleicheins plus zehn Landernull ist gleich eins plus zehn Landerohne dass ich eigentlich gleichen System gelöst habewie sich ?? Farbton ist gleicheins plus zehnLanderalso weiß ichlogisch äquivalentdann und wann genau dann wennLander ist gleichminus ein zehntelminus ein zehntelimmer etwaserstauntminus eins sind sinnloser Richtung Vektorunser Richtung Vektor ist ein nachlinks und drei nach obenwas kann nicht sein also Lander moin Lander natürlich Landeres weiß auch Lander ?? auf dieser geraden hierbin auf derblauen geradenum Landermiteinander redet und dagegen natürlich gegen den Strich sozusagenLander ist nicht die einzigehier oben wäre Lander gleich eins das mystische Versagenist dann der gleich nullLander gleich Null setzen kriegen sie ?? Punkt null eins raus wenn sie Lander gleich eins einsetzen??null eins Plus drei eins macht drei zwei Kings ?? Punkt darum raus dann gerade ausgerechnet das hier wäre Lander gleichein Zehntel warum nicht minus minus minus eins entfallen minus achtzehnteich völlig unplausibel trotz meiner miserablen Skizzeund einzelne Checkamerste Juni Fertiglanderbestimmt jetzt möchte ich diesen Punkt ja ausrechnendann dessen Abstand vom Ursprunggesetzlich alsominus ein zehntel ein eins null plus neunzehnte drei eins ist mein PunktSchnittpunkt ist alsobesser gleich schreibenOrtsvektor der Schnittpunktistnull einsminus ein Zehntel maldrei einsmein Gedächtnis ja bei einsdas wird unübersichtlichähm oben haben wirminusdrei zehntelnull minus drei zehntel und unten haben wir einsminusein zehntelsindneun zehntelokaydas wäre der Schnittpunktminus drei zehntel neun zehntelKomma gerade guckenminus drei zehntel also ungefährminus ein drittel wenn das eins ist minus ein drittel ist nicht völlig unplausibelneunzehntezehn zehntel knapp vor der eins auch sehr plausibelwird will ich noch die Länge Wissendes Abstandsder Schnittpunkt ist einem ein Ende der Ursprung ist am anderen Endedann kommt Pythagorashabe ich ein globalen Grade gesehen jetzt kommt Pythagorasich kennezum sinnvollen Leerzeichen ich kenne meineBüchsenkomponenteich kenne meine X Komponente rechteckiges Dreieckeine Kathete an der KT die Suche die Länge der guten MusePythagorasdas ist nicht anders als die Länge eines Vektorslangeffektesist nicht anders als Pythagoras die Wurzelaus Summe der Quadrate der Komponentengenau das machen hier die beiden Athleten Quadrieren ?? Komponente QuadrierenSumme wurzelt raus gibt die Länge der gute News und das ist dann der Abstandnundiebeiden verlieren also neun Hundertstelfür den eineneinundachtzig Hundertstelmit den anderenwurzelt raus das Dach Pythagoras?? Quadrat groß W Quadratsummieren Wurzel ist Länge der guten Musedann bin ich also beim Wurzelprojektbin ich bei Wurzel neunzigHundertstelzu neunzehnteneunzehnter Genüssen bis hin ihr nochumformenWurzel aus einem Quotientenwurzelneun durch Wurzel sehen macht es nicht so viel besser ehrlich gesagtwäre also drei kurze neuntes drei durch Wurzel zehndrei durch drei Komma noch was können demnächst erzähl ich mal dann auch die erste Dezimalstelle ausrechnen von der wurzelszeneswilligeLeute meinen Sparenan drei durch drei Komma noch was wäreknapp vor einsO Wunderdass sie das sehr plausibel aus das ist die Strecke einzige Abstand jetztknapp vor einssowie das außen so gibt Drüsen der Klausuren aufstehen ?? vorzuziehenPunktgewusst was auch immer Wurzel neunzehnte sie natürlich nicht so richtig prickeln aus ?? die Wurzel aus neunrömischziehen kann aberwenn sie das entstehen lassen Wurzel neun durch Wurzel sehen oder wozu neunzehntedann sei es soähmin etwa so als Megawiese auf das Ergebnis kommen Haupt ?? stammt nicht aus dem Internet und nicht vom Nachbarnähmes sei denn ich dies ausdrücklich an manchmal schreibe ich dann ausdrücklich dazunicht mit Steigung sondern mit Vektoren rechnen ?? ich natürlich gerne mit Vektoren Klammer zu mit Vektoren jetzt hier so mit diesem Trickarbeitenoder ob sie jetzt an dieser Stelle nennen ?? ja dein System machenwie auch immer also ??bin ja wirklich pingelig wie sie jetzt auf das Ergebnis kommeneher schön wäre wenn ich die Idee habe wie sie auf das Ergebnis gekommen sind das irgendwas im Rechenweg da steht was überhaupt nicht schön istes wenn dann in der Propeller wenn dann in der Klausur stets Abstand ist gleichnull Komma neun besteht nicht anderes dabeidavon ist er nicht nur Komma neun und obendrein an?? verzichtet ?? noch nicht weiß wo das jetzt her kommt aber etwas richtig dran waralso lassen Sie mich wissen wie sie draufgekommen sindnull Komma neundas habe ich aus dem Internetoderdas ?? vom Partnerwird verifiziert durch Blick auf die persönliche?? ich mach das in der Klausur so das es für jede Aufgabe drei Punkte gibt es gibt ziemlich viele Aufgabenrelativ kleinteilig sind für jede Aufgabe gibt's drei Punkteähmfür das hinschreiben der richtigen Form ins kein Punkt zur ??ähmwenn so ein Bild da ist und da es schon mal was von senkrecht zu sehenden würde ich sagenokay ein Punktbis mit dem Betreiber diese Aufgabe überlegenhaben wenn sie unten lebendig ankommen dann drei Punktewenn sie sich zwischendurch verrechnet haben neuntes einundachtzigähmin Hamm achtzig ausdrücklich außer dass ein achtzig oder was denn zu bieten sah ich auch drei Punkt weil ich noch nicht gut rechnen an das Ergebnis völlig abwegig ist wenn sie neuntes ein achtzig rechnen ?? fünf hundert raus wennsich das abaußer Landes plausibel bleibt damit keine Problemeirgendwo auf der Strecke zwischendurch wird sich jetzt auf eine Kranich müssen wir dann für diese Aufgabe überlegen weil ich dann sage ist die Grenze zu zwei Punkten und einem Punkt aberallein ohne Formel oder so reicht mir nicht?? Verein Punkt ich will dann schon irgendwie in Ansatz sehenwenn hier oben der Ansatz erkennbar istund keine Ahnung von es mal schief gehenähmund sie haben überhaupt keine Idee bis jetzt den Abstand ausrechnen das geht völlig daneben oder sie vergessen die Wurzel das er schon hatte die Wurzel nicht zu habennahmdann würde ich sagenspätestensvon drei noch zwei Punkte unter das muss dann schon stimmenaberso weit es geht wenn sich zu Beginn verrechnen oder was falsch abtragenkeine Ahnung sie Vanian mit dem Punktvier zweiweil sie so in Panik sind an den anderen vektorrechtlichim allgemeinen dann auch weitermit dem anderen weg das kann natürlich sein das die Aufgabe dann zum Schlussverlangt das genau diese eine Vektor kommen zwei ähnliche Spezialfälle auftreten das ist ein bisschen blöd aber ich versuche ?? was auszuholenwenn sieam Anfang ging ein Unsinn veranstaltet habendanndas soll sie es aber nicht in Sicherheit wiegen die Durchfallquoten sind trotzdem ist übrigensein Drittel bis die Durchfallquote?? weil es mir aus verstehen ankommt sie können sich nicht drauf verlassen lassen Aufgabe von diesem Stil ankommen dann kommtdie Aufgabe ist jetzt verbranntwarenes wird nicht der Abstand einer geraden vom Ursprung reinkommen es wird total was anders sein Kommen mit Vektorensie können nicht einfach dieses Rezept auswendig lernen und sich dannzurücklehnensondern sie müssen verstanden haben was Vektor und tun was das Skalarprodukttut was die Länge eines Vektor sind und die müssen damit umgehen könneninsofernVorsicht nicht zurücklehnenund sprach Unterscheidung zwischen Punkten und Vektoren sie sehen ich schreibe ihr Schnittpunkt ist gleichähmwahrscheinlich wie der Kollege schon sagt falsch muss es heißenOrtsvektor des Schnitt Punktalsodannnicht ?? für die Kollegen im Internet anguckeeigentlich denke ich sind uns einig wissen da hemdsärmeligwar wenn der Schnittpunkt gleich Vektor stehtendlich allen klar das ist der Ortsvektor der Schnittpunkt zu besinnlich um den Ortsvektor in Schreibenanes ist gut Komma die Feinheitenmitnimmtweist doch zu leicht irgendwie an Blödsinn gibt zum Beispielfertig eben in der Vorlesung gesehen im Plenum deutlicher sagender Vorlesung gesehen wenn sie ein Skalarproduktbildenund einer der beiden Vektoren ist kein richtiger Vektor sondernein Punktdie Koordinaten eines Punkt dann heißt es immer Vorsicht Vorsicht Vorsicht irgendwas ist wahrscheinlich schief gegangenan Skalarprodukt sollten zwei echte Vektoren stehenLeerzeichenganz spezielle Situation mit Zentralkräftenund irgendwas ähnlicheman insofern ist es vielleicht doch gut sich in wieder klarzumachen was sind Ortsvektorenalso keineechten vollwertigen Vektorenund was sindPunktein wirklich keine Vektoren sindähmwürde ich ihn aber nicht ankreiden ich bin nachwie soll sagenwas groß ?? was das angehtihrer Äquivalenzfeilegenau dann wenn nur gleich eins plus zehn Lander ist da genau dann wenn nur gleich als Ossilander es ist aber gleich minus einzig zehn am?? bin ich persönlichimmer sehr pingelig bei dem was ich dahin schreibewäre schön wenn dies auch so hinkriegen aber streicht im allgemeinen nicht an Wentzsei gar nicht hinschreibenwenngleich was da gemeint es aus der oberen Gleichung wird jetzt weiter abgeleitethabensauber ist das schon wenn sie dazuschreiben?? sondern dieser Stellung klarmachenkann Lösungen dazu gewinnenhierhabe ich eine Gleichung beiden Seiten der gleichen durch dasselbe an dann kann es passieren das Lösungen dazuaus der oberen Gleichungfolgt die untere Gleichung aus der unteren Gleichung folgt nicht unbedingt die obere Gleichnis ?? im Apparat gesehenamdas ist sicher das sie zu schreiben ebenso wie sicherer ist aus McDonald's Ortsvektor und zu bezeichnen Schnittpunktedann als Punkte oder Punkte als Punkte zu schreiben zwei Zahlen nebeneinander statt Ortsvektorich werde jetzt nicht so pingelig es wäre hilfreich aber ich werde es sich pingelig