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24E.1 Integrale über zwei Veränderliche in Polarkoordinaten, am Beispiel sin(x²+y²)


CC-BY-NC-SA 3.0

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integrierenSie die folgende Funktionden Sinusausblicksquadratgroßes YpsilonQuadrat eine Fusion zweier veränderlicherintegrieren Sie diese Funktionüber eine Kreisscheibeund zwar die Kreisscheibemit Radius zwei und den ursprünglich hatte sie zu wirklichen Wörtern hin ?? Kreisscheibemit Radius zweium den Ursprung O aus meinem Essen tranken sie Integrale von drei bis vier von Sinus von X TXim zweidimensionalenhabe ich eben im Zweifelsfall etwas kompliziertere Integrationsgebietenicht ?? Intervall von drei bis vier es muss immer zwei liegendass man Integrationsgebietdie Kreisscheibe mit Radius zwei ?? Ursprungdas integralmöchte ich ausrechnen?? man sie Charisma klar Visiten diese Funktion überhaupt aus was es überhaupt gefragt bei diesem integraleinenSchritt zurück der Sinus von X QuadratX istin jemals wirddas Plattenfirmenwürde ZS gleich Sinus von X Quadratmeteroder siebzehn Quadratwenn sie einfach entlang der x-Achse gehen etwa gleich Null bei dieser Funktion wie sehr der so entstehtdadurch aus Z ist gleich Sinus von X Quadratgenaueinen normalen Sinus immer schneller schwingt es X Quadratist ja viel schnellergroß X viel schneller als das Xist Wasser müssen hierganz fürchterlich schnell schwingendund ich mache das hier schon symmetrischX Quadrat das wir gerade Funktion ?? werden Notar plussiebenins Quadrat sieben steht oder minus sieben ?? bereits über siebzig all das muss eine gerade Funktion werden?? gesagt es wird immer schnellerzu groß Xhin definitivwas passiert in der Nähe des UrsprungBendix ungefähr null istamBeispielnull Komma eins das Quadrat von null Komma eins null Komma null eins was ist der Sinus von null Komma null einsam einfachsten lineare Annäherungdes erst mal Null an der Stelle null sieben von null bis null ??gucken sie sich an was ist die Ableitung des Sinus eine Stelle nur groß X von null also einsder Sinusgeht mit fünfundvierzigGraddurch den Ursprung durchunternehmen sie die Ableitung mal wie weit sich von null weg sind Komma null eins ihre Schätzung ist bloß irgendwasdamit Ordnungsie schätzen also der Sinus aus null Komma null eins ist null Komma null einsder Sinus das X Quadrat Bendix ungefähr null ist ist ungefährX Quadratder Sinusfür Werte von X sichtbar null ist ziemlich genau gleich Xmüssen in der Ernährungder Sinus von X QuadratFixum vernommen ist Semikolon X Quadrat wir brauchen hier eine Normalparabelalso nach außenwird es eine immer schnellereSchwingunggerade Funktionsspiegelsymmetrischlinks rechtsund in der Mitte wird es praktisch eine Normalparabelje dichter sie an X ?? kommen desto genauer wird es eine Normalparabelsich überlegenesMusikvisummehr oder minder schönen Übergang geben von der Normalparabelin das oszilliertso wird das wohl im Prinzip aus in der Sinus von X Quadratjetzt will ich aber nicht in Sinus von X Quadrat haben sondern den Sinus aus X QuadratplusY Quadrat haben das Ganze in den RaumBayern erster in die Ebene Arbeits At-Zeichen dann in den Raumwenn sich Y nach hinten vorstellen ?? zeigt meine y-Achse nach hinten in den sozusagen von der Pfeilspitze rein guckenwas passiert jetzt räumlichmeine Funktion hängt von zwei veränderlichen ab was ich es gepostet habe ist wenn Y gleich null ist dann kriegen Sie dieseKurve lieber gerade eben hat schon gleich null ist entlang der x-Achsewas passiert ist in Y nicht mehr alles was es überhaupt X oder YQuadratumsich von irgend einem Punkt in der X Y Ebene gucken sich die KoordinatenX Ydann sagt die X KörperpositionQuadratwas ist der Abstandvom Ursprung ins Quadrat hinten steht der Abstand vom Ursprung ins Quadratmit ??Punkt in den siebzehn Ebene wie weit ist der Weg vom Ursprung der Städte der Sinus vom Quadratdes Abstands vom Ursprung?? was wird jetzt also insgesamt passieren wenn sie alle möglichen X Y einsetzen was passiert meiner Kurve ihrpassiert dieser Kurven sind alle X Y einsetzensowenn sie entlang der y-Achse gehen X gleich null Sinus von Y Quadraterlangte y-Achse gehen dann passierte genau dasselbe entlang der x-Achse das ersticken sie auch die Figur in der Mitte eine Normalparabelund nach außen hin passiert es immer wilderdas für den Antriebsachse passiert etwas größer sein könnenmüssen weiterhin von minus eins bis plus eins gehenmit unseren Sinus werdenso immer schön bis minus eins ?? bis plus einswas passiert wenn ich quer rausgehenaus dem ursprünglichenlinks Richtung nicht in Y Richtungsienehmen diese Figurauf der Töpferscheibe und gehen Sie einmal rum dieser Berg hier in den sie einmal wochenlang bei dem Werk und dann drehen sie Weiterbergbergwerkbei dem Berg und den sie weiter landen bei diesem Berg und dann wieder zurück ?? ich Mama nur die Bergspitzender männlichen bisschen heikelalso hier kritisch sondernBergspitzehier umgedrehtbin ich im Tal denn das wird dann von außen gut sichtbar sein hier kommt die nächste Bergspitzeund das dann immer in der sich vielleicht aus den Stein ins Wasser geworfen nicht ganz schlüssig als das etwas anders aber auf den ersten Blick für das Aussehen also den Stein ins Wasser geworfen habenkreisförmige Wellen es hängt ja nurvon dem er Quadrat ab es hängt nur von dem Abstand zum Ursprung ab egal in welche Richtung sie gehen der Fusion ?? ist der selbe es muss symmetrisch um die Zeitachse seinRotation symmetrisch und die Zeitachse sein das ist die Figur die man ?? bekommtund es möchte ich von dieser Funktionhier begleitet als Grafvon dieser Funktion möchte ich dieses integral ausrechnenwas es jetzt die Bedeutung von so einem integralsie haben so eine Hügellandschaftwird so sein integral ausgerechnet werden was bedeutet das integralsichnormalerweise als Volumen vorstellen sie haben so ein FunktionsgebirgeFunktion zweier veränderlicherzu einem Doppel integralkann man Sicherster vorstellen als das Volumenunter diesem Gebirge groß ist das Volumen druntereinfach integral wäre die Fläche unter einer Kurveflächedass wir das einfach integral die normale Vorstellung davon undDoppel integral wäreein Volumenunter einer Fusion mit Vorzeichensobald diese Fläche unterdie y-Achse singt negativ gezählt wir dann ja auch den Teil unter der x-Achsenegativdie Vorstellung die man davon hat Beistrich möchte ihr Ziel quasi das Volumenunter dieserwellenförmigFläche habenzwar das Volumen oberhalb einer Kreisscheibe mit Radius zweiist damit x-Achse gar nicht beschriftetwo ist X gleich zwei ungefährhier muss ich in den Sinus Pi eingesetzt haben Sinus und die S nulldas heißt man X war die Wurzel aus B die Wurzel aus zwei Komma noch was also eins Komma doch was unseres weißen Stückchen weiter leichterkann aber gerade guckenwir jetzt zwei einsetzen würden für X bekomme den Sinus ausihr rausetwas ins Tal dass es sinnvoll unsere Kreisscheibeliegt es also soauf der X Y Ebene statt auf Deck siebzehn Ebene das es die Kreisscheibehierdas Indikationsgebietund jetzt will ich wissen welches Volumen ist zwischen dieser Kreisscheibeauch eine Figurich glaube das Musik ?? noch mal im Ausschnitt neu habenzu verstrickt?? ohne Koordinatenachsenalso das ist meine Grundflächedie gesamteKreisscheibeist man IntegrationsgebietPunkt da lebt jetzt auf diesem Integrationsgebietlebtdieses eigenwilligeGebirgein dieser Formrotationsymmetrischsodas ausgehobenerBergund jetzt bin ich ein Volumen haben mit Vorzeichendieser Teiche unten hängt eine Schürze sozusagen dran hier untendiese Schürze die bekommt ein negativesVorzeichendas Volumen Version dranhängtdann gibt's hier ein Volumendas positiv istoffensichtlich größer ist als das was du als Schürze dran hängt die Summe aus beiden hätte ich gerne das ist das integraldie Flächen Anführungszeichen obenunterdiesem Gebirgesowieso besser die Interpretationvon dieser Form etwas laubgefragtesdieses integralwir wissen schon jetzt als es sollte positiv seine Konsole abschätzen wie groß ist die Kreisscheibeunser Sinus geht eins raufauf dem Maximumgeschätzt meine Größenordnungdas hier ist ein Radius von zweidie Höheist einsSie wissen also dass das integrales sollte positiv sein sonst wäre meine Anfrage sehr komischfür sie sollte nicht so viel beitragensollte positiv sein und es sollte kleiner sein alswasgeben Sie meine Obergrenze für das integral an anschaulichwie groß ist das Volumen ganz sicher nicht mehrsobestenfalls wie diese nehmen diese Kreisscheibewas ist die Fläche der KreisscheibeTiemann er Quadratvier Pi ist die Fläche von dieser Kreisscheibe und wenn sie dann darausein Zylindervolumenmachen mit der Höhe einshaben sie ein Volumen vonGrundfläche ist vier Pi mal höher eins diese schwarze Figur hat ein Volumen von vier Piund unsere blaue Figur hat garantiert ein kleineres Volumen an sich würde er die Hälfte davon aber vielleichtsechs oder durch diese Schürze wird abgezogen wird vielleicht noch weniger Klammer zu MinisterGrößenordnungungefährwas von sechs oder weniger würde ich abersowieso schon was rauskommen soll die mal Daumenjetzt etwas wirklich mal aus das integral ist da stehtich glaubedass er die Nummerzurück auf chinesische Koordinatennicht dabei die Kreisscheibe so ganz kritische das ist eine Privatnotationkeine Lust habe das in Worten hinzuschreibenKreisscheiben mit Radius zwei und den Ursprung und integriertwird die Funktion Sinus X oder Y Quadratdas Karies ungeschickt veranstaltensie könnenes so veranstaltendass sie die Kreisscheibein Streifen schneidenmeine x-Achse das ist meine y-Achsedie Kreisscheibe so in Streifen schneidenund dann über jeden einzelnen Streifen integrierendas wäredie elementare Art wie man so ein integral dann zerlegen kann in zweieinfach integral eine sehr ungeschickte ArtPlatz gelassen habenwenn sie die Kreisscheibe so zerlegenund damit das Volumen so zerlegensagen sie summieren jetzt hierdie einzelnen Schichten eine nach der anderenwas wäre die Reihenfolgeist das äußere integral das über X ist das äußere integral das über YdasÄußeres das um sie zu verwirren über Xzu integral ist sowas wie eine Summeeine unendlich feine Summe ist somit quasi diese Bretter ja das ist der letzte Schritt den ich machediese Bretter summierenden sprechendenWurstscheiben summierenund vorherhabe ich schon diese einzelnenPlättchen oder Wurstscheiben im Raum gebildetdas ist der erste Schritt ich integriere erst über Y und dann über XX von wo bis wo läuft Xschlimmstenfallsdas muss jetzt außen dran schreibenXvon minus zwei bis zweiIS minus zwei hundert plus zweijetzt muss ich aber vorsichtig seinen Mann Yich kann nicht dran schreiben Yvon minus zwei bis zwei was hätte ich dann eigentlich gemacht sich das Uran geschrieben dass es jetzt falsch was ich gemachtmit diesemintegral jetztkriegenalso dieses Quadrat wenn sie das machen würden sie würden mit Y immer von minus zwei bis zwei gehen egal was X ist die gemittelte ?? mit zwei bis zwei Y von minus zwei bis zweiihrer Integrationsbereichwäre nicht die Kreisscheibe sondern ein Quadratdass wir nicht die Aufgabe gewesenich muss mir für ein gegebenes X anguckenvon Vobis Wurzeln laufen sollsie wieder mit Pythagoras ankommensie gehen von minus Wurzelzwei Quadratminus X Quadratbis bloß vor sich ?? Beistrich plus davorplus Wurzel zwei Quadratmeter sechs Quadratdas sie ihrem Rand auf dem Kreis liegenwenn Y gleich dem hier es dann ist X oder Y Quadratsechs hundert und zwei Quadratmeter sechs hundert gleich zwei Quadratdas wird mehr oder minder schrecklich im Prinzip könnte man das ausrechnenaber es wird fürchterlich werdensie können im Prinzip dieses inneren integrallösen wenn sie ein Sterben zu finden würden für Y jetzt können Sie das innere integral lösen setzen in die Stammfunktionplus Wurzelminus Minuswurzel ein Ami ein fürchterlichen Ausdruck der von X abhängt und dann versuchen Sie den nach X integrieren davon Stammkunden zu bilden und von minus zwei bis zwei zu integrierendas wird haarsträubendwenn ich so ein integral habe mit einerRotation symmetrischen Funktionenüber eine Kreisscheibewäre ich ziemlich dumm wenn ich das mit chinesischen Koordinaten machen die geht man in Polarkoordinatensinnvollerweiserechnet das integral in Polarkoordinatenaus also ihr schaut ?? unter umständlichdas aber nicht auf diese Weise gehen in Polarkoordinatendie integrierenüber den Radius und über den Winkelder Reihenfolge Schaper den Winkel nach außenund den Artisten inder Winkel von wo bis wo läuft der Winkel bei dieser Figurund der Radius von wo bis wo läuft der Radiusbei dieser Figurzuder Winkel von null bis hundert sechzig Grad nur bis zwei Pijeder Winkelund egal welchen Winkel sie genommen haben der Radius ist von null bis zweinicht gleich zweiten haben sie nur die Kreislinie von null bis weiß daran ist auch nicht negativ der Radiusvon null bis zwei dass es schon deutlich freundlicher als das hier mit der Wurzelalso unser Integrationsbereichwird deutlich freundlicher in Polarkoordinatenoder Funktion müsse leider dazwischen schreibenund ich hoffe Sie wissendas sie jetzt noch was faul istmuss einen an einer Stelle vorsichtig sein was muss ich jetztauch noch ergänzenwennich mir dieses DR die Fi angucken ?? ich bin bei irgend einem WinkelfianschreibenX Y Ursprungund ich bin bei irgendeinem Radiuserjetzt gehe ich einen kleinenWinkel die viel weiter als Ingenieur davon sieht das so vorstellenMathematik ist etwas schwierigerhier einen kleinen Winkel die viel weiter ist hier einen kleinen Radius TR weiterkriege ich eine Briefmarkeund es eine sehr große Briefmarke geworden aber sei sodann kriege ich hier eine Briefmarkean Flächedieses Flächenstück will ich wissenBeistrich selbst dann ist es einfachdie XT besser miteinander multiplizieren na toll das die Fläche wie groß ist dieseBriefmarkehieralsoeher Museen den Bogen eher mal die FiThomasdas ist die Fi der Winkelkeine Winkel um den ich weitergeht dann ist dieser Bogen einmal die Fi ?? und dann ist die Fläche hierder senkrecht zur Erde fiel erder er die Fi dieses eher davon nicht vergessenVorsicht an der Stelle aber sie können nicht einfach statt X Y der Erde viel schreiben sie brauchen noch ein er dazudas könnte man das monströs herleitensowie Determinanten und was auch immer ausmachen einmal diese Skizze und dann ist hoffentlich klar je weiter sie draußen sind umso größer muss es Flächenstück werden wenn sie als innen drin sind dieses Flächenstück winzig können Sie auf die Einheiten angucken müssen Quadratmeter werden mit der man MeterMeter mal Meterund dass er dreißig Quadratmeterund jetzt habe ich mein Sinus davor die Funktion dich integrieren wird betreibe ich natürlich völlig kluge nicht Sinus aus X QuadratY Quadrat davorsondern was schreiben Sie hervorzu?? Quadratmeterschon in wechselnder Besetzungsquadratist der Abstand vom Ursprung ins Quadratdas sieht jetzt viel hübscher aus als das Wasser eben hatten alsoPolarkoordinatenstellte Corinna Ferdinand sind oft ein wenig um Integrale lösbar zu machen dieses integral hier ist eine Katastrophedieses integral hiersieht schon mal halbwegs brauchbar ausich übersetzte meine Funktionvon X und Y in R und Fifikommt gar nicht vor ?? setze die Funktion von dessen Koordinatenin Polarkoordinatenich übersetze das integral von der diesen Koordinaten in Polarkoordinatenaber vorsichtig ebenso einen Korrekturfaktordazugedacht Koordinatensystemsist ein anderer Korrekturfaktorüber Polarkoordinatenist es eherdasintegral richten Sie es mal ausihr versuchen?? Substitution?? ich sage mal U ist gleich R Quadratdie Substitutionsregelfunktionierteja wenn ich eine Funktion einer Funktion habeund dann noch die Ableitung der inneren Funktion rein zufällig als Faktor dabei steht er Quadrat ableiten nach R zwei er ?? zu happig sind also die Substitutionsregelhat Aussicht auf Erfolg in diesem Fall probieren Sie dasgleichein Quadrat substituierenichwill den er Durchuhr setzen und DR durch die EU ersetzen was ist die wonach DRdas ist er Quadrat abgeleitetnach der USA Quadrat R Quadrat abgeleiteten ARS zwar eher mit anderen Worten ist die EU gleich zwei er DR Post aber andersrum ich würde eher ersetzendie EU durch zwei erdas ist derich ersetze DRdue durch zwei erso das gibt jetzt das integral von null bis zwei Pi die Fi außenkeine Änderung innen drinnen in den ?? Klammer auf etwas verändertder SinusvonjetztBeistrich er Quadratund RTRRTRfällt wahrscheinlich jetzt doch so stehen lassen soll ?? soeben gestanden hat die Uist gleichzwei er DRraffinierter gewesenRTRist also die Uhr halbe so Beistrich dass wir keinen Ärger mit der ein durch Nulldie Uhr halbe ist Erde eher das es sich dabei näherte er ?? ist die halbeSalbe jedoch das innere integral gar nicht geschrieben ob sie die hier brauch man noch Integralzeichenund grenzen an dem integralwas schreiben Sie hier alsGrenzen anders in ?? dranwassoll das Rose eines wo soll er Quadrat sang er läuft von null bis zweidann läuft esvon null Quadrat bis zwei Quadrat des Urlaubs von null bis viergucken sich sicherheitshalber an was in ihre Funktion eingesetzt wird nicht das sie um vierzig Wurzel zwei steht statt zwei ins Quadrathier in den Sinuseinsätzenzwei ins Quadrat muss sich in den Sinus einsetzenund das sollte jetzt gradlinig sein das innere integralmanchmaleinzelnnur dieser innere Teil wirbrauchen eine Stammfunktionsetzen die Grenzen ein bis vier eine Stammfunktion zu Sinusuhrhalbeminus Kosinus Uhalten sie den minus Kosinus ableitenkönnen Sie den Sinus aus nullCentdas ist also minus Kosinusvon vierhalbeminusminusden Kosinusvon nullhalbermit anderen Wortenminus minus großist es also ein halbminus großes Vvierhalbe?? Komma das äußere integralgleichjetzt die dann aus noch integral von null bis zwei Pi innen drin steht ein halb minusKosinus vonmirhalbeund die FiSpencer integral von null bis zwei Pivon dieserEinführung sein Funktionwas passiertSiemüssen mit zwei Pi multiplizierenzeitlich was eine Konstante nicht quasi eine Konstante ich habe eine konstante Funktionwas in der Klammer steht ein konstanter Zahlenwertund wüsste gern was es integral zur Funktion von null bis zwei Pi Atollzwei Pi mal den Wert dieser Funktion die kürzere Stammfunktion machenKlammer auf mal die Grenze von null bis zwei Firmen-und sich also ihr kommt dann raus dass es zwei Pi malein halbminus Kosinusvon vierhalbeScan ich die zwei noch wegnehmenkürzen entsteht ?? das ist Pi Mal eins minus Kosinus von vierguckenob unsere Schätzung eben nicht voll daneben wareinsminusvierPunkt RadiantKosinussteht in der KlammerKosinus ist negativmehr als eins der Martinfünf Komma eins neunim habe gesagt es sollte weniger sein als sechsalsokeinund plausibles Resultatichformulieren Komma war der Gewinn Message istals ihr Korrekturfaktorsie können nicht einfach statt Kat dieses ?? Koordinaten Polarkoordinatenoder Zylinderkolben atmosphärischeKoordinaten ?? noch was einsetzensie bekommenim allgemeinen einen Korrekturfaktorohne den wird's falschwas mir schon in den Einheiten sieht Meter mal wieder Quadratmeter müssen auskommendie Fusion noch in MeterMeter ?? Meterhinten kommen Quadratmeter aus wie sich das gehörtunsdie Reihenfolge der Integrationob sie den Integrationsbereichso in Streifen schneidenUrlaubs den Integrationsbereichso in Streifen schneidenmuss ja egal sein ?? ist es auch ?? ist im allgemeinen abernicht leichter zu rächen also muss ich überlegen welche Reihenfolge die beste ist zum Rechnenscheint sie erstBretter in dieser Richtung raus und dann addieren sie die Bretter zusammen oder Basis umgekehrtes muss dasselbe rauskommen aber vielleicht ist nicht beides gleich leicht zu rechnen in diesem Falle symmetrisch ansässigerdasselbe gilt hier DR die Fikann es auch andersrum Artikel noch das über Fi integrieren und dann über ?? integrierenes muss das selbe rauskommenmuss man bisschen gucken was einfacher ist in welcher Reihenfolgediese Integrale einfacher sind ?? und wenn sie die Reihenfolge vertauschen wichtig auch das äußere integral das muss konstantenName außen darf es nicht stehen zwei plus Y oder sowas wo soll das Y herkommendas wäre ein ganz klarer Fehler das äußere integral ?? Konstante Grenzendes innere integral des Typs integral das darf Grenzen haben die von X abhängenals wenn sie ihnen konnte sie das integral haben sowas hier ?? integral ineinander Blabla Blabla D XYD Z dann darf das äußere integraleingrenzen haben die von irgendwas abhängen rein zwanzig bis zweiundvierzigBedarfe stehen dann zwanzig plus Xim außer integraldasnächste integral dass sie über Ydas darf Grenzen haben die von Z abhängendürfte stehen drei Plus Zbis fünf durch Zeit Quadrat plus eins was auch immer das erlaubtbei den beseitigt ?? dürfte es kein X dastehenX ist schon im anderen Weg integriert worden und innen drin bei den X integral da dürfen Y und Z Vorkommenin den Grenzenaber es darf kein X vorkommende Ding muss vorsichtig sein wie man hier die Grenzen und schreibt uns geht's schiefdas normal als der Geweih Messagezu den integral mit mehreren veränderlichen