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25C.1 Flächeninhalt und Umfang einer Ellipse; Bogenlänge


CC-BY-NC-SA 3.0

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hiermit?? mal eine Ellipsemit Halbachsendie sich schön ins Koordinatensystemeinfügenlängste x-Achseder y-Achsesoll ?? wachsendeseinEinfachheit halber auch für den Ursprung herummit Halbachsein RichtungAmit HalbachsenwieDaniel Masson an LängenberechnungenFlächenberechnungenWasser kommtsie überlegen sich als erstes war was die Fläche davon ist das müsste ohne Integrale gehenwie groß ist die Fläche Ellipse ohne Formelsammlungalsodiese Flächendie Fläche aus sie wissen hoffentlichBeistrich einer Kreisscheibe istEllipseund dann uns anwas denn mit derLängedes Umfangsder UmfangEllipsefinden Sie den auch ohne ?? aus Punkt dass man anUnternehmer weiter Komma nachwirklich eine exakte Formelhierexakte Vormittagaus der Formelsammlung?? selbst ausgedachtes kam wie er bis raus ich mache die Ellipse zu einer Kreisscheibe?? mir okay was passiert wenn ich die zu einer Kreisscheibe mache was passiert mit der Flächeund die Flächen der Kreisscheibedie Kritiker hinBeistrich die Formelmuss wohlsowaslediglich die Ellipseumgeformtin diese rote Kreisscheibewas passiert dabei mit der Fläche der Ellipseund dann berechnet die Fläche der roten Kreisscheibe das Werbestrategiesowasmache Stellung von Ellipse zu der roten Kreisscheibe von der schwarzen Liste zu roten Kreistauchealles was ich dazu habeich auch alles was sich daum einen bestimmten Faktorist der Witzeine Ellipse ?? wichtig zusammen drückedannwird siezu einem Preisvon Kreisflächedie Frage ist um welchen FaktorStaub Punkt um welcheSorte vielleicht nicht auf den Umfangschreiben Sonnenstauchungauf welchen Faktorals Erstarrung auf den Faktor ein halb wäredann alles nur noch ein halb so breitaufFaktorein halbals eine Skalierung um den Faktor ein halb eine Stauchung auf den Faktor ein halb wäredieses habe ich vorherich nachheralso alles nur noch halb so breitauf welchen Faktor machen das ihr damit das in A und Bdann überlegen Sie sich von derrotenvon der roten Kreisscheibedie Flächeund sie überlegen sich was bei der Stauchungmit der Fläche passiert das sollte offensichtlich sein?? so gestrickt die Stadt normalwir starten mit einer Kreisscheibemit RadiusBdie hat eine Flächevon Pi mal B Quadratumgekehrt wie obenhierskalieren sich die in Längsrichtungweg von demvon der y-Achsein LängsrichtungdieetwasausführlicherSkalierungin Längsrichtungum welchen Faktoraus der Länge B das ist B aus der Länge B muss die linear werdenSkalierung den Faktor A durch BEA durch die mal Bwird auchdas Instrument dann rückwärtsleichter zu verstehenSkalierung in LängsrichtungumFaktorA durch die dann wird aus dieser Länge wiedie Länge dadurch B mal B linearich habe?? und die neue Flächeweil ich nur in eine Richtung skalierbarist mit diesemZielflächeist dann Pi mal B Quadrat maldiesen SkalierungsfaktorA durch B können Sie ihn einmal SB kürzen dann sind Sie bei Pi mal A mal B sind einige sogarohne diese Überlegung draufgekommeneinfach vom Klima ?? ?? was mit Erfolg passieren aber das müsse unsichersichere Lösung ist einmal das Gehirn einzuschaltenals die Formel für dieFläche Ellipse ist KlimadasProdukt der beiden Halbachsen?? ich muss einmalsagen Punkt das mit der Skalierung klappt wenn sie in eine Richtunglinks eine Achse skalieren warum werden dann alle Flächen auch diesen Faktor eskaliertBeispiel anschmalen irgend eine Spur aufoder scanne ich es schön mit den Skalierungsfunktionenaus dem Problemchenzeigen überhaupt??ich mal irgend eine Figur auf und klebe die hübschen kleinen Briefmarkenzu dass sich die Briefmarken zählt Gänsefüßchen zu die ganz Mandarineder Flächenmessungnicht selten viel Briefmarken hier meine FigurdieFläche istdiese Figur jetzt nehme?? Leute mit der natürlich den Vorteildiese Figuren nehmenund in eine Richtung vorgemerkt in eine Richtung nicht insgesamt also nicht so skalierennicht so skalierensondern nur in eine Richtung skalierendann wächst die Flächeum denselben Faktor in dem ich da installiert hab ich jetzt hier nicht um Faktor zwei in Längsrichtung skandiertabermals zwei Längsrichtungdabei wird auf die Flächeder FigurPunkt Faktor zwei wachsen egal welche Figur das war die Fläche wird um den Faktor zwei wachsenwie könnte das ganz einfach sehen?? genau darauf vorhineine Briefmarke rein gepasst hatwelches das passende zwei Briefmarken reinoffensichtlichjede Briefmarke im Originalhat nun Platz für zwei Briefmarkenin dieserauseinandergezogenVersiondie passen zweimal so viel Briefmarken reinziehdieses Gitter was darin ist er genauso mitalso ist das jede Gitterzelle doppelt so groß wie das geht natürlich nicht immer Faktor zweiFaktor Pi und bei Faktorminus achtundneunzigdie Flächefalsch negativ rechnenegal welche Figur sie nehmenwenn sie Einrichtung skalierenBecks Flächeum den Skalierungsfaktorgenau das benutze ich mir das natürlich sehr einfache Figur der Kreiswird funktionierenwenn sie in alle Richtungen skalierenmal sicherheitshalberdiese Figur hinnehmenund ob Faktor zwei in alle Richtungen skalierendas ungefährso passierendas wäre Skalierungsfaktorzwei in alle Richtungen das habe ihm nicht gemacht ?? neuen Einrichtung skandiertSkalierungschreibe mal zwei in alle Richtungenwas wird dann mit der Fläche passierenwenn auch offensichtlich mal vier weil jedesjede BriefmarkevorhandenPunkt das warwas diese hierdie sie gernejede Briefmarke dieser Vorhabenhat nun Platz für vier alte BriefmarkenBeistrich das gesamte Raster der Metzgeralso vorsichtig ??nur in eine Richtung Skalierensflächemalin Skalierungsfaktormit insgesamt skalieren weniger jede Länge jetzt egal welche sie nehmen mit jetzt hier jede Mengewird jetzt jede Länge mal zwei genommenwenn sieinsgesamt skalieren alle Richtungen skalierendann ist natürlich quadratischim Raum dann dreiokay also dieFlächenformelfür die Ellipse dieses Geschehensdie Umfangsformenfür die Ellipsebei der Verarbeitung Formelsammlung geguckt und keine gefundenhabenmöchte man ja meinenUmfang eine Ellipseist fürs mal gerade vor und Skalierungsargumentnicht Punkt mit nicht fusioniert für den Umfangwenn ich mich nicht für die Fläche interessiere sondern es hat irgendeine Kurve ihrenangeskalierenjetzt diese Kurveund interessiere mich für die Längewarumist das nicht einfach die doppelte Mengegenau einigeTeile werden doppelt so lang andere Teile rein praktisch gleichdiese Teile hierdie vertikal verlaufen die beiden dann praktisch gleichund diese Zeit die horizontal verlaufen die werden doppelt so langes kann nicht hinhaut zum Schluss kann es nicht die doppelte Länge habendas wäre Zufall?? überlegen welche Kurven tatsächlich die doppelte Länge haben?? schöne Aufgabe ?? vergleichter aber erst der grundlegende Gedanke also wenn so skalieren machenum Faktor zwei Nix Richtungdann ist ?? Fläche verdoppelt schönaber sie wissen nichts über den Umfangeinige Teile des Umfangsbleiben so lang wie sie vorher waren andere Teil des Umfangs doppelt so lang schön in der Summepassiert jeden AnstoßBeistrich genau was mit dem Umfang passiertdie spannende Frage gibt's eine Kurve deren Umfang sich tatsächlichder Menge soll ich sagengibt's eine Kurve deren Länge sich tatsächlichverdoppelthier offensichtlich bei dieser Kurve nichtbei welcher Kurve verdoppelt sich die Längeein Vorschlag ParabelKomma was passiert was ist wenn ich eine Parade nehmen würdedie CDU Faktor zwei auseinanderinnigstenRichtunghier untensich vorstellen das ihr Mikroskop draufgehen und sagen es ist praktischgeradehier unten dieses Stückchen das wirdpraktisch um Faktor zwei längeraber dieses Stückchen hierdas Dorf der schräg das Wetter mit dem Faktor zwei länger das ist nicht so doll deutlich länger als ist länger geworden aber nicht den Faktor zwei länger geworden deshalb es auch komisch wenn insgesamt in ?? auf den Faktor zwei wachsen würdedas gar nicht hinhauen?? habendas die Länge jetzt hier auf das Doppelte gewachsen istmit welcher Kurve kriegt das Ines gibt Kurven die das könnenKurven die Debatte Skalierung mit Faktor zweiauf die doppelte Länge wachsen es gibt solchejadie hier??sowie wir nachher doppelt so langsamwenn sie die jetzt entlang Längsrichtungmit Faktor zwei Strecken haben natürlichdie doppelte Länge die kann es aber diese durch bisschen langweiliginsofern leider keine einfache Lösungum den Umfang einer Ellipse ausrechnendie schreiben das ?? mit Integralliegt sie mit dem integraldie Bogenlängeder EllipseEllipsemaletwas komplizierter behandelt das heißt müsse es überhaupt eine Gleichung haben die Ellipsedie Hälfte der Ellipse des Reichtums wenn man die Länge der halben Ellipse habendavon eine Gleichung und dann kann man zumindest das integral für die Bogenlänge hinschreibenPunktdas müsste jetzt inzwischen funktionierenprobieren Sie das mal als hier wieder Halbachse A Halbachse Bschreite dafür meine gleicheY ist gleichbla, bla, blamit X da drinnendann hätte ich gerne die Bogenlänge dieser Kurvegegenwärtigreingeschriebenund dann wissen wird es die?? der Umfang der Ellipse das doppelte davon istschon mal ganz dreist hier zweimalWiederholungszeichenzweimalwäre der Umfang der Ellipsehat man auf jeden Fall eine Formelmüssenzur Formel auch was anfangen kann ?? verratenman kann davon nichts anfangennicht vielKomma na zumindest meine Frau mit immer theoretischen?? Computer auswerten kann?? nur theoretisch könntezum Beispiel ein ??ich ?? mit der Kreisleitung ander Witz ist doch das die Ellipsebeeinträchtigt auch das Recht hätte der KreisPunkt das einfachste was jetzt machen kann funktionstechnischist das ichdiesen Kreis nehmen ständig Börsenpreisetwas Fantasie?? ich nehme diesen Kreisals FunktionY als Funktion von X ist ein halber Kreisals Funktionden halben Kreis Y ist gleichWunschdaraus braucht man ebendoch tatsächlichhäufigerX nach rechts Yobenundder Radius liegt hier quer durch den Gartendann haben wir das X Quadrat plus Y Quadratist gleichBilanz entweder?? Quadratich löse aufich will nur die positiven Y oder null haben also Y ist gleich plus die Wurzel aus A QuadratminusX Quadratdas wäre die Funktionsgleichungfür diesen Kreis ist auch nur noch zum Dramakenne ich aus bisherigen Jahrgängen die verschiedenen Sorten ?? Gleichungen auseinanderzuhaltenlegitime Funktionsgleichungfür den Kreis geht's mir nicht um die Gleichung fürFläche oder Umfang des Kreisesgeht zu einzelnenPunkt die Koordinateneinzelner Punkte auf dem Kreis als Andersons Angleichung über mit X und Y nicht mit die irgendwas mit Pi Vorkommnisist wahrscheinlich was schiefgelaufenbeim Umfang bei der Fläche Komma die vorsehenkommt nichts mit Pi vorbei den Koordinatendamit habe ich jetzt diesenblauen Kreisden möchte ich jetzt zurechtstutzendas ist der Halbkreisim rechtlichen zurecht stutzen dass es diese schwarzehalbe Ellipse wirdsie bauendie Funktionsgleichungdie Rechenvorschriftprofessioneller Weise sagen würde sie bauen Rechenvorschriftfür diese schwarze halbe EllipseY ist gleichirgendwaskönnen sich daraus zusammenrichtendamit können Sie die Bogenlänge auseiner ausrechnen sowie Geschichte sickern immerhin das integralmeineZeichen ist saumäßigtoll das es irritierendwerdenLeser natürlichdurch den Ursprung gehen sodas ?? soll ein Kreis sein um den Ursprungein reines Vektor zusammenZusammenhang zwischen Y und X für die mehrmüssen sie kriegen wenn sich erinnernwas über der Komposition von Funktionen hatten was passiert wenn ich achtundneunzig mal den Sinus von dreiundvierzig plus zwölfsollte das die blaue Kurve nehmen mal irgendwas nehmensie blau Komma nehme irgendwas heißt dann ja klein zu machen sie groß zu machen was Negativesuntenja schon richtige Breiteich musste die Y Werte der blauen Kurve mit irgendwas nettem Multiplizierenkann sich leicht überlegen mit welchem Faktorwennmöglich Beistrich bei ist gleich nullist die blaue Kurveauf der Höhe war soll ein halber Kreis mit Radius A seinist gleich null ist die blaue Kurve auf der Höhe wardie schwarze Sonne auf der Höhe weh seinund all das soll in den Faktor bewerkstelligender jetzt noch davor steht?? aus A soll B werden wie Canossa wie Werdens groß B durch Ader vorstellen das es der Faktor den Verbrauch?? sich dadurch weh sein kann sind sie schon daran das alle Mediengrößer ist als einssoll nicht mehr werden soll weniger werden als vorher wardas ?? der Skalierungsfaktorden ich brauche Ellipse Richtungkönnte das jetzt noch ein bisschen zusammenfassenwenn sie hier B durch A in die Wurzel reinziehenin die Busse reingezogen Witz B Quadrat durch A Quadratin der Wurzel sowie Quadrate ja Quadrat mal A Quadrat entsteht hier nur noch wie Quadratminusan die Platten das nebenstehendeQuadrat durch A Quadrat malX Quadratgerade in mich Dino ich das hübsch findeich aus Zeitgründenschenken wir uns das hier malmeine geile Sache natürlich ?? umformulieren das A und Bsymmetrisch auftauchen wie sieht so aus als am Arm denenverschiedene Rolle haben ich lass es mal aus Zeitgründen ihr Beinist eineFunktionsgleichungfür die halbe Ellipse und damit können Bedingungen einer ausrechnenvon bis Neujahr von minus A bis groß Akeine Fragein Längsrichtungin Höhe von minus A plus AWurzeleins Plus und Anleitung ins Quadratdie Ableitung von diesem Dingensquadratgroß Ealso wie durch AQuadratjetzt kommt die Ableitung der Wurzel ins Quadratdie Wurzel hier ableiten und zwar dadurch ?? Klammer zu Ende der TXdie Wurzel ableiten macht eins durch zweimaldie WurzelA Quadrat minus X Quadratdas ist die äußere Ableitungjetzt kommt die innere Ableitungmuss minus X Quadrat ableiten das macht mir also noch minus zwei Xzwei fliegt rausPunkt Ellipse denWannsee irgendwo schonsoll ich hier noch ein bisschen aufräumenkriegen jetzt also das ist vonminusA bis plus A die Wurzeleins PlusB Quadrat durch A Quadratwie oben minus X Quadrat macht also ?? X Quadratund die Wurzel patrouillieren A QuadratminusQuadratTXdas könnte man noch zusammenfassenkann schon viertel nachdas könne man auch bisschen zusammenfassen?? ich hab keine W lan Verbindung hierdannwenn Sie sich die Mühe machen das in Wolfram Alpha einzutretenwird in Wolfram Alpha Aussagen Hallo leider keine gute Idee aber ich hab hier maleine beliebig genaue Näherungsformelndass es wieder so eine Funktion von der man eine Stammfunktion in den üblichen Funktionen schreiben kannund dann haben sie den Ärger es gibt keine Formelkeine normaleFormelsammlungmalüber diese vom Kreis Geld für den Umfang der Ellipsedummgelaufenaber so ist das eine wahrnehmen