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27A.3 diskrete vs. stetige Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsdichte


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alsodas Roulette war noch ein Beispiel für eine diskreteZufallsgrößemeineZufallsgrößeist plus ein Euro minus ein Euro zwei Möglichkeitenwerden schon die Bindung ja Verteilung gesehen ich werfe Münzen und zähle wie die Münzen auf Kopf fallengab danndann so ein Mistprogrammanwir hatten die Wasserverteilunggesehenerklärt fertig das mit Fischendie erstreckt sich bis ins unendlicheall das sind diskrete Zufallsgrößendie Anzahl der möglichen Wertekann ich abzählenganz ermöglichen wird ist endlichRoulette oder hier bei der Binominalverteilungoder die Anzahl der möglichen Werte ist zwar unendlichaber trotzdem abzählbarbei dem Wasser die Zahl der Fisch im Netzist abzählbar dessen genauso vielewies natürliche Zahlen gibt das kann man glatt noch durchgehen lassen das sind dann alles diskrete Zufallsgrößenwickeln sie mit solchen Programmendarstellensie blocken die Wahrscheinlichkeitwas sind die Werte die auftreten können und sie Platten mit welcher Wahrscheinlichkeitdie einzelnen Werte auftretendie Summe aller Wahrscheinlichkeitenmuss eins seinso diskreteZufallsgrößenKommadie andere große Klasse sind die stetigenZufallsgrößendas istetwas das sie beim Messen haben beim Meßprozess typischerweisehabenamwenn SieirgendeineSpannungmessen?? als Kasse Firmen-und Voltmeterund sie fragen wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass diese Spannung exakt gleich PS drei Komma eins vier eins fünf und so weiteralle Stellen hinter dem Kommawollt wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass die Spannung die sie irgendwo messenauf alle Stellen hinter dem Komma gleich Pi ist wie groß sollte diese Wahrscheinlichkeit seindas sollte in der Tat Null sein und dann habe ein kleines Probleman das wirkt ja wie sonnenatomaresEreigniswie ein Elementarereignisund das blöde ist dass dieses Elementarereigniswahrscheinlich wird nun hat das sich genau diese eine Zahl rauskriegeistnicht nur extrem unwahrscheinliches ist extrem unwahrscheinlich es passiert einfach nicht das man Messwerteunendlich viele Stellen hinter dem Komma gleich Pi hatdanndas Problem habe hier nicht?? können Sie sagen okay das diewenn ich Münzen werfe dass ich dreimal Kopf sehedas hatten bestimmte Wahrscheinlichkeitimmer kleiner sein oder größer sein aber die ist nicht nur ?? ließ irgendwas zwischen null und eins nicht Null und nicht eins und hier bei den Fischen die groß sie wahrscheinlich gar dass ich sieben Fisch im Netz habe sich nicht nur nicht eins irgendwas dazwischennicht nullallem bei den diskreten Zufallsgrößenist die Welt soweit in Ordnung aber wenn ich diesem Fall von Messwerten habe ich ein kleines Problem ist die Wahrscheinlichkeitdes einzelnen Dingsnull istumund da muss man sich irgendwie rausgucken und dass man an einem einfachen geometrischen Beispiel aneine Dartscheibemein Experiment soll so seindassder Dartpfeilimmer trifftund zwar irgendwo aus Sizilien jetzt nicht auf eine besondere Stelle auf der Dartscheibe aber sie ziehen so das sie immer treffeneine sehr unnatürliche Annahmen aber stellen uns das vorzehn mit dem Dartfall so das sie immer auf die Scheibe treffen und was mich nun interessiert istdie?? ist wie weit der Dartpfeilwie bei der Dartfall vom Mittelpunkt entfernt ist das interessiert mich der Abstand vermittelt ?? meine ZufallsgrößeX seinalso meine Experimentesich werfe ein Dartpfeil auf diese Scheibeund ich messe den Abstand vom MittelpunktSemikolon Schaden Messwert zu generieren aber so kann man ?? zumindest was ausrechnen wenn ich sage bevor es irgendwelcheTemperaturenoder Spannungen messenmuss ich erst mal großartigüberlegenin welchem Schaltkreise Spannungen Messe oder in welchemthermodynamischen Versuch Temperaturen Messers als Wissenpublizierter ein billiges Experimentdas es verbissen an den Haaren herbeigezogenaber man kann tatsächlich mal sehen wie man rechnen würde?? mich interessiertder Abstandvom Mittelpunktdieses werde wie weit ist der Dartfall vom Mittelpunktentferntder Dartscheibe das interessiert mich wie verhält sich das zufallstechnischdas so meine Zufallsgrößesein als ein Experimentder Wein Dartfall ich treffe immerder zig vorausda fallen die Dateien sind nirgendwo besonders konzentriertüberallin der gleichenWahrscheinlichkeitwas immer das sein mag ??den wir gleich was das über das Bescheid beschreiben könnteunddieZufallsgrößedie das generieren soll ist der Abstand zum Mittelpunktähmdasselbe Problem wie eben wenn ich jetzt frage wie großist die Wahrscheinlichkeitsollte noch mal Maße angeben überhaupt ?? sage das Ding hatden Radius sehenersatzweise Wohneinheiten?? das ganzenatürlich nochverwirrender wird wenn ich sage das Ding hat den Radius ziehen und wenn ich jetzt frage okay wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass mein Abstandgleich fünf ist Hansi dasselbe Problemdie Wahrscheinlichkeitexakt diesen Kreis mit Radius fünf zu treffender endlich Dennis ist nulldasselbe Problem wie eben bei denSpannungenauf die einzelnen Wertedie einzelnen möglichen Werte offensichtlich von null bis zehn Dienste möglichen Wert möglichen Wert haben alle die Wahrscheinlichkeitnulldeshalb kann ich jetzt sinngemäß rechnen was vor hatte mit den Summen?? sie was anderes ausdenkenanwas man natürlich mal ausrechnen kann es jetzt ein Job für siewie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass dieserdas sind mehrgroß ist die Wahrscheinlichkeitdass ich in einem Abstand von vier bis sechs treffehatte das hier soll Abstand von sechs sein das hier Sonnenabstand obdas ein Abstand von vier seinwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass ich hier treffedies hoffentlich nicht mehr nullaber wie groß ist die eigentlichwahrscheinlicher diesen Ring zu treffenalso was ist die Wahrscheinlichkeitdasvier kleiner gleich meine Zufallsgrößekleiner gleichsechs ist die Wahrscheinlichkeitfür dieses Ereigniskönnen Sie die ausrechnenmuss ?? mal einen Tipp gebenwas heißt das dass ich die Dartpfeile so werfe dass sie nirgendwo besonders häufigoder irgend nirgends so besondersselten rein treffen das heißt ja dass diese DartpfeileinSoest einen einen Quadratzentimeterimmer mit derselben Wahrscheinlichkeittreffen sich das in Quadratzentimetervollaufgeteilt vor die ganzeScheibe in Quadratzentimeteraufgeteiltund jeder Quadratzentimeterwird mit derselben Wahrscheinlichkeitbetroffen vom Fallund jetzt zählen sie nach ?? Glaswenn alles sehr wahrscheinlich hat haben soll nach Plattnerglaszählen sie wie viel Quadratzentimeterin der roten Fläche sind die Zahl der günstigen Fälledurch wie viel Quadratzentimeterinsgesamt auf der Scheibe sind die Zahl aller Fälledie Zahl der Quadratzentimeterin der roten Fläche durch die Zahl der Quadratzentimeterin der Gesamtflächedas heißt sie vergleichen die Flächen das ist der Trick und vergleicht die Flächenalsoschrammte das Verhältnis der Flächen hinalsoeinfach mit Lapplands wie viel Quadratzentimeterhat die rote Flächedie Zahl der günstigen Fälledie viel Quadratzentimeterhat die Gesamtflächedie Zahl aller Fälle das durcheinander Teil des muss das Flächenverhältnisseinwenn die Dartpfeile jeden Quadratzentimetermit derselben Wahrscheinlichkeit treffenähmein Verhältnis zweier Flächen wird ganz oft Leertaste nur eine Fläche stand daskann nicht stimmen muss das Verhältnis zweier Flächen sein allein schon damit Einheit loswird Wahrscheinlichkeitauf eine Einheit habenähmdie Fläche insgesamt ist ja die einfachstePi mal zehn Quadratzentimeterreines Quadrat ist die Gesamtfläche der Scheibe und die FlächedesKreisringshier ist die Flächedes gesamten mit Radiussechs minus die Fläche des innerenmit Radius vier Euro berechnen Sie also Pi mal sechs Quadrat minus Pi mal vier QuadratB können wir kürzenund kürzen Unsummenund dann steht da sechsunddreißigminus sechzehndurch ein hundert sechs hundert sechzehnten zwanzig zwanzig durch ein hundertsind ein Fünftelwas meine ?? ist das meine Zeichnung offensichtlich ziemlich falsch ister der Kreissäge sie zu Beginn meiner Zeichnungals in einem von fünf Versuchen im Schnittim einen von fünf Versuchenwerde ich diesen Kreis treffenwerdensollte Komma wie eben sagenbei dem Roulettedas heißt natürlich nicht wenn sie fünf Versuche machen das sie genau in einem davon den Kreisen treffenwenn sie fünf Versuche machenähm eins zwei drei vier fünfkann das passieren dass sie genau dem einen davon den Kreisring treffen aber wenn sie nur von Versuche machen Beistrich auch seines die ganze ZeitKomma dass sie dreimal außen treffen zweimal in treffendas stellt sich erst auf lange Dauer ein nicht in die fünf Versuche machen sondern wenn sie Millionen Milliarden an Versuche machen das ein Fünftel von den Milliarden an Versuch an Versuchenauf der rotenFläche landet uns vier Fünftel der Milliarde an Versuchenaufdem Rest landetund auch das nicht exakt sondern immer noch plusminusein bisschenbessermeine Wahrscheinlichkeit ausgerechnet für diesen Versuch die zumindest mal nicht null istder Trick ist alsoimmer Wahrscheinlichkeitenausrechnen sich nicht Wahrscheinlichkeitfür ein einzelnesErgebnis anzuguckensondern sich Wahrscheinlichkeitenfürzum BeispielIntervallean Ergebnissen anzugucken die Wahrscheinlichkeitdass man Zufallsgrößeim Intervall von vier bis sechs liegt in diesem Fall abgeschlossen dabei und vier sechsTrotzdem wäre sehr schön irgend ein Begriff zu haben wieman den vorher hattebei den diskreten Zufallsgrößendass man sagen kann einiges ist wahrscheinlicherals was andereswenn ich das so nur habeich das Solo habe dann stimmt das alles noch ein bisschenes gibt den Trickdass man diesenRing hier in diesem Fall einfach viel kleiner kleiner kleiner machen lässt sich die nicht von vier bis sechs Sonne nicht viel von einem X bis zu einem X plus D Xmacht das etwa totalingenieurmäßigwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass meine Zufallsgrößezwischen einemXund einemX plus die die ?? verliert auch lange diskutieren soll das kleiner gleich oder teilweise auch kleiner sein macht an dieser Stelle keinen Unterschiedwarumich schreib das mal so ingenieurmäßigenwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass ich zwischen einem Xund einem X plus X liege also auf einem dünnenstreng genommen unendlich dünnenKreisringwie groß ist diese Wahrscheinlichkeitderartden Abstand X vom Ursprungund er sollin Anführungszeichenfür die Mathematikerdie zu höheren Anführungszeichendie dicke X habenwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdiesen Kreisring zu treffenPunktman könnte das so angehen wie hierFläche der äußeren Kreisscheibe Minzefächer rechnetdas Schreiben durch die Gesamtfläche??anmüssen alle Mathematikerweghören aber das könnte manso versuchendie Fläche der gesamten KreisscheibePi mal zehn Quadratdie FlächederHelmdes gesamten hiermit dem äußeren Radiuswäre Pi malX plus TX in Klammern ins Quadratminus die Flächewird ungeschickt gemacht ?? desinnerenalso nur Pi mal X Quadratnach ??und dann steht da auf dem BruchstrichPi malX Quadratund diesmal kürzen soll ich kürzlich erst die Priesters Neuverschuldungich dassound dann steht unten hunderthier steht jetzt X Quadratplus zwei XX groß D X Quadrathinausaus mathematischer Sicht aber lassen es mal sodas hier mit vinomiauseinandernehmenA plus B Quadratsapparatzwei ABGB Quadratin sich nochmaliges Quadrat abX Quadrat X Quadratsfeldraussehen was da bleibtzwei Xdie X durchhundertplusdie X Quadratshundertstelunddie Physiker und Ingenieure diskutieren das jetzt weg die X Quadratdas ist ja nun super Kleindecksoder klein seine Quadrate super kleinsehen was übrig bleibtX fünfzigstedie Xdas bleibt zum Schluss überX fünfzigste die Xnundas wäre die streng inoffizielleArteine nicht ganz so streng inoffizielle Art sich das zu überlegen ist folgendeoderdiese Fläche will ich ja wissen die Flächediesesunendlich dünnenKreisringswie kriegen sie aber total billig wenn sie den einfach aufhaltensie nehmen den Kreisringmit Radius X und Dickeder Xund verwandeln denin einereher lange gerade Streckeschneiden den hier einmal durchund liegen den aufdann haben Sie ein sehrdünnes Rechteckdas hat die Höhedie X?? lesen das hat die Höhe die X dieses Rechteckund es hat dieBreitedie vorher dieser Kreis an Umfang hatte zwei PiXX sollte der Radius seinals diesesRechteck hat die Breite zwei fix und es hat dieHöhe der Xund dann kriegen wir das genauso hindas Verhältnis der Flächenalso ist diese Wahrscheinlichkeitfür sie eben hattendiese Flächedas ist zwei PiX TXdiese Fläche durch die GesamtflächePi malzehn Quadratzu sehen oh Wunder?? komischzwei hundertsteX fünfzigstedie X wird komisch wenn ich das selber rauskommen würdedas kriegen wir als Wahrscheinlichkeitzu einemunendlich dünnenRing zu treffen X fünfzigstedie X und die X istdie in Anführungszeichen untenendlich dünne Breite dieses Rings das müsste man alles ein bisschenschicker machen mit Delta X und sich Grenzwerte überlegen oderman macht erst einmal fünf Semester Mathematik und etwas über ?? StandardanalysisKomma denn wirklich so rechnen darfwie Physiker und Ingenieure rechnen soputzig genau das richtige rauswas nur mathematischbisschen aufwendig zu begründen ist aber ich hoffe das es anschaulich klar ist dass das okay also wenn ich einen sehr dünnen Ring hier treffen will auf der Dartscheibeist das die Wahrscheinlichkeitden zu treffendieBreite des Ringsmal Xder Radius von dem Ringdurch fünfzigso und jetzt in der man den Begriff wahrscheinlich ganz dichtamwo sehen Sie hier eine Wahrscheinlichkeitsdichtedieses Ding hierdas istdie Wahrscheinlichkeitsdichtedas nennt sich klein Pwohlgemerkt klein Palso das Gleis kleines B von Xdie Wahrscheinlichkeitsdichtedieser ZufallsgrößeZufallsgröße warich werfe einen Dartfall auf die Scheibeund gucke was dessen Abstand vom Ursprung ist dessen Abstand von der Mitte der Scheibe istdas war die Zufallsgrößedas hier nennt sich die Wahrscheinlichkeitsdichteder Zufallsgrößesind sie multiplizierenesmit der Intervallbreiteso unendlich dünnen Intervall breit und kriegen eine Wahrscheinlichkeitaus dieser Wahrscheinlichkeitslehrewenn dieses Xdie Einheit Meter hatmuss die Wahrscheinlichkeitsdichtedie Einheitswahrscheinlichkeitpro Meter habeneine dichte keine Wahrscheinlichkeitsondern die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsie müssen es erst noch mit der Intervallbreitemodifizierenermitteln Wahrscheinlichkeitkriegtund diesesBild von X die Wahrscheinlichkeitsdichtehat jetzt die Rolledie man sonsteher bei den diskreten Wahrscheinlichkeitenfür dasIsogramm hataufschreiben hier WahrscheinlichkeitDichtedick unterstrichenwahrscheinlich als Dichte nicht die Wahrscheinlichkeitsondern ihre Dichtediese Wahrscheinlichkeitsdichtehat dieselbe Rolle ?? Centerhat dieselbe Rollewie dieses ist Programmin den diskreten Fall jetzt kann man sich tatsächlich angucken was wahrscheinlicherist und was weniger Wahrscheinlichkeitfür diese Zufallsgrößewenn sie wahrscheinlich als Dichte groß ist heißt dasdas auf dem selbenIntervall derselben Intervalllängediese Wahrscheinlichkeitinsgesamt größer wird die Wahrscheinlichkeitinsgesamtrauskommtundliefern die wahrscheinlich kein von ihm mir noch mal anders ausrechnenKomma ganz dreiste Drunterergänzungjetztdiese Wahrscheinlichkeitzwischen vier und sechs zu liegenum die auszurechnensummieren ich jetzt einfach aufwas ist die Wahrscheinlichkeitauf so einer Kreisscheibe zu liegen und auf so einer Kreisscheibe auf so einer Kreisscheibe ich meine dicke Striche um klarzumachenunendlich dünne Kreisscheibewas ist die Wahrscheinlichkeitauf einen diesen Kreisscheibenwenn die vielen unendlich dünnen Kreisscheiben zu hinaufsummiertdas muss die Wahrscheinlichkeitseindas ich zwischen vier und sechs liegein meinem Abstandalso dieses integriertediese Gesamtwahrscheinlichkeitmuss ich schreiben können als das integralvon vier bis sechsüber meine WahrscheinlichkeitsdichteB von XTXso ist das zu verstehenso wird aus der Wahrscheinlichkeitsdichteeine echte Wahrscheinlichkeitwenn sie die auf Integrierenvon bis dann wissen Siewas als Gesamt wahrscheinlich gar rauskommtübrigensder Scheck einfach mal sagendas hier auf der Seite ein kleiner ist oder ein kleiner gleich oder das hier ein kleiner ist oder ein kleiner gleichmacht keinen unterschiedbei diesem Experimentwar die Wahrscheinlichkeit dass sie genau vier treffen genau sechs Treffen gleich null ist insofernein Unterschied ob wir kleiner oder kleiner gleich schreibenmüsse manprofessionellerseitsbisschenstrikter seinwürde ich jetzt keinen Wert drauf an seine Stelle keinen Unterschied machtwenn das möglich istwenn ich meine Zufallsgrößeso beschreiben kanndasegal welche Werte hier nehmen nicht nur vier und sechs sondern auch Pi und sieben und wurzelt zweiundneunzigwenn das möglich ist diese Wahrscheinlichkeitzwischen zwei Werten zu liegenso zu schreiben mit einem integral über eine Wahrscheinlichkeitsdichtedann heißt diese Kistestetigim englischen continuedann ist diese Zufallsgrößeeine stetige Zufallsgrößein das Thema geht nicht nur für vier und sechs sondern für alle Zahlen wenn sie das immer so schreiben können als das integral von bisüber immer dieselbe Funktiondann heißt dieseZufallsgrößestetigkönnte Newswenn dem Baujahre eine stetige Zufallsgrößestetige Zufallsgrößenes gibt diskrete Zufallsgrößendes insoweit großen sind weder nochin der Praxis nicht ganz so häufig des Erblassers erst mal nur bei den stetigen ?? bei den diskretenstetigenmuss das immer möglich sein das sie so integral hinschreiben WahrscheinlichkeitenauszuweichenZufalls großanund wir können jetzt tatsächlich sogar angeben was diese wahrscheinlich als Dichte in ?? steht die wahrscheinlich als Dichte es kommen die wahrscheinlich ganz raus aus dem integral in steht wahrscheinlich Dichte können die sogar angeben hat mir geradeX fünfzigsteer kann normal nachgerechnet das wirklich stimmtes mir so glauben von vier bis sechs integriert sichX fünfzigstevon vier bis sechsintegriereich X fünfzigstedie XStammfunktionzu X fünfzigsteStammfunktion X Quadrat durch hundert und ich glaube das soll den schon irgendwie bekannt vorkommen X quadratisch hundert das hat Mängel bei der Flächenberechnungeben auch schonbis sechs und dann kriegen wir sechs Quadratdurch hundert minus vier Quadrat durchwandert und Sie wissen schon was raus kommt das Interesse vorallem wäre auch schlimm gewesen wenn es nicht aus Kommaso stellt man sich dieWahrscheinlichkeitsdichtevor wie wahrscheinlichist es das meine Zufallsgrößenicht genau einen bestimmten Wert hat sonderndiesen Wert hatplus minusein und entwischtein diesem Bereich liegt nicht genau da aber in der Ecke liegtohne dieses Text das Streicher dann wieder rausmuss ein Vielfaches der Intervallbreiteseindas wie Vielfache dieser Intervall breit ist das dass sie wahrscheinlich als DichteKomma ?? Schallplattensachdie Wahrscheinlichkeitsdichtehat dieselbe Rollelieber vorherfür das ist Programm hattendas X läuft sinnvollerweisevonnull bis zehnder Wert dieser Zufallsgrößeweihervon null bis zehn Zentner maximale Radius darund rauskommenjetzt Zahlen von null bisein Fünftelist jetzt die Wahrscheinlichkeitsdichtemeinte ausdrücklich ein kleines Pso verläuft meineFunktion hierdas istXfünfzigstedie auf der Höhe zehn bin ich also bei einem Fünftelzehn Einsätzen sind Proteste der wenn ich beim fünfteJahrP von X gleich X fünfzigstedasfunktioniertso ähnlich wie vorher das ist Programm funktioniert hatsie können jetzt sehen dass der Wert zehnder Wert neun unter Wert neun Komma fünf und der Wert acht Komma sieben deutlichhäufiger vorkommenals die Werteeins oder zwei oder Pi oder ein halbganz ähnlich wie vorhernur dieses jetzt durchgezogeneKurvesie können hier unten jetzt wirklich jeden Wert einsetzenPi und Wurzel zwei und fünf Komma siebendrei acht was auch immerjeden Wert zwischen null und zehn dürfen sie einsetzendie kein einziger Wert über zehn einsetzende beim Versagen eines die Funktion nulldas könnte man tun ?? links und rechts durch null fortsetzen könnte sogar jede Zahl einsetzennull sinnvollerweiseden Wert über zehn kommen nicht vor und J null Werte unter null kommt nicht vordas ist ein wichtiger Unterschied zu dennach ??zu den ?? ist Programmkönnen Sie nurendlich viele oder abzählbarunendlich viele Werte einsetzensie haben wirklich nur Balken die sind nicht verbunden diese Balkenbei der Wahrscheinlichkeitsdichtekönnen Sie alle reellen Zahlen einsetzensie können jeden Wert einsetzen die Kurve muss ich ?? durchgezogen sein das sind sie hierkönnte auchschlimme Verläufe habenanein unterschiedein anderer Unterschiedistjetzt kann ich natürlich nicht mehr auf summierenum den Wert eins zu kriegen nachVermerk hier konnte ich auf summieren alle Wahrscheinlichkeitenauf summieren die Wahrscheinlichkeit dassbereitsdas eine Münze auf Kopf fällt wahrscheinlich ?? zwei Münzen auf Kopffällen keine Münze und so weiter und so weiter alles auf summieren die Wahrscheinlichkeitdass ich keinen Fisch einen Fisch zweiMillion Fisch im Netz habe alle auf mir immer kommt eins rausan Isogramm muss die Summe immer ein ?? seinwahrscheinlich ganzes Programmfür diskrete Zufallsgrößenhier kann ich jetzt schlecht eine Summe bilden was soll ich jetzt addierenWurzel zwei den Wertpapierenwird das wird mir zu viel was hier eins vier ist die Flächediese Fläche hier also das integralgeradeeins werdenKönnervorsichtig gucken ?? ?? Na das ist ja netterweise einfach ein Dreieck sie sehen wenn sie die Fläche dieses Dreiecks ausrechnensie ist zehn bereits dies ein fünftel hochund die Gleitfläche ist die Hälftevon der Rechteckflächealso mal ein halb den ?? in der Tat das ist eins das muss so sein wenn sieüber ihre Wahrscheinlichkeitsdichteintegrierenmüssen sie eins rauskriegenvon der Anschauung auch klarich integrierte die wahrscheinlich Ganzdichte von vier bis sechs und kriege rauswie groß die Wahrscheinlichkeitistzwischen vier und sechs zu liegenwenn sie über die Wahrscheinlichkeitsdichtevon null bis zehn integrierendas muss er die Wahrscheinlichkeitseinzwischen null undzehn zu liegenPunktaber wir reden immer zwischen null und zehndass das sichere Ereignis das muss eins sein also jetzt tatsächlich integral ausgleichen habe ich schon Gleis muss eins rauskommenalso bei der Wahrscheinlichkeitsdichtehaben sie ein integraldas dann eins wird nicht mehr die Summe bei den ist Programm vorher bei dendiskretenZufallsgrößensummieren sich alleWahrscheinlichkeitenalso wahrscheinlich kalten Krieger eins raus hier die Gerichte wahrscheinlich als Dichteund kriege eins rausdas führtzu überraschenden Effektenwenden siehohe Peaks habendürfen die Peaksüber eins liegender wundert man sich manchmalalles kann passierenPunktes kann folgendes passierendass ihre Wahrscheinlichkeitsdichteso aussiehtund dassdieser Wert hierdeutlich über Einsicht sagen wirsagen dir sagen wir hundertdas kann passieren dass der bis hundert drauf fragtbei dem ist Programmkann es niemals passieren das da was bis ?? das was bis hundert drauf fragtder plus der plus der plus der plus der das muss alles eins ergeben kann keiner über eins liegendie Summe nämlich nichteins ergeben wenn einer von den über eins liegtbei wahrscheinlich als Dichte kann das passieren das wird öfters zu Verwirrungen?? wahrscheinlich als Dichte muss ja nur die Gesamtflächeeins seindiese Gesamtflächemuss eins sein das kann aber seindie Gesamtflächeist einstrotzdem geht der bis hundert draufkann passieren was für Abmessungen bräuchten sie hier damit das passieren kannähmdas kammbasierte sich vor dieses hier ist nur ein Hundertstelbreitdieser Wert und der Werte liegen dicht beieinander und das ist nur ein Hundertstel bereits dann kann das sehr locker passieren dann ist dieses hierdie Fläche eins und wenn sie dem bisschen umverteilenhaut das hinalso bei wahrscheinlich als dichten kann es passieren dass der Wert über eins liegt kann ich unter Null liegen aber kann über eins liegenwenn denn das ganze extrem konzentriertist insbesonderehier die Werte auf der x-Achsebeisammen liegen und den Infekt habendavon nicht irritieren lassenunddieser wahrscheinlich als dichten haben eine Einheit das habe ich jetzt nicht die ganze Zeit mitgeschlepptum es nicht noch schlimmer zu machenwennXdie Einheit Meter hatdas Ding die Einheit Meter hatmuss die?? also wenn wir hier die Maßeinheit Meter habenmuss dieses Ding die Einheit einst durch Meter haben diese Wahrscheinlichkeitsdichtemuss die bei Einheitswahrscheinlichkeiteiner Zooswahrscheinlichkeitpro Meter habenKomma dass es allein schon aus dieser Skizze begründen dass das einst durch Meter sein mussgenau die müssen sich kürzen diese Einheit und diese einer müssen sich kürzen?? ich Bilder integrierenund dann eine nackte Zahl eine einfallslose Zahlenwahrscheinlichkeithaben besonders ?? das gesamte integral Einsseinnicht über alle X sind die Lieder soll das integral EinsseinEinheit loswie von X Male X das gesamte integral sogar wenn sie wollen von minus ein bis plus unendlich Wert sicher zu gehen ?? wieder alle nehmeninsgesamt integral soll EinsseinEinheit losdie Wahrscheinlichkeiteinswenn das Ding hier die Einheit Meter hat muss die Wahrscheinlichkeitsdichtedie Einheit einst durch Meter habenist nicht Einheit losund natürlich wird nach ?? der Physik sind die sowas wie Wellenlängen?? wahrscheinlich das Sichtenfür Wellenlänge Wahrscheinlichkeitwie wahrscheinlich ist esin dem Intervall von sieben hundert Nanometer bis sieben hundert und ein Nanometer zu liegenden haben sie hier eben einst durch Nanometer zum Beispiel als Einheitfür die wahrscheinlich als Dichte bei den Wellenlängenzum Energie geht der sich hier mitschularbeitedann hat dieDichte dann die Einheit einst durch zuhören es muss zum Schlusswas einerseits rauskommendieser Begriff stetigbezieht sich ganz streng darauf noch wenn ich bitte dich ganz streng daraufdass ich meineWahrscheinlichkeitzwischen zwei beliebigen Werten als integral schreiben kann mit immer derselben Funktion das heißt an dieser Stelle stetig das heißt nichtdass diese Funktion darin stetig sein muss ganz im Gegenteil die Fusion der drindarf auch Sprünge haben sie können zum Beispiel habenandas Paar Werte eher selten sind dieserdieser Bereich eher selten ist dieser Bereicheher häufig ist dieser Bereichmittelhäufigistdas Wetter erlaubt ?? den ?? durchziehen sodas Wetter erlaubt als wahrscheinlich herzlichedas ist unstetigist ?? als Wahrscheinlichkeitsdichteerlaubt und dieZufallsgrößedie sie dann damit bauenheißt dannabsurderweisestetig weil sie ein wahrscheinlich als Dichte hatdas wäre okay wichtig ist das man ihren Sohn integrieren kann und dass die Fläche daruntereins ist dann sind wir im Spielund sie darf natürlich nicht negativ sein