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27B.6 Varianz, Standardabweichung; stetige Zufallsgröße


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt – eine stetige – Zufallsgröße – bei der ich nicht mehr die möglichen Werte durch Zellen kann – aber eine analoge Aufgabe – ?? groß X – ich sage mal an nur Werte von minus eins bis plus eins – eins – und ich sage ?? Wahrscheinlichkeitsdichte – an – ?? manchmal aus wissen was ich meine klein P – von X – soll sein – dreiviertel – Mal eins minus – X war – so beschreibe ich eine stetige Zufallsgröße – nicht mit – einer defekten fertigen Wahrscheinlichkeit – sondern mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte – und die Fragen – was ist Erwartungswert – hoffentlich kann es direkt sehen skizzierte das mal – was ist der Erwartungswert – von dieser Zufallsgröße ins Quadrat – und was ist die ✂ Standardabweichung – hier habe eine nach unten geöffnete – Parabel – die nach oben verschoben ist – und dies obendrein symmetrisch – zu X gleich null – sind es sechs Quadrat vor Punkt das eine gerade Funktion – die symmetrische – y-Achse – Beistrich sondern schreibe es natürlich – klein P – dann – zu einer Parabel – und – diese Parabel schneide ich ja bei minus eins plus eins ich sage es kommen nur Werte von minus eins bis plus eins ansonsten – passiert nichts – Wahrscheinlichkeitsdichte – null – so sieht meine Funktion aus – und die Bedeutung dieser Wahrscheinlichkeitsdichte – ist jetzt – das sind quasi die Fläche unter der Funktion – als Dartscheibe – benutzen – die Fläche unter der Funktion – ist auf eins normiert – man so schön sagt – unter der Funktion habe die Fläche ein so kommt sie dreiviertel zustande – hier mit Pfeilen drauf werfen – auf die Fläche – ist die Wahrscheinlichkeit – diese treffen insgesamt eins ich möchte nur auf diese Fläche werfen – und so weiter daneben diese – soll das nicht zählen – Punkt jetzt kann ich ausrechnen – zum Beispiel – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – in diesem Bereiche zu dieser Galopp minus eins und eins dran mal – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – in diesem Bereich zu liegen von minus – null Komma acht bis minus null Komma fünf – dass wir den integral werden – diese Fläche hier – die kann ich mit einem Strahl ausreichend was mit integral – von dieser Funktion ausrechnen sind Wahrscheinlichkeiten – sage das hier ist von minus null Komma acht bis zu minus null Komma fünf – ist die Wahrscheinlichkeit – dort zu liegen – das integral von minus null Komma acht bis minus null Komma fünf von meiner Wahrscheinlichkeitsdichte – Gedichte integrieren – das Kissen Wahrscheinlichkeit – erst – die Wahrscheinlichkeit – das genau null Komma fünf rauskommt ist Null die Wahrscheinlichkeit – das genau null Komma drei rauskommt ist null ?? die Wahrscheinlichkeit – dass ich was zwischen – null Komma drei null Komma fünf Kriege – das ist diese Fläche das integral – von dieser Funktion wahrscheinlich als Dichte von null Komma drei bis null Komma fünf und das ist nicht – das ?? von ?? wahrscheinlich als Dichter jetzt gehen Sie weiter ich möchteeinigen Erwartungswert haben den Erwartungswert – ich hoffe das indirekt ablesen können – Erwartungswert von X Quadrat ist spannender ✂ Vorsicht mit diesen integralen – das nackte integral – über eine Wahrscheinlichkeitspflicht – ist eine Wahrscheinlichkeit – dieses integral sagt mir wie großes Flächenstück – ist – wenn die gesamte Fläche eins ist heißt das diese Fläche ist nicht einfach die Wahrscheinlichkeit – darein zu treffen – das integral gibt eine Wahrscheinlichkeit – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – dass der – Wert der Zufallsgröße – jetzt zwischen minus null Komma acht und minus null Komma fünf wie – kann man Leute eben dieses integral von minus eins bis plus eins – ausgerechnet – von der Wahrscheinlichkeitsdichte – das ist die Wahrscheinlichkeit – dafür dass der Wert zwischen minus eins und plus eins nicht Überraschung ist gleich eins – hundert Prozent Wahrscheinlichkeit das hat man nicht mit ein Erwartungswert zu tun das ist nur Wahrscheinlichkeit – ?? ich muss – dich – Werte gewichten mit Wahrscheinlichkeiten – nur dann ganz Erwartungswert – werden – arm aber den hier gehabt – Wahrscheinlichkeit – mal wert Wahrscheinlichkeit – weil wir auf summieren – sich irgendeine Wahrscheinlichkeitsdichte – vorstellen – sind der – Bereich ist relativ – oft dran dieser Bereichs relativ oft dran – hier wenig und hier gar nichts – das soll mein Wahrscheinlichkeitsdichte – sein und die Fläche – darunter sollten – eins sein so soll die Funktion gebaut sein das ich rechnen kann Fläche ist gleich Wahrscheinlichkeit – ?? und dann stell was das wieder – in Bretter zerschnitten vor – Danzig – als Erwartungswert – muss sich – Mitteln – die Wertemitteln – nimmer Brückner dieses Brettchen mir das nicht an irgendeiner Stelle X das Brettchen – jetzt muss ich mitteilen – was ist der Wert – hier einzustellen – X – und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – da – typischerweise wird man eher sagen es ist die X breit – und es ist P von X natürlich froh – die Fläche von diesem Brettchen ist also die Wahrscheinlichkeitsdichte – meide X – in dieser hemdsärmeligen – Vorstellung – sagen die X weiß nicht ganz so unendlich klein sondern vielleicht – nur ein Millionstel – ein Millionstel zur Seite gehen – die von X nach oben gehen dann haben sie mehr oder minder ein Rechteck von dieser Fläche – also die Wahrscheinlichkeit – in den blauen Bereich zu treffen ist das das ist der Wert – plus minus – eine ganz kleine Zahl in den blauen Bereich das muss ich auf summieren – da steht Erwartungswert für stetige Zufallsgrößen – eine Summe – formal – interpretiert – eine Summe von Wert mal Wahrscheinlichkeit – ähm steht die Wahrscheinlichkeit – also das X nicht vergessen wenn sie das nächste nicht drin haben – haben sie nur eine Wahrscheinlichkeit ausgerechnet aber kein Erwartungswert – und das X – wird es nur ein Wahrscheinlichkeit – das sehen Sie auch an den Einheiten – sie müssen ?? für die Einheit von X ?? – da kommt sehr – O nebenbei – nebenbei – wenn sie X in Metern messen – was muss die Einheit der Wahrscheinlichkeitsdichte – sein ✂ Trio dieses integral soll eins werden eine – reine nackte eins ohne Einheiten – die Wahrscheinlichkeit – eins – nicht ein Juror nicht ein Kilogramm dieser eins rauskommen wenn sie X in Metern messen – müssen sie wahrscheinlich letztlich den Eid durch Metern messen sich Wahrscheinlichkeit – pro Meter ein – bisschen ungewöhnlich – also P von X meide X dieses Ding wird einheitslos – sein – das wird ein herzlos sein – wenn hier die eine von X ?? kommen soll brauche irgendwann X schon allein deshalb ist klar dass das X stehen muss selbst ohne diese Überlegung – lang geredet sie setzen es bei unserer Funktion ein – hier lohnt es sich eigentlich nicht aber sicher darauf reichte doch ich dachte sie machen es einfach so hemdsärmelig sagen was erwartet hier übrigens tatsächlich doch einmal aus – kein Erwartungswert – von X Quadrat ✂ erster von der Anschauung es war das Hirn einschalten – lohnt sich das ausgerechnet – jetzt gleich trotzdem ausrechnen – das ist noch mal sehen bis hin zum ganz billigen Fall ist – erster das Hirn einschalten – das ist quasi die X Koordinaten – quasi das ist die X Koordinate des Schwerpunkts – was da steht – wo liegt der Schwerpunkt von dieser Figur die symmetrisch – zur y-Achse – der Schwerpunkt liegt auf der y-Achse – X Koordinate Punkt Werbung muss Null sein das sie direkt an der Figur – fest Erwartungswert – null sein muss – diese Zufallsgröße – ist genauso – häufig zwischen sagen wir – null Komma sieben und null Komma acht wie sie zwischen – minus null Komma sieben ?? schlechte Zeichen ?? – wieder so Komma Simon minus so Komma – dass er sicher die Ballons – ein positiver Wert taucht – genauso häufig auf wie der entsprechende negative Wert – sollte sagen ein positiver – Bereich – mit Wahrscheinlichkeiten – null sind doch genauso häufig widersprechen auf wieder negative Bereich – ähm – also es muss nur rauskommen – aber wir können uns überzeugen das wirklich nur rauskommt – in unserer Situation ist Erwartungswert – also – das integral – jetzt schreibt aber nicht von minus unendlich bis plus unendlich hin ich weiß ja schon das von minus unendlich bis minus eins – und von eins bis plus unendlich nicht – möglich ist und dazwischen habe ich meine Formel für die also nur von minus eins bis plus eins – X und jetzt meine Formel für P dreiviertel – mal eins minus – X Quadrat – ist gleich die dreiviertel nach vorne – X Lines X hoch drei – steht in dem integral X minus X hoch drei – TX – ähm – setzen Sie ruhig die Klammern darein ohne die Klammern – glaubt man dieses hier zu lesen manchmal – als reine Summe integral bei Differenz integral über Klammern jetzt eine Stammfunktion – X Quadrat halben minus X hoch vier – Viertel von minus eins bis eins – die einzelnen Sätze nach vorn ein halb hier die einzelnen Sätzen sind minus ein – viertel – und jetzt abziehen die minus eins einsetzen – aber abziehenden – Seinsquadrat – minus ein halb – die minus eins einsetzen – gibt hier ein viertel minus aber ab zehn plus ein viertel sind Überraschung null dreiviertel mal null – schaffen wir die ausdrückliche dreiviertel mal nur ergibt null aber das wussten schon – so Erwartungswert von X wird Null sein – jetzt Erwartungswert von X Quadrat – endlich das – sich angucken was wir eben gemacht haben bei dieser diskreten – Zufallsgröße – wurde – ja hier – bei diskreten Zufallsgröße – Wahrscheinlichkeit – mal Vertreter wert Wahrscheinlichkeit – mal Vertreter wird Wahrscheinlichkeit – mag verwirrter werden die Werte werden verliert die Wahrscheinlichkeiten – bleiben – es immer noch dreißig Prozent von dem einundsiebzig von dem anderen das muss ich immer noch zu Einzeltieren und so weiter die Werte Quadrieren – bestimmt auch mit der Einheit sind X Meter hat es Erwartungswert – von – X Quadrat etwas in Quadratmetern – so kriegen sie dann auch die Quadratmeter – nur die Werte Quadrieren – Wahrscheinlichkeiten – bleiben – wir – hier das kann ja sogar dazwischen schmieren – was ist wenn ich den Erwartungswert – von X Quadrat berechnen will hier schreibe ich das Quadrat – ich nehme das Quadrat von dem Wert aber dieselbe Wahrscheinlichkeit – ähm – wenn ich den Erwartungswert – von – Sinus – meiner Zufallsgröße – berechnen will – was integriere – ich ✂ sie nur sechs Jahren den Wert nehmen davon den Sinus bilden aber dieselbe Wahrscheinlichkeit – ich nehme nicht dieses – X – sondern ich nehme den Sinus X aber die Wahrscheinlichkeit – hier zu treffen bleibt dieselbe – Punkt X das ist die allgemeine Formel – für die Funktion für den Erwartungswert – einer Funktion – einer Zufallsgröße – jammert aber eine ganz billige Funktion des Quadrat als das quadratische integrieren – sprechen hier mit dem Quadrat – die von X – Quadrat die Zufallsgröße X Quadrat ich rechne – auch wieder nicht minderwertiges plus unendlich weil – der größte Teil der nicht spannend ist der spannende Teil zwischen minus eins und plus ein verseuchtes Wasser statt null dreiviertel sie sofort raus X Quadrat – mal eins minus X Quadrat selben Wahrscheinlichkeit – aber mein Wert verliert – so das integral oder die Dreiviertelnahverkehr – Sommer das integral neu geschrieben ist von minus eins bis eins – X Quadrat minus X so hier – wie eine Stammfunktion – X hoch drei Drittel – minus X hoch fünf – fünftel von minus eins bis eins – und das macht – ein Drittel ?? die Einsätze ein Drittel minus ein fünftel – bei den negativen – hier das negative einsetzen in das ein Vorzeichen – muss es aber abziehenden – weiter plus einem Drittel was sie desselben minus ein fünftel – und dann habe ich zwei Drittel – minus zwei – Fünftel – sind auf fünfzehnte gebracht – ?? fünfzehn – minus hier mal drei – C minus sechs fünfzehntel – ein – Zehntel Arbeit habe ?? Faktor vorgehabt – dreiviertel – mal – dreiviertel – mal diese vier fünfzehntel – sind drei fünfzehntel sind ein fünftel das bei der Erwartungswert – vom – Quadrat – meiner Zufallsgröße – und jetzt kommt die die Standardabweichung – erstmals Quadrate standen dabei ins Quadrat ist immer noch – die ganz zu Beginn – sehr Begründung – Thomas – Wiegand zu begehen – ist die Standardabweichung – Quadrat immer noch die Erwartungswert – von der quadratischen – Abweichung – und das ist dasselbe wie erwartet wird von Quadrat Ministerrat – Erwartungswert – egal ob diskret – oder stetig – oder sonst was – das GT immer noch also hier rechne ich – für die Varianz das ist Erwartungswert – des Quadrat – minus des Quadrat vom Erwartungswert – Erwartungswert – war null das war einfach – Erwartungswert vom Quadrat integral ist ein fünftel damit sie nicht das ist ein fünftel – und damit kriege ich – die Standardabweichung – die Wurzel raus ist eins durch Wurzel fünf – Wurzel fünf ist etwas mehr als zwei ich teile etwas mehr als zwei ich kriege etwas weniger raus als ein halb – sich die Kurve angucken – da – ich kriege etwas weniger raus als ein halb was ich würde sagen – meine Zufallsgröße – ist – null – Erwartungswert – plus minus etwas weniger als ein halb so sieht man Zufallsgrößenprinzip – aus – im Mittel Erwartungswert kommt nur raus – plus minus etwas weniger als ein halb das ist nicht plausibel diese plus minus eins – das wäre offensichtlicher Blödsinn – ich komme ja nicht mal tatsächlich bis zu Abweichung eins – ?? plus minus etwas weniger sein halbwegs plausibel