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17G.1 Fourier-Reihe aus Taylor-Reihe
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Taylorreihe – gehabt – wie man Funktionen – mit Hilfe einer Potenzreihe hoffentlich – darstellen kann – geht um die Fourierreihe ich finde noch mal lustig das kommt selten vor in der Literatur ich bin noch mal lustig das gegeneinander zu stellen und zu zeigen dass die Fourierreihe eigentlich – auch so eine Art Taylorreihe – ist die beiden hängen extrem – zusammen wenn man ganz genau hinguckt – gibt doch noch mal die Möglichkeit zu einiges zu der Eulerschen Formel – zu Grenzwerten und so weiter zu sehen vor allen Dingen Wiederholung – noch ein bisschen ganz anderen – die Taylorreihe an was – hatten wir bisher die Taylorreihe – versuche eine Funktion als – Potenzreihe zu schreiben f von X ich versuche die als Potenzreihe zu schreiben ich – entwickle – Funktion an einer Stelle x0 – eine Potenzreihe – sieht die Funktion an irgendeiner Stelle X aus na – ja es ist mir – mit der minder wird an der Stelle x0 + – und dann kommt Strich – X 0 – mal wie – weit ich weggegangen bin – Ableitung an der Stelle x0 mal – wie weit ich weggegangen bin ins Quadrat halbe – hat mir schon häufiger warum Quadrat halbe sie zweimal ableiten soll die zweite Ableitung bestimmen wenn sie jetzt fahr mal arbeiten kommt erst die zwei nach vorne und dann ist das XC60 II davon steht muss weggehen – und so weiter – könnte man jetzt etwas – schreiben damit du ein bisschen mehr nach Foyer schon aussieht dass ich sage ihr vorne steht ein A0 – und da steht ein A1 – X - 60 – + – und hier steht ein A2 – X – - X 0 – Quadrat – durch zwei plus und so weiter so sieht schon bisschen mehr nach Fourier aus ich habe Koeffizienten – hier – A0 steht mit der nullten Potenza 1 steht mit der ersten Potenz für nächsten 60 A2 – steht mit der zweiten Potenz und so weiter so wäre das die übliche Potenzreihe – in der – ersten Zeile haben sie die übliche Taylorreihe mit Funktionswert – erste Ableitung zweite und so weiter aber das – ist eigentlich die Potenzreihe die – ist mit Koeffizienten eine – Potenzreihe geschrieben und – verschiedene Potenzen bisschen zu unendlich aufsummiert – über die – wer meine Formel – für diese us – Ente von – diesem Koeffizienten – wie – kriegen sie den ✂ dass man gerade durch ein Klingeln also hier das A0 das wird der Funktionswert an entwicklungsstelle sein dass – A1 wird – Ableitung an den Wicklung Stelle sein beim A2 brauchen Sie hier schon die zwei im Nenner und die zweite Ableitung – haben wir also – offensichtlich – es ist die Hände Ableitung dich habe ich mal so hoch n – Ente Ableitung in Striche oder – in Klammern an – der Stelle x0 – das geteilt durch n – Fakultät es – geht ja hier mit 34 weiter sondern mit 624 – und so weiter weiter – und sieht – die dritte Ableitung bilden sollte Dritter batim steht hoch 3 davon die dritte Ableitung die – kriegen was drei Fakultäten okay – das ist die Taylorreihe – jetzt wirklich die – selbst wieder rauskommt an der Stelle XS nicht selbstverständlich – haben Sie das auch mitgenommen – wann – kommt die Funktion an der Stelle XT60 – wieder raus ✂ damit ich die Potenzreihe überhaupt konvergiert damit das auf der rechten Seite Sinn ergibt muss ich – von Konvergenzradius – liegen mit meinem X vielleicht genau auf dem Konvergenzradius – wenn ich Glück habe auf keinen Fall aber außerhalb – schreibe mal so – x0 – im Konvergenzradius – keinen Fall außerhalb – nicht in die rechte Seite um die Ohren die Summe die Reihe die unendliche Summe konvergiert nicht sonst – und dann ist aber noch nicht sichergestellt dass der Funktionswert auch rauskommt tatsächlich die Funktion kann ja sonst was machen die kann irgendwas in Ableitung haben an – der einen Stelle das heißt aber jetzt nicht dass an der anderen Stelle der richtige Funktionswert – rauskommt die Funktion muss auch noch hinreichend – nett sein analytisch – nennt – sich das F ist analytisch die Funktion ist ein analytische Funktion – der Potenzreihe kommt auch der Funktionswert tatsächlich raus – üblichen Funktionen die Sie kennen sind – alle nicht – alle üblichen Funktionen die meisten Funktionen die Sie kennen sind analytisch – wie Sinus und Cosinus in E Funktion und Logarithmus und – rationale Funktionen sind auf jeden Fall analytisch das – stimmen die Potenzreihen wirklich – das ist die Taylorreihe – also ich baue – Funktion nach mit Hilfe einer Potenzreihe – die – Fourierreihe – bauen eine Schwingung nach mit – Hilfe von – Oberwellen – und am gleichspannungs Versatz – so super – entfernt die Idee auch eine unendlich – einer Reihe von écrire – von der Form auf den ersten Blick war ich nicht ganz erzählen und dann gucken wir genauer hin und stellt fest da – geht was es ist – doch – wenn man genauer hinguckt – die Fourierreihe ich möchte eine periodische – Schwingung – ich hatte dir doch auch wirklich Magie von TA tut – so als ob das dann immer von der Zeit abhängt – periodische Schwingung zerlegen – in sinusförmige – und Gleichspannung das mit der Gleichspannung hat – er mir gerne den Namen 10.04 – Arnulf schon verdächtig ähnlich – und – dann kommt die Grundschwingung in die eine Richtung C1 – steht dann davor und – das mit der Grundschwingung sieht jetzt ganz schlimm aus – i mal t – ist meine – Grundschwingung – kann man e hoch i mal t als Schwingung ansehen aus wir kommen jetzt noch ganz viele andere Sachen dazu gleich – wir fahren können Sie auch e multiart Schwingung ansehen ✂ hier stecken hast du Sinus und Cosinus drin mit der Eulerschen Formel hier steht Cosinus von t + E – mal Sinus von T – e hoch e t Form ist viel genialer – es geht zu – und wenn es darum geht sich vorzustellen was der macht ich hatte sind alten Videos vorgeführt dass man hier hoch IT und – die Oberwellen dann die Basisvektoren – aufpassen kann und das ist in der Form viel leichter das mit Kursen susieknows was ich hier stecken Schwingungen drin aber im komplexen die – Schwinge nicht in – eine Richtung cosinus – oder sinusförmig – sondern sie drehen – sich quasi im komplexen e hoch i mal t die komplexe Zahl mit der Länge 1 und dem Winkel te – wir drehen uns im komplexen und der Realteil ist dann ein cosinus – und der Imaginärteil ist – dann ein Sinus – stecken Schwingungen drin – Vorfälle – mit der doppelten Frequenz in – die gleiche Richtung – dann wie hoch 2 GT doppelte Frequenz da steht dann was sind Cosinus – 2 T-Sinus 2D und – andere Zahl davor plus und so weiter bis ins Unendliche – will ich zum Schluss aber reelle Größen raus haben und sie übers habe mit – Sinus wie werden sie jetzt dass sie wieder los wir – können Sie Phasen einstellen der – Trick ist man nimmt sozusagen negative – Frequenzen dazu – wir haben sie großes minus Sinus – und dann Koeffizienten – anziehen -1 sinnvollerweise Plus und so weiter 10 - 2 hoch -2 – GT – plus und – so weiter bis ins Unendliche das – wäre die komplexe Fourierreihe Sinus – und Cosinus ist es bald etwas anschaulicher – ist aber mathematisch nicht zu elegant das – ist die – Fourierreihe Sinus und Cosinus sind hier versteckt in dem E hoch i mal t – und jetzt gibt es ähnliche Formel oder – gar nicht ähnliche Formel zumindest gibt's eine Formel für die sicn eben – bei Taylor hatten wir eine Formel für die AMS gibt – es eine Formel für die CN – dieser – fourierkoeffizienten – was kommt – vor in der Formel ✂ Filtern aus einem bestimmten Anteil aus der Gesamtfunktion raus es ist so als ob sie ganz viele Samples nehmen und dann addieren gewichtete Summe bilden – nehmt Gesamtfunktion – und dieser sozusagen gewichtete Summe ist dann interessanterweise mit E hoch - – ENT – das was – dahinter steht Komplex – konjugiert ein Minus im Exponenten so – ein Integral – über eine Periodenlänge und – damit das richtig hinkommt durch – habe mal gerade so scheint es nicht ab über eine Periodenlänge nur bis Großzeh – die Periodenlänge – sozusagen – Mittelwert über eine Periodenlänge er – steht da groß ist ein TT Periodenlänge hier ✂ zwei Piece die Periodenlänge das Tragische wirklich mal 12 – P&I – 1 durch 2 PI – sie sich die hoch i mal t angucken Realteil – Imaginärteil hier – ist Tee mir ist e hoch i mal t komplexe – Zahl mit der Länge 1 und Winkel Tee – = 0,1 – raus – 360° – T = – PI – sie wieder 1 raus zum ersten Mal wieder der – hat die Periode 2 P6 – 28 das – ist die Fourierreihe – also ich schreibe meine Schwingung – zerlegt – in kreisförmige – Bewegung aber wissen es eigentlich Siemens großes drin mit verschiedenen Frequenzen Grundfrequenz – Oberwellen – ein Frequenz von nur Gleichspannung – sind die Drehung andersrum – doppelte Geschwindigkeit andersrum und so weiter – schreibe meine Stimmung – so zerlegt damit – das funktioniert muss natürlich – dieses geh auf jeden Fall periodisch – 1 – der Periode 2 PI – darf nicht zu schlimm sein – ich hatte es mal hier daneben gzb – eine Möglichkeit ist dass man sagt die ist stetig bis auf endlich viele Sprünge es darf noch schlimmer sein aber – du das was man in der Praxis typischerweise hat gehe – ich stetig – auf endlich viele Sprünge – also sowas hier – von dieser Art – sie – Sprünge haben um Periode soll ich sagen dass sie 10 Sprünge Periode haben – ansonsten können Sie – einem Strich durch Zeichnen – wäre – noch erlaubt – haben wir's Hehlerei und Fourierreihe auf einem Zettel – also bei der – gucken Sie sich nicht nur ein x0 – an und – dessen vielleicht kleine Umgebung sie gucken sich – Tees an alle Zeiten Tee und – versuchen – komplett darzustellen – für alle Zeiten dann stellt man fest diese – Gleichheit gilt dann im Service war nicht für alle Zeiten bei Sprungstellen – die Gleichheit problematisch – sich in den alten Videos erzählt – könnte man die jetzt gegeneinander stellen und wenn Sie genau hin gucken sehen Sie vielleicht vielleicht – vielleicht vielleicht – das grüne Weg sehen – Sie vielleicht was da geht inwiefern – könnte die Taylorreihe was mit der Fourierreihe und umgekehrt inwiefern könnten die beiden miteinander was zu tun haben ✂ der Witz ist ihr zu erkennen dass ehoch2 – IT das ist e hoch e t ins – Quadrat hier – unten hoch minus 2 GTI hoch minus et – ins Quadrat und – so geht das dann ja weiter e hoch e t hoch 3 ist – e hoch 3 iTheorie t hoch 4 = EBIT und hier unten dann mit dem inversen e hoch minus IT ist ja eins durch ihre – IT – passt zusammen dieses – Quadrat muss – was mit dem Quadrat zu tun haben und dann – geht's mit der dritten Potenz weiter e hoch e hoch 3 – mit der dritten Potenz oben zu tun haben – der Verdacht ist das – x-minus – x0 – sein muss wie hoch TT – Sie das Ersetzen – scheint da was zu gehen X – - 60 EUR – ok – A1 – XC60 – C1 majorité – Versetzung – stimmt xx0 – ins Quadrat MC – Yogi Tee ins Quadrat ist e hoch 2 bttr – der zustimmt hoch 3 und so weiter und dann – scheine ich dir aber noch die inversen zu brauchen es – kann man tatsächlich mit der Potenzreihe noch weitertreiben man kann die Potenzreihe auch mit inversen Potenzen wollte – ich jetzt nicht drauf eingehen – sieht so aus als ob sie noch eine zweite Potenzreihe dazu nehmen die mit inverse Potenzen – ist die Verbindung zwischen Taylorreihe – und Fourierreihe – das gucken was jetzt weiter sichtlich an wie das gehen – könnte an einem Beispiel noch mal der letzten Woche nehme ich die geometrische Reihe wir nehmen die geometrische Reihe darauf – noch mal wieder die reif für den natürlichen – Logarithmus und – gucken wie wir draus bauen können – man das interpretiert dass ich noch mal sehen dass das tatsächlich geht dieser Gedanke kann wirklich funktioniert und nebenbei – immerhin noch mal die Eulersche Formel die ist an der Stelle extrem wichtig – wäre mein Programm jetzt also wir gucken uns die – geometrische – Reihe an – das war 1 + X + X – Quadrat plus – X hoch 3 + bis ins Unendliche irgendwas ✂ werden jetzt mal zu weit bewegt euch nur, eins auf der linken Seite haben die 1, Periode – 1 = 10 Leute oder 1 durch 1 - 0, allgemein – haben sie eins durch 1 - und da – kam auch wieder der Konvergenzradius – rein wenn – der Betrag von X kleiner ist als 1 – dann können wir geht die linke Seite gibt's 1 / 1 - X – war die geometrisch schreib – hatten wir – integriert und – eine andere Reihe gefunden was passiert wenn sie integrieren ✂ links also eins – wird zu xx4 – zu X Quadrat halbe – X Fallout 4 zu xhoch3 – hübsch integrieren von 0 bis X z.b. – xhoch4 – Viertel – plus bis ins Unendliche auf – der rechten Seite muss was mit dem natürlichen Logarithmus stehen LN von – - X probieren – wir und jetzt bilden Sie testweise die Ableitung – als Musik sie leiten habt dass wir zu eins durch 1 - 6 mal die innere Ableitung x -1 also dass – wir uns eins ist ungeschickt - – allen 1 - X hätte sein soll – jemals das bestimmte Integral von 0 bis X aber letztes mal gehabt – Konvergenzradius bleibt – der – können Sie auf der linken Seite jetzt auch -1 – einsetzen – - 1 + einhalb minus – ein Drittel + 14 konvergiert so gerade noch – wenn X im Betrag größer ist als 1 – da nichts mehr das – war die – die übliche Potenzreihe für den Logarithmus mit Versatz sonst funktioniert das nicht ordentlich und machen wir es so früh hier raus – das als – Fourierreihe – nämlich – der – Trick war ja – übersetze – X - 60 / e hoch i tx0 – ist bei uns natürlich jetzt 04 – setze X durch die hoch IT – das war mein wäre mein Gedanke jetzt und da eine Fourierreihe draus zu machen nix = e hoch – das hier einzusetzen – links und rechts einzusetzen dann – muss ihn sofort auf fahren halt halt halt das ist gleich gefährlich warum – kann ich das jetzt nicht einfach – so einsetzen yahoo.it – links – und rechts einsetzen und hoffen dass das funktioniert was geht schief ✂ Tee hat den Betrag 1 und damit liege ich genau auf der Kante vom Konvergenzradius – das ist gefährlich und können – was – zusammen Lügen ich schreibe davor das ist ja mal die hoch IT – dieses er ist kleiner – aber ungefähr – gleich 1 – er gleich 0,99999 – dann ist der Betrag hier von gleich 0,9999 – wir sind innerhalb von Konvergenzradius – muss ich hin bisschen zurechtbiegen – wird es funktionieren mit – der Setzung mache ich das jetzt und – noch ein bisschen mehr wir – brauchten auch noch die negativen – Potenzen – typischerweise bei der Fourierreihe – brauchen die negative Potenzen aufhören was reelles rauskommen soll – ist der Eintritt hier X = r mal i OID und ich dich noch negative Frequenzen dazu – dann lande ich bei sowas – hier ich nehme – jetzt – für diese Reihe er – mal e hoch IT – plus – Quadrat – davon halbe – ist also R-Quadrat ehoch2 – TNT – EORI t quadrieren haben sie hoch 2 GT halbe plus – die dritte Potenz R hoch 3 – 3 Drittel – + – + und so weiter bis ins Unendliche ich – dichte jetzt aber noch negative Frequenzen dazu haben sie eben gesehen bei der Fourierreihe – bei der Fourierreihe gebrauchen auch noch die negativen – aus Cosinus plus Sinus – Kosinus – Sinus – real – ist destillieren zu können auf jeden Fall – sitze noch ein paar negative dazu das muss ich zugeben lustigerweise – kriegen – wir da jetzt Minuszeichen – müssen Minuszeichen nehmen - – in eine Formel minus er mal e hoch minus – et – R Quadrat x hoch -2 et – - – Herr hoch 3 mal e hoch minus – 3 – - – bis ins Unendliche – zusammengenommen – gleich – können Sie jetzt auf – der rechten Seite schreiben was – muss das zusammen ergeben ich habe bis stichfrei Strafrecht mal so das zusammengenommen ergibt was auf der rechten Seite ✂ kommt oben also dann - der – Logarithmus – von 1 - dem – X yamaki – hoch – ist der obere Teil – fehlt noch der untere Teil was kriegen sie für den unteren Teil ✂ insgesamt steht ein Minus davor - lach – oder - große Klammer bla + + + + das – Minus wird zum Schluss Logarithmus – 1 – - das bleibt so aber ist stetig jetzt e hoch minus – et da drin – mal e hoch minus – ETA – ist jetzt lustig ich habe hier auf der linken Seite was stehen was wir eine Fourierreihe aussieht GT2 – GT3 GT – und so weiter und so weiter eine – Schwingung biotisch mit der Periode 2 pieralli – aus dem Buche und – auf der rechten Seite sehen sie steht – perfekt die Summe aufgeschrieben das ist die Summe von – dem der – Grenzwert der Summe – das Ergebnis dieser Reihe sofort – in einem Rutsch fertig – ich die geometrische Reihe integriert – habe und danach da eingesetzt habe – fassen wir die rechte Seite noch zusammen – etwas schwieriger – ist als man – zunächst denkt – zusammenfassen wird – noch funktionieren – Sie mal die rechte Seite zusammenzufassen – Sie schon warum – das alles so ein bisschen Fischi – ist warum man aufpassen muss ✂ Differenz zweier Logarithmen der – Logarithmus des Verhältnisses – Plus – das im Zähler 1 - er mal e hoch minus GT mit – dem - dass im Nenner 1 - er mal e hoch IT – ist hat sich keiner beschwert dass das doch eigentlich ganz verboten ist warum – ist das eigentlich – zumindest gefährlich was ich hier veranstalten – sie das ✂ also Vorsicht – was – hier passiert ist der – komplexe Logarithmus – von komplexen – Zahlen – Logarithmus steht eine komplexe Zahl das ist nicht der natürliche Logarithmus aus, – sechs oder so sondern der natürliche Logarithmus aus 0,4 – + 0,3 – musste man jetzt über diese Gleichheit auch noch mal ausführlich nachdenken – stimmt es das sächlich an dieser Stelle – man die üblichen logarithmusgesetze – bis dahin noch weiter anwenden kann die beiden können Sie zusammenfassen obwohl – sie jetzt ein Begriff muss aus einer komplexen Zahl haben – das kannst du auch nicht hier ein – bisschen noch versuchen – zu gucken was passiert wenn – er – 1 – Uhr geht das ist ja eigentlich mein Ziel – habe dieses eher dazu gebastelt weil – ich nicht – direkt Yogi-Tee einsetzen kann wegen des Konvergenzradius aber – vorstellen dass es jetzt eher gegen 1 Uhr geht immer dich dann einfach nur, 9999999 – der – linke Seite ist das relativ klar zumindest formal was da passieren wird besteht 111111 – auf der rechten Seite ist es – etwas komplizierter zu – sehen – passiert wenn er – 1 Uhr geht – aber ich habe mal beides dazu also was passiert wenn er gegenseitig – formal zu von unten gegen eins geht dann haben sie auf der linken Seite einmal – E hoch gt – e hoch 2 halbe – + – 1 – x hoch – 3 GT 3 + bis ins Unendliche - – 1 – x hoch – 1 mal e – minus 2 et – - – 1 x hoch -3 et Drittel – minus bis ins Unendliche das passiert auf der linken Seite – passiert auf der rechten Seite wenn er – 1 Uhr wächst – was passiert mit diesem Ausdruck ✂ Einzelschritten mal dran ich nehme mal nur das was im Logarithmus steht – er gegen 1 Uhr – die schon ausdrücklich von unten gegen eins geht dann – steht da eins minus e hoch minus – et – 1 - e hoch – der Nenner null werden das müsste eigentlich behandeln – besonderer Fall aber – jetzt nicht drauf eingehen – er gegen – 1 Faxen das steht da – kann nicht kürzen oben steht ein Minus und besteht ein Plus ich kann nicht kürzen das ist ungeschickt das muss ich ihn doch den Trick verraten sie könnten ausklammern – und sie – ausklammern e hoch minus – ausklammern – aus dem Bruch – Nenner bleibt – - Sekurität – was steht da – beim Bruch ✂ hoch ist – ein bisschen versteckt und das zum ersten weil sie das ist ein bisschen Versteck Theorie – t minus rechnen – rückwärts hoch – minus et mal Theorie Theorie – Theorie – - -1 = – -11 – - et alles besser aus – ich klammere e hoch minus et aus – behalte von der eins ein EORI teda – und die hinteren hoch minus et den habe ich ja ausgeklammert -1 – jetzt sehen sie das ist was – viel einfacher ✂ sie kürzen dem Buch zu - 1 e hoch minus x – minus – eins – Zähler ist das - einfacher von der IT – ist - 1 Treffer von minus e hoch -1 – ist das - 1 fache von 1 sind – bekannt sein dass wir haben jetzt die natürlichen Logarithmus von – EORI – t x – -1 jetzt – müssen wir das noch ein bisschen raffinierter hinschreiben – möchte gleich den natürlichen Logarithmus bilden – komplexen was jetzt noch ekliger ist wie – können Sie den natürlichen – Logarithmus bilden von welchen Zahlen LN von irgendwas wie – können Sie schöne natürlichen Logarithmus bilden was sollte da drinnen stehen im natürlichen Logarithmus dass sie sofort sagen können was das Ergebnis ist ✂ möchte also in den natürlichen Rhythmus e hoch so so viel drin stehen haben der natürliche Logarithmus von E hoch – sollte das irgendwas ein bisschen komplexen etwas raffinierter – doch gleich noch mal diskutiert aber das – wäre der Gedanke das möchte ich jetzt zusammen schreiben als e hoch – irgendwas – wie – hoch minus et x -1 – möchte ich schreiben als e hoch irgendwas denken – sie sich mal aus was da stehen muss im Exponenten – Imaginärteil die – komplexe Zahl EORI Fiat die Länge 1 den Winkel 4 – kriege ich minus 1 raus ich möchte dahin ich möchte es für -1 hin da – waren sie 180° – ein Winkel von 180° – ein Winkel von pee - 1 = e hoch i mal Pi – Winkel von PI einsetzen 180° – dann kriegen sie -1 – -1 – ist also wie hoch die mal Pi und jetzt kriegen sie zusammengefasst – was – ist also insgesamt das Ergebnis ✂ hat ihren also die beiden Exponenten – minus TC – plus – jetzt kann ich den natürlichen Logarithmus bilden ich würde die natürlichen Logarithmus aus wie hoch soundsoviel – wunderbar – das klappt man – es gibt sie hier der Weg das ist alles auf ein Tier passt hier – eher gegen eins führt also draus – natürliche – Logarithmus aus – hoch – minus – et plus IP – und wenn uns die Mathematik nicht ganz im Stich lässt – natürlicher – Logarithmus einer – komplexen Zahl schmerzt – ein bisschen steht – da - – ET + – IP – das ist muss – ich gestehen mit Vorsicht – zu genießen – Vorsicht frage ich mal dazu es fehlt uns die Zeit zehn Minuten misfit leider die Zeit zu das nochmals auszudiskutieren der komplexe Logarithmus ist ein bisschen ekliger mit Vorsicht – Mehrdeutigkeit – schreibe ich mal dazu – nämlich nicht nur IP hinschreiben – können was hätten sie auch hinschreiben können und -1 rauszubekommen – nicht nur yippie ich möchte da auch funktioniert ✂ hirtengasse 3P hinschreiben können – Imaginärteil – nicht nur key nehmen können wir hätten auch – nehmen können wir hatten 5T nehmen können wir hätten ganz – schlimm - P nehmen – können hätte auch funktioniert wird mir schreiben können - EP - – EP aber – es kann ja nicht gleichzeitig + IP und - epizoda – nachdenken Zeit – haben wir gerade nicht irgendwelche – alten Videos zum komplexen Logarithmus und – dann noch mal nachgucken es ist der Weise der Sicht + IP – was ich noch mal genau überlegen es ist das sie Licht + IP und bei dem PC muss man sich das auch noch mal genauer überlegen – thaellysson sich als einsetzen wegen dieser Mehrdeutigkeit – ist – sind die TS – 0 und 2 – PI – wir einen schönen Hausaufgabe gucken sich diese fahre hier an er geht von unten gegen 1 Uhr das kann man schön skizzieren und sich dann noch mal geometrisch klarmachen dass das dann wirklich rauskommt dauert – ein bisschen länger wenn man das im Detail macht aber ich hoffe sie glauben mir ok – auf der rechten – Seite steht – wahrscheinlich – sowas - ET + – imati – habe auf der linken Seite eine – stehen – auf der rechten Seite steht - – ET Tussi – x PSE – ist jetzt noch nervig dass sie nämlich auf die linke Seite – machen sie damit dass ihr auf der linken Seite steht was machen sie mit beiden Seiten ✂ beide Seiten mali EMA - ist eins also – auf der linken Seite habe ich danima Klammer auf EU et + B hoch 2 + – B hoch 3 D3 – + und so weiter – 4 – hoch minus et minus – e hoch -2 – -3 – II – III - – und so weiter auf der linken Seite und auf der rechten Seite e mal – minus EDTA – ist – minus P für – 0 – kleiner t kleiner 2P – habe ich mir unter der rechten Seite vorzustellen was für eine Art – hat das sein – Herrentour hier ist eh da ist nur ne – die Achse könnte etwas größer geworden sein – sieht das aus t – Minus – Fourierreihe – für TP ✂ mit der Steigung 1 die 0 wird wenn ich PI Einsätze – so aber – halt das kann jetzt ja nicht stimmen wie – sieht meine Funktion wirklich aus die ich jetzt links gebildet habe so – wird sie nicht aussehen – was passiert ✂ Funktion ist also periodisch werden wenn CO2 die wächst kommt links das Gleiche raus – 0 und 2 stimmt – diese Gleichheit haben – ansonsten ist die Funktion die da gebildet wird periodisch – das heißt sie muss ich dann so – wiederholen – diese Art – sehen Sie sie geht jetzt also auf bis sie hier oben geht's hier auf bis P&C startet da unten bei minus – wieso sieht die Funktion aus die man bildet – Es gibt nur eine schöne Sprungstelle hier – wir doch schon mitgenommen was passiert an der Sprungstelle ✂ Zoey kriege das immer die Füllung in der Mitte oben haben sie noch unten haben sie Loch in der Mitte wird – die Sprungstelle gefüllt oben ein Loch unten am sind doch da wir die Sprungstelle gefüllt das – ist die Funktion die aus der linken Seite raus kommt ein Sägezahn – dass er getan – ist jetzt eine total andere Art zu sägezahnschwingung – zu kommen als die die ich in den bisherigen Videos vorgeführt habe – geht – man über – Integral hier setze ich meinen Sägezahn – ein rechne diese integrale aus und so weiter wird schon irgendwie gehen und Kriege da mit Koeffizienten raus das ist der übliche Weg und – jetzt habe ich Ihnen gezeigt sie könnten lustigerweise auch über eine Potenzreihe gehen – kriegen – die Art natürlich dasselbe Ergebnis für den Sägezahn raus so kriegen sie einen steigenden Sägezahn – mit der Periode 2 PI – am Sprung – der Zeit 0 und 2 PI und so weiter – wissen wir also folglich – diese Fourierreihe hier imany – Hochried E-Plus ihm als ich hoch 2 GT doppelte – Grundfrequenz halbe + und so weiter + und so weiter die – Summe von diesen verschiedenen hansewerk – kreisförmigen Schwingungen EORI t geht in der Zeit 2 Peheim mal rum und den Einheitskreis in der komplexen Ebene E ^ 2 ID geht zweimal – rum in der Zeit zwei P und – so weiter – alle addiert ergibt lustigerweise – den Sägezahn – der Periode 2 PI – vor - Pian also ein Grenzwert kommt er und -4 aus er geht bis +4 auf Erreichtes – Busby aber streng genommen nie – dann der Sprung Stelle immer den Wert 0 rauskommt – haben jetzt einen Steine Sägezahn gebaut auf etwas unübliche Art was ich noch mal spannend finde ist das jetzt mit Sinus und Cosinus auszudrücken es ist leichter vorzustellen EU – IT ist wunderschön zu berechnen ist mathematisch genial – als Basisvektoren – Vektorraum über das – jetzt noch mal mit Sinus und Cosinus – passiert hier auf der linken Seite mit Sinus und Cosinus man das aus buchstabiert ✂ noch mal den Euler Handy Euler Formel e hoch – i PI ist eine komplexe Zahl der Länge 1 mit dem Winkel Figur – Sushi – Sushi – Haus – oder – IV sie – gehen beim Winkel Vieh um – die Länge 1 in – die Gaußsche Zahlenebene raus das ist e hoch i FE – werden sie an auf die linke Seite und gucken – dann noch übrigbleibt ✂ imma große Klammer auf EU – GT ist Cosinus t + T Sinus TFA – ich doch mal klar – dass man schreibt E-Plus – IT – kreisförmige Bewegung im komplexen in der Zeit zwei – machen – zweimal – so schnell das Vieh ist jetzt 2 T2 – T2b doppelt – Frequenz – und – dann durch zwei teilen also großer Bruchstrich durch 2 Cosinus – 2 – t – Sinus – 2T Plus – oder selber mit Streichholz – gar nicht mehr hin das ist ja banal – in der großen Klammer Kompressor alles mit dem Minus Zeichen minus – e hoch minus – ETFE – ist jetzt setzen – 7 - T 1 eine – Drehung nicht – den Uhrzeigersinn sondern mit dem Uhrzeigersinn Cosinus – minus – t – haben wir da und – weiter geht's mit minus Sinus – minus – t ich muss ja alles abziehen also auch den T-Sinus – - C abziehen – abziehen – durch – einhalb mit – im Zähler cursus – von -2 – t + – T Sinus – von -2 – t minus – Sinus – so weiter die ganze Reihe – das ist jetzt draus geworden mit cosinus und Sinus sieht – immer noch nicht richtig toll aus aber – erkennen Sie schon dass man jetzt die Hälfte wegstreichen kann ✂ der Bus ist eine Gerade Funktion ob sie da te oder minus t einsetzen ist in Cosinus egal – heißt – Cosinus von minus t könnte – ich auch schreiben Kurs von plus.de und – dann ziehe ich von Cosinus den Kursus ab und der war der großen swissveg im – zweiten Teroson – 2 t minus – Cosinus von -2 t das Minuszeichen im großen musst ist egal weil deine gerade Funktion ist ich ziehe also vom cursus 2 TD cursus 2 b ab der fliegt raus und so weiter geht das natürlich den – ganzen Weihrauch – von den ganze Reihe runter die Kurse Nusse fliegen raus – man auch schon wissen können – ja das mit den alten Videos erwähnt bei – Funktion das ist ja nun gerade Funktion wo sich das an Disput symmetrisch – ungerade Funktion steckt kein Cosinus – drin – überlebt der Sinus – des Sinus ist eben – auch eine ungerade Funktion wie unsere Funktion die dazu zerlegen ist das – sieht man von negativen Winkel ist der Sinus von positiven Winkel mit negativen – Vorzeichen – IT – das Minus im Sinus können sie löschen wenn – sie noch im Minus davor schreiben also aus dem - 400 + machen – hier passiert das entsprechende – das Minus im Sinus gar nicht löschen wenn – ich vor den Sinus 1 - – schreibe – sehen sie dass ich diese sinusi – hier – ich die Sinus zu verstärken easy lose ti Sinus – T-Sinus – 2te - – - T-Sinus 2te – die – verstärken sich – hier steht also zum Schluss die mal groß – ist weg die – zwei – Sinus – Tee – Fluss und – Inhaber – verdoppelt also zachi – schwarzes die zwei Wochen vor den sinusi mal zwei Sinus – von zwei halbe – plus – jetzt – habe ich die nächste nie hingeschrieben – sieht dein echter aus was muss ich als nächstes hin schreiben ✂ die dreifache Frequenz – durch – 3 so – gegen ja der nächste Summand – hier hier weiß und – es ist ein Sinus oben ein Sinus unten deshalb zweimal Sinus – dass ihr noch was jeweils durch eurer dabei steht das ist das E an der Stelle dort macht euch doch anfangen das mit dem Summenzeichen zu schreiben aber jetzt habe ich – gelassen mach – was weiterhin so okay – und jetzt sehen sie ihn mal was – ist also - – wee – Maly die Maly sie können ein Minuszeichen Duster vorne hole die zwei können Sie ganz nach vorne holen - zweimal – und – dann steht da Sinus von t + Zigaretten – Sinus von 2 die halbe-halbe – und dann haben wir den Sinus von 3T III das – ist doch jetzt am ehrlich freundlich – + bisschen – zu unendliche – kann man sich am ehrlich was drunter vorstellen also – sie nehmen den Sinus – Grundschwingung oder die Sinus Grundschwingung – soll ich sagen die – Sinus – mit der Doppel Frequenz der dreifach und vierfach an und so weiter Frequenz – Sinus – Grundschwingung und standen – die doppelte Frequenz – davon die Hälfte also – hier dann – die dreifache Frequenz und davon ein Drittel – weiter und so weiter das alles aufsummiert – ein er getan – erkennt man schon so ein bisschen – Sägezahn er – wird das Leben besser nicht am Anfang geht so ein Stückchen rauf am – Ende geht's auch ein Stückchen runter und so weiter es kommt dann tatsächlich unendlichen – absurderweise – ein Sägezahn – raus – den ganzen hübschen – der verschiedenen Frequenzen – das könnte man gerade noch mal anders schreiben sie sehen hier mit der -2 das ist ja ein bisschen ungeschickt – ich jetzt einfach – lese wenn ich hier nur die Klammer nehme also – wenn Sie den Sinus – nehmen und sie nehmen die Hälfte vom Sinus mit der doppelten Frequenz und sie nehmen ein Drittel vom Sinus mit der dreifachen Frequenz – plus bis – ins Unendliche – ist eine schöne Aufgabe Zeichen sie mal gerade – für eine Schwingung – daraus ist natürlich jetzt eine Periode bestimmt mit der Periode 2 – so – die Zeit – keine Bezeichnung für die Y-Achse ich dass ich mal rum beschriftet das Ergebnis hier meiner – sie mal gerade ein was kommt da jetzt raus offensichtlich auch was Sägezahn artiges gibt – es mal -2 irgendwie noch ein rechnen und dann bist du doch was diese Reihe von den ganzen sie nutzen ✂ bekommst es ja nie Bild angucken – mal – Reihe von denen nutzen gibt's die rote – und – jetzt möchte ich wissen – was war denn die Reise von den Sinus und dann alleine das heißt sie nehmen die rote Kurve durch -2 – sie – spiegeln an der Holzsandalen Axel dann ist das Minus weg und sie Teilen durch 2 – so etwas einfallenden – Sägezahn – mit halben – der Janni tatsächlich – erreicht wird mathematisch – sähe es aus – ist die – ebay kriegen wenn bei + 72 + und – so weiter aufsummieren – also eine – Schwingung – mit der Periode 2 PS ist ein fallender Sägezahn – die halbe – nicht – nicht erreicht wird – wo ist mein gezeichnet kriege – Sägezahn – PEG der durch den Urwald 2P – springt – er hier sind für dich auch null – zurzeit nur ist der 0er hat – Löcher – bis pihalbe nach oben erreicht aber die halbe tatsächlich nicht und – geht bis minus P halbe runter – hat man so gebildet kann – man sich – anschaulich halbwegs vorstellen – sie – den Sinus hier und dann der nächste dazu das hatte ich eben schon versucht sich – das angucken – mit 2T – dazu dann geht sie hiervon ein bisschen raus hier – gehen sie ein bisschen runter da – hinten gehen sie ein bisschen runter und so weiter ist verformt sich ganz allmählich in die richtige Richtung kennt – ihr das machen – hat jetzt nicht mit Potenzreihen zu tun – nur mit Fuji rein – wenn wir das hier wissen über – unseren steigenden – Sägezahn und – dann die olle schon Formel 1 wetten finden wir eben ganz nett was – passiert wenn man – addiert – Sägezahn – musst das gerade inaktiv an – manchmal – du mir – aufs buchstabieren – wäre ich möchte also diese – Reihe hier Platten die Werte dieser Reihe für verschiedene t Werte plotten ich sage erstmal für die werde ich die Platten die variable – Tee soll – ein Wert sein sondern sie so laufen von -1 – in – Schritten bis – Silikon an damit ich keine Ausgabe Kriege also – hiermit sagen sie et ist – eine Liste oder dann denken an einen Vektor mit Werten von -1 bis – nach Rundungsfehler einschließlich – der sieben oder ohne die 7 in Schritten von 0,01 – die t-werte dich einsetzen will warum – von -1 bis 7 überhaupt ✂ fange also links – etwas – neben dem Ursprung an 1 – Minuten und dass ich den ersten Sprungkraft nicht noch sehe und rechts – gehe ich etwas weiter als 2 PI zeig diesen 6,28 ich gehe etwas weiter als 2pm – hoffentlich da den Sprung auch noch zu sehen – diese – das – wär – ist der Pass ungeschickt ich muss hier aufsummieren ich kann jetzt oder – ich könnte direkt hinschreiben y – = und so weiter und so weiter und dann – bis Sinus 100 de / 100 oder so das nervt – ein extra Variable in der ich aufsummieren kann gleich in einer – Schleife aufsummieren kann das sieht komisch – aus also – der nur aus Nullen besteht Zeros – ein – Vektor der aus nur aus Nullen besteht die – muss ich bauen absurderweise – als Matrix – die eine Richtung ist die Matrix von der Größe 1 und die andere Richtung ist die Matrix links – der Länge die T hat so sieht das dann aus sieht ein bisschen abschreckend aus – wie viel Einträge habe ich hier in T – und dann baue ich eine Matrix die – einmal – so viele Einträge groß ist ein Vektor mit zuviel einträgt sieht ein bisschen komisch aus Entwicklung mit lauter neuen drin – jetzt möchte ich in einer Schleife summieren for – Schleife – E-Mail Format ich noch mal ausführlicher dran – sage die variabel – Carson laufen von 1 bis 100 sind das dann aus die Variable soll von 1 bis 100 laufen diese – Schreibweise sind sie da oben ja auch da steht der Schrittweite noch dazwischen in 0,01 schritten wenn sie so treiben heißt es in einerschritten soll – dieses car laufen – was jetzt hier war als in – jedem Schleifendurchgang passieren soll ist dass diese y die da oben stehen geht manchmal nur sind dass sie vergrößert werden y + und – zwar was ich hier habe den Sinus aus und – K ist jetzt 123 – die Laufvariable – K mal t durch – Semikolon – damit das nicht ausgegeben wird – sollte jedem Schritt gemacht werden oder Schritte und – das muss man noch sagen dass hier die Schleife – endet hängt vor – ist das Ende der Streife wenn ich jetzt auf return drücke wird das sächlich diese Schleife ausgeführt hundertmal – für den Rechner witzig das ist gar nicht merken weil dieser Schleife nicht merken dass sie sofort ausgeführt wird und dann – kann ich das Platten Claude und – zwar die Zeiten und die y-Werte die da rausgekommen sind – sieht das aus – eCall kann nie schaden xS-XL – dass die Einheiten – gleich groß sind auf den Achsen – also von nobis24 sie sehen hier bei 6,28 – gibt's den Sprung wir – gehen rauf bis naja die Ansage war pihalbe – 1,6 – irgendwie – sowas sieht – nicht ganz falsch aus ich – habe das extra noch mal geplottet damit sie etwas sehen dass sie dann eben auf dem Oszilloskop auch gerne sehen dann in der realen Welt das hier nennt sich das Gibbs Phänomen da – drunter schreiben Gibbs Phänomen dieser hier – dieser – Effekt hier das – ist das Gips II – BBS Phänomen – sie – Abschneiden – einer bestimmten Frequenz ich schneide jetzt ja hart ab bei 100 – 700 – t100ta – schneide ich hart ab wenn sie hat abschneiden haben sie solches – und so einen Ring in – Schwingungen an den Sprungstellen – sehen mit welcher Frequenz die Schwingen der scheint irgendwas mit dem 100 fachen Frequenz zu tun zu haben wenn du das mit der tausendfachen Frequenz machen wenn die als bedeutend enger Latitude – lustigerweise von diesen überlagerte Schwingung die Bad genauso aber – sie werden dann eben schneller wenn sie bei 1300 – haben dass – sie sie dann tatsächlich offen Oszilloskop wenn sie so hart abgeschnittene – haben – mal gesehen habe dass sie sich nicht wundern was da auf dem Oszilloskop erscheint das ist richtig was da auf dem Oszilloskop erscheint