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17G.1 Fourier-Reihe aus Taylor-Reihe


CC-BY-NC-SA 3.0

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Taylorreihegehabtwie man Funktionenmit Hilfe einer Potenzreihe hoffentlichdarstellen kanngeht um die Fourierreihe ich finde noch mal lustig das kommt selten vor in der Literatur ich bin noch mal lustig das gegeneinander zu stellen und zu zeigen dass die Fourierreihe eigentlichauch so eine Art Taylorreiheist die beiden hängen extremzusammen wenn man ganz genau hingucktgibt doch noch mal die Möglichkeit zu einiges zu der Eulerschen Formelzu Grenzwerten und so weiter zu sehen vor allen Dingen Wiederholungnoch ein bisschen ganz anderendie Taylorreihe an washatten wir bisher die Taylorreiheversuche eine Funktion alsPotenzreihe zu schreiben f von X ich versuche die als Potenzreihe zu schreiben ichentwickleFunktion an einer Stelle x0eine Potenzreihesieht die Funktion an irgendeiner Stelle X aus naja es ist mirmit der minder wird an der Stelle x0 +und dann kommt StrichX 0mal wieweit ich weggegangen binAbleitung an der Stelle x0 malwie weit ich weggegangen bin ins Quadrat halbehat mir schon häufiger warum Quadrat halbe sie zweimal ableiten soll die zweite Ableitung bestimmen wenn sie jetzt fahr mal arbeiten kommt erst die zwei nach vorne und dann ist das XC60 II davon steht muss weggehenund so weiterkönnte man jetzt etwasschreiben damit du ein bisschen mehr nach Foyer schon aussieht dass ich sage ihr vorne steht ein A0und da steht ein A1X - 60+und hier steht ein A2X- X 0Quadratdurch zwei plus und so weiter so sieht schon bisschen mehr nach Fourier aus ich habe KoeffizientenhierA0 steht mit der nullten Potenza 1 steht mit der ersten Potenz für nächsten 60 A2steht mit der zweiten Potenz und so weiter so wäre das die übliche Potenzreihein derersten Zeile haben sie die übliche Taylorreihe mit Funktionswerterste Ableitung zweite und so weiter aber dasist eigentlich die Potenzreihe dieist mit Koeffizienten einePotenzreihe geschrieben undverschiedene Potenzen bisschen zu unendlich aufsummiertüber diewer meine Formelfür diese usEnte vondiesem Koeffizientenwiekriegen sie dendass man gerade durch ein Klingeln also hier das A0 das wird der Funktionswert an entwicklungsstelle sein dassA1 wirdAbleitung an den Wicklung Stelle sein beim A2 brauchen Sie hier schon die zwei im Nenner und die zweite Ableitunghaben wir alsooffensichtliches ist die Hände Ableitung dich habe ich mal so hoch nEnte Ableitung in Striche oderin Klammern ander Stelle x0das geteilt durch nFakultät esgeht ja hier mit 34 weiter sondern mit 624und so weiter weiterund siehtdie dritte Ableitung bilden sollte Dritter batim steht hoch 3 davon die dritte Ableitung diekriegen was drei Fakultäten okaydas ist die Taylorreihejetzt wirklich dieselbst wieder rauskommt an der Stelle XS nicht selbstverständlichhaben Sie das auch mitgenommenwannkommt die Funktion an der Stelle XT60wieder rausdamit ich die Potenzreihe überhaupt konvergiert damit das auf der rechten Seite Sinn ergibt muss ichvon Konvergenzradiusliegen mit meinem X vielleicht genau auf dem Konvergenzradiuswenn ich Glück habe auf keinen Fall aber außerhalbschreibe mal sox0im Konvergenzradiuskeinen Fall außerhalbnicht in die rechte Seite um die Ohren die Summe die Reihe die unendliche Summe konvergiert nicht sonstund dann ist aber noch nicht sichergestellt dass der Funktionswert auch rauskommt tatsächlich die Funktion kann ja sonst was machen die kann irgendwas in Ableitung haben ander einen Stelle das heißt aber jetzt nicht dass an der anderen Stelle der richtige Funktionswertrauskommt die Funktion muss auch noch hinreichendnett sein analytischnenntsich das F ist analytisch die Funktion ist ein analytische Funktionder Potenzreihe kommt auch der Funktionswert tatsächlich rausüblichen Funktionen die Sie kennen sindalle nichtalle üblichen Funktionen die meisten Funktionen die Sie kennen sind analytischwie Sinus und Cosinus in E Funktion und Logarithmus undrationale Funktionen sind auf jeden Fall analytisch dasstimmen die Potenzreihen wirklichdas ist die Taylorreihealso ich baueFunktion nach mit Hilfe einer PotenzreihedieFourierreihebauen eine Schwingung nach mitHilfe vonOberwellenund am gleichspannungs Versatzso superentfernt die Idee auch eine unendlicheiner Reihe von écrirevon der Form auf den ersten Blick war ich nicht ganz erzählen und dann gucken wir genauer hin und stellt fest dageht was es istdochwenn man genauer hingucktdie Fourierreihe ich möchte eine periodischeSchwingungich hatte dir doch auch wirklich Magie von TA tutso als ob das dann immer von der Zeit abhängtperiodische Schwingung zerlegenin sinusförmigeund Gleichspannung das mit der Gleichspannung hater mir gerne den Namen 10.04Arnulf schon verdächtig ähnlichunddann kommt die Grundschwingung in die eine Richtung C1steht dann davor unddas mit der Grundschwingung sieht jetzt ganz schlimm ausi mal tist meineGrundschwingungkann man e hoch i mal t als Schwingung ansehen aus wir kommen jetzt noch ganz viele andere Sachen dazu gleichwir fahren können Sie auch e multiart Schwingung ansehenhier stecken hast du Sinus und Cosinus drin mit der Eulerschen Formel hier steht Cosinus von t + Emal Sinus von Te hoch e t Form ist viel genialeres geht zuund wenn es darum geht sich vorzustellen was der macht ich hatte sind alten Videos vorgeführt dass man hier hoch IT unddie Oberwellen dann die Basisvektorenaufpassen kann und das ist in der Form viel leichter das mit Kursen susieknows was ich hier stecken Schwingungen drin aber im komplexen dieSchwinge nicht ineine Richtung cosinusoder sinusförmigsondern sie drehensich quasi im komplexen e hoch i mal t die komplexe Zahl mit der Länge 1 und dem Winkel tewir drehen uns im komplexen und der Realteil ist dann ein cosinusund der Imaginärteil istdann ein Sinusstecken Schwingungen drinVorfällemit der doppelten Frequenz indie gleiche Richtungdann wie hoch 2 GT doppelte Frequenz da steht dann was sind Cosinus2 T-Sinus 2D undandere Zahl davor plus und so weiter bis ins Unendlichewill ich zum Schluss aber reelle Größen raus haben und sie übers habe mitSinus wie werden sie jetzt dass sie wieder los wirkönnen Sie Phasen einstellen derTrick ist man nimmt sozusagen negativeFrequenzen dazuwir haben sie großes minus Sinusund dann Koeffizientenanziehen -1 sinnvollerweise Plus und so weiter 10 - 2 hoch -2GTplus undso weiter bis ins Unendliche daswäre die komplexe Fourierreihe Sinusund Cosinus ist es bald etwas anschaulicherist aber mathematisch nicht zu elegant dasist dieFourierreihe Sinus und Cosinus sind hier versteckt in dem E hoch i mal tund jetzt gibt es ähnliche Formel odergar nicht ähnliche Formel zumindest gibt's eine Formel für die sicn ebenbei Taylor hatten wir eine Formel für die AMS gibtes eine Formel für die CNdieserfourierkoeffizientenwas kommtvor in der FormelFiltern aus einem bestimmten Anteil aus der Gesamtfunktion raus es ist so als ob sie ganz viele Samples nehmen und dann addieren gewichtete Summe bildennehmt Gesamtfunktionund dieser sozusagen gewichtete Summe ist dann interessanterweise mit E hoch -ENTdas wasdahinter steht Komplexkonjugiert ein Minus im Exponenten soein Integralüber eine Periodenlänge unddamit das richtig hinkommt durchhabe mal gerade so scheint es nicht ab über eine Periodenlänge nur bis Großzehdie PeriodenlängesozusagenMittelwert über eine Periodenlänge ersteht da groß ist ein TT Periodenlänge hierzwei Piece die Periodenlänge das Tragische wirklich mal 12P&I1 durch 2 PIsie sich die hoch i mal t angucken RealteilImaginärteil hierist Tee mir ist e hoch i mal t komplexeZahl mit der Länge 1 und Winkel Tee= 0,1raus360°T =PIsie wieder 1 raus zum ersten Mal wieder derhat die Periode 2 P628 dasist die Fourierreihealso ich schreibe meine Schwingungzerlegtin kreisförmigeBewegung aber wissen es eigentlich Siemens großes drin mit verschiedenen Frequenzen GrundfrequenzOberwellenein Frequenz von nur Gleichspannungsind die Drehung andersrumdoppelte Geschwindigkeit andersrum und so weiterschreibe meine Stimmungso zerlegt damitdas funktioniert muss natürlichdieses geh auf jeden Fall periodisch1der Periode 2 PIdarf nicht zu schlimm seinich hatte es mal hier daneben gzbeine Möglichkeit ist dass man sagt die ist stetig bis auf endlich viele Sprünge es darf noch schlimmer sein aberdu das was man in der Praxis typischerweise hat geheich stetigauf endlich viele Sprüngealso sowas hiervon dieser ArtsieSprünge haben um Periode soll ich sagen dass sie 10 Sprünge Periode habenansonsten können Sieeinem Strich durch Zeichnenwärenoch erlaubthaben wir's Hehlerei und Fourierreihe auf einem Zettelalso bei dergucken Sie sich nicht nur ein x0an unddessen vielleicht kleine Umgebung sie gucken sichTees an alle Zeiten Tee undversuchenkomplett darzustellenfür alle Zeiten dann stellt man fest dieseGleichheit gilt dann im Service war nicht für alle Zeiten bei Sprungstellendie Gleichheit problematischsich in den alten Videos erzähltkönnte man die jetzt gegeneinander stellen und wenn Sie genau hin gucken sehen Sie vielleicht vielleichtvielleicht vielleichtdas grüne Weg sehenSie vielleicht was da geht inwiefernkönnte die Taylorreihe was mit der Fourierreihe und umgekehrt inwiefern könnten die beiden miteinander was zu tun habender Witz ist ihr zu erkennen dass ehoch2IT das ist e hoch e t insQuadrat hierunten hoch minus 2 GTI hoch minus etins Quadrat undso geht das dann ja weiter e hoch e t hoch 3 iste hoch 3 iTheorie t hoch 4 = EBIT und hier unten dann mit dem inversen e hoch minus IT ist ja eins durch ihreITpasst zusammen diesesQuadrat musswas mit dem Quadrat zu tun haben und danngeht's mit der dritten Potenz weiter e hoch e hoch 3mit der dritten Potenz oben zu tun habender Verdacht ist dasx-minusx0sein muss wie hoch TTSie das Ersetzenscheint da was zu gehen X- 60 EURokA1XC60C1 majoritéVersetzungstimmt xx0ins Quadrat MCYogi Tee ins Quadrat ist e hoch 2 bttrder zustimmt hoch 3 und so weiter und dannscheine ich dir aber noch die inversen zu brauchen eskann man tatsächlich mit der Potenzreihe noch weitertreiben man kann die Potenzreihe auch mit inversen Potenzen wollteich jetzt nicht drauf eingehensieht so aus als ob sie noch eine zweite Potenzreihe dazu nehmen die mit inverse Potenzenist die Verbindung zwischen Taylorreiheund Fourierreihedas gucken was jetzt weiter sichtlich an wie das gehenkönnte an einem Beispiel noch mal der letzten Woche nehme ich die geometrische Reihe wir nehmen die geometrische Reihe daraufnoch mal wieder die reif für den natürlichenLogarithmus undgucken wie wir draus bauen könnenman das interpretiert dass ich noch mal sehen dass das tatsächlich geht dieser Gedanke kann wirklich funktioniert und nebenbeiimmerhin noch mal die Eulersche Formel die ist an der Stelle extrem wichtigwäre mein Programm jetzt also wir gucken uns diegeometrischeReihe andas war 1 + X + XQuadrat plusX hoch 3 + bis ins Unendliche irgendwaswerden jetzt mal zu weit bewegt euch nur, eins auf der linken Seite haben die 1, Periode1 = 10 Leute oder 1 durch 1 - 0, allgemeinhaben sie eins durch 1 - und dakam auch wieder der Konvergenzradiusrein wennder Betrag von X kleiner ist als 1dann können wir geht die linke Seite gibt's 1 / 1 - Xwar die geometrisch schreibhatten wirintegriert undeine andere Reihe gefunden was passiert wenn sie integrierenlinks also einswird zu xx4zu X Quadrat halbeX Fallout 4 zu xhoch3hübsch integrieren von 0 bis X z.b.xhoch4Viertelplus bis ins Unendliche aufder rechten Seite muss was mit dem natürlichen Logarithmus stehen LN von- X probierenwir und jetzt bilden Sie testweise die Ableitungals Musik sie leiten habt dass wir zu eins durch 1 - 6 mal die innere Ableitung x -1 also dasswir uns eins ist ungeschickt -allen 1 - X hätte sein solljemals das bestimmte Integral von 0 bis X aber letztes mal gehabtKonvergenzradius bleibtderkönnen Sie auf der linken Seite jetzt auch -1einsetzen- 1 + einhalb minusein Drittel + 14 konvergiert so gerade nochwenn X im Betrag größer ist als 1da nichts mehr daswar diedie übliche Potenzreihe für den Logarithmus mit Versatz sonst funktioniert das nicht ordentlich und machen wir es so früh hier rausdas alsFourierreihenämlichderTrick war jaübersetzeX - 60 / e hoch i tx0ist bei uns natürlich jetzt 04setze X durch die hoch ITdas war mein wäre mein Gedanke jetzt und da eine Fourierreihe draus zu machen nix = e hochdas hier einzusetzenlinks und rechts einzusetzen dannmuss ihn sofort auf fahren halt halt halt das ist gleich gefährlich warumkann ich das jetzt nicht einfachso einsetzen yahoo.itlinksund rechts einsetzen und hoffen dass das funktioniert was geht schiefTee hat den Betrag 1 und damit liege ich genau auf der Kante vom Konvergenzradiusdas ist gefährlich und könnenwaszusammen Lügen ich schreibe davor das ist ja mal die hoch ITdieses er ist kleineraber ungefährgleich 1er gleich 0,99999dann ist der Betrag hier von gleich 0,9999wir sind innerhalb von Konvergenzradiusmuss ich hin bisschen zurechtbiegenwird es funktionieren mitder Setzung mache ich das jetzt undnoch ein bisschen mehr wirbrauchten auch noch die negativenPotenzentypischerweise bei der Fourierreihebrauchen die negative Potenzen aufhören was reelles rauskommen sollist der Eintritt hier X = r mal i OID und ich dich noch negative Frequenzen dazudann lande ich bei sowashier ich nehmejetztfür diese Reihe ermal e hoch ITplusQuadratdavon halbeist also R-Quadrat ehoch2TNTEORI t quadrieren haben sie hoch 2 GT halbe plusdie dritte Potenz R hoch 33 Drittel++ und so weiter bis ins Unendliche ichdichte jetzt aber noch negative Frequenzen dazu haben sie eben gesehen bei der Fourierreihebei der Fourierreihe gebrauchen auch noch die negativenaus Cosinus plus SinusKosinusSinusrealist destillieren zu können auf jeden Fallsitze noch ein paar negative dazu das muss ich zugeben lustigerweisekriegenwir da jetzt Minuszeichenmüssen Minuszeichen nehmen -in eine Formel minus er mal e hoch minusetR Quadrat x hoch -2 et-Herr hoch 3 mal e hoch minus3-bis ins Unendlichezusammengenommengleichkönnen Sie jetzt aufder rechten Seite schreiben wasmuss das zusammen ergeben ich habe bis stichfrei Strafrecht mal so das zusammengenommen ergibt was auf der rechten Seitekommt oben also dann - derLogarithmusvon 1 - demX yamakihochist der obere Teilfehlt noch der untere Teil was kriegen sie für den unteren Teilinsgesamt steht ein Minus davor - lachoder - große Klammer bla + + + + dasMinus wird zum Schluss Logarithmus1- das bleibt so aber ist stetig jetzt e hoch minuset da drinmal e hoch minusETAist jetzt lustig ich habe hier auf der linken Seite was stehen was wir eine Fourierreihe aussieht GT2GT3 GTund so weiter und so weiter eineSchwingung biotisch mit der Periode 2 pieralliaus dem Buche undauf der rechten Seite sehen sie stehtperfekt die Summe aufgeschrieben das ist die Summe vondem derGrenzwert der Summedas Ergebnis dieser Reihe sofortin einem Rutsch fertigich die geometrische Reihe integrierthabe und danach da eingesetzt habefassen wir die rechte Seite noch zusammenetwas schwierigerist als manzunächst denktzusammenfassen wirdnoch funktionierenSie mal die rechte Seite zusammenzufassenSie schon warumdas alles so ein bisschen Fischiist warum man aufpassen mussDifferenz zweier Logarithmen derLogarithmus des VerhältnissesPlusdas im Zähler 1 - er mal e hoch minus GT mitdem - dass im Nenner 1 - er mal e hoch ITist hat sich keiner beschwert dass das doch eigentlich ganz verboten ist warumist das eigentlichzumindest gefährlich was ich hier veranstaltensie dasalso Vorsichtwashier passiert ist derkomplexe Logarithmusvon komplexenZahlenLogarithmus steht eine komplexe Zahl das ist nicht der natürliche Logarithmus aus,sechs oder so sondern der natürliche Logarithmus aus 0,4+ 0,3musste man jetzt über diese Gleichheit auch noch mal ausführlich nachdenkenstimmt es das sächlich an dieser Stelleman die üblichen logarithmusgesetzebis dahin noch weiter anwenden kann die beiden können Sie zusammenfassen obwohlsie jetzt ein Begriff muss aus einer komplexen Zahl habendas kannst du auch nicht hier einbisschen noch versuchenzu gucken was passiert wenner1Uhr geht das ist ja eigentlich mein Zielhabe dieses eher dazu gebastelt weilich nichtdirekt Yogi-Tee einsetzen kann wegen des Konvergenzradius abervorstellen dass es jetzt eher gegen 1 Uhr geht immer dich dann einfach nur, 9999999derlinke Seite ist das relativ klar zumindest formal was da passieren wird besteht 111111auf der rechten Seite ist esetwas komplizierter zusehenpassiert wenn er1 Uhr gehtaber ich habe mal beides dazu also was passiert wenn er gegenseitigformal zu von unten gegen eins geht dann haben sie auf der linken Seite einmalE hoch gte hoch 2 halbe+1x hoch3 GT 3 + bis ins Unendliche -1x hoch1 mal eminus 2 et-1 x hoch -3 et Drittelminus bis ins Unendliche das passiert auf der linken Seitepassiert auf der rechten Seite wenn er1 Uhr wächstwas passiert mit diesem AusdruckEinzelschritten mal dran ich nehme mal nur das was im Logarithmus stehter gegen 1 Uhrdie schon ausdrücklich von unten gegen eins geht dannsteht da eins minus e hoch minuset1 - e hochder Nenner null werden das müsste eigentlich behandelnbesonderer Fall aberjetzt nicht drauf eingehener gegen1 Faxen das steht dakann nicht kürzen oben steht ein Minus und besteht ein Plus ich kann nicht kürzen das ist ungeschickt das muss ich ihn doch den Trick verraten sie könnten ausklammernund sieausklammern e hoch minusausklammernaus dem BruchNenner bleibt- Sekuritätwas steht dabeim Bruchhoch istein bisschen versteckt und das zum ersten weil sie das ist ein bisschen Versteck Theoriet minus rechnenrückwärts hochminus et mal Theorie TheorieTheorie- -1 =-11- et alles besser ausich klammere e hoch minus et ausbehalte von der eins ein EORI tedaund die hinteren hoch minus et den habe ich ja ausgeklammert -1jetzt sehen sie das ist wasviel einfachersie kürzen dem Buch zu - 1 e hoch minus xminuseinsZähler ist das - einfacher von der ITist - 1 Treffer von minus e hoch -1ist das - 1 fache von 1 sindbekannt sein dass wir haben jetzt die natürlichen Logarithmus vonEORIt x-1 jetztmüssen wir das noch ein bisschen raffinierter hinschreibenmöchte gleich den natürlichen Logarithmus bildenkomplexen was jetzt noch ekliger ist wiekönnen Sie den natürlichenLogarithmus bilden von welchen Zahlen LN von irgendwas wiekönnen Sie schöne natürlichen Logarithmus bilden was sollte da drinnen stehen im natürlichen Logarithmus dass sie sofort sagen können was das Ergebnis istmöchte also in den natürlichen Rhythmus e hoch so so viel drin stehen haben der natürliche Logarithmus von E hochsollte das irgendwas ein bisschen komplexen etwas raffinierterdoch gleich noch mal diskutiert aber daswäre der Gedanke das möchte ich jetzt zusammen schreiben als e hochirgendwaswiehoch minus et x -1möchte ich schreiben als e hoch irgendwas denkensie sich mal aus was da stehen muss im ExponentenImaginärteil diekomplexe Zahl EORI Fiat die Länge 1 den Winkel 4kriege ich minus 1 raus ich möchte dahin ich möchte es für -1 hin dawaren sie 180°ein Winkel von 180°ein Winkel von pee - 1 = e hoch i mal PiWinkel von PI einsetzen 180°dann kriegen sie -1-1ist also wie hoch die mal Pi und jetzt kriegen sie zusammengefasstwasist also insgesamt das Ergebnishat ihren also die beiden Exponentenminus TCplusjetzt kann ich den natürlichen Logarithmus bilden ich würde die natürlichen Logarithmus aus wie hoch soundsovielwunderbardas klappt manes gibt sie hier der Weg das ist alles auf ein Tier passt hiereher gegen eins führt also drausnatürlicheLogarithmus aushochminuset plus IPund wenn uns die Mathematik nicht ganz im Stich lässtnatürlicherLogarithmus einerkomplexen Zahl schmerztein bisschen stehtda -ET +IPdas ist mussich gestehen mit Vorsichtzu genießenVorsicht frage ich mal dazu es fehlt uns die Zeit zehn Minuten misfit leider die Zeit zu das nochmals auszudiskutieren der komplexe Logarithmus ist ein bisschen ekliger mit VorsichtMehrdeutigkeitschreibe ich mal dazunämlich nicht nur IP hinschreibenkönnen was hätten sie auch hinschreiben können und -1 rauszubekommennicht nur yippie ich möchte da auch funktionierthirtengasse 3P hinschreiben könnenImaginärteilnicht nur key nehmen können wir hätten auchnehmen können wir hatten 5T nehmen können wir hätten ganzschlimm - P nehmenkönnen hätte auch funktioniert wird mir schreiben können - EP -EP aberes kann ja nicht gleichzeitig + IP und - epizodanachdenken Zeithaben wir gerade nicht irgendwelchealten Videos zum komplexen Logarithmus unddann noch mal nachgucken es ist der Weise der Sicht + IPwas ich noch mal genau überlegen es ist das sie Licht + IP und bei dem PC muss man sich das auch noch mal genauer überlegenthaellysson sich als einsetzen wegen dieser Mehrdeutigkeitistsind die TS0 und 2PIwir einen schönen Hausaufgabe gucken sich diese fahre hier an er geht von unten gegen 1 Uhr das kann man schön skizzieren und sich dann noch mal geometrisch klarmachen dass das dann wirklich rauskommt dauertein bisschen länger wenn man das im Detail macht aber ich hoffe sie glauben mir okauf der rechtenSeite stehtwahrscheinlichsowas - ET +imatihabe auf der linken Seite einestehenauf der rechten Seite steht -ET Tussix PSEist jetzt noch nervig dass sie nämlich auf die linke Seitemachen sie damit dass ihr auf der linken Seite steht was machen sie mit beiden Seitenbeide Seiten mali EMA - ist eins alsoauf der linken Seite habe ich danima Klammer auf EU et + B hoch 2 +B hoch 3 D3+ und so weiter4hoch minus et minuse hoch -2-3IIIII -und so weiter auf der linken Seite und auf der rechten Seite e malminus EDTAistminus P für0kleiner t kleiner 2Phabe ich mir unter der rechten Seite vorzustellen was für eine Arthat das seinHerrentour hier ist eh da ist nur nedie Achse könnte etwas größer geworden seinsieht das aus tMinusFourierreihefür TPmit der Steigung 1 die 0 wird wenn ich PI Einsätzeso aberhalt das kann jetzt ja nicht stimmen wiesieht meine Funktion wirklich aus die ich jetzt links gebildet habe sowird sie nicht aussehenwas passiertFunktion ist also periodisch werden wenn CO2 die wächst kommt links das Gleiche raus0 und 2 stimmtdiese Gleichheit habenansonsten ist die Funktion die da gebildet wird periodischdas heißt sie muss ich dann sowiederholendiese Artsehen Sie sie geht jetzt also auf bis sie hier oben geht's hier auf bis P&C startet da unten bei minuswieso sieht die Funktion aus die man bildetEs gibt nur eine schöne Sprungstelle hierwir doch schon mitgenommen was passiert an der SprungstelleZoey kriege das immer die Füllung in der Mitte oben haben sie noch unten haben sie Loch in der Mitte wirddie Sprungstelle gefüllt oben ein Loch unten am sind doch da wir die Sprungstelle gefüllt dasist die Funktion die aus der linken Seite raus kommt ein Sägezahndass er getanist jetzt eine total andere Art zu sägezahnschwingungzu kommen als die die ich in den bisherigen Videos vorgeführt habegehtman überIntegral hier setze ich meinen Sägezahnein rechne diese integrale aus und so weiter wird schon irgendwie gehen und Kriege da mit Koeffizienten raus das ist der übliche Weg undjetzt habe ich Ihnen gezeigt sie könnten lustigerweise auch über eine Potenzreihe gehenkriegendie Art natürlich dasselbe Ergebnis für den Sägezahn raus so kriegen sie einen steigenden Sägezahnmit der Periode 2 PIam Sprungder Zeit 0 und 2 PI und so weiterwissen wir also folglichdiese Fourierreihe hier imanyHochried E-Plus ihm als ich hoch 2 GT doppelteGrundfrequenz halbe + und so weiter + und so weiter dieSumme von diesen verschiedenen hansewerkkreisförmigen Schwingungen EORI t geht in der Zeit 2 Peheim mal rum und den Einheitskreis in der komplexen Ebene E ^ 2 ID geht zweimalrum in der Zeit zwei P undso weiteralle addiert ergibt lustigerweiseden Sägezahnder Periode 2 PIvor - Pian also ein Grenzwert kommt er und -4 aus er geht bis +4 auf ErreichtesBusby aber streng genommen niedann der Sprung Stelle immer den Wert 0 rauskommthaben jetzt einen Steine Sägezahn gebaut auf etwas unübliche Art was ich noch mal spannend finde ist das jetzt mit Sinus und Cosinus auszudrücken es ist leichter vorzustellen EUIT ist wunderschön zu berechnen ist mathematisch genialals BasisvektorenVektorraum über dasjetzt noch mal mit Sinus und Cosinuspassiert hier auf der linken Seite mit Sinus und Cosinus man das aus buchstabiertnoch mal den Euler Handy Euler Formel e hochi PI ist eine komplexe Zahl der Länge 1 mit dem Winkel FigurSushiSushiHausoderIV siegehen beim Winkel Vieh umdie Länge 1 indie Gaußsche Zahlenebene raus das ist e hoch i FEwerden sie an auf die linke Seite und guckendann noch übrigbleibtimma große Klammer auf EUGT ist Cosinus t + T Sinus TFAich doch mal klardass man schreibt E-PlusITkreisförmige Bewegung im komplexen in der Zeit zweimachenzweimalso schnell das Vieh ist jetzt 2 T2T2b doppeltFrequenzunddann durch zwei teilen also großer Bruchstrich durch 2 Cosinus2tSinus2T Plusoder selber mit Streichholzgar nicht mehr hin das ist ja banalin der großen Klammer Kompressor alles mit dem Minus Zeichen minuse hoch minusETFEist jetzt setzen7 - T 1 eineDrehung nichtden Uhrzeigersinn sondern mit dem Uhrzeigersinn Cosinusminusthaben wir da undweiter geht's mit minus Sinusminust ich muss ja alles abziehen also auch den T-Sinus- C abziehenabziehendurcheinhalb mitim Zähler cursusvon -2t +T Sinusvon -2t minusSinusso weiter die ganze Reihedas ist jetzt draus geworden mit cosinus und Sinus siehtimmer noch nicht richtig toll aus abererkennen Sie schon dass man jetzt die Hälfte wegstreichen kannder Bus ist eine Gerade Funktion ob sie da te oder minus t einsetzen ist in Cosinus egalheißtCosinus von minus t könnteich auch schreiben Kurs von plus.de unddann ziehe ich von Cosinus den Kursus ab und der war der großen swissveg imzweiten Teroson2 t minusCosinus von -2 t das Minuszeichen im großen musst ist egal weil deine gerade Funktion ist ich ziehe also vom cursus 2 TD cursus 2 b ab der fliegt raus und so weiter geht das natürlich denganzen Weihrauchvon den ganze Reihe runter die Kurse Nusse fliegen rausman auch schon wissen könnenja das mit den alten Videos erwähnt beiFunktion das ist ja nun gerade Funktion wo sich das an Disput symmetrischungerade Funktion steckt kein Cosinusdrinüberlebt der Sinusdes Sinus ist ebenauch eine ungerade Funktion wie unsere Funktion die dazu zerlegen ist dassieht man von negativen Winkel ist der Sinus von positiven Winkel mit negativenVorzeichenITdas Minus im Sinus können sie löschen wennsie noch im Minus davor schreiben also aus dem - 400 + machenhier passiert das entsprechendedas Minus im Sinus gar nicht löschen wennich vor den Sinus 1 -schreibesehen sie dass ich diese sinusihierich die Sinus zu verstärken easy lose ti SinusT-Sinus2te -- T-Sinus 2tedieverstärken sichhier steht also zum Schluss die mal großist weg diezweiSinusTeeFluss undInhaberverdoppelt also zachischwarzes die zwei Wochen vor den sinusi mal zwei Sinusvon zwei halbeplusjetzthabe ich die nächste nie hingeschriebensieht dein echter aus was muss ich als nächstes hin schreibendie dreifache Frequenzdurch3 sogegen ja der nächste Summandhier hier weiß undes ist ein Sinus oben ein Sinus unten deshalb zweimal Sinusdass ihr noch was jeweils durch eurer dabei steht das ist das E an der Stelle dort macht euch doch anfangen das mit dem Summenzeichen zu schreiben aber jetzt habe ichgelassen machwas weiterhin so okayund jetzt sehen sie ihn mal wasist also -weeMaly die Maly sie können ein Minuszeichen Duster vorne hole die zwei können Sie ganz nach vorne holen - zweimalunddann steht da Sinus von t + ZigarettenSinus von 2 die halbe-halbeund dann haben wir den Sinus von 3T III dasist doch jetzt am ehrlich freundlich+ bisschenzu unendlichekann man sich am ehrlich was drunter vorstellen alsosie nehmen den SinusGrundschwingung oder die Sinus Grundschwingungsoll ich sagen dieSinusmit der Doppel Frequenz der dreifach und vierfach an und so weiter FrequenzSinusGrundschwingung und standendie doppelte Frequenzdavon die Hälfte alsohier danndie dreifache Frequenz und davon ein Drittelweiter und so weiter das alles aufsummiertein er getanerkennt man schon so ein bisschenSägezahn erwird das Leben besser nicht am Anfang geht so ein Stückchen rauf amEnde geht's auch ein Stückchen runter und so weiter es kommt dann tatsächlich unendlichenabsurderweiseein Sägezahnrausden ganzen hübschender verschiedenen Frequenzendas könnte man gerade noch mal anders schreiben sie sehen hier mit der -2 das ist ja ein bisschen ungeschicktich jetzt einfachlese wenn ich hier nur die Klammer nehme alsowenn Sie den Sinusnehmen und sie nehmen die Hälfte vom Sinus mit der doppelten Frequenz und sie nehmen ein Drittel vom Sinus mit der dreifachen Frequenzplus bisins Unendlicheist eine schöne Aufgabe Zeichen sie mal geradefür eine Schwingungdaraus ist natürlich jetzt eine Periode bestimmt mit der Periode 2sodie Zeitkeine Bezeichnung für die Y-Achse ich dass ich mal rum beschriftet das Ergebnis hier meinersie mal gerade ein was kommt da jetzt raus offensichtlich auch was Sägezahn artiges gibtes mal -2 irgendwie noch ein rechnen und dann bist du doch was diese Reihe von den ganzen sie nutzenbekommst es ja nie Bild anguckenmalReihe von denen nutzen gibt's die roteundjetzt möchte ich wissenwas war denn die Reise von den Sinus und dann alleine das heißt sie nehmen die rote Kurve durch -2siespiegeln an der Holzsandalen Axel dann ist das Minus weg und sie Teilen durch 2so etwas einfallendenSägezahnmit halbender Janni tatsächlicherreicht wird mathematischsähe es ausist dieebay kriegen wenn bei + 72 + undso weiter aufsummierenalso eineSchwingungmit der Periode 2 PS ist ein fallender Sägezahndie halbenichtnicht erreicht wirdwo ist mein gezeichnet kriegeSägezahnPEG der durch den Urwald 2Pspringter hier sind für dich auch nullzurzeit nur ist der 0er hatLöcherbis pihalbe nach oben erreicht aber die halbe tatsächlich nicht undgeht bis minus P halbe runterhat man so gebildet kannman sichanschaulich halbwegs vorstellensieden Sinus hier und dann der nächste dazu das hatte ich eben schon versucht sichdas anguckenmit 2Tdazu dann geht sie hiervon ein bisschen raus hiergehen sie ein bisschen runter dahinten gehen sie ein bisschen runter und so weiter ist verformt sich ganz allmählich in die richtige Richtung kenntihr das machenhat jetzt nicht mit Potenzreihen zu tunnur mit Fuji reinwenn wir das hier wissen überunseren steigendenSägezahn unddann die olle schon Formel 1 wetten finden wir eben ganz nett waspassiert wenn manaddiertSägezahnmusst das gerade inaktiv anmanchmaldu miraufs buchstabierenwäre ich möchte also dieseReihe hier Platten die Werte dieser Reihe für verschiedene t Werte plotten ich sage erstmal für die werde ich die Platten die variableTee sollein Wert sein sondern sie so laufen von -1inSchritten bisSilikon an damit ich keine Ausgabe Kriege alsohiermit sagen sie et isteine Liste oder dann denken an einen Vektor mit Werten von -1 bisnach Rundungsfehler einschließlichder sieben oder ohne die 7 in Schritten von 0,01die t-werte dich einsetzen will warumvon -1 bis 7 überhauptfange also linksetwasneben dem Ursprung an 1Minuten und dass ich den ersten Sprungkraft nicht noch sehe und rechtsgehe ich etwas weiter als 2 PI zeig diesen 6,28 ich gehe etwas weiter als 2pmhoffentlich da den Sprung auch noch zu sehendiesedaswärist der Pass ungeschickt ich muss hier aufsummieren ich kann jetzt oderich könnte direkt hinschreiben y= und so weiter und so weiter und dannbis Sinus 100 de / 100 oder so das nervtein extra Variable in der ich aufsummieren kann gleich in einerSchleife aufsummieren kann das sieht komischaus alsoder nur aus Nullen besteht ZeroseinVektor der aus nur aus Nullen besteht diemuss ich bauen absurderweiseals Matrixdie eine Richtung ist die Matrix von der Größe 1 und die andere Richtung ist die Matrix linksder Länge die T hat so sieht das dann aus sieht ein bisschen abschreckend auswie viel Einträge habe ich hier in Tund dann baue ich eine Matrix dieeinmalso viele Einträge groß ist ein Vektor mit zuviel einträgt sieht ein bisschen komisch aus Entwicklung mit lauter neuen drinjetzt möchte ich in einer Schleife summieren forSchleifeE-Mail Format ich noch mal ausführlicher dransage die variabelCarson laufen von 1 bis 100 sind das dann aus die Variable soll von 1 bis 100 laufen dieseSchreibweise sind sie da oben ja auch da steht der Schrittweite noch dazwischen in 0,01 schritten wenn sie so treiben heißt es in einerschritten solldieses car laufenwas jetzt hier war als injedem Schleifendurchgang passieren soll ist dass diese y die da oben stehen geht manchmal nur sind dass sie vergrößert werden y + undzwar was ich hier habe den Sinus aus undK ist jetzt 123die LaufvariableK mal t durchSemikolondamit das nicht ausgegeben wirdsollte jedem Schritt gemacht werden oder Schritte unddas muss man noch sagen dass hier die Schleifeendet hängt vorist das Ende der Streife wenn ich jetzt auf return drücke wird das sächlich diese Schleife ausgeführt hundertmalfür den Rechner witzig das ist gar nicht merken weil dieser Schleife nicht merken dass sie sofort ausgeführt wird und dannkann ich das Platten Claude undzwar die Zeiten und die y-Werte die da rausgekommen sindsieht das auseCall kann nie schaden xS-XLdass die Einheitengleich groß sind auf den Achsenalso von nobis24 sie sehen hier bei 6,28gibt's den Sprung wirgehen rauf bis naja die Ansage war pihalbe1,6irgendwiesowas siehtnicht ganz falsch aus ichhabe das extra noch mal geplottet damit sie etwas sehen dass sie dann eben auf dem Oszilloskop auch gerne sehen dann in der realen Welt das hier nennt sich das Gibbs Phänomen dadrunter schreiben Gibbs Phänomen dieser hierdieserEffekt hier dasist das Gips IIBBS PhänomensieAbschneideneiner bestimmten Frequenz ich schneide jetzt ja hart ab bei 100700t100taschneide ich hart ab wenn sie hat abschneiden haben sie solchesund so einen Ring inSchwingungen an den Sprungstellensehen mit welcher Frequenz die Schwingen der scheint irgendwas mit dem 100 fachen Frequenz zu tun zu haben wenn du das mit der tausendfachen Frequenz machen wenn die als bedeutend enger Latitudelustigerweise von diesen überlagerte Schwingung die Bad genauso abersie werden dann eben schneller wenn sie bei 1300haben dasssie sie dann tatsächlich offen Oszilloskop wenn sie so hart abgeschnittenehabenmal gesehen habe dass sie sich nicht wundern was da auf dem Oszilloskop erscheint das ist richtig was da auf dem Oszilloskop erscheint