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22.01 Lineare Näherung und ihr Fehler

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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noch – mal mehr zur Tangenten gerade – diese kann das ja nur so vor das ich meine Gruppe – wurde dann den gerade horizontal ist – am Schumann Kandidaten – für lokales Maximum lokales Minimum – muss man immer eins einen oder – ?? Agenten gerade erst in die eine Richtung gibt's und dann in die andere Richtung gibt – Beistrich dass ich zwischendurch – einen – Wendepunkt – habe und all sowas – kann es auch tatsächlich – benutzen – um – Werte zu schätzen das will ich jetzt wo führen die lineare Näherung – erst noch mal zur Erinnerung – wie das Mantra mit der Ableitung – die Ableitung einer Funktion an einer Stelle X null – fahr – ich schaue mir – diese Sekantensteigung – an – F an der gestörten Stelle minus elf an der Originalstelle – durch – weit liegen die beiden auseinander – das übliche Diagramm – ist – X null drei sechs null Plus Haar – ist meine Funktion – und ich gucke mir – dieses Dreieck kann – die Differenz aus Funktionswert an der gestörten Stelle Minusfunktion – wird an der Originalstelle – ist diese Seite hier – der steht im Zähler – der Zähler – geteilt durch Hartweizenhaar – auseinander gibt mir die starken in diesem Dreieck – und die Hoffnung ist wenn ich – davon den Grenzwertbildern – H gegen null – kommt etwas sinnvolles raus – wenn was rauskommt – will sagt mir dieser Grenzwert existiert – das Ganze die Ableitung – einer Funktion eine Stelle X nur die Tagentensteigung – und erstelle – alternativ fertig vorgeführt wie man das – klein O schreiben kann – das es etwas – eleganter – ?? kann ich schreiben eine Funktion – an der gestörten – Stelle – ist gleich – meine Funktion an der Originalstelle – los – mit Gegnern wie das weitergeht – Punkt ich starte mit diesem Funktionswert – hier an der Orgel Punkt – Meditation – wird an der Originalstelle – diese – dazu – was mir denn so die Tangenten gerade ansagt wenn dass sie die Tangenten gerade ist – die Richt dieses rote Stückchen dazu mit Funktionswert von X Lotus Haar zu schätzen – es wurde Stückchen – ist die Steigung der Tangenten gerade mal wie weit die beiden ihr auseinanderliegen – H mal – Beistrich von X null – das beides zusammengenommen – hier – ist die Gleichung für die Tangenten gerade – das – ist natürlich nicht exakt – schon bei dem – Landau hier schreibe ich dann eben noch dazu das ist der Trick – klein O von H – es gibt eine Differenz – im Zweifelsfall – aber diese Differenz ist von der Art – das dir diesen ?? das die diesen Grenzwert zu null macht also dieses klein U von H – erfüllt – das der Grenzwert – klein U – klein U von H durch H – gleich null ist – es fallen – sogar von dessen Schreiben verwischen eine anonyme Funktion – von der ich nur angebe wie sich dann im Grenzfall – verhält was passiert mit dieser anonymen Funktion wenn ich sie durch Haarteile den Grenzwertbilder – dienen ?? klein O – das sieht etwas eleganter aus als wenn man durch H teilt – so das mich immer die gleichen der Tangenten gerade – das ist die lineare Näherung auch – die Ernährung an einer Funktion an eine Funktion ich habe eine – Stützstelle – wenn Sie so wollen X null ?? an der ich meinen Funktionswert habe und meine Ableitung habe – wenn Sie diese ganze – formuliert zusammen nehmen – haben sie eine gerade die sich sehr schön an die Kurve dran schmiegt meine Originalfunktion – die kann ich benutzen – Funktionswerte – zu schätzen zu näher – wenn sie hier sind – im Süden wird hier auf der geraden wenn sie hier sind nimm sie wird auf der zwar als Ersatz für den Funktionswert – das heißt lineare Näherung – das kommt nachher – in ganz vielen Dimensionen vor – Millionen – ?? zwischen hundert tausenden Dimensionen wenn man irgendwelche Bauwerke analysiert und elektrische – Netze analysiert – und in Wasser nicht den Realitäten drin hat – dann – ist einer der typischen erste Schritte erstmals an den Jahresbezug – anzugeben und sich anzugucken was denn – diese etwas einfache Funktion macht – die lineare Näherung – was ich ihn als Beispiel vorführen will ist wie man Wurzeln schätzen kann – und zwar möchte schätzen die Wurzel – aus hundert und drei – die Wurzel aus hundert und drei – ist ungefähr – was – können Sie sagen mir geht es mit einfachen Taschenrechner – an andererseits – die – billigen Chips – mit dem dritten Semester – einmal gerade was mit einem – ziemlich einfachen Makrocontroller – die ganz billigen Chips die in jedem Kühlschrank und in jedem Auto am besten zwölfmal jeden Auto oder zwanzig ?? im Auto sitzen – die können nicht die Wurzel aus hundert und drei die können mit ganzen Zahlen rechnen sonst nicht – ?? müssen sich überlegen immer den über tausend und drei den hinkriegen könnte – das offensichtlich keine ganze Zahl das geht – nur mit irgendwelchen Näherungsverfahren – dann – da – Komma dass ich dann sogar Profit aus sind man weiß wie das mit der – Tangenten gerade geht mit der linearen Näherung – als Bild mal hin gemalt was mir vorschwebt – die Wurzelfunktion – ziehen – weil die – so – die – Wurzelfunktionen – prinzipiell skizziert das hier soll die Wurzelfunktion – sein – stimmt natürlich vom Maßstab ?? jetzt überhaupt nicht aber das ist mir auch relativ Schmerz nur als Idee – ich möchte wissen wie groß die Wurzel eine Stelle hundert und drei ist ✂ was weiß ich denn schon mal so in der Nähe – Falling weiß ich erst mal – das in der Nähe die hundert ist – also – ?? Skripte – in der Nähe ist die hundert – Dame den Wert zehn – jetzt frage ich mich einfach okay was kommt in der ?? noch dazu – ein sehr kleines Steigungsdreieck – hier – was kommt es auf diesem Weg von hundert hundert drei dazu sind im Master bisher ganz im Eimer – ?? des Maßstabs gerecht zeichneten – Komma – an das wird sich jetzt mit der Tangenten gerade – alles noch in die Nummer drei rein – an – meine Funktion – ist die Wurzel – sofort mit der Wurzel – die Wurzel – aus hundert weiß ich das ist zehn – das wäre Punkt – dieser wird hier – mein Stütz wird die Wurzel aus hundert ist sie gucke an der Stelle – soll – Struck eine Stelle zehn – Leerschritt eine Stelle hundert und zehn aus keine Stellung hundert – Wurzel aus hunderten Kriege zehn aus – den kenne ich – und dann gehe ich um drei zur Seite – hundert und drei dieses heißt also gleich drei – rechnen obendrein hierfür noch die Ableitung – an der Stelle zehn aus muss müssen wie steil die Wurzel ist an dieser Stelle – keine große Kunst mehr die – Wurzel abzuleiten – X hoch ein halb macht einen halbwegs hoch nach – ein halb X hoch minus ein halb – ?? zu minus ein halb also eins durch zwei Wurzel – X – das heißt meine Ableitung – an dieser Stelle zehn ist eine Stelle hundert Ableitung der Stelle hundert – ist eins durch zweimal die Wurzel aus hundert – also ein Zwanzigstel – gestaltende Wurzelfunktion – hier ist ein Zwanzigstel – an der Stelle – ausgerechnet mithilfe der – sowas weiß ich nur – ich weiß ich bin auf der Höhe zehn – diese Strecke ist zehn – hoch – ich weiß diese Steigung hier der Tangenten gerade ist ein Zwanzigstel – und ich weiß das ich auftretenden – gerade – in X Richtung drei zur Seite – je drei Schritte mit der Steigung ein Zwanzigstel – und damit habe ich einen Ehrung für die Wurzel – also weiß ich die Wurzel aus hundert und drei – ist in den Jahren Näherung – ein Originalwert – hier – zehn – eine Stelle hundert – plus – jetzt gehe ich drei zur Seite – mit der Steigung ein Zwanzigstel – also plus drei zwanzigste – drei Zwanzigstel – wäre – ähm – fünfzehn Hundertstel – alles in zehn plus fünfzehn hundertste – meine Nehrung wäre also – zehn Komma eins fünf – das wäre die lineare Ernährung – für die Wurzel hundert drei – wenn ich als Stützstelle für die hundert nehmen – aber nur mit dieser Form hier – bitte nicht diese Formel auswendig lernen verstehen sie was da passiert – ?? – an der Stelle X null gehe ich zur Funktion hin eher von X null – und dann gehe ich mit der Tangentensteigung – auf der Tangenten gerade – Unterstückchen – hat zur Seite – Berichte nach oben – schreite ist H mal – die Ableitung H mal die Steigung der Tangenten gerade – lieber verstehe ich auswendig lernen genau das passiert hier – mein Fusion ?? bis zehn – davon zu sehen ich gehe drei Schritte nach rechts – auf einer geraden mit der Steigung ein Zwanzigstel – so füge ich dann auf der geraden nach oben insgesamt in Ehrung zehn Komma eins fünf – für die – Wurzelfunktion – von – hundert und drei – das ist aber nur die halbe Miete streng genommen in der Praxis tatsächlich das jetzt ausrechnen und sagen ?? habe bestimmen streng genommen müsste ich mir überlegen was denn der Fehler ist – das werden Sie schon in der Physik gelernt haben – den Sinn einer Meßwetter steht dreizehn Komma vier fünf Meter – ?? schön aber was ist die Ungenauigkeit – mit der ich rechnen muss ?? haben so eine Schranke für den Fehler Hansen erwartete Ungenauigkeit – muss zumindest irgend eine Idee haben wie gut dieser Messwerte sonst nicht viel damit anfangen – kann der wahre Wert auch – drei neunzig Komma sieben sein – obwohl ich dreizehn Komma vier fünf als Messwert angebe auch – Angaben zu den Fehlern Angaben zu den Abweichungen – das geht mir auch – das muss man sich an der Stelle auch überlegen streng genommen – wie gut ist denn dieser Wert kann ich dieser fünf Vertrauen – kann ich der eins vertrauen – und es nach ?? doch zehn Komma drei – das – kann man relativ einfach – abschätzen – wie groß der Fehler – werden wird – und zwar – wenn meine Funktion – sich schön an schmiegt eine Tangenten gerade kein Lückentext – wenn meine Funktion sich schön einen schmiegt – an die Tangenten gerade dann stimmt auch – den Jahren Näherung recht Punkt – ich habe ein Problem wenn sich meine Funktion weg und von der Tangenten gerade hier stimmt – die Funktion und die Ableitung auch ins meine Funktion bekommt von der Tangenten gerade – habe ich ein Problem – und dieses wegräumen hängt mit der zweiten Ableitung zusammen – in die erste Ableitung – immer Konstante – ist – dann habe ich ja sogar eine Grad – gerade haben sie meine Konstante Ableitung – ich habe dann eine Krümmung weg von der geraden in die zweite Ableitung – ungleich null ist – jetzt noch folgendes voraus das ich weiß das die zweite Ableitung – immer gleich – die zweite Ableitung – immer gleich im ist das – in eine Konstante im – ?? ist es – nachher – so eine Funktion – ?? – Tangenten gerade stimmt's – aber die – Funktion krümmt sich weg von der Tangenten gerade – dann – habe ich folgendes – dann habe ich das die – erste Ableitung – gleich – der Ableitung – an dieser Stützstelle ✂ ist plus – wie könnte die erste Ableitung ausrichten wenn sie das haben – dann muss also die erste – Ableitung – eine Funktion ein Jahr Funktion mit dieser Steigung sein wenn die richtig baue hiermit meinen Anfangswert – ähm mal – X minus X null so müsste dann meine erste Ableitung aussehen werde ich diese Steigung im halbwegs – richtigen Anfangswert haben wenn X – X null ist – X klein X null wieder hinten weg und es steht Beistrich von X null ?? habe ich eine Nerven zum Anfangswert – also wenn meine – zweite Ableitung eine Konstante wäre müsste man Erstableitung – so aussehen – und dann müsste meine Originalfunktion ✂ wie Aussehen – hier habe ich Konstante – F – Beistrich von X null komplett aus dazu – mal X – leite ich ab – und kriege den sie essen nur schwieriger – X minus X null rauszukriegen beim ableiten helfen Beistrich – irgendwas ableiten X X null rauszukriegen – X minus X nur den klammen Quadraten – der Vorstädte im halbherzigen – Fenster aus – ähm beim ableiten – bleibt als Faktor stehen – X minus X null Quadrat halbe – Kettenregel ableiten – X minus X in – der irgendwas ins Quadrat – ableiten macht zweimal – was drin steht ?? aus Ableitung zwei durch zwei gibt sich weg – Beistrich dass der und in Ableitung X mit sechs hundert – eins – dass die Band tatsächlich den – hier der niedrigeren Business Anfangswert – stimmte übliche Trick X minus X null schreibe ich dahin – und beschreibt den Anfangswert – meiner Funktionen – stimmt es – X klein X null setzen – Städte eher von X null plus – irgendwas mal null plus irgendwas mal nun wirklich von X null – Konstante – so – wenn also die zweite Ableitung eine Konstante – wäre – wäre das hier meine Originalfunktion – gewesen – und – meine Abweichung – wäre dann – von der Tangenten gerade sie sind die Tangenten gerade meine Abweichung von der Tangenten gerade wäre dann das hier das hier wäre die Abweichung von der Tangenten gerade – Abweichung – wäre also – dass sie den Textabweichung von – der Tangenten gerade – an der Stelle – X gleich X null plus H interessiert mich ja – die Abweichung – an – dieser Stelle hier an der gestörten Stelle von der Tangenten gerade wie weit man Funktion weg gekrümmt – wäre dann was ihnen steht die vorne steht wieder die Tangenten gerade – wird plus Ableitung mal gehört zu Seite gegenständliche – Störung über zwei Funktion – bekommt von der Tangenten gerade – waren – nämlich – im halbe malen des Sehens den einfach Haar – Guillaume hat zur Seite am Heinemannhaquadrat – wenn ich – wüsste – das Feuer der die Voraussetzung wenn ich wüsste dass meine zweite Ableitung eine Konstante – wäre – könnte ich das so rechnen – wenn meine – zweite Ableitung eine Konstante ist typischerweise wird die zweite Ableitung keine Konstante sein wie das ganze eine Nummer schwieriger aber – dieses ist der extreme Fall wenn die zweite Ableitung eine Konstante ist es der extreme Fall denn dann – geht die Kurve die ganze Zeit wirklich weg von der Tangenten gerade eine Richtung ?? Ableitung – die zweite Ableitung – diesmal positiv mal negativ denke die Kurve mal hin und mal wieder zurück – und wenn die Ableitung – die zweite Ableitung nicht immer Amis sondern auch mal weniger ist die Kurve mal nicht ganz so schnell mal weniger – ?? weg von der – Tangenten gerade – das hier ist sozusagen der schlimmste Fall – an sich kann das sogar noch mal anders schreiben – an – im allgemeinen – Fall hat man – gemein – habe ich das diese Abweichung – war – kleiner gleich die Abweichung ?? Shops so – emsig das die Abweichung genau gleich im Rademacher Quadrat es allgemein habe ich das die Abweichung – kleiner gleich – jetzt wissen müssen schwierig – Rahmen des – Maximum – der – zweiten Ableitung im Betrag – halbe Mal Haquadrat – ist – also wenn sie wissen dass die zweite Ableitung – ganz sicher kleiner gleich einen Salem ist – wissen Sie dass die Abweichung schlimmstenfalls – dieses – Schranke für die zweite Ableitung im Betrag halbe – Mal über dich zu Seite ins Quadrat – so kriegt man dann – eine Schätzung – soll so gesanglichen Einschätzung eine exakte Eingrenzung für den Fehler ich weiß der Fehler kann nicht größer werden als das eine Kurve kann sich nicht weiter als das – wegräumen – und im Beispiel sieht's dann so aus – der Wurzel – mal wieder zurück zur Wurzel – Wurzelfunktion – sieht's dann so aus – nun – meine Originalfunktion – war die – Wurzel – meine Ableitung – war einst durch zweimal die Wurzel – die zweite Ableitung wird etwas – unangenehm – das hier ist ein halb X hoch minus ein halb Rohbau ein halb – dass hierbei ein halb mal X auf minus ein halb – noch mal ableiten ein halb mal zumindest ein halb bis minus ein halb kommt nach vorne – X hoch minus ein halb – Mainz vermindern Exponenten um eins vermindert ist ?? zumindest drei halbe ✂ macht also – um minus – ein viertel – hat man ein halb – X such minus drei ?? wie kann ich das vorzuschreiben – der Tat einst durch Wurzel aus X hoch drei schreibt glaub ich lieber eins due – die Wurzel aus X – in Klammern hoch drei das ist ein hilfreicher – so das wäre die zweite Ableitung – der wird zehn werden – die Wurzel aus hundert – der Wert – eins durch zweimal Wurzel aus hundert wird eines – zwanzigste – werden – so – jetzt ist die Frage was wird das hier schlimmstenfalls – ?? – ich muss mir angucken wie weit sich meine – Kurve – auf dem Weg von – hundert bis hundert und drei bekommt wie die – Wurzelfusion – konnte von unten kommt sich also welcher – Stelle hundert und sich so nach unten weg die Wurzelfunktion – die Frage ist jetzt wie weit krümmt sich die Wurzelfunktion – weg auf dem Weg von hundert – bis hundert und drei ✂ wie schlimm wird die zweite Ableitung – auf dem Weg von hundert – bis hundert und drei was ist der schlimmste – Wert – in die zweite Ableitung haben kann auf dem Weg von hundert bis hundert und drei – ich möchte diesen Ausdruck hier irgendwie zähmen – der sagt mir wie schnell sich meine Kurve kommt von der Tangenten gerade – des auf jeden Fall negativ – X liegt zwischen hundert und hundert und drei – das es positiv minus ein viertel Maus positiv das auf jeden Fall kleiner als null auf jeden Fall negativ – die Frage ist wie negativ – keiner werden was ist der Negativswerten – bekriegen – und den negativen Wert kriegen wir für – ein hundert – ?? bei ein hundert und drei – wird die Wurzel größer als bei ein hundert Billiarden Kehrwert der Kehrwert wird ein kleiner Verkehr welche von den ganzen Wurzelkram – ?? hundert Reis kleiner als – wenn ich hundert Einsätze – die minus noch kandidieren – bei hundert Schrägstrich hundert gibt sie negativen – Wert – dieser Werte ist garantiert – negativ und fix ein hundert gibt der gibt den negativen – Wert – das heißt ich weiß folgendes – ich weiß das die zweite Ableitung – war zu andersrum – ich weiß das die zweite – Ableitung – garantiert kleiner ist als null – und garantiert kleiner gleich ihren Wert für ein hundert ist ein viertel eins durch – die Wurzel aus hundert hoch – drei – das ist der negativste Wert – schlimmer kann's nicht werden – Handelskammern ausrechnen die Wurzel aus hundert ist zehn hoch dreizehn Tausendstel hier steht also minus eins durch vier tausend – zwo das ist der schlimmste Wert wird angenommen an der Stelle – X gleich – hundert – damit kann ich es abschätzen wie schlimm – sich meine – Wurzel von der Tangenten gerade weg und – wenn sie die ganze Zeit – diese zweite Ableitung hätte – dann würde sie sich so weit weg kommen – das wäre der schlimmste Fall aber netterweise – muss freundlich hat sie nicht die ganze Zeit diese – zweite Ableitung des heiß wird sie nicht ganz so schlimm wegräumen aber wenn wir dafür einsetzen – haben Hirnschranke – dafür also der Fehler ist schlimmstenfalls – das was ich kriege – wenn ich die zweite Ableitung die ganze Zeit gleich minus – ein Viertausendstelfehler – extra irgendwo – ein – der Fehler – ist schlimmstenfalls – das was ich kriege wenn die zweite Ableitung die ganze Zeit minus und wetzt tausend Gewehre auf der Strecke zwischen hundert und hundert und drei – und dann wäre er minus – ein – acht Tausendstel – mal – weil ich zu sein seitig ins Quadrat also drei ins Quadrat – einen – ausführlichen – minus – ein Viertausendstel – das wäre dann diese Zahl im Mal ein halb – mal Heinz Quadrat – also – heißt dreißig geleitete Seite zu Seite von hundert hundert drei – ins Quadrat macht neun – und unten stehend – acht tausend minus neun acht Tausendstel ist der Fehler schlimmstenfalls – wenn ich – Glück hätte ist einfach null aber schlimmstenfalls – ist er minus – neun acht Tausendstel – heißt ich kann – insgesamt – hinschreiben – was denn – insgesamt – kann ich hinschreiben was denn so rauskommt das für den nächsten Textes über – acht – die Nummer neun kann ich jetzt also insgesamt schreiben – die Wurzel aus hundert und drei – liegt in folgendem – Intervall – Komma dass sie Komma eins fünf ergibt zehn Komma eins fünf aus der linken Währung – zehn Komma eins fünf – im schlimmsten Fall kommt sich die Wurzelfunktion – um das hier nach unten Weg an der Stelle hundert und drei ihr mich bei Stellung hunderter Pass – frage mich wie weit sie wegräumen kann schlimmstenfalls – das also – minus neun durch acht tausend – ist das was schlimmstenfalls passiert – ich habe schon gelernt sie kann sich ?? bekommen ?? zweite Ableitung ist negativ sie können sich nicht nach oben weg das heißt – ich kann als obere Grenze das sie hinschreiben zehn Komma eins fünf das wäre genau der Wert hier auf der Tangenten gerade – irgendwo dazwischen – muss die Wurzelfunktion – an – Punkt damit habe ich maximale Fehler habe ich maximal – ein maximal Fehler bestimmt eine Schranke für die Abweichung bestimmt – noch mal ausrechnen – was der zufällig rauskommt der hier vorne – sie sehen – am – neun acht ✂ Tausendstel – Madame – Tausendstel – Beistrich um den Fehler geht – hier möchte ich ja nicht – waren – die auch den Originalwert – haben ?? möchte ich eine der meiste Fehler ist es ?? kann ich jetzt noch mal grob ganz ob mir das angucken neun durch acht – macht ungefähr ein Zehntel ungefähr ein tausend das ist ungefähr ein tausend Stück – das heißt – äh schlimmstenfalls – wird es sein wie eins – null Komma eins fünf – jetzt ein Tausendstel Abziehen ein tausend abziehen wäre null Komma null null eins – saust auf der nächsten Stelle eins abziehen das wäre schlimmstenfalls – was herauskommen – kann – also hier schlimmstenfalls – eins – null Komma eins – vier – neun irgendwas – das wäre das schlimmste was passieren kann ?? etwas mehr genau angepriesenen neun acht Tausendstel – es ist etwas mehr als ein Tausendstel deshalb hier also – acht – irgendwas – ich weiß also jetzt ohne Taschenrechner ohne alles – das die Wurzel hundert drei – zwischen – eins null eins vier acht und eins null eins fünf – liegen muss zwangsläufig – am – Sommer sieht er sich immer genauer haben – hier – Unsinn produziere – also zehn – Komma – eins fünf mit dem Taschenrechner – gleich die Bus hundert drei ausrechnen können – neun – durch – acht tausend – zehn Komma eins vier acht acht sieben fünf – wäre das es bei ?? noch mal genauer acht acht sieben fünf – aber – bis auf drei Stellen hat man das dann ja so und jetzt zum Vergleich die Wurzel aus hundert und drei hundert und drei – invers die Wurzel – vier acht acht neun – sieben vier acht acht neun der hier wir jetzt Original – eins vier acht acht – acht acht neun und so weiter – was ehrlich ehemalige – Muster zu acht als abgesagt es muss auf jeden Fall liegen zwischen – zehn Komma eins vier acht und zehn Komma eins fünf sind zehn Komma eins vier acht – ist doch gar nicht mal so schlecht – das wäre die lineare Näherung in Aktion – an ganz hoch offiziell – Komma dass es ein Profi großes N die Abweichung schlimmstenfalls – schlimmstenfalls – ist die zweite Ableitung – eine Konstante – so schlimm wie sie wird auf dem gesamten Gebiet hier ?? ich hier so schlimm wie sie maximal wird auf dem ganzen geht hier zwischen hundert und hundert und drei – das gibt eine Schranke für den Fehler